Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Đại số ngành quan trọng Toán học Kiến thức Đại số phong phú, trừu tượng xây dựng, phát triển từ kiến thức Cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, Iđêan phần quan trọng lý thuyết Vành chương trình đại học vấn đề trình bày cách sơ lược gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu bạn đọc, đặc biệt sinh viên khoa Toán Được hướng dẫn giúp đỡ tận tình Cô giáo - Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga với lòng yêu thích môn Đại số em mạnh dạn chọn đề tài: “ Một số lớp iđêan đặc biệt phân tích nguyên sơ” để làm khoá luận tốt nghiệp mong muốn giúp ích cho bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu để tham khảo II Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hoá kiến thức liên quan: Một số lớp iđêan đặc biệt, phân tích nguyên sơ III Đối tƣợng nghiên cứu Lý thuyết iđêan phân tích nguyên sơ IV Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán PHẦN NỘI DUNG Chƣơng I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành, vành con, điều kiện tƣơng đƣơng, đặc số vành 1.1.1 Vành a) Định nghĩa: Cho X tập khác rỗng, X trang bị hai phép toán hai ngôi, kí hiệu (+), (.) gọi phép cộng phép nhân X gọi vành thoả mãn điều kiện: i) X với phép cộng nhóm abel ii) X với phép nhân nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức với phần tử tuỳ ý x, y, z X , ta có: x( y z) (y z) x xy xz, yx zx b) Chú ý +)Vành X gọi vành có đơn vị X vị nhóm nhân +) Vành X gọi vành giao hoán phép nhân giao hoán +) Vành X gọi vành giao hoán có đơn vị X vị nhóm nhân giao hoán +) Phần tử đơn vị phép cộng kí hiệu +) Phần tử đơn vị phép nhân (nếu có), kí hiệu c) Tính chất + ) x.0 0.x với x X + ) Nếu vành có phần tử + ) (n.x) y n.x y + ) (x y ).z xz x.(n y) , x, y X, n Z yz Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán 1.1.2 Vành điều kiện tƣơng đƣơng a) Định nghĩa: Giả sử X vành, A phận X, ổn định với hai phép toán X, nghĩa x y A, x y A, x, y A A vành X A với hai phép toán cảm sinh A vành b) Điều kiện tƣơng đƣơng Cho X vành, A phận khác rỗng X Các điều kiện sau tương đương: i) A vành X ii) x, y A: x y A, x y A, x iii) x, y A: x y A, x y A A 1.1.3 Đặc số vành: Cho X vành có đơn vị 1, tồn số nguyên dương n nhỏ cho n.1 ta nói X có đặc số n, ngược lại ta nói X có đặc số Đặc số X kí hiệu là: char X 1.1.4.Tập nhân đóng Cho R vành có đơn vị Tập S gọi tập nhân đóng R nếu: i) S ii) Với x, y S xy S 1.2 Miền nguyên, trƣờng Trong toàn phần X vành giao hoán có đơn vị 1.2.1 Ƣớc bội phần tử a) Định nghĩa: Cho X vành giao hoán, a X , b X a gọi bội b tồn c b hay a chia hết cho b, kí hiệu a M X cho a b.c ; Khi ta nói b ước a, kí hiệu : b a Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà b) Ƣớc không: a b K33C-Toán X , a , a gọi ước không tồn X , b cho a.b 1.2.2 Phần tử khả nghịch: Phần tử u tồn v X gọi phần tử khả nghịch u ước 1, tức X cho u.v 1.2.3 Phần tử liên kết: Với a, a X , ta nói a, a’ liên kết với tồn u khả nghịch cho: a u.a a u.a Kí hiệu: a : a a : a 1.2.4 Ƣớc thực sự: a gọi ước thực b a ước b, a không khả nghịch a không liên kết với b 1.2.5 Phần tử bất khả quy: a X phần tử bất khả quy a , a không khả nghịch a ước thực 1.2.6 Phần tử nguyên tố: Phần tử a , không khả nghịch gọi phần tử nguyên tố từ a u.v au av 1.2.7 Miền nguyên: Một vành giao hoán X có đơn vị, có nhiều phần tử ước gọi miền nguyên 1.2.8 Trƣờng: Một miền nguyên phần tử khác không khả nghịch vị nhóm nhân gọi trường Như X trường thì: Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán +) X, nhóm abel +) X * , nhóm abel, X * X\ + ) Phép nhân phối phép cộng 1.3 Iđêan 1.3.1 Định nghĩa: Cho X vành, I vành X Khi đó: +) I gọi iđêan trái X + ) I gọi iđêan phải X x X , a I : x.a I x X , a I : a.x I + ) I gọi iđêan X I vừa iđêan trái vừa iđêan phải X Nhận xét: - Nếu X vành không giao hoán iđêan trái iđêan phải phân biệt - Nếu X vành giao hoán iđêan trái iđêan phải trùng gọi iđêan 1.3.2 Điều kiện tƣơng đƣơng: Cho X vành, I X,I Các điều kiện sau tương đương: i) I iđêan X ii) Với a, b X a b I , x X thì: a.x I , x.a I 1.3.3 Tính chất: a) Giao tất iđêan X iđêan X b) Cho X vành có đơn vị 1, I iđêan X, I I X 1.4 Vành chính, vành nhân tử hoá, vành Ơclit: 1.4.1 Vành chính: a) Định nghĩa: Miền nguyên X gọi vành iđêan X iđêan b) Ví dụ: Vành số nguyên Z vành Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán 1.4.2 Vành nhân tử hóa: a) Định nghĩa: Miền nguyên X gọi vành nhân tử hoá phần tử khác 0, không khả nghịch phân tích cách thành tích nhân tử bất khả qui b) Nhận xét : + ) Mọi vành vành nhân tử hoá + ) Nếu K trường K[x] vành nhân tử hoá 1.4.3 Vành Ơclit: a) Định nghĩa: Cho X miền nguyên, X* tập phần tử khác không X X gọi vành Ơclit tồn ánh xạ : X* ¥ từ X* vào tập số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau: i) Nếu a bội b a b a ii) Với a, b X b tồn q r thuộc X cho a bq r r b r Kí hiệu: X , gọi ánh xạ Ơclit 1.5 Vành thƣơng đồng cấu vành 1.5.1 Vành thƣơng a) Định nghĩa: Cho A iđêan cuả vành X, đó: X/A={x+A/ x (.): với x, y X} vành thương X theo iđêan A với phép toán (+), X (x+A)+(y+A) = x+y+A (x+A).(y+A) = xy +A b) Nhận xét : +) Nếu X vành giao hoán X/A vành giao hoán Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán + ) Nếu X vành có đơn vị X/A vành có đơn vị 1+A c) Ví dụ : nZ iđêan Z vành, Z nZ Z (n N) Khi tồn vành thương +) Nếu n=0 n Z ={0} Ta có Z /{0}= Z +) Nếu n Z nZ x nZ x Z Zn Trường hợp đặc biệt: {0}, X iđêan X nên tồn vành thương: X X X x 0x X x X x X X X d) Tính chất Cho vành giao hoán R, I iđêan cuả R +) Nếu J iđêan cuả R cho J thương R với r R ta có r I I J iđêan cuả vành J / I r J +) Mỗi iđêan A R/I có dạng K/I với K iđêan cuả R thoả mãn: K I Tồn iđêan K={ a R / a I J } R thỏa mãn điều kiện +) J1, J iđêan cuả R cho J1, J J1 I Ta có : J1 / I J2 / I J2 1.5.2 Đồng cấu vành: a) Định nghĩa: Cho X, Y vành Ánh xạ f : X vành thoả mãn: với x, y X: f ( x y) f ( x y ) Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Y gọi đồng cấu f ( x) f ( y ) f ( x) f ( y ) Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán + ) f đơn cấu f đồng cấu vành f đơn ánh + ) f toàn cấu f đồng cấu vành f toàn ánh + ) f đẳng cấu f đơn cấu f toàn cấu - Cho hai vành X, Y ta nói X đẳng cấu với Y tồn đẳng cấu vành f : X Y b) Tính chất: b1) Tích đồng cấu vành đồng cấu vành b2 ) Cho f : X Y đồng cấu vành, X trường f đồng cấu không đơn cấu b3 ) Cho f : X Y đồng cấu vành: +) Nếu f có nghịch đảo trái, tức tồn đồng cấu vành g:X Y cho: g f 1X f đơn cấu +) Nếu f có nghịch đảo phải tức tồn đồng cấu vành g:X Y cho f g 1Y f toàn cấu +) Nếu f có nghịch đảo trái nghịch đảo phải f đẳng cấu Y đồng cấu vành, A vành X, B iđêan b4 ) f : X Y thì: vành Y +) f +) f ( B) iđêan X Đặc biệt : Cho f : X Y đồng cấu vành Hạt nhân f kí hiệu ker f , ker f x X:f x Ảnh đồng cấu f , kí hiệu Imf , Im f Khi : +) X vành +) f X f x Y x X nên Im f vành Y iđêan Y nên kerf iđêan X Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán Vậy: +) f đơn cấu ker f 0X + ) f toàn cấu Im f Y b5 ) Định lý đồng cấu vành: Cho đồng cấu vành f : X cho f A Y A, B tương ứng iđêan X, Y B Khi tồn đồng cấu vành f : X / A làm cho biểu đồ sau giao hoán: f X Y pA pB X/A Nghĩa là: f p A Y/B Y /B _ f pB f với pA : X X / A, pB : Y Y / B toàn cấu tắc Đặc biệt : Nếu A ker f , B sau giao hoán : 0Y Y / B Y / 0Y f X p Y tức biểu đồ Y f X / ker f Nghĩa f p f với p: X X / ker f toàn cấu tắc Hệ quả: (1) Cho f : X Y đồng cấu vành X / ker f ; Im f (2) Nếu f : X Y toàn cấu vành X / ker f ; Y (3) Cho A, B iđêan thoả mãn B R/B A , đó: R/ A / B/ A (4) B, C iđêan X B C C B Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga B C Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán 1.6 Quan hệ thứ tự tập thứ tự: 1.6.1 Định nghĩa: Cho tập V tự V ( kí hiệu Quan hệ hai ngôi, gọi quan hệ thứ ) có tính chất sau: (i) Phản xạ: tức với u V : u u (ii) Phản xứng:tức với u, v V : u v v u u v (iii) Bắc cầu: tức u, v,w V u v v w u Khi ta viết V , w gọi thứ tự +) Tập thứ tự V , gọi thứ tự toàn phần với u, v V có: uv uv Ta viết u v uu vv 1.6.2 Định nghĩa: Cho X tập thứ tự, tập A X , A gọi xích X A với quan hệ thứ tự phận X lập thành tập thứ tự toàn phần Khi A a1, , an , không giảm tính tổng quát ta viết: a1 a2 an 1.6.3 Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới: Cho X , tập thứ tự +) Phần tử cực đại: phần tử m X gọi phần tử cực đại X tồn n X mà m n m = n +) Phần tử cực tiểu: phần tử m X gọi phần tử cực tiểu X tồn n X mà n m n = m +) Chú ý: A dưới) A X , X, tập thứ tự, a0 X gọi cận (cận a A a a0 a0 a 1.6.4 - Bổ đề Zorn: Cho tập thứ tự X , xích X có cận X chứa phần tử cực đại Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 10 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán Lời giải: +) iđêan nguyên tố R Do R miền nguyên nên iđêan nguyên sơ, suy (1) +) Theo tập 2, với p phần tử bất khả qui pR iđêan cực đại R, suy với n ¥ p n R luỹ thừa iđêan cực đại iđêan nguyên sơ R ( pR x n x p n R suy x p n R pR p n R mà pR iđêan cực đại p n R iđêan thực R nên pR p n R Suy p n R iđêan nguyên sơ R) Mặt khác, R miền nguyên nên iđêan nguyên sơ khác iđêan không R có dạng aR với a 0, a Lại có: Mỗi miền nguyên vành nhân tử hoá nên ta biểu diễn a dạng tích nhân tử bất khả qui R Nếu a chia hết cho phần tử bất khả qui p, q với p, q không liên kết pR, qR iđêan cực đại phân biệt Vì pR=qR p = uq, q =vp với u, v R , suy p uvp p R miền nguyên) uv (do u, v khả nghịch Điều mâu thuẫn với giả thiết p, q không liên kết nên pR qR Khi pR, qR iđêan nguyên tố cực tiểu aR Mâu thuẫn với (2.4.5): aR iđêan nguyên tố cực tiểu aR Do aR sinh luỹ thừa dương phân tử bất khả qui R (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 58 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán Chƣơng 3: SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ VÀ VÀNH NOETHER 3.1 Vành Noether: 3.1.1.Định nghĩa: Một vành giao hoán có đơn vị gọi vành Noether iđêan hữu hạn sinh 3.1.2 Định lý: A vành giao hoán có đơn vị, khẳng định sau tương đương: i) A vành Noether ii) Mỗi tập khác rỗng iđêan A tồn phần tử cực đại iii) k k dãy tăng iđêan A tồn n để In=In+1=In+2=…(dãy dừng) Chứng minh: i) ii ) Gọi F tập khác rỗng iđêan A Giả sử họ tuỳ ý iđêan lồng F.Khi S để A Vì A Noether nên tồn a1,a , ,a t S họ iđêan lồng nên tồn đến (a1,a , ,a t ) Bởi chứa tất iđêan họ S là iđêan a1,a , ,a t để a1,a , ,a t ; nên S Vì , dẫn F vừa iđêan Theo bổ đề Zorn F tồn phần tử cực đại ii) iii ) , Giả sử A Từ ii) suy họ In Lại iii) n n i i k k dãy tăng iđêan tồn phần tử cực đại, ta giả sử nên In=In+1=In+2=… i ) , Giả sử trái lại A không vành Noether, A tồn iđêan I không hữu hạn sinh Lấy a1 Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga a1A thực chứa 59 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà I, tồn a2 \ a1 K33C-Toán ta có a1 Lặp lại vô hạn lần với a1, a2 ý I hữu hạn sinh ta dãy vô hạn iđêan thực lồng nhau: k .Điều mâu thuẫn với k iii) Suy điều giả sử sai Vậy A vành Noether 3.1.3 Định lý Hilbert: Nếu A vành Noether vành đa thức x vành Noether Chứng minh: Gọi I iđêan khác iđêan x ; ta cần I hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử trái lại I không hữu hạn sinh Khi lấy dãy vô hạn đa thức f1, f , , f n , I có bậc tăng dần, xuất phát từ đa thức f1 có bậc thấp I, cho f j \ f1, f , , f j có bậc thấp tất đa thức thuộc vào tập \ f1 , f , , f j ,với j Gọi a j hệ số hạng tử bậc cao f j Vì A vành Noether nên iđêan J a1 , a2 , , a j , hữu hạn sinh Do tồn số nguyên dương n đủ lớn để J giả sử deg fi mi , i 1, n f n bx d Do b J nên b g fn f xd m1 1 a 1 f xd n n a 2 mn đa thức có bậc d a Dễ thấy rằng: n n \ f1 , f , , f n có deg g Điều mâu thuẫn với cách chọn hữu hạn sinh Vậy a1, a2 , , an Bây deg f n f n Mâu thuẫn chứng tỏ I x vành Noether 3.1.4 Hệ quả: Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 60 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán i) Nếu A Noether vành đa thức n biến x1, x2 , , xn vành Noether ii) Nếu K trường vành x1, x2 , , xn vành Noether 3.1.5 Định lý: Cho R vành giao hoán Noether Mọi iđêan thực R biểu diễn dạng giao hữu hạn iđêan bất khả quy R Chứng minh: tập iđêan thực R mà phần tử Kí hiệu biểu diễn dạng giao hữu hạn iđêan bất khả quy R Ta chứng minh Thật vậy: Trước hết chứng minh: R vành giao hoán Noether tập khác rỗng iđêan R chứa phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm Giả sử tồn tập S tập mà phần tử iđêan R phần tử cực đại Cho S Do S phần tử cực đại nên tồn tiếp tục ta có dãy không dừng : Suy dãy tăng iđêan R: 2 S: , ., n 1,2, n n ., n 1,2, không dừng Điều trái với giả thiết R vành giao hoán Noether nên điều giả sử sai Vậy tập có iđêan R chứa phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm Từ suy phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm, giả sử I Khi I không iđêan bất khả quy , I khả quy Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 61 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán Vì I iđêan thực nên tồn I1, I2 iđêan R cho R , , ) Suy I1, I2 iđêan thực (do , nên I1, I2 biểu diễn dạng giao hữu hạn iđêan bất khả quy Suy điều kiện biểu diễn Điều mâu thuẫn với hay điều giả sử sai Vậy 3.1.6 Định lý: Cho R vành giao hoán Noether I iđêan bất khả quy R Khi I iđêan nguyên sơ Chứng minh: Ta có Ø R Giả sử a, b R : ab : a2 :a Khi : ,b dãy tăng iđêan R : Do R vành Noether nên tồn n ¥ : : a n Ta chứng minh: an r g ca n Do ab, g , h ca n r , i ¥ b (1) an +) Cho r i b an +) Rõ ràng : an b h db g, h , c, d R: ga ca n dba nên: g ca n dab ga an : an c b Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga : an (2) 62 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán an b Do I iđêan bất khả quy, b , b Từ (1), (2) suy an nên suy an Như a, b R : ab tồn n để a n ,b Vậy I Iđêan nguyên sơ R 3.2 Sự phân tích nguyên sơ tập Ass: a) Định nghĩa: Cho R vành giao hoán, I iđêan thực R Nếu I biểu diễn dạng giao hữu hạn Iđêan nguyên sơ R ta gọi biểu diễn phân tích nguyên sơ iđêan I b) Một phân tích nguyên sơ I: Qi i Q1 Q2 Qn với , i 1, n gọi phân tích nguyên sơ cực tiểu I điều kiện sau thoả mãn: i) Pi iđêan nguyên tố khác R, i 1, n n ii) j 1, n : I Qi Qj i i j - Ta nói I iđêan phân tích R I có phân tích nguyên sơ Nếu Q1 Q2 Khi tập gồm n phần tử Qn , Qi , , , i , i 1, n n gọi tập iđêan nguyên tố liên kết I, kí hiệu: AssI AssRI Các phần tử AssI gọi iđêan nguyên tố liên kết c) Ví dụ : +) Trong vành Z , iđêan d Z có phân tích nguyên sơ : Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 63 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán n dZ p1 Z pi i với pi số nguyên pn Z , d p2 Z K n i tố, i 1, n +) Trong vành Noether iđêan có phân tích nguyên sơ (theo định lý 3.1.5) 3.3 Một số tính chất 3.3.1 Tính chất 1: Mọi iđêan phân tích vành giao hoán R có phân tích nguyên sơ cực tiểu Chứng minh: n Cho I iđêan thực vành giao hoán R Qi i j, k i , i 1, n phân tích nguyên sơ I Nếu tồn Ii Q với n, j i nhau, giả sử j , k với k Theo (2.4.4) ta kết hợp Q j , Qk phân tích nguyên sơ để thu phân tích nguyên sơ khác I với (n-1) phần tử Cứ tiếp tục đến Khi i khác i 1, m, m n m Ii Q i với i 1, m, m n Xét từ Q1 đến Qn , m m Ii Q i nghĩa Q1 I Qi ta i loại bỏ Q1 , ngược lại ta chuyển sang xét Q2 Cứ tiếp tục đến n t hết Qm , ta có Ii Qi , t m cho với j 1, t : I Qi Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga Qj i i j 64 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán 3.3.2 Định lý: n Cho I iđêan phân tích vành giao hoán R, Qi i với Ii Qi , i 1, n phân tích nguyên sơ cực tiểu I P iđêan nguyên tố R Khi điều kiện sau tương đương: i) Tồn i với i 1, n cho ii) Tồn a i R cho (I:a) P- nguyên sơ iii) Tồn a R cho :a Chứng minh: n ii Tồn i) Qi i i với i 1, n cho i ; Ii Q với i , i 1, n phân tích nguyên sơ cực tiểu I suy tồn n Ij Q j \ Qi j i Khi đó: n : n Ij 1Q j :a r r R | r Q1 R | r Ij 1Q j r r R | r Q2 R | r Q j , j 1, n r R | r Qn n I Q j : j n Suy : I Q j : j Do (2.4.5.i) ), a Q (Q:a) =R nên ta có Q j : Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga R, i j 65 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán Do (2.4.5.ii) ), a Q (Q:a) p-nguyên sơ nên ta có Q j : i -nguyên sơ Mà theo giả thiết Vậy : i , i 1, n Qi : P - nguyên sơ ii) iii Hiển nhiên iii) i Theo chứng minh i) ii ta có: n n I :a I Qj : a j j Do (2.4.5.i) (2.4.5.ii) ) ta có Q j : a i -nguyên Qj : a R với a Q Q j : sơ với a Q j Áp dụng bổ đề (2.3.6) ta có: n :a n I n I Qi : a i a Qi Qi : a i a Qi I i i a Qi Do P iđêan thực R nên tồn số nguyên i với i 1, n n cho a Qi Do (2.3.10) có I i i nên tồn i với i 1, n cho a Qi i 3.3.3 Định lý thứ phân tích nguyên sơ: n Cho I iđêan phân tích vành giao hoán R, Ii Qi với n Qi 1, n i ,i Ii Q cực tiểu I n n với i Qi i , i 1, n phân tích nguyên sơ n n i i i i Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 66 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán Hay số phần tử xuất phân tích nguyên sơ cực tiểu I không phụ thuộc vào lựa chọn cách phân tích 3.3.4 - Mệnh đề: i) Cho I iđêan phân tích vành giao hoán R Spec R , AssI tồn a R cho (I:a) P- nguyên sơ ii) I iđêan thực vành giao hoán R, J iđêan R thoả mãn Khi J iđêan phân tích R J/I iđêan J phân tích R/I Từ ta có: AssR J : AssR J I Chứng minh: Ass nên tồn a i) Theo (3.3.2) R cho (I:a) P- nguyên sơ n ii) J n iđêan phân tích nên J n Ii Q với Qi iđêan nguyên i n sơ i 1, n Ta chứng minh: (I Qi ) / I i Ii Qi / Thật vậy: n n Với x Qi Ii Q / x I ta có x i n x , i 1, n Do J Nếu x a,b Ii Q n Ii (Q / i x Qi , i 1, n i n ) Vậy (I Qi ) / I Ii i Qi / n Ii R Qi / với Qi iđêan nguyên sơ thoả mãn ab b Qi Qi ab ab b Qi Qi , ab Qi b Qi i 1, n Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 67 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà Qi Do am am Qi , i 1, n Vậy Qi iđêan I K33C-Toán nguyên a I m am sơ Qi nên tồn m ¥: I iđêan nguyên sơ với i 1, n Do J/I iđêan phân tích I 3.3.5 Mệnh đề: Cho I iđêan phân tích vành giao hoán R Spec R P iđêan nguyên tố cực tiểu I (nghĩa P phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm " AssI , " tập Var(I) ) P phần tử cực tiểu Chứng minh: n Ii Q Cho i với Qi P P i , i 1, n phân tích nguyên sơ cực tiểu I Ta có: P n n Ii I Qi Ii (*) n Qi Ii i n Ii P Theo 2.3.10 ta có P Do (*) nên P I i j:P Pj ,1 j:P Pj ;1 j n P AssI : P j n P Có P iđêan nguyên tố cực tiểu I.Theo lập luận tồn P AssI : P P Mặt khác, AssI theo quan hệ bao hàm " Var I nên P= P phải phần tử cực tiểu AssI " Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 68 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán Có P phần tử cực tiểu AssI Do P I kết có chứng minh hệ 2.3.8) ta có: Luôn tồn iđêan nguyên tố cực tiểu P I cho P P Suy tồn P AssI : P P Do P phần tử cực tiểu AssI nên P P P P P P hay P P iđêan nguyên tố cực tiểu I 3.3.6 - Định lý thứ hai phân tích nguyên sơ: n Cho n Ii Q i với Qi i với Ii Q , i 1, n i Qi i , i 1, n phân tích nguyên sơ cực tiểu I Khi với i( i 1, n ) mà Pi iđêan nguyên tố cực tiểu I Ta có Qi =Qi’ Nói cách khác, phân tích nguyên sơ cực tiểu I, iđêan nguyên sơ tương ứng với iđêan nguyên tố độc lập I xác định I không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân tích nguyên sơ cực tiểu Chứng minh: + Nếu n=1: Hiển nhiên + Nếu n > 1: Cho Pi iđêan nguyên tố cực tiểu I, tồn n a Ij Pj \ Pi Vì không, 2.3.10 tồn j : Pj Pi với j 1, n, j i , j i điều mâu thuẫn với giả thiết Pi iđêan nguyên tố cực tiểu I Với j 1, n, j i tồn h j ¥ : a hi Qj n Cho t ¥ : t max h1, h2 , , hi 1, hi 1, , hn a t Pi a t I Pi i n Vì I : a t I j n Q j : at I Q j : at Qi j Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 69 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà Như với số nguyên t đủ lớn ta có: I : at tự ta có: Qi Vậy Qi K33C-Toán Qi , i 1, n Tương I : at với số nguyên t đủ lớn i 1, n Qi ;i 1, n Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 70 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán PHẦN KẾT LUẬN Khoá luận nghiên cứu số lớp iđêan đặc biệt phân tích nguyên sơ phần tiếp cận số vấn đề Đại số đại tài liệu tham khảo hữu ích với bạn quan tâm môn Đại số Mặc dù em cố gắng thời gian nghiên cứu không nhiều trình độ thân hạn chế nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót định, em kính mong nhận bảo thầy cô giáo, đặc biệt thầy cô khoa Toán cô Nguyễn Thị Kiều Nga với đóng góp bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình cô giáo, thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga , thầy cô giáo khoa Toán, bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thành tốt đẹp Em xin chân thành cảm ơn ! Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 71 Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà K33C-Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Dương Quốc Việt (2006), Một số cấu trúc Đại số đại, Nhà xuất Đại học sư phạm R.Y.Sharp,Steps in Commutative Algebra, Cambridge University press Sergelarg, Đại số - phần 1,2,3 Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Kiều Nga 72 [...]... 2: MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT 2.1 Iđêan hữu hạn sinh: 2.1.1 Tập sinh của iđêan: Cho vành X, tập S X Giao của tất cả các iđêan của X chứa S là iđêan nhỏ nhất của X chứa S và gọi là iđêan của X sinh bởi S Kí hiệu S Đặt S thì S gọi là tập sinh của iđêan B +) Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì B là iđêan hữu hạn sinh Trường hợp đặc biệt: 0 ; và , 2.1.2 Iđêan sinh bởi n phần tử: a) Định nghĩa: Cho X là vành... thoả mãn: J J là iđêan nguyên tố của R nếu và chỉ nếu iđêan J/I là iđêan nguyên tố của vành thương R/I Chứng minh: J là iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi R / J là miền nguyên R Lại có : J R J (theo hệ quả của định lý cơ bản của đồng cấu vành) R Mà R / J là miền nguyên nên J cũng là miền nguyên Vậy J là iđêan nguyên tố 2.4.4 Định nghĩa phổ nguyên tố: Cho R là vành giao hoán Phổ nguyên tố (hay gọi tắt... vị của R (2); (1) và (2) mâu thuẫn nhau Suy ra điều giả sử r Vậy r M , M là iđêan cực đại bất kỳ nên r M là sai Jac( R) 2.4 Iđêan nguyên tố: 2.4.1 Định nghĩa: Cho A là iđêan thực sự của vành giao hoán R A gọi là iđêan nguyên tố của R nếu xy thì x A hoặc y Ví dụ: Z, , là vành giao hoán, ta có: +) p.Z là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi p là số nguyên tố Chứng minh: Ta có p¢ là iđêan nguyên tố của ¢ ... thì xyMp xMp x p¢ suy ra vậy p¢ là iđêan yMp y p¢ Do p là số nguyên tố nên nguyên tố +) 0 là iđêan nguyên tố nhưng không là iđêan cực đại vì 0 n.Z, n ¥ * 2.4.2 Định lý 1: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, A là iđêan nguyên tố của R nếu và chỉ nếu R là một miền nguyên Chứng minh: Giả sử A là iđêan nguyên tố của R, với mọi x, y y Vậy R Với mọi x x y hoặc Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R là 1... là iđêan thực sự của R.Theo hệ quả 1, luôn tồn tại 1 iđêan cực đại 0 R để: a 0 (1) và (2) mâu thuẫn nhau (2) điều giả sử là sai Vậy a là đơn vị của R 2.3.4 Vành địa phƣơng: a) Định nghĩa: +) Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại được gọi là vành địa phương +) Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phương R thì R M là trường và được gọi là trường thương của R b)Ví dụ: Trường R là một vành... iđêan nguyên tố của ¢ Ta phải chỉ ra p là số nguyên tố Giả sử p không là số nguyên tố thì ta có thể phân tích p thành: p với p1, p2 ¢ \ {1} Do p= p1.p2 ¢ , mà p¢ là iđêan nguyên tố nên ta có suy ra p1 p2 (1) p1 p¢ p2 p¢ p1 Mp p2 Mp (2) (1) và (2) mâu thuẫn nhau Vậy giả sử sai hay p là số nguyên tố Ngược lại, có p là số nguyên tố, ta phải chứng minh p¢ là iđêan nguyên tố Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn... 3Z là 2 iđêan của Z Khi đó : x Z x.3Z 2¢ x Z 3xM 2 x Z xM 2 2Z 2.3 Iđêan cực đại : 2.3.1 Định nghĩa: Iđêan A của vành giao hoán R được gọi là iđêan cực đại nếu thoả mãn 2 điều kiện sau: R (i) (ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A Ø B thì B=R Ví dụ : ¢ là vành giao hoán có p¢ là iđêan cực đại khi và chỉ khi p là số nguyên tố Chứng minh: Mọi iđêan của vành ¢ đều có dạng n¢ với n ¢ ) Có p¢ là iđêan cực... Chứng minh: Do I là iđêan thực sự của R nên vành thương R định lý trên thì R không tầm thường Theo có iđêan cực đại và iđêan cực đại phải có dạng M đúng một iđêan M của R thoả mãn M với Ta lại có : R R/ M (theo hệ quả định lý cơ bản tổng quát của đồng cấu vành) là iđêan cực đại nên R là 1 trường Suy ra R M cũng là 1 trường Vậy M là iđêan cực đại của R và Hệ quả 2: Cho R là vành giao hoán, a R Khi... nguyên tố (hay gọi tắt là phổ) của R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của R Kí hiệu: Spec(R) 2.4.5 Định lý: Cho I là một iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị R và S là tập con nhân đóng của R sao cho: {J là iđêan của R | J và các phần tử cực đại của Khi đó tập: S ,J } có ít nhất một phần tử cực đại S là iđêan nguyên tố của R Chứng minh: {J là iđêan của R | J ,J S } là tập sắp thứ tự bộ phận cùng... có thể đưa ra định nghĩa tích của một họ các iđêan của R như sau: e) Tích một họ các iđêan : +) Định nghĩa: Cho 1 , 2 , , là 1 họ các iđêan của vành giao hoán R Khi đó tích các n n iđêan đã cho, kí hiệu: i , là 1 iđêan của R sinh bởi tập: i 1 L a1.a2 an ai i , i 1, n n n +) Biểu diễn phần tử : a1 j a2 j anj aij i i , i 1, n, j 1, m i 1 i 1 +) Nhận xét : i) Với I, J, K là các iđêan của R ta có : I(J+K)=IJ+IK ... 2.6 Mối liên hệ iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại 2.6.1 Định lý: i) Một iđêan cực đại iđêan nguyên tố ii) Một iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ Chứng minh: i) Cho R vành giao hoán... nguyên sơ Chú ý : Chiều ngược lại định lý không đúng: ¢ - Miền nguyên, A iđêan ¢ A n¢ Khi n số nguyên tố n¢ iđêan nguyên tố +) Có 32 ¢ iđêan nguyên sơ không iđêan nguyên tố +) iđêan nguyên tố... 2: MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT 2.1 Iđêan hữu hạn sinh: 2.1.1 Tập sinh iđêan: Cho vành X, tập S X Giao tất iđêan X chứa S iđêan nhỏ X chứa S gọi iđêan X sinh S Kí hiệu S Đặt S S gọi tập sinh iđêan