B GIO DC V O TO I HC THI NGUYấN BI VIT HNG XC NH QUY LUT BIấN PHI TUYN V XC NH NGUN TRONG CC QU TRèNH TRUYN NHIT Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 62 46 01 02 TểM TT LUN N TIN S TON HC THI NGUYấN2015 Lun ỏn c hon thnh ti: Trng i hc S phm, i hc Thỏi Nguyờn Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH inh Nho Ho Phn bin 1: Phn bin 2: Phn bin 3: Lun ỏn c bo v trc Hi ng chm Lun ỏn cp i hc hp ti Trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn Vo hi .gi ngy thỏng nm Cú th tỡm lun ỏn ti: - Th vin Quc gia H Ni - Trung tõm hc liu i hc Thỏi Nguyờn - Th vin trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn M u Cỏc quỏ trỡnh truyn nhit hay khuch tỏn thng c mụ hỡnh húa bng bi toỏn biờn cho phng trỡnh parabolic: vt lý, h s ca phng trỡnh, iu kin ban u v iu kin biờn c bit, ngi ta nghiờn cu bi toỏn biờn ny v da vo nghim ca bi toỏn a mt d oỏn v hin tng ang nghiờn cu õy l bi toỏn thun cho quỏ trỡnh m ta ang xột Tuy nhiờn, thc t, nhiu vt lý, hoc h s ca phng trỡnh, hoc iu kin biờn, iu kin ban u khụng c bit c th m ta phi xỏc nh chỳng qua cỏc o c giỏn tip, qua ú nghiờn cu li quỏ trỡnh õy chớnh l nhng bi toỏn ngc vi bi toỏn thun c núi trờn v l ch sụi ng mụ hỡnh húa toỏn hc v lý thuyt phng trỡnh vi phõn hn 100 nm qua Hai iu kin quan trng mụ hỡnh húa mt quỏ trỡnh truyn nhit ú l quy lut trao i nhit trờn biờn v ngun C hai iu kin ny u tỏc ng bờn ngoi v khụng phi lỳc no cng c bit trc, ú nhng trng hp ny, ta phi xỏc nh chỳng qua cỏc o c giỏn tip v ú l ni dung ca lun ỏn ny Lun ỏn gm hai phn, phn u nghiờn cu bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit (núi chung l phi tuyn) trờn biờn qua o c trờn biờn v phn th hai nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun (to quỏ trỡnh truyn nhit hay khuch tỏn) qua cỏc quan sỏt khỏc Trong phn u ca lun ỏn ny, c th Chng 1, chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn ngc xỏc nh hm g(ã, ã) (tc quy lut trao i nhit trờn biờn) bi toỏn giỏ tr biờn ban u Q, ut u = u(x, 0) = u0 (x) , (0.6) u = g(u, f ) trờn S, t iu kin quan sỏt b sung u(0 , t) = h(t), t [0, T ] (0.4) Quan sỏt theo tng im (0.4) thng khụng cú ý ngha nghim ca (0.6) c hiu theo ngha nghim yu Do ú, lun ỏn chỳng tụi s thay th quan sỏt ny bi cỏc quan sỏt sau 1) Quan sỏt trờn mt phn ca biờn u| = h(x, t), (x, t) , (0.7) vi = ì (0, T ], l mt phn ca cú o khỏc 0; 2) Quan sỏt tớch phõn biờn lu := (0.8) t (0, T ], (x)u(x, t)dS = h(t), ú l hm khụng õm, xỏc nh trờn , L1 () v (x)dS > Chỳng tụi lu ý rng, nu ta chn hm nh l xp x ca hm Dirac thỡ cỏc quan sỏt (0.8) cú th coi l trung bỡnh ca quan sỏt (0.4) Quan sỏt tớch phõn l la chn thay th cho quan sỏt o c theo tng im (khi thit b o c cú dy khỏc 0) v bi toỏn ngc s c gii mt cỏch d dng hn nh phng phỏp bin phõn Ngoi vi cỏch t bi toỏn nh trờn, ta ch cn s cn o c mt phn ca biờn l cú th xỏc nh c quy lut truyn nhit trờn biờn, õy l mt iu quan trng thc t Trong mi bi toỏn, chỳng tụi trỡnh by mt vi kt qu ó bit v bi toỏn thun (0.6), s dng phng phỏp bin phõn gii bi toỏn ngc v chng minh s tn ti nghim ca bi toỏn ti u húa, cng nh a cụng thc tớnh gradient ca phim hm cn cc tiu húa; phn cui cựng mi mc, chỳng tụi dnh trỡnh by v tho lun v phng phỏp s gii cỏc bi toỏn trờn Phn th hai ca lun ỏn dnh cho bi toỏn xỏc nh ngun quỏ trỡnh truyn nhit Bi toỏn ny c nhiu nh khoa hc nghiờn cu vũng hn 50 nm qua Mc dự cú khỏ nhiu kt qu v tớnh tn ti, nht v ỏnh giỏ n nh cho bi toỏn, nhng tớnh t khụng chnh v cú th phi tuyn ca bi toỏn, nờn thi gian gn õy ó cú rt nhiu nh toỏn hc v k s ó t li nghiờn cu chỳng C th, gi s Rn l Lipschitz, gii ni vi biờn Ký hiu Q := ì (0, T ], vi T > v biờn S = ì (0, T ] Gi s aij , i, j {1, 2, , n}, b L (Q), aij = aji , i, j {1, 2, , n}, n Rn aij (x, t)i j Rn , Rn , i,j=1 b(x, t) à1 , hu khp Q, u0 L2 (), , L2 (S), v l cỏc hng s dng v à1 Xột bi toỏn giỏ tr ban u u t n i,j=1 xi aij (x, t) u xj + b(x, t)u = F, (x, t) Q, u|t=0 = u0 (x), vi iu kin biờn Robin u + u|S = trờn S, N x , hoc iu kin biờn Dirichlet u|S = trờn S õy, u |S := N n (aij (x, t)uxj ) cos(, xi )|S , i,j=1 l vect phỏp tuyn ngoi i vi S v L (S), c gi thit l khụng õm hu khp ni trờn S Bi toỏn thun l bi toỏn xỏc nh u cỏc h s ca phng trỡnh (2.7) v cỏc d kin u0 , (hoc ) cng nh F ó cho Bi toỏn ngc l bi toỏn xỏc nh v phi F mt s iu kin b sung lờn li gii u c cho thờm vo Ph thuc vo cu trỳc ca F v cỏc quan sỏt b sung ca u, ta cú cỏc bi toỏn ngc khỏc nh sau: Bi toỏn ngc (IP) 1: F (x, t) = f (x, t)h(x, t) + g(x, t), tỡm f (x, t), u c cho trờn Q Mt s tỏc gi ó nghiờn cu bi toỏn ny nh Vabishchevich (2003), Lavrentev v Maksimov (2008) IP2: F (x, t) = f (x)h(x, t)+g(x, t), h v g ó bit Tỡm f (x), u(x, T ) c cho Cỏc tỏc gi nh Hasanov (2012, 2014), Iskenderov (1976, 1979), Kamynin (2003) v Rundell (1980), ó nghiờn cu bi toỏn ny Ngoi ra, Goldman ó nghiờn cu cỏc bi toỏn ngc tng t cho phng trỡnh phi tuyn IP2a: F (x, t) = f (x)h(x, t) + g(x, t), h v g ó bit Tỡm f (x), nu (t)u(x, t)dx c bit õy, thuc L (0, T ) v khụng õm Ngoi T ra, (t)dt > Cỏc quan sỏt dng ny c gi l quan sỏt tớch phõn v chỳng l m rng ca quan sỏt ti thi im cui T IP2, l xp x hm ti t = T Bi toỏn ny ó c Erdem (2013), Kamynin (2005),Orlovskii (1991) v Prilepko (1987, 2003) nghiờn cu IP3: F (x, t) =f (t)h(x, t)+g(x, t), h and g ó cho Tỡm f (t), nu u(x0 , t) c bit õy, x0 l mt im thuc Borukhov v Vabishchevich (1998, 2000), Farcas v Lesnic (2006), Prilepko v Solovev (1987) ó nghiờn cu bi toỏn ny IP3a: F (x, t) = f (t)h(x, t) +g(x, t), h v g ó cho Kriksin v cỏc cng s (1995), Orlovskii (1991) ó xột bi toỏn tỡm f (t), nu (x)u(x, t)dx c bit õy, L () vi (x)dx > IP4: F (x, t) = f (x)h(x, t) + g(x, t), h v g ó cho Tỡm f (x) nu mt iu kin b sung trờn biờn ca u c bit Vớ d, nh iu kin Dirichlet ó cho, ta cú th ly d kin b sung l iu kin Neumann c cho trờn mt phn ca S Cỏc kt qu cho bi toỏn ny cú th c tỡm thy cỏc cụng trỡnh ca Cannon v cng s (1968, 1976, 1998), ca Choulli v Yamamoto (2004, 2006), v ca Yamamoto (1993, 1994) Bi toỏn tng t xỏc nh f (t) vi F (x, t) = f (t)h(x, t) + g(x, t) ó c cp cụng trỡnh ca Hasanov v cng s (2003) IP5: Tỡm ngun im vi quan sỏt trờn biờn vi s úng gúp ca cỏc tỏc gi Andrle (2011, 2015), El Badia (2002, 2005, 2007), inh Nho Ho (1992, 1994, 1998), Mt bi toỏn liờn quan cng ó c Hettlich v Rundell (2001) nghiờn cu Ta ý rng, cỏc bi toỏn ngc IP1, IP2, IP2a xỏc nh f (x, t) v f (x) ta phi ũi hi li gii u c bit trờn ton vt lý - iu ny khú cú th thc hin c thc t khc phc khim khuyt ny, chỳng tụi tip cn n bi toỏn ngc ny t mt quan im khỏc: o c u ti mt s im (hoc im biờn) x1 , x2 , , xN (hoc trờn ) v t cỏc d kin ny xỏc nh v phi F Vỡ cỏc o c bao gi cng phi ly trung bỡnh, nờn vi cỏch tip cn ny ta cú cỏc d kin sau: li u = i (x)u(x, t)dx = hi (t), hi L2 (0, T ), i = 1, 2, , N, vi i L () v i (x)dx > 0, i = 1, 2, , N , l cỏc hm trng, cũn N l s cỏc o c Ngoi ra, rừ rng rng, nu ta ch cú cỏc d kin li u, thỡ ta s khụng cú tớnh nht nghim ca bi toỏn, tr trng hp ta xỏc nh f (t) IP3, IP3a (cú th xem cỏc bi bỏo ca Borukhov v Vablishchevich (1998, 2000), ca Prilepko v Solovev (1987)) Bi vy, cú tớnh nht, ta gi thit rng, ta cú mt d oỏn f ca f - gi thit thng t gii cỏc bi toỏn thc t Túm li bi toỏn ngc cỏc tip cn mi ca chỳng tụi nh sau: Gi s ta o c cỏc d kin li u = hi (t), i = 1, 2, , N, vi mt sai s no ú v mt c lng f ca f ó c bit Xỏc nh f Ta s gii bi toỏn ngc ny bng phng phỏp bỡnh phng ti thiu: cc tiu húa phim hm J (f ) = N li u hi i=1 L2 (0,T ) + f f , vi l tham s hiu chnh, ã l chun thớch hp Chỳng tụi mun nhn mnh rng, phng phỏp bin phõn dng ny ó c inh Nho Ho s dng gii cỏc bi toỏn truyn nhit ngc v chng t nú rt hu hiu Chỳng tụi chng minh rng, phim hm ny kh vi Frộchet v a cụng thc cho gradient ca phim hm thụng qua mt bi toỏn liờn hp Sau ú chỳng tụi s ri rc bi toỏn bng phng phỏp phn t hu hn v phng phỏp sai phõn ri gii bi toỏn ti u ri rc bng phng phỏp gradient liờn hp Trng hp xỏc nh f (t) s c gii bng phng phỏp phõn ró (splitting method) Cỏc kt qu s cho thy cỏch tip cn ca chỳng tụi l ỳng n v phng phỏp gii s l hu hiu Chng Xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt trờn biờn 1.1 Mt s kin thc b tr Cho Rn , n l Lipschitz b chn cú biờn l := , T > l mt s thc, Q = ì (0, T ) Xột bi toỏn giỏ tr biờn ban u phng trỡnh parabolic tuyn tớnh yt y + c0 y = f Q, (1.1) y + y = g trờn = ì (0, T ), y(ã, 0) = y0 (ã) Trong ú, ta gi thit rng c0 , , f , g l cỏc hm ph thuc (x, t) tha c0 L (Q), L () cho (x, t) vi hu ht (x, t) v cỏc hm f L2 (Q), g L2 (), y0 L2 () nh ngha 1.1 Kớ hiu H 1,0 (Q) l khụng gian nh chun gm tt c cỏc hm y L2 (Q) cú o hm riờng yu cp mt theo bin x1 , ã ã ã , xn thuc L2 (Q) vi chun T y H 1,0 (Q) 1/2 |y(x, t)|2 + |y(x, t)|2 dxdt = nh ngha 1.2 Khụng gian H 1,1 (Q) c nh ngha H 1,1 (Q) = y L2 (Q) : yt L2 (Q) v Di y L2 (Q), i = 1, ã ã ã , n , l khụng gian nh chun vi chun xỏc nh nh sau T y H 1,1 (Q) |y(x, t)|2 + |y(x, t)|2 + |yt (x, t)|2 dxdt = 1/2 nh ngha 1.5 Cho V l mt khụng gian Hilbert Kớ hiu W (0, T ) l khụng gian tuyn tớnh gm tt c cỏc hm y L2 (0, T ; V ), cú o hm (theo ngha phõn b) y L2 (0, T ; V ) vi chun xỏc nh bi T y W (0,T ) = y(t) V + y (t) V 1/2 dt Khụng gian W (0, T ) = y : y L2 (0, T ; V ), y L2 (0, T ; V ) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng T u, v W (0,T ) = T u(t), v(t) V u (t), v (t) + 0 V dt 1.2 Bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt tớch phõn trờn biờn 1.2.1 Bi toỏn thun Xột bi toỏn giỏ tr biờn - ban u ut u = Q, u(x, 0) = u0 (x) , u = g(u, f ) (1.8) trờn S õy, hm g : I ìI R (vi I R) c gi s l liờn tc Lipschitz, n iu gim theo bin u, n iu tng theo bin f v tha iu kin g(u, u) = cũn u0 v f l cỏc hm s cho trc cú giỏ tr l I , thuc vo khụng gian L2 () v L2 (S) Nu hm g tha iu kin trờn thỡ ta kớ hiu g A nh ngha 1.6 Cho u0 L2I () v hm f L2I (S) Hm u HI1,0 (Q) c gi l nghim yu ca bi toỏn (1.8) nu hm g(u, f ) L2 (S) v vi mi hm th H 1,1 (Q) tha (., T ) = 0, u(x, t)t (x, t) + u(x, t) ã (x, t) dxdt Q = g(u(x, t), f (x, t)) (x, t)dSdt (1.9) u0 (x)(x, 0)dx + S Trong ú, khụng gian L2I (S) gm tt c cỏc hm y L2 (S) v cú xỏc nh l I Kt qu sau c Schmidt chng minh vo nm 1989: nh lý 1.6 Cho J l khong ca I tha hm g(u, f ) liờn tc Lipschitz u trờn J ì J Khi ú vi mi hm u0 L2J () v hm f L2J (S), bi toỏn (1.8) cú nht nghim yu nhn mnh s ph thuc ca nghim u(x, t) vo hm g , ta kớ hiu nú l u(x, t; g) hoc u(g) thay vỡ u Trong phn tip theo, chỳng tụi chng minh ỏnh x u bin g thnh u(g) kh vi Frộchet lm c iu ú, trc tiờn chỳng tụi chng minh u(g) liờn tc Lipschitz Gi A1 l tt c cỏc hm g(u, f ) kh vi liờn tc theo bin u I Ta cú ỏnh giỏ sau B 1.1 Cho hm g , g A1 tha g g A cũn u1 , u2 l nghim ca bi toỏn (1.8) tng ng vi iu kin biờn g , g Gi s u0 L2I () v f L I (S) Khi ú, tn ti mt hng s c cho u1 u2 W (0,T ) + u1 u2 C(Q) c g1 g2 L I (IìI) nh lý 1.9 Cho u0 L2I (), f L I (S) v g A1 Khi ú, ỏnh x bin g thnh u(g) kh vi Frộchet v vi bt kỡ g, g + z A1 ta cú lim z 1.2.2 L (IìI) u(g + z) u(g) z C (I) W (0,T ) (1.16) = Bi toỏn bin phõn Ni dung ca phng phỏp bin phõn l tỡm cc tiu ca phim hm J(g) = lu(g) h 2 L2 (0,T ) trờn A1 (1.20) nh lý 1.10 Phim hm J(g) kh vi Frộchet trờn A1 v gradient c tớnh theo cụng thc J(g)z = (1.21) z(u(g))(x, t)dSdt, S ú, (x, t) l nghim ca bi toỏn liờn hp t = (x, T ) = = g u (u(g)) + (x) (x)u(g)|S dS h(t) Q, , trờn S Trong phỏt biu di õy, chỳng tụi ch iu kin cn ca cc tr cho phim hm J(g) nh lý 1.11 Gi s g A1 l cc tiu ca phim hm (1.20) trờn A1 Khi ú, bt kỡ z = g g A1 , J(g )z = z(u (g ))(x, t; g )dSdt 0, (1.23) S vi u l nghim ca bi toỏn (1.8), (x, t; g ) l nghim ca bi toỏn liờn hp ng vi iu kin biờn g = g Tip theo, chỳng tụi chng minh s tn ti cc tiu ca bi toỏn bin phõn (1.20) trờn chp nhn c S dng k thut ca Răosch a vo nm 1992, chỳng tụi xột A2 := g C 1, [I], m1 g(u) M1 , M2 g(u) 0, u I, sup u1 ,u2 I |g u (u1 ) g u (u2 )| C |u1 u2 | õy, , m1 , M1 , M2 v C l cỏc hng s cho trc Gi s u0 C () vi hng s no ú thuc (0, 1] Th thỡ, theo Raymond J.P v Zidani H., ta cú u C ,/2 (Q) vi (0, 1) t Tad := (g, u(g)) : g A2 ; u C ,/2 (Q) B 1.2 Tp Tad l tin compact khụng gian C [I] ì C(Q) nh lý 1.12 Tp Tad úng khụng gian C [I] ì C(Q) nh lý 1.13 Bi toỏn tỡm cc tiu ca phim hm J(g) trờn A1 cú ớt nht mt nghim 1.2.3 Vớ d s gii s bi toỏn (1.8) vi quan sỏt tớch phõn (0.8) chỳng tụi s dng phng phỏp phn t biờn gii bi toỏn thun v bi toỏn liờn hp, s dng phng phỏp lp GaussNewton tỡm cc tiu ca phim hm (1.20) Chỳng tụi th nghim thut toỏn cho hai chiu = (0, 1) ì (0, 1), T = v nghim chớnh xỏc c cho bi uexact (x, t) = |x x0 |2 100 exp 4t 4t , (1.32) ú x0 = (2, 2) Ta nhn thy rng t phng trỡnh (1.32), cc tiu ca u t ti t = vi kin ban u u(x, 0) = u0 (x) = 0, cc i ca uexact t ti t = T = v x = (0, 0), tc l u((0, 0), 1) = 100 e Do ú, trng hp ny, chỳng tụi chn khong thi gian [A, B] = [0, 100 e ] Chỳng tụi xột cỏc vớ d cú ý ngha vt lý nh tỡm li quy lut truyn nhit tuyn tớnh ca Newton v quy lut bc x nhit phi tuyn bc bn iu kin biờn cú dng u = g(u) gexact (f ), trờn S, vi d kin u vo f cho trc c xỏc nh bi f= uexact + uexact , trờn S Trong trng hp tuyn tớnh iu kin biờn tuyn tớnh ta cú gexact (f ) = f vi f= uexact + u4exact 1/4 , trờn S Trong trng hp iu kin biờn phi tuyn ta cú gexact (f ) = f Bng tớnh toỏn trc tip, ta cú cc tr ca hm f c xỏc nh nh trờn trờn S l [m := minS f ; M := maxS f ] [A, B] = [0, 100 e ] Theo H qu 1.7.2, ta bit rng m u M , hn na cỏc cn trờn M v cn di m b chn cỏc d kin u vo u0 v f c cho trc 11 vi iu kin quan sỏt lu() := (1.47) t (0, T ], (x)u(x, t)dS = h(t), trờn chp nhn c A2 Trong ú u l nhit mụi trng xung quanh v c gi s bng mt hng s cho trc nh ngha 1.7 Mt hm u H 1,0 (Q) c gi l nghim yu ca bi toỏn (1.46) nu vi mi hm H 1,1 (Q) tha (ã, T ) = 0, u(x, t)t (x, t) + u(x, t) ã (x, t) dxdt = Q u0 (x)(x, 0)dx (u(, t))(u u(, t))(, t)ddt + (1.48) S Chỳng tụi xột bi toỏn tỡm cc tiu ca phim hm J() = lu() h 2 L2 (0,T ) , (1.49) trờn A2 S tn ti nghim ca bi toỏn bin phõn (1.49) c Răosch chng minh thụng qua vic ch ỏnh x bin C (I) vo u() C(Q) kh vi Frộchet õy, I := u , inf u0 (x) , max u , sup u0 (x) x x nh lý 1.15 Phim hm J() kh vi Frộchet trờn A2 v gradient c tớnh theo cụng thc z(u()) u u() (x, t)dSdt, J ()z = (1.52) S ú (x, t) l nghim ca bi toỏn liờn hp Chỳng tụi mun nhn mnh thờm rng, phng phỏp ca chỳng tụi cú th ỏp dng tỡm h s truyn nhit (u) Tuy nhiờn, gii hn di ca lun ỏn, chỳng tụi khụng trỡnh by cỏc kt qu s cho trng hp ny Chng Xỏc nh ngun bi toỏn truyn nhit t quan sỏt trờn biờn Trong chng ny chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun t cỏc quan sỏt tớch phõn bng phng phỏp bin phõn Gi s Rn l Lipschitz, gii ni vi biờn Ký hiu Q := ì (0, T ], vi T > v biờn S = ì (0, T ] Gi s aij , i, j {1, 2, , n}, b L (Q), aij = aji , i, j {1, 2, , n}, (2.1) (2.2) n Rn aij (x, t)i j Rn , Rn , (2.3) i,j=1 hu khp Q, b(x, t) à1 , u0 L (), (2.4) (2.5) (2.6) , L (S), v l cỏc hng s dng v à1 Xột bi toỏn giỏ tr ban u u t n i,j=1 xi aij (x, t) u xj + b(x, t)u = F, (x, t) Q, u|t=0 = u0 (x), x , (2.7) (2.8) vi iu kin biờn Robin u + u|S = trờn S, N (2.9) hoc iu kin biờn Dirichlet u|S = trờn S õy, u |S := N n (aij (x, t)uxj ) cos(, xi )|S , i,j=1 12 (2.10) 13 l vector phỏp tuyn ngoi i vi S v L (S), c gi thit l khụng õm hu khp ni trờn S Gi s i L () v i (x)dx > 0, i = 1, 2, , N , l cỏc hm trng v ta cú cỏc d kin sau: li u = hi L2 (0, T ), i (x)u(x, t)dx = hi (t), i = 1, 2, , N (2.11) Ngoi gi s rng, v phi F cú dng F = f h(x, t) + g(x, t) (f cú dng f (x, t), f (x) hoc f (t)) v ta cú mt c lng f ca f Trong chng ny chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn xỏc nh f t cỏc d kin trờn 2.1 Phng phỏp bin phõn Trong mc ny chỳng tụi ch xột trng hp bi toỏn Robin (2.7)(2.9) Trng hp bi toỏn Dirichlet (2.7), (2.8), (2.10) vi iu kin biờn (2.10) thun nht cng tng t Li gii ca bi toỏn Robin (2.7)(2.8) c hiu theo ngha yu nh sau: Gi s F L2 (Q), li gii yu W (0, T ) ca bi toỏn (2.7)(2.9) l hm s u(x, t) W (0, T ) tha ng thc n T (ut , )(H ()) ,H () dt + aij (x, t) Q + uddt = S i,j=1 F dxdt + Q u + b(x, t)u dxdt xi xj L2 (0, T ; H ()), ddt, S v u(x, 0) = u0 (x), (2.12) x Vỡ li gii u(x, t) ca (2.7)(2.9) ph thuc vo f (x, t), ta kớ hiu nú l u(x, t; f ) hoc u(f ) nhn mnh s ph thuc ca nú vo f xỏc nh f , ta ti thiu húa phim hm N J0 (f ) = i=1 li u(f ) hi 2 L2 (0,T ) , (2.14) trờn L2 (Q) Tuy nhiờn, bi toỏn ti thiu húa ny khụng n nh v cú th cú nhiu li gii Bi vy thay vo ú, chỳng tụi ti thiu húa phim hm Tikhonov N J (f ) = i=1 li u(f ) hi 2 L2 (0,T ) + f f 2 L2 (Q) , (2.15) vi > l tham s hiu chnh Tikhonov, f L2 (Q) l mt d oỏn ca f D thy rng nu > 0, thỡ bi toỏn ti thiu húa ny cú li gii 14 nht.Chỳng tụi chng minh phim hm J kh vi Frộchet v a cụng thc cho o hm ca nú Vi mc ớch ú, ta xột bi toỏn liờn hp n n p p aij (x, t) + b(x, t)p = i (x) (li u hi ) , (x, t) Q, t x x i,j=1 j i i=1 p + (x, t)p = 0, N p(x, T ) = 0, (x, t) S, x (2.16) Vỡ i li u hi v phi ca phng trỡnh u (2.16) thuc L (Q) Bng cỏch thay i chiu thi gian, d thy bi toỏn liờn hp cú nghim nht W (0, T ) nh lý 2.1 Phim hm J kh vi Frộchet v o hm ca nú J ti f cú dng J (F ) = h(x, t)p(x, t) + (f (x, t) f (x, t)), (2.17) L2 (), L2 (0, T ), vi p(x, t) l li gii ca bi toỏn liờn hp (2.16) Nhn xột 2.1 Trong nh lý ny chỳng tụi vit phim hm Tikhonov cho trng hp F (x, t) = f (x, t)h(x, t) + g(x, t) Khi F cú cu trỳc khỏc, thỡ phim hm cn thay i tng ng C th, nu F (x, t) = f (t)h(x, t) + g(x, t), thỡ phim hm pht l f f J0 (f ) = L2 (0,T ) v h(x, t)p(x, t)dx F (x, t) = f (x)h(x, t) + g(x, t), thỡ phim hm pht l f f L2 () v T J0 (f ) = h(x, t)p(x, t)dt tỡm im cc tiu ca (2.15), chỳng tụi s dng phng phỏp gradient liờn hp Thut toỏn c thc hin nh sau: Bc 1: Cho k = 0, chn xp x ban u f Bc 2: Tớnh r0 = J (f ), t d0 = r0 Bc 3: Tớnh r0 = N i=1 A i d0 L2 (Q) L2 (0,T ) + d0 L2 (Q) t f = f + d0 Bc 4: Cho k = 1, 2, ã ã ã Tớnh rk = J (f k ), vi k = dk = rk + k dk1 L2 (Q) rk1 2L2 (Q) rk 15 Bc 5: Tớnh k = rk N i=1 Ai dk L2 (Q) L2 (0,T ) L2 (Q) + dk Cp nht f k+1 = f k + k dk 2.2 Phng phỏp phn t hu hn Trc ht, chỳng tụi vit li toỏn t quan sỏt di dng lk u(f ) = lk u[f ] + lk u(u0 , ) = Ak f + lk u(u0 , ), ú Ak : L2 (Q) L2 (0, T ) l cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn, k = 1, , N Khi ú, phim hm J (f ) cú dng N J (f ) = k=1 N = k=1 N = k=1 lk u[f ] + lk u(u0 , ) hk Ak f + lk u(u0 , ) hk Ak f hk 2 L2 (0,T ) + L2 (0,T ) L2 (0,T ) f f + + f f f f 2 L2 (Q) L2 (Q) L2 (Q) Nghim f ca bi toỏn ti thiu húa (2.15) c biu din bi iu kin ti u bc nht nh sau N Ak (Ak f hk ) + (f f ) = (2.20) k=1 õy, Ak : L2 (0, T ) L2 (Q) l toỏn t liờn hp ca Ak c xỏc nh bi Ak q = pk , ú pk l nghim ca bi toỏn liờn hp d p pk pk k aij (x, t) + b(x, t)pk = k (x)q(t), (x, t) Q, t i,j=1 xj xi (2.21) pk + (x, t)p = 0, (x, t) S, k pN(x, T ) = 0, x k Chỳ ý rng, õy chỳng tụi chia bi toỏn liờn hp (2.16) thnh N bi toỏn c lp (2.21) Theo nguyờn lý chng cht tuyn tớnh, liờn hp p cú dng N k=1 pk Chỳng tụi s xp x phng trỡnh (2.20) bng phng phỏp phn t hu hn (FEM) Thc t, chỳng tụi s xp x Ak v Ak 16 2.2.1 Xp x phn t hu hn ca Ak , Ak , k = 1, , N Gi s rng l mt a din, chỳng tụi chia thnh cỏc tam giỏc ta u Th v xỏc nh khụng gian cỏc phn t hu hn tuyn tớnh tng khỳc Vh H () nh sau Vh = {vh : vh C(), vh |K P1 (K), K Th } (2.22) õy, P1 (K) l khụng gian cỏc a thc tuyn tớnh phn t K Chỳng tụi chia [0, T ] bi cỏc im chia = t0 < t1 < < tM , ú tn = n , n = 0, 1, , M vi c li = T /M t d n anij (x) a (v, w) := i,j=1 v w dx + xj xi bn (x)v(x)w(x)dx + n ()v()w()d, vi v, w H () v vi mi hm (x, t), ta xỏc nh n (x) := (x, tn ) Khi ú, an (ã, ã) : H () ì H () R l mt dng song tuyn tớnh b chn v H ()-elliptic, tc l, an (v, v) C1a v H () v H () Tip theo, chỳng ta xỏc nh h xp x ri rc y FE ca bi toỏn bin phõn (2.12) bng phng phỏp Euler-Galerkin lựi nh sau: Tỡm unh Vh vi n = 1, 2, , M tha dt unh , L2 () + an (unh , ) = F n , v u0h , ú dt unh := L2 () L2 () = u0 , + n , L2 () , L2 () , Vh (2.23) (2.24) Vh , unh un1 h , n = 1, 2, , M t Bi toỏn biờn phõn ri rc (2.23) cha mt nghim nht unh Vh t uh (x, t) l ni suy tuyn tớnh ca unh theo bin t Do ú, bi toỏn ri rc ca bi toỏn iu khin ti u (2.15) c vit di dng N J,h (f ) = k=1 Ak,h f hk,h 2 L2 (0,T ) + f f 2 L2 (Q) (2.25) õy, quan sỏt tớnh toỏn lk uh (f ) = lk uh [f ] + lk uh (u0 , ) = Ak,h f + lk uh (u0 , ) v hk,h = lk uh (u0 , ) hk Nghim ca bi toỏn ti u (2.25) c mụ t bi ng thc bin phõn N Ak,h (Ak,h f hk,h ) + (f f ) = 0, k=1 (2.26) 17 vi Ak,h l toỏn t i ngu ca toỏn t tuyn tớnh Ak,h , k = 1, , N Vi xp x FE ca bi toỏn (2.21) ta xỏc nh mt xp x Ak,h q = pk,h ca Ak q Hn na, thay cho quan sỏt hk ta ch dựng hkk tha hkk hk L2 (0,T ) for k = 1, , N k (2.27) Khi ú, ta cú bi toỏn bin phõn sau N k Ak,h (Ak,h fh hk,h ) + (fh f ) = 0, (2.28) k=1 k ú hk,h = lk uh (u0 , ) hkk , k = 1, , N 2.2.2 S hi t Cho d a(u, v) := aij (x, t) i,j=1 u v dx+ xj xi b(x, t)u(x, t)v(x)dx+ (, t)u(, t)v()d, vi u W (0, T ), v H () Ta nh ngha nghim yu u(x, t) W (0, T ) ca bi toỏn (2.7)-(2.9) tha ng thc bin phõn ut , v L2 () + a(u, v) = F, v L2 () + , v L2 () , v H (), t (0, T ), (2.29) v (2.30) x u(x, 0) = u0 (x), Vi H () ta nh ngha phộp chiu elliptic Rh : H () Vh nh l nghim nht ca bi toỏn bin phõn a(Rh , vh ) = a(, vh ) (2.31) vh Vh õy theo Thomộe V., ta cú ỏnh giỏ sai s nh sau Rh L2 () C h2 H () H () (2.32) B 2.1 Cho u l nghim nht ca bi toỏn bin phõn (2.29)-(2.30) v unh Vh vi n = 1, 2, , M l nghim ca (2.23)-(2.24) Khi ú, ta cú ỏnh giỏ ||uh Rh u|| (0,T ;H ()) C h2 ut L2 (0,T ;H ()) + t utt L2 (0,T ;L2 ()) + h2 u0 H () (2.33) vi 1/2 M ||w|| (0,T ;H ()) := wn t n=1 H () , 18 B 2.2 Cho uh (x, t) v (Rh u)(x, t) tng ng l phộp ni suy tuyn tớnh ca unh v Rh un i vi bin t Khi ú ta cú ỏnh giỏ sai s nh sau uh Rh u L2 (0,T ;H ()) = O(h2 + t) (2.36) Nh ta ó bit, theo xp x chun ta cú Rh u u L2 (Q) = O(h2 + (t)2 ) (2.37) S dng bt ng thc tam giỏc ta thu c uh u = O(h2 + t) L2 (Q) Khi ú, ta cú th ỏnh giỏ quan sỏt o c nh sau T L2 (0,T ) lk uh (f ) lk u(f ) [lk uh (f ) lk u(f )]2 dt = T k (x)[uh (x, t) u(x, t)]dx = dt T k2 (x)dx k L2 () = uh u [uh (x, t) u(x, t)]2 dx dt L2 (Q) , hoc lk uh (f ) lk u(f ) L2 (0,T ) k L2 () uh u L2 (Q) C(h2 + t) Vỡ vy ta cú th kt lun v cỏc kt qu hi t nh sau (Ak,h Ak )f L2 (0,T ) = O(h2 +t) v (Ak,h Ak )q L2 (Q) = O(h2 +t), (2.38) vi mi f L2 (Q), q L2 (0, T ) Bng k thut nh chng minh ca inh Nho Ho v Phan Xuõn Thnh ta cú th chng minh rng vi > thỡ fh f 2.2.3 L2 (Q) = O(h2 + t + ), = 12 + 22 + + N (2.39) Vớ d s Trong cỏc vớ d s, chỳng tụi chn = (0, 1) ì (0, 1), T = v aij (x, t) = ij , b(x, t) = 1, (x, t) = Nghim chớnh xỏc c xỏc nh bi u(x, t) = et (x1 x21 ) sin x2 Chỳng tụi th nghim vi mt vi hm F cú cu trỳc khỏc nhau, c th, Vớ d 1: F (x, t) = f (t)h(x, t) + g(x, t), 19 Vớ d 2: F (x, t) = f (x)h(x, t) + g(x, t), Vớ d 3: F (x, t) = f (x, t) + g(x, t), vi quan sỏt tớch phõn (2.11) hoc quan sỏt im Bng phng phỏp Euler Galerkin lựi, chỳng tụi thnh 4096 phn t hu hn v bc li thi gian = T /M = 1/M vi M = 64 Trong vớ d u tiờn, chỳng tụi s dng quan sỏt N = 1, vi nhiu quan sỏt l = 1%, 3%, 5% Chỳng tụi thit lp li hm f (t) cú dng f (t) = 2t 2(1 t) f (t) = nu nu t 0.5, 0.5 t 1, Vớ d 1.1 nu 0.25 t 0.75, ngc li, Vớ d 1.2 (2.40) (2.41) Trong Vớ d 2, chỳng tụi thit lp li hm f (x) = x31 + x22 Vớ d 2.1 vi x = (0.5; 0.5), f (x) = vi x {(0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0)}, tuyn tớnh ngc li, ú s im quan sỏt N = v h(x, t) = t2 + 2, Trong vớ d th 3, chỳng tụi thit lp hm f (x, t) = (x31 + x32 )(t2 + 1), Vớ d 2.2, = 105 , Vớ d 3.1, = 1% (2.42) t o c ti im Cỏc kt qu s cho thy cỏch tip cn gii bi toỏn xỏc nh ngun bng phng phỏp phn t biờn chỳng tụi l kh thi v hu hiu.0 2.3 Ri rc bi toỏn xỏc nh thnh phn ch ph thuc thi gian v phi Trong mc ny, chỳng tụi xột bi toỏn xỏc nh hm f (t) h phng trỡnh u u n (x, t) + b(x, t)u = f (t)(x, t) + g(x, t), (x, t) Q, i=1 t xi u(x, t) = 0, u(x, 0) = u0 (x), xi (x, t) S, x , (2.43) t quan sỏt b sung lu(f ) = (x)u(x, t)dx = h(t), Cỏc kt qu s c trỡnh by chi tit lun ỏn < t < T (2.44) 20 Trong ú, cỏc hm , i = 1, n, b, thuc khụng gian L (Q) v g L2 (Q), f (t) L2 (0, T ), u0 L2 () Hn na, õy ta gi thit rng a > v > vi a, l cỏc hng s cho trc v hm l hm trng nh ó c mụ t t u chng 2.3.1 Ri rc bi toỏn thun bng phng phỏp sai phõn hu hn phõn ró Gi s rng := (0, L1 ) ì (0, L2 ) ì ã ã ã ì (0, Ln ) khụng gian Rn , vi Li , i = 1, n l cỏc hng s dng cho trc p dng k thut ca Marchuk v Yanenko, ta c h xp x bi toỏn ban u (2.43) d u + (1 + ã ã ã + n ) u f = 0, dt u(0) = u0 , (2.47) vi u = {uk , k h } l hm li Hm u0 l hm li xp x iu kin ban u u0 (x) v c tớnh bng cụng thc uk0 = |(k)| u0 (x)dx (k) Cỏc ma trn h s i h (2.47) c xỏc nh nh sau ei e k k+ 2i a a k ke k+e k i i h2i u u i h2i u i u , k N 2, e e k i k+ i bk u k (i u)k = n + uk k+ei k u u , h2i h2i e ei k+ i k 2 uk ukei + 2 uk , h h i k = 1, k = N 1, i (2.48) vi k h Hn na, f = {f k + g k , k h } Ta thy, ma trn h s i l na xỏc nh dng cú lc sai phõn splitting cho bi toỏn Cauchy (2.47), chỳng tụi ri rc bi toỏn theo bin thi gian S dng lc sai phõn splitting i i1 i i1 um+ 2n um+ 2n um+ 2n + um+ 2n + m = 0, i = 1, 2, , n 1, i t n1 m+ 12 + um+ n1 2n um+ um+ 2n F m t m m mu + n = + n F , t n+1 n+1 m+ m+ m+ m+ m 2n 2n u u u +u F t + m = m F m, n t n i1 i i m+1 i1 2n + um+1 2n um+1 2n um+1 2n mu + i = 0, i = n 1, n 2, , 1, t u0 = u0 , (2.49) 21 hay t m m+ i t m m+ i1 2n , i )u 2n = (Ei )u i = 1, 2, , n 1, 4 i t m m+ t m t m m+ n1 2n , (En + n )(u F ) = (En )u 4 n t m m+ n+1 t m m+ t m 2n = (E n )u )(u + F ), (En + n 4 n t m m+1 i1 t m m+1 i 2n = (E 2n , (Ei + i )u )u i = n 1, n 2, , 1, i 4 i u0 = u0 , (2.50) (Ei + vi Ei l ma trn n v tng ng vi i , i = 1, , n Lc sai phõn (2.50) cú th vit li thnh um+1 = Am um + tB m (f m m + g m ), u0 = u0 , m = 0, , M 1, (2.51) vi m m m Am = Am ã ã ã An An ã ã ã A1 , m B m = Am ã ã ã An , t m t m ú Am i := (Ei + i ) (Ei i ), i = 1, , n Ta cú th chng minh lc sai phõn (2.49) l n nh da kt qu ca inh Nho Ho, Nguyn Trung Thnh, Sahli v ú, tn ti mt hng s dng cd khụng ph thuc vo cỏc h s , i = 1, ã ã ã , n v b tha 1/2 1/2 1/2 M M u m=0 k1h k,m uk0 cd f m k,m + g k,m + m=0 k1h k1h (2.52) Khi l mt chiu, ta xp x h phng trỡnh (2.47) bng phng phỏp Crank-Nicholson v nghim ca bi toỏn ri rc cng cú dng (2.51) 2.3.2 Ri rc bi toỏn bin phõn T iu kin quan sỏt (2.44), phim hm quan sỏt J0 (f ) cú dng J0 (f ) = lu(f ) h 2 L2 (0,T ) Khi ú, phim hm quan sỏt ri rc J0h,t (f ) c vit di dng J0h,t (f ) := 2 M k uk,m (f ) hm h m=1 kh , (2.53) 22 vi uk,m (f ) ch s ph thuc ca nghim u vo iu kin f v m l ch s trờn li thi gian Ta kớ hiu k = (xk ) l xp x ca hm (x) ti im xk , vớ d nh k = |(k)| (x)dx (k) nh lý 2.2 Gradient J0h,t (f ) ca phim hm J0h,t ti im f c cho bi M J0h,t (f ) t(B m ) m m , = (2.54) m=0 ú l nghim ca bi toỏn liờn hp m = (Am+1 ) m+1 + m+1 , m = M 2, , 0, M = M , M = (2.55) vi m = k,m = k h k uk,m (f ) hm , k h , m = 0, 1, , M kh (2.56) õy (Am ) v (B m ) c xỏc nh nh sau t m t m t m t m 1 )(E1 + ) (En n )(En + ) 4 4 n t m t m t m t m n )(En + n ) (E1 )(E1 + ) , ì (En 4 4 t m t m t m t m (B m ) = (En n )(En + n ) (E1 )(E1 + ) 4 4 (Am ) = (E1 2.3.3 Phng phỏp gradient liờn hp Phng phỏp gradient liờn hp cho phim hm ri rc (2.53) c tin hnh theo cỏc bc sau Bc Cho trc xp x ban u f RM +1 ca hm f (t) v tớnh thng d r0 = lh1 u(f ) h1 , lh2 u(f ) h2 , ã ã ã , lhM u(f ) hM bng cỏch gii lc splitting (2.49) vi f c thay th bi xp x ban u f v t k = Bc Tớnh gradient r0 = J (f ) xỏc nh bi (2.54) bng cỏch gii bi toỏn liờn hp (2.55) Sau ú, t d0 = r0 Bc Tớnh r0 = lh d0 L2 (0,T ) L2 (0,T ) + d0 L2 (0,T ) , vi lh d0 cú th c tớnh t lc sai phõn splitting (2.49) vi f c thay bng d0 v g(x, t) = 0, u0 = t f = f + d0 23 Bc Vi k = 1, 2, ã ã ã , tớnh rk = J (f k ), dk = rk + k dk1 , vi k = L2 (0,T ) rk1 2L2 (0,T ) rk Bc Tớnh k k = rk lh dk L2 (0,T ) L2 (0,T ) + dk L2 (0,T ) , ú lh dk c tớnh da vo lc sai phõn splitting (2.49) vi f c thay bi dk v g(x, t) = 0, u0 = t f k+1 = f k + k dk 2.3.4 Vớ d s Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by mt vi vớ d s l mt chiu v hai chiu ch tớnh hu hiu ca thut toỏn Cho T = 1, chỳng tụi th nghim thut toỏn nhm thit lp li cỏc hm sau Vớ d 1: f (t) = sin(t) Vớ d 2: f (t) = 2t 2(1 t) Vớ d 3: f (t) = nu t 0.5, nu ngc li nu 0.25 t 0.75, nu ngc li Chỳng tụi xột ba trng hp m trn ca hm f (t) b gim dn, c th, hm f (t) vớ d l hm trn, hm f (t) vớ d l hm khụng kh vi ti t = 0.5 v hm f (t) vớ d l hm giỏn on Trong mi vớ d s, chỳng tụi chn trc nghim chớnh xỏc u v cỏc hm , f , ri thay vo bi toỏn (2.43) ta cú hm g v phi Sau cú nghim chớnh xỏc u, chỳng tụi tớnh d kin quan sỏt lu v t nhiu ngu nhiờn lờn d kin o c h Thut toỏn dng f k+1 f k nh, thng l 103 Cui cựng, chỳng tụi so sỏnh nghim gii s vi nghim chớnh xỏc ch thut toỏn m chỳng tụi xõy dng l hu hiu Cỏc kt qu s c trỡnh by chi tit lun ỏn cho c hai trng hp mt chiu v hai chiu 24 KT LUN CHUNG Lun ỏn ny nghiờn cu bi toỏn xỏc nh quy lut biờn phi tuyn v xỏc nh ngun cỏc quỏ trỡnh truyn nhit C th lun ỏn ó t c cỏc kt qu sau: i vi bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn trờn biờn, v lý thuyt chỳng tụi ó gii quyt trit bi toỏn trng hp nhiu chiu da trờn phng phỏp bin phõn Chng minh tớnh kh vi theo ngha Frộchet ca phim hm cn ti u húa, a cụng thc tớnh o hm bng bi toỏn liờn hp Trong mt s trng hp chng minh c s tn ti nghim ca bi toỏn bin phõn Bi toỏn c ri rc húa bng phng phỏp phn t biờn (BEM) v sau ú c gii s bng phng phỏp lp GaussNewton Cỏc th nghim bng s trờn mỏy tớnh cho thy phng phỏp v thut toỏn l hu hiu Vi bi toỏn xỏc nh ngun cỏc quỏ trỡnh truyn nhit, chỳng tụi a mt cỏc tip cn mi cú ý ngha thc t gii bi toỏn xỏc nh ngun nhiu chiu vi h s ph thuc thi gian (cha c nghiờn cu t trc), sau ú chuyn bi toỏn v bi toỏn bin phõn Vỡ bi toỏn bin phõn khụng n nh, nờn chỳng tụi ó hiu chnh nú bng phng phỏp chnh Tikhonov, sau ú chng minh phim hm Tikhonov kh vi Frộchet ri a cụng thc cho o hm Frộchet qua s tr giỳp ca bi toỏn liờn hp Bi toỏn c ri rc húa bng phng phỏp phn t hu hn (FEM) v phng phỏp sai phõn phõn ró (finite difference splitting method), sau ú c gii bng phng phỏp gradient liờn hp (conjugate gradient method) Thut toỏn c th nghim trờn mỏy tớnh v cỏc kt qu s cho thy phng phỏp rt hu hiu Lun ỏn m mt s hng tip tc nghiờn cu l: Nghiờn cu phng phỏp gii s bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt mt phn biờn v phng phỏp gii s bi toỏn xỏc nh h s truyn nhit t quan sỏt tớch phõn Nghiờn cu bi toỏn cho phng trỡnh phc hn Nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun cho quỏ trỡnh truyn nhit phi tuyn, nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun im DANH MC CC CễNG TRèNH CễNG B LIấN QUAN N LUN N Dinh Nho Ho, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), "Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations", Applicable Analysis, 94 (9), pp 17841799 Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2015), "Determination of a time-dependent term in the right-hand side of linear parabolic equations",Acta Mathematica Vietnamica, DOI: 10.1007/ s40306-015-0143-y Dinh Nho Ho, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, and Phan Xuan Thanh, "Determination of a term in the right-hand side of parabolic equations", Preprint 2015 [...]... chính xác để chỉ ra thuật toán mà chúng tôi xây dựng là hữu hiệu 0 Các kết quả số được trình bày chi tiết trong luận án cho cả hai trường hợp miền Ω một chiều và miền Ω hai chiều 24 KẾT LUẬN CHUNG Luận án này nghiên cứu bài toán xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt Cụ thể luận án đã đạt được các kết quả sau: 1 Đối với bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt. .. tính và các kết quả số cho thấy phương pháp rất hữu hiệu Luận án mở ra một số hướng tiếp tục nghiên cứu là: 1 Nghiên cứu phương pháp giải số bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát một phần biên và phương pháp giải số bài toán xác định hệ số truyền nhiệt từ quan sát tích phân Nghiên cứu bài toán cho phương trình phức tạp hơn 2 Nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho quá trình truyền. .. hạn độ dài của luận án, chúng tôi không trình bày các kết quả số cho trường hợp này Chương 2 Xác định nguồn trong bài toán truyền nhiệt từ quan sát trên biên Trong chương này chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn từ các quan sát tích phân bằng phương pháp biến phân Giả sử Ω ⊂ Rn là miền Lipschitz, giới nội với biên Γ Ký hiệu Q := Ω × (0, T ], với T > 0 và biên S = Γ × (0, T ] Giả sử aij , i, j... toán được rời rạc hóa bằng phương pháp phần tử biên (BEM) và sau đó được giải số bằng phương pháp lặp GaussNewton Các thử nghiệm bằng số trên máy tính cho thấy phương pháp và thuật toán là hữu hiệu 2 Với bài toán xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt, chúng tôi đưa ra một các tiếp cận mới có ý nghĩa thực tế để giải bài toán xác định nguồn nhiều chiều với hệ số phụ thuộc thời gian (chưa được... hữu hiệu 0 Các kết quả số được trình bày chi tiết trong luận án 10 1.3 Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát một phần trên biên Xét bài toán (1.8) được viết lại như sau  trong Q,  ut − ∆u = 0, u(x, 0) = 0, trong Ω, ∂u   = g(u, f ), trên S = ∂Ω × (0, T ) ∂ν Tìm hàm u(x, t) và g(u, f ) từ điều kiện quan sát trên một phần của biên u|Σ = h(x, t), (1.42) (x, t) ∈ Γ, trong đó... thuận và bài toán liên hợp được giải bằng phương pháp phần tử biên (BEM) với 128 phần tử biên, 32 bước thời gian và khoảng [A, B] được chia thành 32 khoảng nhỏ Các kết quả số được tính toán cho trường hợp hàm g(u) chưa biết là tuyến tính và phi tuyến bằng cách sử dụng phương pháp M1 và phương pháp M2 với dự đoán ban đầu g0 và nhiễu dữ kiện là ||hδ − h||L2 (0,T ) ≤ δ Các kết quả số được trình bày trong. .. −ϕt − ∆ϕ = 0 ϕ(x, T ) = 0 trong Q, trong Ω,   ∂ϕ = g˙ u (u(g))ϕ + u(x, t) − h(x, t) χΣ (x, t) trên S ∂ν Ở đây, χΣ là hàm đặc trưng của Σ xác định bởi χΣ (x, t) = 1.4 1 0 nếu (x, t) ∈ Σ, nếu (x, t) ∈ / Σ Bài toán xác định hệ số truyền nhiệt σ(u) từ quan sát tích phân Xét phương pháp biến phân cho bài toán xác định hệ số truyền nhiệt σ(u) trong bài toán giá trị biên – ban đầu  trong Q,  ut − ∆u = 0,... (1; 0)},  tuyến tính ngược lại,  1 trong đó số điểm quan sát N = 9 và h(x, t) = t2 + 2, Trong ví dụ thứ 3, chúng tôi thiết lập hàm f (x, t) = (x31 + x32 )(t2 + 1), Ví dụ 2.2, γ = 10−5 , Ví dụ 3.1, δ = 1% (2.42) từ đo đạc tại 9 điểm Các kết quả số cho thấy cách tiếp cận để giải bài toán xác định nguồn bằng phương pháp phần tử biên chúng tôi là khả thi và hữu hiệu.0 2.3 Rời rạc bài toán xác định thành... f (t) bị giảm dần, cụ thể, hàm f (t) trong ví dụ 1 là hàm trơn, hàm f (t) trong ví dụ 2 là hàm không khả vi tại t = 0.5 và hàm f (t) trong ví dụ 3 là hàm gián đoạn Trong mỗi ví dụ số, chúng tôi chọn trước nghiệm chính xác u và các hàm ϕ, f , rồi thay vào bài toán (2.43) ta có hàm g trong vế phải Sau khi có nghiệm chính xác u, chúng tôi tính dữ kiện quan sát lu và đặt nhiễu ngẫu nhiên lên dữ kiện đo... thời gian trong vế phải Trong mục này, chúng tôi xét bài toán xác định hàm f (t) trong hệ phương trình  ∂ ∂u ∂u  n  ai (x, t) + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q,  − i=1 ∂t ∂xi u(x, t) = 0,    u(x, 0) = u0 (x), ∂xi (x, t) ∈ S, x ∈ Ω, (2.43) từ quan sát bổ sung lu(f ) = ω(x)u(x, t)dx = h(t), Ω 0 Các kết quả số được trình bày chi tiết trong luận án 0 < t < T (2.44) 20 Trong đó, các hàm ... cứu toán xác định quy luật trao đổi nhiệt (nói chung phi tuyến) biên qua đo đạc biên phần thứ hai nghiên cứu toán xác định nguồn (tạo trình truyền nhiệt hay khuếch tán) qua quan sát khác Trong phần... cứu toán xác định quy luật biên phi tuyến xác định nguồn trình truyền nhiệt Cụ thể luận án đạt kết sau: Đối với toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến biên, lý thuyết giải triệt để toán... vật lý tìm lại quy luật truyền nhiệt tuyến tính Newton quy luật xạ nhiệt phi tuyến bậc bốn điều kiện biên có dạng ∂u = g(u) − gexact (f ), ∂ν S, với kiện đầu vào f cho trước xác định f= ∂uexact