TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - NGÔ THỊ HỒNG THOA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ CÁC BÀI TOÁN  QUAN HỆ VUÔNG GÓC  ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  QUỸ TÍCH ĐIỂM  BẤT ĐẲNG THỨC  CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn Để có khoá luận hoàn thiện em nhận giúp đỡ thầy cô khoa Toán thầy cô trường ĐHSPHN2 đặc biệt tân tình bảo đóng góp ý kiến quý báu thầy Bùi Văn Bình thời gian qua Do điều kiện thời gian với vốn kiến thức chắn không tránh khỏi sai sót Em mong nhận bảo, đóng góp thầy cô bạn sinh viên để tìm ý tưởng tốt bổ sung cho khóa luận hoàn thiện tài liệu tham khảo thật bổ ích cho tất độc giả có niềm đam mê môn Toán Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô tổ Hình học, thầy cô khoa đặc biệt thầy Bùi Văn Bình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Hồng Thoa LỜI CAM ĐOAN Do nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Bùi Văn Bình trình hoàn thành khóa luận xin cam đoan khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Sinh viên Ngô Thị Hồng Thoa MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I VECTƠ II CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ III TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 10 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN 14 I CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC 14 II CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH 25 III TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM 28 IV CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 33 V CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN 36 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn học khó học sinh Vì hình học môn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic trừu tượng cao môn học khác toán học Trong chương trình toán học phổ thông, để giải toán hình học ta có nhiều phương pháp, phương pháp vectơ phương pháp hiệu Nó cho lời giải cách xác, tránh yếu tố trực quan, suy diễn phức tạp phương pháp tổng hợp công cụ hiệu để giải toán hình học Không phương pháp vectơ cón công cụ mạnh để giải toán đại số Do việc nắm vững phương pháp cung cấp cho học sinh phương pháp giải toán hữu hiệu Đồng thời học sinh suy nghĩ toán theo phương pháp khác với phương pháp quen thuộc mà học sinh biết từ trước tới Xuất phát từ lý với mong muốn thân có hệ thống cụ thể phương pháp vectơ toán học sơ cấp động viên khích lệ thầy Bùi Văn Bình mà em chọn đề tài:” Vectơ không gian toán: Quan hệ vuông góc, điểm cố định đường thẳng mặt phẳng, quỹ tích điểm, bất đẳng thức hình học, toán tính toán” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán không gian để đơn giản hoá lời giải giúp toán có cách -1- giải ngắn gọn giúp học sinh có thêm phương pháp để giải toán hình học không gian Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán không gian để giảm bớt trình tính toán Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm cách chuyển ngôn ngữ toán sang ngôn ngữ vectơ Sau sử dụng kiến thức tổng hợp vectơ để giải toán Sau giải xong ta lại chuyển ngược lại từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toán cần giải Phạm vi nghiên cứu Do khuôn khổ thời gian có hạn nên đề tài đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải toán hình học không gian Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài cho ta thấy ưu điểm bật phương pháp vectơ so với phương pháp khác ứng dụng rộng rãi toán học vectơ Đề tài cung cấp cho phương pháp giải toán hình học không gian cách hữu hiệu mà ngắn gọn, dễ hiểu Phương pháp nghiên cứu  Phân tích tài liệu  Tổng kết lại thành dạng toán Cấu trúc khoá luận Nội dung khoá luận gồm phần bản: Chương I: Những kiến thức liên quan Phần trình bày tóm tắt số kiến thức vectơ Chươnh II: Ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán -2- Phần đưa ứng dụng cụ thể phương pháp vectơ để giải toán hình học không gian Đồng thời trình bày hệ thống ví dụ tập cụ thể -3- NỘI DUNG CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I VECTƠ I.1 Định nghĩa vectơ Cho đoạn thẳng AB Nếu ta quy định điểm A điểm đầu (điểm gốc) điểm B điểm cuối (điểm ngọn) ta bảo đoạn thẳng AB định hướng hay gọi vectơ AB  Kí hiệu: AB A B Chú ý:   - Cho hai điểm A, B phân biệt ta có hai vectơ AB BA khác   - Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau: A  B ,… AA, BB , gọi vectơ- không I.2 Hai vectơ phương, hướng, ngược hướng   * Hai vectơ AB CD gọi phương chúng nằm hai đường thẳng song song trùng Khi đó: + Vectơ-không xem phương với vectơ   + Hai vectơ a b phương với vectơ khác vectơ-không hai vectơ phương với   * Hai vectơ phương AB CD gọi hướng chiều từ A đến B trùng với chiều từ C D   Kí hiệu: AB  CD   * Hai vectơ phương AB CD gọi ngược hướng chiều từ A đến B ngược với chiều từ C đến D   Kí hiệu: AB  CD -4- Chú ý: + Vectơ- không xem hướng ngược hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ-không hai vectơ hướng với + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương I.3 Độ dài vectơ  Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB   Kí hiệu là: AB Khi đó: AB  AB  BA Từ ta có: độ dài vectơ- không I.4 Hai vectơ Định nghĩa:   Hai vectơ AB CD gọi chúng hướng độ dài   Kí hiệu: AB = CD Chú ý: + Quan hệ vectơ quan hệ tương đương Mỗi vectơ đại     diện kí hiệu a, b, x, y ,…  + Nếu cho vectơ a điểm O có điểm A cho:   OA  a  + Mọi vectơ-không Kí hiệu là: -5- I.5 Góc hai vectơ Định nghĩa :  a  b O  a A  b B    Cho hai vectơ a b khác     Từ điểm O ta vẽ vectơ OA  a, OB  b Khi số đo góc   AOB gọi số đo góc hai vectơ a b   Kí hiệu : ( a , b ) Nhận xét:   + ( a , b ) 0o ,180o      + ( a , b )=0o  a b hướng     + ( a , b )=180o  a b ngược hướng     + ( a , b )=90o ta nói hai vectơ a b vuông góc với   Kí hiệu: a  b    Quy ước: Nếu hai vectơ a b ta xem   ( a , b ) có giá trị tùy ý đoạn 0o ,180o  II CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ II.1 Phép cộng vectơ II.1.1 Định nghĩa   Tổng hai vectơ a b Lấy điểm A xác định điểm      B C cho : AB  a, BC  b Khi vectơ AC gọi tổng hai   vectơ a b -6- Vì A (p), B  ( q), C  (r ) nên tìm cặp số a, b, c cho:         A0 A  a p, B0 B  bq, C0C  cr  cm p  cnq     Gọi G0 trọng tâm ABC nên ta có: G0 A0  G0 B0  G0C0       mặt khác: G0 A  G0 A0  A0 A  G0 A0  a p      G0 B  G0 B0  B0 B  G0 B0  bq       G0C  G0C0  C0C  G0C0  cm p  cnq Khi với điểm G không gian ta có G0 trọng tâm ABC      G0G  G0 A  G0 B  G0C        G0G  G0 A0  G0 B0  G0C0   a  cm  p   b  cn  q  3     G0G   a  cm  p   b  cn  q     G  mp    với    mặt phẳng qua G0 nhận p, q làm cặp vectơ     phương Hay      phương Vậy quỹ tích G mặt phẳng qua G0 phương với mp   cho Nhận xét: Sử dụng phương pháp vectơ lời giải toán giúp cho việc tìm tập hợp trở nên đơn giản ngắn gọn III.3 Bài tập: Bài tập 1: Cho điểm A, B, C Tìm quỹ tích điểm M không gian thỏa     mãn hệ thức: AB.CM  CB AM Hướng dẫn:     Tách CM thành vectơ CA, AM Tương tự AM - 31 - Sau áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng ta suy quỹ tích điểm M Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M không gian thỏa mãn hệ thức: MA2 + MB2 =2MC2 Hướng dẫn: Gọi O,G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm ABC, CC1 đường trung tuyến ABC    Ta tách vectơ MA, MB, MC thành hiệu hai vectơ có điểm đầu O sau biến đổi tương đương ta có điều phải chứng minh Bài tập Cho tứ diện ABCD M điểm di động không gian Tìm quỹ tícsh điểm M có:        MA  MB  MC  MD  MB  MC  MD       3MA  2MB  MC  MD  MB  MA Hướng dẫn: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD G1 trọng tâm tam giác   BCD Sau áp dụng tính chất trọng tâm ta được: MG  MG1 suy điều phải chứng minh Trước hết ta xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:      3IA  IB  IC  ID  Gọi N trung điểm CD suy điểm I xác định hệ   thức: IA  NB  Sau biến đổi biểu thức vế trái theo vectơ MI suy điều phải chứng minh - 32 - IV CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC IV.1 Phương pháp Để chứng minh bất đẳng thức vectơ ta dựa vào kết sau: a) Sử dụng tích vô hướng hai vectơ:       Cho hai vectơ a, b a  0, b  tích vô hướng hai vectơ   định nghĩa sau:          a.b  a b cos a, b với a, b góc hai vectơ a, b        Do cos  nên ta có: a.b  a b Hoặc ta sử dụng công thức:   2 2 2 a.b  a  b  a  b   b) Sử dụng tính chất vectơ:   Cho vectơ a, b, c ta có: 2 a            a  b  a  b từ c  a  b c  a  b           a  b  a  b từ c  a  b c  a  b IV.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ Gọi G, G’ trọng tâm hai tứ diện Chứng minh: GG '  AA ' BB ' CC ' DD' Giải: Do G, G’ hai trọng tâm tứ diện ABCD A’B’C’D’, với điểm O bất      kì ta có: 4OG  OA  OB  OC  OD - 33 -      4OG '  OA '  OB '  OC '  OD '       4GG '  AA '  BB '  CC '  DD '          GG '  AA '  BB '  CC '  DD '  AA '  BB '  CC '  DD ' 4  Hay GG '   (*) AA ' BB ' CC ' DD' (đpcm) Đẳng thức xảy         AA '  BB '  CC '  DD '  AA '  BB '  CC '  DD '  (*) xảy tức:  Nhận xét: Sử dụng hệ thức vectơ trọng tâm hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ ta hệ thức vectơ (*) Vận dụng bất đẳng thức vectơ       a1  a2   an  a1  a2   an ta có bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 2: Giả sử O điểm nằm tứ diện ABCD cho: BOC  DOA, AOB  DOC , COA  DOB Chứng minh: với điểm M không gian có: MA  MB  MC  MD  OA  OB  OC  OD Giải:     Trên tia OA, OB, OC, OD lấy vectơ đơn vị OA ', OB ', OC ', OD ' Khi với giả thiết cho ta có; B’C’=D’A’,C’A’=D’B’,A’B’=D’C’ nên A’B’C’D’ tứ diện gần nhận O tâm mặt cầu ngoại tiếp, đồng thời O trọng tâm tứ diện gần A’B’C’D’       OA '  OB '  OC '  OD '      OA OB OC OD  P    0 OA OB OC OD Với điểm M không gian có:     MA.OA MA.OA  MA.OA   MA OA - 34 - (*)     MO  OA   OA  OA    MA  OA  MO  MA OA OA   OB Chứng minh tương tự ta được: MB  OB  MO OB   OC MC  OC  MO OC   OD MD  OD  MO OD (1) (2) (3) (4) Từ (1), (2), (3), (4) (*) ta được: MA  MB  MC  MD  OA  OB  OC  OD (đpcm) Dấu xảy (1), (2), (3), (4) xảy tức là:   OA MA  OA  MO  M  tia [AO) OA   OB MB  OB  MO  M  tia [BO) OB   OC MC  OC  MO  M  tia [CO) OC   OD MD  OD  MO  M  tia [DO) OD Vậy M thuộc tia [AO), [BO), [CO), [DO) tức M  O dấu đẳng thức xảy IV.3 Bài tập: Bài tập Cho tứ diện gần ABCD (AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c) Chứng minh: MA+MB+MC+MD  4R Hướng dẫn: - 35 -   Ta có: MA.R  MA.OA ( với O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)   Biến đổi ta MA.R  R  OM OA Tương tự MB, MC, MD Sau cộng vế bất đẳng thức ta suy điều phải chứng minh Bài tập Cho tứ diện ABCD vuông A điểm M tùy ý Chứng minh: 2MA2  MB2+MC2+MD2 Hướng dẫn: Gọi A’ điểm cho:          A ' B  A ' C  A ' D  A ' A   AA '  AB  AC  AD , A’ đỉnh đối A hình hộp có cạnh AB, AC, AD     Ta tách MA, MB, MC , MD thành tổng hai vectơ cách chèn điểm A’ biểu thức MB2+MC2+MD2-2MA2 biến đổi ta có kết cần chứng minh V CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN V.1 Phương pháp Ta sử dụng phương pháp vectơ toán tính toán thường với dạng sau: Tính góc: + Giữa hai đường thẳng ta quy tính góc hai vectơ phương hai đường thẳng + Giữa hai mặt phẳng quy tính góc hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng + Giữa đường thẳng mặt phẳng quy tính góc vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng Tính độ dài đoạn thẳng AB cho trước ta thực hiện:    AB  AB  AB AB - 36 - V.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Tính: a Độ dài đoạn thẳng MN b Góc hai đường thẳng MN, BC Giải: D N A C M B          Đặt BA  a, BC  b, BD  c với a  b  c  a    a2 Ta có: a.b  a.c  b.c  a cos60         a MN  MB  BC  CN   BA  BC  CD 2 1         a  b  c  b  a  b  c 2      Bình phương tích vô hướng vectơ MN ta được:            a2 MN   a  b  c  a  b  c  2b.c  2a.b  2a.c  4 a  MN      - 37 -     MN BC b Gọi  góc hai vectơ MN BC Ta có: cos     MN BC            a MN BC  a  b  c b   a.b  b  b.c  2   a a2 MN BC  a  2  Do đó: cos   a2 a2 2        450 Vậy góc hai đường thẳng MN BC 450     Nhận xét: Ta biểu diễn MN theo a, b, c sau bình phương vô hướng MN ta dễ dàng tính độ dài đoạn thẳng MN Áp dụng công thức tính góc hai vectơ ta tính góc  từ suy góc hai đường thẳng tương ứng Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy hình vuông cạnh a Cạnh AA1=a tạo với AB, AD góc bẳng  Tính: a Độ dài đoạn thẳng BD1 b Góc BD1 AC A1 B1 Giải: C1 D1 A D B C - 38 -       a.Đặt AB  p, AD  q,AA1  r        BD1  AD1  AB  q  r  p                 BD1  q  r  p = q  r  p  2q.r  p.r  p.q   = a  a  a  2a 2cos  2a cos  2a 2cos900 =3 a  Do đó: BD1  3a  BD1  a Vậy BD1= a (đpcm) b.Gọi   00    900  góc hai đường thẳng BD1 AC ta có:   BD1 AC cos     BD1 AC                  Xét BD1 AC  q  r  p p  q  p.q  q  p.r  q.r  p  p.q    = a  a 2cos  a 2cos  a  2a 2cos   Có: BD1  BD1  a 3; AC  AC  a Do đó: cos   2a 2cos a 3.a  cos Vậy góc hai đường thẳng BD1 AC  với  00    900  thỏa mãn: cos  cos      Nhận xét: Ta biểu diễn AC , BD1 theo p, q, r Sử dụng điều kiện đề ta có kết phải chứng minh   Sử dụng công thức tính góc hai vectơ AC , BD1 từ ta có góc hai đường thẳng AC BD1 - 39 - Ví dụ : Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 biết cạnh hình hộp AB= a, AD=b, AA1=c Từ đỉnh A1 B hình hộp hạ đường vuông góc A1H BK xuống đường chéo AC1 T ính độ dài HK Giải : D1 C1 A1 B1  c H D C K  b  a A B           Đặt AB  a, AD  b,AA1  c ; AK  x AC1 ; AH  y AC1 ;   Vì A1 H  AC1  A1 H AC1         A1 A  AH AC1   c  y AC1 AC1       c AC1  y AC1  c AC1  y   AC1            Vì AC1  a  b  c  AC1  a  b  c c AC1  c nên : y  a2 a  b2  c     Do HK  AK  AH   x  y  AC1 nên   HK  x  y AC1  x  y a  b  c Tương tự ta : x  Vậy HK= a2  c2 a2  b2  c2 - 40 - c2 a  b2  c2 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác có cạnh 4a Cạnh SC   ABC  SC=2a Gọi M, N trung điểm cac cạnh BC AB Hãy tính khoảng cách SM CN Giải : S I M C B J       Đặt CA  a, CB  b, CS  c   Vì SC   ABC   a.c  0, b.c  A        Ta có : SM  CM  CS  CB  CS  b  c ; 2      CN  CA  CB  a  b 2     Gọi I  SM , J  CN : IJ  mSM  nCN  SC           m b  c   n a  b  c 2      na   m  n  b   m  1 c 2   Để IJ đoạn vuông góc chung SM CN điều kiện cần đủ :           na  m  n b  m  c      b  c    IJ.SM               na   m  n  b   m  1 c  a  b  IJ.CN    2 2  - 41 -   m  3ma  3na  a     ma  2na  n   2  Vậy IJ  IJ      a  b  2c   2a 3 VI.3 Bài tập : Bài tập Các cạnh DA, DB, DC tứ diện ABCD đôi vuông góc với có độ dài tương ứng a, b, c Tính độ dài tuyến hình tứ diện xuất phát từ D Hướng dẫn : Gọi G trọng tâm ABC 1  DG  (a  b  c )  ( AB  BC  CA2 ) Mà ta lại có :góc tam diện đỉnh D vuông nên AB2+BC2+CA2=2(a2+b2+c2) Thay vào ta có điều phải chứng minh Bài tập Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi K trung điểm   cạnh AA1 Tính góc hai vectơ BC1 , BK Hướng dẫn :       Đặt BA  a, BB1  b, BC  c       Biểu diễn BK , BC1 theo a, b, c Sau áp dụng công thức tính cos BK , BB1     Rồi suy góc hai vectơ BK , BC1 Bài tập 3.Cho tứ diện ABCD với BC=a, CA=b, AB=c, DA= a’, DB=b’, DC=c’ Hãy tính góc hai đường thẳng BC DA Hướng dẫn : - 42 - Bài tập Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Tính độ ài đường chéo AC1 theo AA1=a, AB=b, AD=c BAD   , DAA1   , BAA1       Hướng dẫn: Xét AC1  AA1  AB  AD (*) Sau bình phương hai vế (*) ta tính được: AC  a  b  c  2ab cos   2ac cos   2bc cos - 43 - KẾT LUẬN Đề tài cung cấp cho học sinh phương pháp giải toán cách hữu hiệu Ngoài cho thấy ứng dụng rộng rãi toán học vectơ Đề tài cho thấy ưu điểm bật phương pháp so với phương pháp khác Việc sử dụng vectơ vào giải tập không gian cung cấp cho học sinh số kiến thức cách nhìn Toán học; giúp phát triển tư toàn diện, hình thành cho học sinh tư dắn, phù hợp để giải Toán Nhằm góp phần hoàn thiện cho học sinh cách nhìn hình học, khoá luận đưa hệ thống lý thuyết phù hợp với số dạng Toán thường gặp thông qua phương pháp chung cac ví dụ minh hoạ dạng bước đầu giúp học sinh thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ vào giải tập không gian coi công cụ nhằm giảm bớt trình tính toán Thông qua việc hoàn thành khoá luận, em rút nhiều điều bổ ích việc nghiên cứu khoa học thấy ý nghĩa phương pháp vectơ việc giải toán không gian Như khoá luận hoàn thành nội dung đạt mục đích nghiên cứu - 44 - TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Nguyễn Mộng Hy Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ- NXBGD 2.Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc- Lê Hữu Trí Phương pháp giải toán vectơ- NXB Hà Nội 2003 3.Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- Tạ Mân Các giảng luyện thi môn toán-tập 3- NXBGD 1996 4.Nguyễn Văn Lộc Phương pháp vectơ giải toán hình học không gian- NXBGD 2008 5.Tạp chí toán học tuổi trẻ- NXBGD 6.Trần Phương Hình học giải tích- NXB Hà Nội 2001 7.Phan Huy Khải- Hàn Liên Hải Toán bồi dưỡng hình học 10- NXB Hà Nội 1997 8.Nguyễn Gia Cốc Ôn luyện giải toán hình học vectơ- NXB Đà Nẵng 1996 9.Các sách giáo khoa hình học 10,12 - 45 - [...]...   Kí hiệu : AC = a + b  a  a B  b A  b C Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ Chú ý :      + Nếu có a + b = 0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a và kí hiệu  là: - a     + Vectơ - a luôn ngược hướng với vectơ - a và a  a Mỗi vectơ có một vectơ đối duy nhất Từ định nghĩa ta có các quy tắc sau :  Quy tắc ba điểm : A B C    Với ba điểm... mọi vectơ a , b và c ta có: 1 2 3      Tính chất của vectơ- không : a  0  0  a  a ;     Tính chất giao hoán : a  b  b  a       Tính chất kết hợp : a  b  c  a  b  c     II.2 Phép trừ vectơ Định nghĩa :     Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b   Kí hiệu : a  b -8-     Khi đó ta có : a  b  a  b   Phép tìm hiệu của hai vectơ. .. mặt phẳng thì ta nói 3 vectơ   a, b, c đồng phẳng Nếu 4 điểm O, A, B, C không cùng nằm trên một mặt phẳng thì ta nói 3   vectơ a, b, c không đồng phẳng Từ định nghĩa ta có:    - Nếu một trong 3 vectơ a, b, c là 0 thì 3 vectơ đó đồng phẳng   - Nếu hai trong ba vectơ a, b, c cùng phương với nhau thì ba vectơ đó đồng phẳng    - a, b, c đồng phẳng (trong đó b, c không cùng phương)  ... M Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức: MA2 + MB2 =2MC2 Hướng dẫn: Gọi O,G là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm ABC, CC1 là đường trung tuyến của ABC    Ta tách các vectơ MA, MB, MC thành hiệu của hai vectơ có điểm đầu là O sau đó biến đổi tương đương ta có điều phải chứng minh Bài tập 3 Cho tứ diện ABCD và M là một điểm di động trong không. .. Nếu A, B, C không thẳng hàng thì quỹ tích điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC III.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Trong không gian cho hai đường thẳng (a) và (b) chéo nhau, M và N là 2 điểm lần lượt di động trên (a) và (b) Tìm tập hợp các điểm I sao cho   IM  k IN với k là hằng số cho trước, k  0, k  1 (a) Giải: M A I I0  N (b) B    Lấy điểm A bất kì trên (a) và gọi a a  0 là vectơ chỉ... G0 cùng phương với mp   đã cho Nhận xét: Sử dụng phương pháp vectơ trong lời giải của bài toán giúp cho việc tìm tập hợp trở nên đơn giản và ngắn gọn III.3 Bài tập: Bài tập 1: Cho 3 điểm A, B, C Tìm quỹ tích điểm M trong không gian thỏa     mãn hệ thức: AB.CM  CB AM Hướng dẫn:     Tách CM thành 2 vectơ CA, AM Tương tự đối với AM - 31 - Sau đó áp dụng tính chất... Hay GG1  mà G cố định, AA1 là vectơ hằng nên G1 là điểm cố định 3 Vậy mp(MNP) luôn đi qua điểm G1 cố định Nhận xét: Hệ thức vectơ về trọng tâm của tam giác giúp cho những bài toán sử dụng vectơ trở nên đơn giản Việc sử dụng vectơ để tìm điểm cố định sẽ dễ dàng hơn rất nhiều so với các phương pháp khác II.3 Bài tập: Bài tập 1: Cho tứ diện SABC, các điểm I, J di động trên các cạnh AB, AC sao cho: AB AC... mp ( ) , với mp   là mặt phẳng qua I0 và nhận a, b làm cặp vectơ chỉ phương hay   là mặt phẳng song song với (a) và (b) Nhận xét: việc dự đoán quỹ tích rất khó khăn Ở bài này quỹ tích là một mặt phẳng do đó sử dụng các phương pháp thông thường để tìm quỹ tích sẽ gặp khó khăn Ví dụ 2: Trong không gian cho 3 đường thẳng (p), (q) và (r) đôi một chéo nhau và cùng song song với mặt phẳng   nào... b trên đường  thẳng chứa vectơ a III.2 Các tính chất cơ bản của tích vô hướng   Với mọi vectơ a, b, c bất kì và mọi số thực k ta có:   1 a.b  b.a ;    2 a.b  0  a  b ;      ka b  a kb  k a.b ; 3 4            a. b  c   a.b  a.c - 10 - III.3 Ba vectơ đồng phẳng Định nghĩa:    Cho ba vectơ a, b, c Từ điểm O trong không gian dựng vectơ khác 0 :   ... vectơ gọi là phép trừ hai vectơ * Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ :    Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có : AB  AC  CB II.3 Phép nhân vectơ với một số II.3.1 Định nghĩa   Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu là k a được xác định như sau:  1 Nếu k  0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ  Nếu k ... pháp để giải toán hình học không gian Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán không gian để giảm bớt trình tính toán Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm cách chuyển... bất đẳng thức hình học, toán tính toán Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán không gian để đơn giản hoá lời giải giúp toán có cách -1- giải ngắn gọn... NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I VECTƠ II CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ III TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 10 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN 14 I CHỨNG MINH