TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHAN THỊ THÚY TÔPÔ YẾU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khoá luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp hướng dẫn em, tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn lần nghiên cứu khoa học nên vấn đề trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc lời chúc sức khoẻ đến thầy cô toàn thể bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phan Thị Thuý LỜI CAM ĐOAN Qua trình nghiên cứu khoá luận “Tôpô yếu số tính chất không gian định chuẩn” giúp em tìm hiểu sâu môn Giải tích Qua giúp em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn bảo tận tình TS Trần Văn Bằng thầy cô tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội Đây đề tài không trùng với đề tài tác giả khác Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để khoá luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phan Thị Thuý Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Tôpô 1.2 Ánh xạ liên tục 1.3 Không gian Banach 1.4 Toán tử tuyến tính Chương Tôpô yếu số tính chất không gian định chuẩn 2.1 Tôpô yếu 2.2 Tôpô yếu* σ (E ∗ , E) 13 2.3 Không gian phản xạ 19 2.4 Không gian tách 25 2.5 Không gian lồi 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành Toán học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỷ XX xem ngành Toán học cổ điển Nội dung hợp lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích, đại số, phương trình vi phân Trong trình phát triển từ đến nay, giải tích hàm tích luỹ số nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành Toán học có liên quan có sử dụng đến công cụ giải tích không gian vectơ Ngoài có ứng dụng vật lý lý thuyết số lĩnh vực kỹ thuật Khi học môn giải tích hàm, nhắc đến khái niệm: Không gian tôpô Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu Không gian tôpô môn giải tích hàm em chọn đề tài: “Tôpô yếu số tính chất không gian định chuẩn” Nghiên cứu đề tài có hội tìm hiểu sâu tôpô, nội dung quen thuộc bao hàm nhiều tính chất đặc trưng tổng quát giải tích hàm Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tôpô yếu số tính chất không gian định chuẩn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Tôpô Định nghĩa 1.1 Cho tập X Ta nói họ τ tập X tôpô X, thoả mãn tính chất sau: (i) 0, / X ∈ τ, (ii) Nếu Gα ∈ τ, ∀α ∈ Λ Gα ∈ τ, α∈Λ (iii) Nếu G j ∈ τ, j = 1, n, n G j ∈ τ j=1 Cặp (X, τ) gọi không gian tôpô Mỗi phần tử x ∈ X gọi điểm Định nghĩa 1.2 Một tập X với tôpô τ X, gọi không gian tôpô (X, τ) ( hay không gian tôpô X) Các tập thuộc họ τ gọi tập mở Như vậy, cho tôpô tập X, có nghĩa qui định rõ tập X coi tập mở việc qui định phải ý cho: X 0/ mở giao số hữu hạn hợp số tập mở tập mở Vì họ tất tập mở không gian Metric (gồm không gian định chuẩn không gian Hilbert) không gian tôpô Định nghĩa 1.3 [So sánh Tôpô] Khi có hai không gian tôpô τ, τ X ta nói tôpô τ yếu tôpô τ (hay tôpô τ mạnh tôpô τ) τ ⊂ τ ; nghĩa tập mở tôpô τ tập mở tôpô τ Trong tất tôpô X, tôpô thô tôpô yếu nhất, tôpô rời rạc tôpô mạnh Định nghĩa 1.4 [Cơ sở tiền sở tôpô] Cho τ tôpô X Một họ β τ gọi sở τ tập thuộc τ hợp họ thuộc β Nói cách khác, họ β τ sở τ ∀G ∈ τ, ∀x ∈ G, ∃V ∈ β cho x ∈ V ⊂ G Một họ σ họ τ gọi tiền sở τ họ tất giao hữu hạn tập thuộc σ sở τ Như họ σ τ tiền sở τ ∀G ∈ τ, ∀x ∈ G, ∀W1 ,W2 , ,Wn ∈ σ cho x ∈ W1 ∩ ∩Wn ⊂ G Hiển nhiên tôpô hoàn toàn xác định biết sở hay tiền sở Định nghĩa 1.5 [Lân cận] Cho X không gian tôpô x ∈ X Tập V X gọi lân cận điểm x tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận x Mọi lân cận x chứa lân cận mở Định nghĩa 1.6 Cho không gian tôpô X, tập A điểm x ⊂ X • Điểm x gọi điểm A có lân cận V cho V ⊂ A • Điểm x gọi điểm A có lân cận V cho V ∩ A = / • Điểm x gọi điểm biên A lân cận V x có V ∩A = 0/ V ∩ (X \ A) = / Tập tất điểm biên A gọi biên A Kí hiệu: ∂ A Cho X không gian tôpô tập A X • Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A Kí hiệu: A◦ Từ định nghĩa ta có: A◦ tập mở lớn chứa A A ⊂ B A◦ ⊂ B◦ A mở A = A◦ • Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A Kí hiệu: A¯ Từ định nghĩa ta có: A¯ tập đóng nhỏ chứa A ¯ A ⊂ B A¯ ⊂ B¯ A đóng A = A Không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff với cặp điểm khác x1 , x2 ∈ X, tồn lân cận V x1 lân cận U x2 cho U ∩V = / Cho X không gian tôpô Tập A ⊆ X gọi compact (trong X) vối phủ mở A có phủ hữu hạn Nghĩa Di tập mở X với i thuộc I A⊆ Di i∈I có tập hữu hạn I0 ⊆ I cho: Di ⊇ A i∈I0 Không gian X gọi không gian compact X tập compact X Tức Di mở X, ∀i ∈ I Di = X i∈X có tập hữu hạn I0 ⊆ I cho Di = X i∈I0 1.2 Ánh xạ liên tục Cho X Y không gian tôpô ánh xạ f : X → Y , ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x) Y tồn lân cận U x X cho f (U) ⊂ V , hay f −1 (V ) lân cận x Vì lân cận chứa lân cận mở nên định nghĩa ta thay lân cận lân cận mở Ánh xạ liên tục X liên tục ∀x ∈ X Định lý 1.1 Mọi ánh xạ f : X → Y , điều kiện sau tương đương: a) f liên tục, b) f −1 (G) mở X với tập mở Y , c) f −1 (F) đóng X với tập F đóng Y , d) f A¯ ⊂ f (A) với A ⊂ X Hệ 1.1 Hợp thành ánh xạ liên tục ánh xạ liên tục Cho ánh xạ f : X → Y , ánh xạ f gọi mở tập mở G X, f (G) mở Y ; gọi đóng tập đóng F X, f (F) đóng Y Một song ánh f : X → Y gọi phép đồng phôi f f −1 ánh xạ liên tục Nếu có phép đồng phôi f : X → Y không gian X Y gọi đồng phôi với Rõ ràng f phép đồng phôi f −1 phép đồng phôi Hợp thành phép đồng phôi phếp đồng phôi Định lý 1.2 Cho f : X → Y song ánh, liên tục Khi đó, điều kiện sau tươnng đương: a) f phép đồng phôi, b) f ánh xạ mở, c) f ánh xạ đóng Chứng minh: Vì f liên tục, f phép đồng phôi ⇔ f −1 : X → Y liên tục ⇔ f −1 −1 (G) mở với G X ⇔ f (G) mở với G X ⇔ f ánh xạ mở Vậy a) ⇒b) Tương tự ta có a) ⇒c) Giả sử X tập hợp, {Ys , ξs }s∈S họ không gian tôpô, { fs : X → Ys }s∈S họ ánh xạ fs từ X vào Ys Trong họ tôpô X cho tất ánh xạ fs liên tục, tồn tôpô yếu Họ ℑ tất tập hợp có dạng k fs−1 (Vi ) i=1 s1 , s2 , , sk ∈ S, Vi tập mở không gian Vsi với i = 1, 2, , k sở không gian tôpô (X, ξ ) ξ gọi tôpô đầu xác định họ ánh xạ { fs }s∈S Giả sử {(Xs , ξ )}s∈S họ không gian tôpô, Y tập hợp, { fs }s∈S họ ánh xạ fs : Xs → Y Trong tất ánh xạ fs liên tục, tồn tôpô ξ mạnh Với ∀V ⊂ Y,V ∈ ξ với s ∈ S, fs−1 (V ) ∈ ξs ξ gọi tôpô cuối xác định họ ánh xạ { fs }s∈S 1.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.7 Không gian vectơ X gọi không gian tuyến tính định chuẩn ( không gian định chuẩn) với x ∈ X, tồn số thực x , gọi chuẩn x, thoả mãn: a) x b) x = ⇔ x = c) cx = |c| x , vô hướng c ,∀x ∈ X d) x + y x + y , ∀x, y ∈ X Nếu có tính chất a)c) d) · gọi nửa chuẩn Định nghĩa 1.8 Cho X không gian tuyến tính định chuẩn a) Một dãy vectơ {xn } X hội tụ tới x ∈ X lim xn − x = 0, n→∞ Bổ đề 2.3 (GOLDSTINE) Cho E không gian Banach Khi J (BE ) trù mật BE ∗∗ tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ) J (BE ) trù mật E ∗∗ tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ) Chứng minh Giả sử ξ ∈ BE ∗∗ V lân cận ξ tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ) Ta cần chứng minh V ∩ J (BE ) = / Ta giả thiết V = {η ∈ E ∗∗ : | η − ξ | < ε, ∀i = 1, 2, , k} với f1 , f2 , , fk ∈ E ∗ , ε > Ta cần tìm x ∈ BE cho J (x) ∈ V , tức | fi , x − ξ , fi | < ε ∀i = 1, 2, , k Đặt γi = ξ , fi Theo Bổ đề 2.2, ta cần chứng tỏ k k ∑ β i γi ≤ i=1 ∑ βi f i i=1 Điều k ∑ βi γi = i=1 k ξ , ∑ βi fi i=1 ξ ≤ Nhận xét 2.11 J(BE ) đóng BE ∗∗ theo tôpô mạnh Thực vậy; Nếu ξn = J (xn ) → ξ ta có (xn ) dãy Cauchy BE ( J phép đẳng cự) Do xn → x ξ = Jx Chứng tỏ: J (BE ) không trù mật BE ∗∗ theo tôpô mạnh, trừ J (BE )=BE ∗∗ , tức E phản xạ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ (2.2) (TIẾP): Đơn ánh tắc J : E → E ∗∗ liên tục từ σ (E, E ∗ ) vào σ (E ∗∗ , E ∗ ) Vì với f ∈ E ∗ cố định, ánh xạ x → Jx, f = f , x liên tục σ (E, E ∗ ) 21 Giả sử BE compact theo tôpô σ (E, E ∗ ), nên J(BE ) compact đóng E ∗∗ tôpô σ (E ∗∗ , E∗) Mặt khác, theo Bổ đề 2.3: J(BE ) trù mật BE ∗∗ với tôpô ⇒ J(BE ) = BE ∗∗ ⇒ J(E) = E ∗∗ Liên quan đến tính compact không gian phản xạ ta có hai kết sau: Định lý 2.3 Giả sử E không gian Banach phản xạ (xn ) dãy bị chặn E Khi tồn dãy xnk hội tụ theo tôpô yếu σ (E, E ∗ ) Điều ngược lại Định lý 2.4 (EBERLEIN - SMULIAN) Giả sử E không gian Banach tính chất dãy bị chặn E có dãy hội tụ yếu ( theo σ (E, E ∗ )) Khi E phản xạ Nhận xét 2.12 Để làm rõ mối quan hệ Định lý 2.2,Định lý 2.3,Định lý 2.4 ta sử dụng điều sau: (i) Nếu X không gian metric [ X- compact ⇔ dãy X có dãy hội tụ] (ii) Tồn không gian tôpô compact X dãy X dãy hội tụ Một ví dụ điển hình X = BE ∗ , compact theo tôpô σ (E ∗ , E) Khi E = l ∞ , ta dễ dàng xây dựng dãy X dãy hội tụ (iii) Nếu X không gian tôpô với tính chất : dãy X có dãy hội tụ X không thiết compact Đây vài tính chất không gian phản xạ Mệnh đề 2.9 Giả sử E không gian Banach phản xạ M ⊂ E không gian đóng tuyến tính E Khi M phản xạ Chứng minh Không gian M- trang bị với chuẩn E có hai tôpô yếu phân biệt: (a) Tôpô cảm sinh σ (E, E ∗ ); (b) Tôpô yếu σ (M, M ∗ ) 22 Thực tế, hai tôpô trùng (vì, theo Định lý Hahn -Banach, hàm tuyến tính liên tục M hạn chế lên M phiếm hàm tuyến tính liên tục E) Theo Định lý 2.2, ta phải chứng minh rằng: BM compact theo tôpô σ (M, M ∗ ) tương đương theo tôpô σ (E, E ∗ ) Tuy nhiên, BE compact theo tôpô σ (E, E ∗ ) M đóng theo tôpô σ (E, E ∗ ) (theo Định lý (**): Cho C tập lồi E Khi C đóng theo tôpô yếu σ (E, E ∗ ) ⇔ đóng theo tôpô mạnh) ⇒ BM compact theo tôpô σ (E, E ∗ ) Hệ 2.2 Một không gian Banach E phản xạ ⇔ không gian đối E ∗ phản xạ Chứng minh (⇒) E phản xạ ⇒ E ∗ phản xạ Ta có : E ∗∗ = E ⇒ E ∗∗∗ = E ∗ Cụ thể ta chứng minh J : E → E ∗∗ đẳng cấu tắc Thật vậy: Cho ϕ ∈ E ∗∗∗ Ánh xạ: x → ϕ, Jx phiếm hàm tuyến tính liên tục E Gọi f ∈ E ∗ thì: ϕ, Jx = f , x ,∀x ∈ E Mà ϕ, Jx = Jx, f , ∀x ∈ E Vì J toàn ánh nên ϕ, ξ = ξ , f , ∀ξ ∈ E ∗∗ , tức đơn ánh tắc từ E ∗ → E ∗∗∗ toàn ánh (⇐) E ∗ phản xạ ⇒ E phản xạ Từ bước ta có E ∗∗ phản xạ Vì J (E) không gian đóng E ∗∗ theo tôpô mạnh nên suy J (E) phản xạ (theo Mệnh đề 2.3) ⇒ E phản xạ 23 Hệ 2.3 Cho E không gian Banach phản xạ Giả sử K ⊂ E tập bị chặn, đóng lồi E Khi K compact theo tôpô σ (E, E ∗ ) Chứng minh K đóng tôpô σ (E, E ∗ ) Mặt khác, tồn số m cho : K ⊂ mBE mBE compact theo σ (E, E ∗ ) (theo Định lý 2.2) Hệ 2.4 Cho E không gian Banach phản xạ; A ⊂ E tập lồi đóng E Giả sử ϕ : A → (−∞, +∞) hàm lồi, nửa liên tục cho ϕ ≡ +∞ lim = +∞ (không có giả thiết A bị chặn) x∈A x →∞ (5) Khi ϕ đạt GTNN A, tức ∃x0 ∈ A cho: ϕ (x0 ) = ϕ A Chứng minh Cố định a ∈ A cho: ϕ (a) < +∞ Xét tập A˜ = {x ∈ A : ϕ (x) ≤ ϕ (a)} Khi đó, A˜ đóng, lồi bị chặn (theo (5) ) ⇒ A˜ compact theo tôpô σ (E, E ∗ ) (theo Hệ 2.3) Mặt khác, ϕ nửa liên tục theo tôpô σ (E, E ∗ ) ⇒ ϕ đạt cực tiểu ˜ tức là: ∃x0 ∈ A˜ cho: A, ˜ ϕ (xo ) ≤ ϕ (x), ∀x ∈ A ˜ ta có: ϕ (x0 ) ≤ ϕ (a) < ϕ (x) Nếu x ∈ A\A, Do ϕ (xo ) ≤ ϕ (x), ∀x ∈ A Định lý 2.5 Cho E F hai không gian Banach phản xạ A : D (A) ⊂ E → F toán tử tuyến tính, không bị chặn, xác định trù mật đóng Khi D (A∗ ) trù mật F ∗ A∗∗ xác định tốt 24 (A∗∗ : D (A∗∗ ) ⊂ E ∗∗ → F ∗∗ ) xem toán tử không bị chặn từ E → F Khi ta có A∗∗ =A Chứng minh (1) D (A∗ ) trù mật F ∗ Giả sử ϕ phiếm hàm tuyến tính liên tục F ∗ , triệt tiêu D (A∗ ) Ta phải chứng minh ϕ ≡ F ∗ Vì F phản xạ nên ϕ ∈ F ta có : ω, ϕ = 0, ∀ω ∈ D (A∗ ) (6) Nếu ϕ = [0, ϕ] ∈ / G (A) E × F Do ta tách ngặt [0, ϕ] G (A) siêu phẳng đóng E × F, tức ∃ [ f , v] ∈ E ∗ × F ∗ α ∈ R cho: f , u + v, Au < α < u, ϕ , ∀u ∈ D (A) ⇒ f , u + v, Au = , ∀u ∈ D (A) v, ϕ = Vậy v ∈ D (A∗ ) suy mâu thuẫn cách chọn ω = v (6) (2) A∗∗ =A Ta nhớ lại rằng: I [G (A∗ )] = G(A)⊥ Và I [G (A∗∗ )] = G(A∗ )⊥ ⇒ G (A∗∗ ) = G(A)⊥⊥ = G (A), A đóng 2.4 Không gian tách Định nghĩa 2.4 Ta nói không gian metric E tách ∃D ⊂ E đếm trù mật Nhiều không gian quan trọng giải tích tách Rõ ràng, không 25 gian hữu hạn chiều tách L p (và l p ) không gian tách Tuy nhiên, L∞ l p không gian tách Mệnh đề 2.10 Cho E không gian metric tách F ⊂ E tập Khi F tách Chứng minh Giả sử (Un ) tập trù, đếm E (rm ) dãy số dương, rm → Chọn điểm am,n ∈ B (Un , rm ) ∩ F tập khác rỗng Khi tập (am,n ) đếm trù mật F Định lý 2.6 Giả sử E không gian Banach Nếu E ∗ tách E tách Nhận xét 2.13 Điều ngược lại không Vì E = L1 tách không gian đối ngẫu E ∗ = L∞ không tách Chứng minh Giả sử ( fn )n≥1 đếm trù mật E ∗ Vì fn = sup fn , x x∈E x ≤1 nên ∃xn ∈ E cho xn = fn , xn ≥ fn Ta kí hiệu L0 không gian vectơ Q sinh (xn )n≥1 , tức L0 không gian tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số Q phần tử xn , n ≥ Ta chứng minh L0 đếm Thực vậy, với n ∈ Z , gọi Λn không gian vectơ Q sinh (xk )1≤k≤n Rõ ràng, Λn đếm L0 = ∪ Λn n≥1 Kí hiệu L không gian vectơ R sinh (xn )n≥1 Tất nhiên, L0 tập trù mật L Ta chứng minh rằng: L không gian trù mật E Khi đó, L0 tập đếm trù mật E Thật vậy, giả sử f ∈ E ∗ phiếm hàm tuyến tính liên tục triệt tiêu L, Ta phải chứng minh rằng: f = E với ∀ε>0, ∃N ∈ N : f − fN < ε Ta có: 26 fN ≤ fN , xN = fN − f , xN < ε (Vì f , xN = 0) Từ ta suy f ≤ f − fN + fN < 3ε Vậy f = E Hệ 2.5 Cho E không gian Banach Khi đó: E tách phản xạ ⇔ E ∗ tách phản xạ Chứng minh (⇐) Từ Hệ 2.2 Định lý 2.6 ta có: E ∗ phản xạ tách ⇒ E ∗ phản xạ tách (⇒) Ngược lại, Nếu E phản xạ tách E ∗∗ = J (E) phản xạ tách được, E ∗ phản xạ tách Tính chất tách liên quan mật thiết với tính khả metric tôpô yếu Ta nhắc lại: không gian X gọi khả metric có metric X sinh tôpô X Định lý 2.7 Cho E không gian Banach tách Khi BE ∗ khả metric theo tôpô yếu* σ (E ∗ , E) Ngược lại, BE ∗ khả metric theo σ (E ∗ , E) E tách Đây kết “đối ngẫu” Định lý 2.8 Cho E không gian Banach cho E ∗ tách Khi BE khả metric theo tôpô yếu σ (E, E ∗ ) Ngược lại, BE khả metric theo σ (E, E ∗ ) E ∗ tách CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 2.7: Chứng minh Cho (xn )n≥1 tập trù mật BE Với f ∈ E ∗ đặt | f , xn | n n=1 ∞ [f] = ∑ Rõ ràng, [.] chuẩn [E ∗ ] [ f ] ≤ f Gọi d( f , g) = [ f − g] metric tương ứng Ta chứng minh rằng: tôpô cảm sinh d BE ∗ tôpô σ (E ∗ , E) hạn chế BE ∗ 27 (a) Lấy f0 ∈ BE ∗ gọi V lân cận f0 σ (E ∗ , E) Ta phải số r > cho: U = { f ∈ BE ∗ : d( f , f0 ) < r} ⊂ V Ta giả sử V có dạng : V = { f ∈ BE ∗ : | f − f0 , yi | < ε, ∀i = 1, 2, , k} với ε > y1 , y2 , , yk ∈ E Không tổng quát, ta giả sử: yi ≤ 1, ∀i = 1, 2, , k Với i, ∃ni ∈ Z cho: ε yi − xni < ( Vì tập (xn )n≥1 trù mật BE ) Chọn r > đủ nhỏ để ε 2ni r < , ∀i = 1, 2, , k Ta chứng minh rằng: U ⊂ V Thật vậy, Nếu d ( f , f0 )< r ta có: | f − f0 , xni |< r ∀i = 1, 2, , k 2ni Do đó, với ∀i = 1, 2, , k, ε ε | f − f0 , yi | = | f − f0 , yi − xni + f − f0 , xni |< + 2 ⇒ f ∈V (b) Lấy f0 ∈ BE ∗ Với r > 0, ta phải có lân cận V f0 σ (E ∗ , E) cho: V ⊂ U = [ f ∈ BE∗ : d( f , f0 )] < r Ta chọn V = { f ∈ BE ∗ : | f − f0 , xi | < ε, ∀i = 1, 2, , k} với ε k xác định cho V ⊂ U Cụ thể với f ∈ V ta có: 28 k ∞ ∞ 1 | | | | f − f , x + f − f , x < ε + = ∑ ∑ n n 0 n n n n=1 n=k+1 n=k+1 ε + k−1 d ( f , f0 ) = ∑ r r k đủ lớn cho k−1 < 2 ⇒ Ta có điều phải chứng minh Do vậy, lấy ε = +) Ngược lại, Giả sử BE ∗ khả metric theo σ (E ∗ , E) Ta chứng minh : E tách Đặt: Un = f ∈ BE ∗ : d ( f , 0) < n Vn lân cận theo σ (E ∗ , E) cho: Vn ⊂ Un Giả sử Vn có dạng: Vn = { f ∈ BE ∗ : | f , x | < εn , ∀x ∈ Φn } với εn > Φn tập hữu hạn E Đặt ∞ D = ∪ Φn n=1 D đếm Ta chứng minh rằng: không gian vectơ sinh D trù mật E ( ⇒ E tách được) Thật vậy, Giả sử f ∈ E ∗ : f , x = 0, ∀x ∈ D Khi f ∈ Vn , ∀n, f ∈ Un , ∀n ⇒ f = CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 2.8: Chứng minh E ∗ tách ⇒ BE khả metric theo σ (E, E ∗ ) cần thay đổi vai trò E E ∗ Chứng minh phần ngược lại phức tạp nên không trình bày 29 Nhận xét 2.14 Cần nhấn mạnh lại : không gian vô hạn chiều tôpô yếu σ (E, E ∗ ) ( tôpô yếu* σ (E ∗ , E) ) E ( tương ứng E ∗ ) không khả metric Nói riêng, ta có tôpô sinh chuẩn [.] E ∗ không trùng với tôpô yếu* σ (E ∗ , E) Hệ 2.6 Cho E không gian Banach tách được, ( fn ) dãy bị chặn E ∗ Khi đó, tồn dãy fnk hội tụ theo tôpô yếu* σ (E ∗ , E) Chứng minh Không tổng quát, giả sử fn ≤ 1, ∀n Tập BE ∗ compact khả metric tôpô σ (E ∗ , E) ( theo Định lý 2.1 Định lý 2.7) nên ta có điêù phải chứng minh Bây ta chứng minh Định lý 2.3 sau: Chứng minh Gọi M0 không gian vectơ sinh xn M = M0 Rõ ràng, M tách (xem chứng minh Định lý 2.6) Hơn nữa, M phản xạ ( xem Mệnh đề 2.9) Do BM compact khả metric theo tôpô yếu σ (M, M ∗ ) Vì M ∗ tách (suy từ Hệ 2.5 Định lý 2.8) Do vậy, tồn dãy xnk hội tụ yếu theo σ (M, M ∗ ) xnk hội tụ yếu theo σ (E, E ∗ ) 2.5 Không gian lồi Định nghĩa 2.5 Một không gian Banach gọi lồi ∀ε > 0, ∃δ > cho [x, y ∈ E, x ≤ 1, y ≤ x − y > ε] ⇒ x+y < 1−δ +) Tính lồi tính chất hình học hình cầu đơn vị, ta cho thước với độ dài ε > chuyển động hình cầu đơn vị, trung điểm phải nằm hình cầu với bán kính − δ , δ > 30 Nói riêng, mặt cầu đơn vị phải tròn không chứa đoạn thẳng VÍ DỤ 1: Cho E = R2 , x x 1 = [|x1 |2 + |x2 |2 ] lồi Trong đó: = |x1 | + |x2 | x ∞ = max(|x1 |, |x2 |) không lồi Điều dễ dàng nhận thấy từ hình cầu đơn vị VÍ DỤ 2: Không gian L∞ lồi với < p < ∞ không gian Hilbert lồi Định lý 2.9 (MILMAN- PETTIS) Mọi không gian Banach lồi đều phản xạ Nhận xét 2.15 Tính lồi tính chất hình học chuẩn, chuẩn tương đương với chuẩn lồi không thiết lồi (xem VD1) Mặt khác, tính phản xạ tính chất tôpô: không gian phản xạ phản xạ chuẩn tương Do tính hấp dẫn Định lý 2.9 “tính chất hình học kéo theo tính chất tôpô” Tính lồi thường sử dụng phương tiện để chứng minh tính phản xạ Nhưng công cụ tối ưu - có số không gian phản xạ không thừa nhận chuẩn lồi tương đương Chứng minh Giả sử ξ ∈ E ∗∗ với ξ = Ta phải rằng: ξ ∈ J (BE ) Vì J (BE ) đóng E ∗∗ theo tôpô mạnh nên ta cần chứng minh ∀ε > 0, ∃x ∈ BE : ξ − J (x) ≤ ε (7) Cố định ε > gọi δ > môđun tính lồi Chọn f ∈ E ∗ cho: f = ξ,1 > 1− δ (8) (Điều có thể, ξ = 1) Đặt V = η ∈ E ∗∗ , | η − ξ , f | < 31 δ , V lân cận ξ theo tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ) Vì J (BE ) trù mật BE ∗∗ σ (E ∗∗ , E ∗ ) (Bổ đề 2.3) nên V ∩ J (BE ) = 0/ => ∃x ∈ BE : J (x) ∈ V Bây ta chứng minh x thoả mãn (7) Thật vậy, ξ ∈ (Jx + εBE ∗∗ )C = W Tập W Giả sử ngược lại: ξ − Jx > ε, tức là lân cận ξ theo tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ) (Vì BE∗∗ đóng theo σ (E ∗∗ , E ∗ ) Áp dụng Bổ đề 2.3, ta có: V ∩ W ∩ J (BE ) = 0, / tức : ∃y ∈ BE cho J (y) ∈ V ∩ W Do J (x) , J (y) ∈ W nên | f,x − ξ, f | < δ | f,y − ξ, f | < δ Cộng bất đẳng thức ta ξ, f < f,x+y +δ ≤ x+y +δ x+y > 1−δ Do tính lồi ⇒ x − y ≤ ε (vô lý), J (y) ∈ W ⇒ Kết hợp (8) Vậy x − y > ε Mệnh đề 2.11 Giả thiết E không gian Banach lồi đều, (xn ) dãy E cho xn x yếu theo σ (E, E ∗ ) lim sup xn ≤ x Khi xn → x mạnh Chứng minh Nếu x = điều hiển nhiên Giả thiết x = Đặt λn = max ( xn , x ) , yn = λn−1 xn y = x Khi λn → x yn y yếu theo σ (E, E ∗ ) Do 32 −1 x, y ≤ lim inf yn + y (xem Mệnh đề 2.3) yn + y → Từ tính lồi ⇒ yn − y → Do đó, xn → x mạnh Mặt khác, y = yn ≤ nên 33 KẾT LUẬN Trong luận văn em nghiên cứu số vấn đề sau “Tôpô yếu, tôpô yếu*, không gian phản xạ, không gian tách được, không gian lồi đều”.Luận văn mang tính tổng quát em tìm hiểu trình bày hoàn chỉnh vấn đề mà luận văn đề cập Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Trần Văn Bằng, thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Giải tích Do thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm công tác làm nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! 34 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập I, II,Nxb Giáo Dục Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương - độ đo tích phân,Nxb Giáo dục [4] Hoàng Tuỵ, Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2010 35 [...]... hội tụ thì X không nhất thiết là compact Đây là một vài tính chất của không gian phản xạ Mệnh đề 2.9 Giả sử E là một không gian Banach phản xạ và M ⊂ E là một không gian con đóng tuyến tính của E Khi đó M là phản xạ Chứng minh Không gian M- được trang bị với chuẩn của E và có hai tôpô yếu phân biệt: (a) Tôpô cảm sinh bởi σ (E, E ∗ ); (b) Tôpô yếu của chính nó σ (M, M ∗ ) 22 Thực tế, hai tôpô này là... VÍ DỤ 2: Không gian L∞ là lồi đều với 1 < p < ∞ và các không gian Hilbert cũng là lồi đều Định lý 2.9 (MILMAN- PETTIS) Mọi không gian Banach lồi đều đều là phản xạ Nhận xét 2.15 Tính lồi đều là một tính chất hình học của chuẩn, chuẩn tương đương với chuẩn lồi đều không nhất thiết lồi đều (xem VD1) Mặt khác, tính phản xạ là một tính chất của tôpô: một không gian phản xạ sẽ vẫn phản xạ đối với chuẩn tương... 2.9 Rất nhiều không gian quan trọng trong giải tích là phản xạ Rõ ràng ,các không gian hữu hạn chiều là phản xạ (Vì dim E = dimE ∗ =dimE ∗∗ ) L p ( và l p ) là không gian phản xạ với 1 0 sao cho [x, y ∈ E, x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y > ε] ⇒ x+y < 1−δ 2 +) Tính lồi đều là một tính chất. .. chung, trong không gian vô hạn chiều, luôn tồn tại dãy hội tụ yếu và không hội tụ mạnh Chẳng hạn, nếu E ∗ tách được hoặc nếu E là không gian phản xạ thì ta có thể xây dựng một dãy (xn ) ⊂ E sao cho: xn = 1 và xn 0 yếu Tuy nhiên,cũng có các không gian vô hạn chiều với tính chất mọi dãy hội tụ yếu là hội tụ mạnh Chẳng hạn: l 1 có tính chất đặc biệt , các không gian như vậy là rất hiếm Điều này không mâu ... Kiến thức chuẩn bị Chương Tôpô yếu số tính chất không gian định chuẩn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Tôpô Định nghĩa 1.1 Cho tập X Ta nói họ τ tập X tôpô X, thoả mãn tính chất sau:... tôpô Định nghĩa 1.3 [So sánh Tôpô] Khi có hai không gian tôpô τ, τ X ta nói tôpô τ yếu tôpô τ (hay tôpô τ mạnh tôpô τ) τ ⊂ τ ; nghĩa tập mở tôpô τ tập mở tôpô τ Trong tất tôpô X, tôpô thô tôpô yếu. .. ) không gian phản xạ với 1