TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN MAI THỊ HẢO TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Thị Hảo LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Thị Hảo Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn 1.3 Nguyên lý thác triển Hahn - Banach 1.4 Nguyên lý bị chặn 1.5 Nguyên lý ánh xạ mở định lý đồ thị đóng 11 1.6 Không gian bù Toán tử nghịch đảo phía 14 1.7 Tính trực giao 18 Chương Toán tử tuyến tính không bị chặn 21 2.1 Toán tử không bị chặn 21 2.2 Toán tử với miền giá trị đóng toán tử toàn ánh 28 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích chuyên ngành giữ vai trò quan trọng Toán học Lý thuyết giải tích hàm đẹp đẽ chìa khóa để hiểu môn học khác giải tích toán học Đối tượng giải tích hàm không gian toán tử tuyến tính liên tục hay gọi toán tử tuyến tính bị chặn Trong chương trình môn giải tích hàm, ta biết đến số khái niệm kết toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach định lí Hahn - Banach, nguyên lý bị chặn Banach - Steinhaus, nguyên lý ánh xạ mở định lý đồ thị đóng Một toán tử tuyến tính xác định toàn không gian thỏa mãn điều kiện bị chặn toán tử tuyến tính bị chặn nhiên ta cho phép định nghĩa ánh xạ tuyến tính không gian thực nhỏ không gian xét có toán tử tuyến tính không bị chặn Đây khái niệm mà với lượng thời gian eo hẹp lớp sinh viên khó vào nghiên cứu Dưới góc độ sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, đồng thời hướng dẫn nhiệt tình thầy Trần Văn Bằng chọn đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn”.Tôi hi vọng đề tài có ích cho việc nghiên cứu vấn đề giải tích hàm ngành khác toán học lý thuyết ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán tử tuyến tính không bị chặn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán tử tuyến tính không bị chặn bao gồm khái niệm đặc trưng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Toán tử tuyến tính không bị chặn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Chuẩn không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu ||.|| đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) (∀x ∈ X), ||x|| ≥ 0, ||x|| = ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không θ ); 2) (∀x ∈ X), (∀α ∈ P)||αx|| = |α|||x||; 3) (∀x, y ∈ X)||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Số ||x|| gọi chuẩn vector x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1),2),3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định lý 1.1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vector x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = ||x − y|| Khi d metric X Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim ||xn − x|| = n→∞ Kí hiệu: lim xn = x hay xn → x(n → ∞) n→∞ Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim n,m→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1 Cho X Y hai không gian tuyến tính trường P (P = R P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính A thỏa mãn: ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, ∀α, β ∈ P A(αx + β y) = αAx + β Ay, Khi Y = P toán tử tuyến tính A gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2 Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn tồn số c > cho: Ax ≤ c x , ∀x ∈ X Nhận xét 1.2.1 : a) Đối với toán tử tuyến tính, khái niệm liên tục bị chặn tương đương b) Từ công thức suy ra: sup x=0 Ax < +∞ x Định nghĩa 1.3 Chuẩn toán tử tuyến tính A định nghĩa sau: A = sup x=0 Ax x Định nghĩa 1.4 Kí hiệu: Cho X Y hai không gian định chuẩn Ta gọi £(X,Y ) không gian toán tử tuyến tính liên tục (bị chặn) từ X vào Y trang bị với chuẩn T £(X,Y ) = sup ||T x|| x∈X ||x||≤1 Thông thường, ta viết £(X) thay cho £(X, X) 1.3 Nguyên lý thác triển Hahn - Banach Một hàm thực ϕ(x) không gian vector X gọi tuyến tính, 1) ϕ(x1 + x2 ) ≤ ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ) với x1 , x2 ∈ X; 2) ϕ(αx) = αϕ(x) với x ∈ X số α ≥ Định lý 1.3.1 Định lý Hahn - Banach Cho phiếm hàm tuyến tính f xác định không gian M không gian vector thực X Nếu có hàm tuyến tính ϕ xác định X, cho ∀x ∈ M f (x) ≤ ϕ(x) phải có phiếm hàm tuyến tính F(x) xác định toàn thể X, cho: 1) F khuếch f , nghĩa ∀x ∈ M 2) ∀x ∈ X F(x) = f (x) F(x) ≤ ϕ(x) Định nghĩa 1.1 Ta kí hiệu X ∗ không gian đối ngẫu X nghĩa không gian tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X Chuẩn đối ngẫu X ∗ định nghĩa bởi: || f ||X ∗ = sup | f (x)| = sup f (x) x∈X x∈X ||x||≤1 ||x||≤1 Định nghĩa 1.2 Nếu M ∈ E không gian tuyến tính đặt M ⊥ = { f ∈ X ∗ : f , x = 0, ∀x ∈ M} Ta gọi M ⊥ không gian trực giao với M Hệ 1.3.1 Với phần tử xo = không gian định chuẩn X có phiếm hàm tuyến tính liên tục f X cho f (x) = ||xo || || f || = Chứng minh Đặt Xo = {txo : t ∈ P} ta Xo không gian tuyến tính không gian X Với x ∈ Xo x = txo ,t ∈ P, ta đặt fo (x) = t||xo || Hiển nhiên, fo phiếm hàm tuyến tính Xo , fo (xo ) = ||xo ||, | fo (x)| = |t|||xo || = ||x||, || fo || = Theo định lý Hahn - Banach, ta thác triển phiếm hàm fo thành phiếm hàm f từ Xo lên toàn X thỏa mãn: f (xo ) = ||xo ||, || f || = || fo || = Hệ 1.3.2 Cho M không gian tuyến tính không gian định chuẩn X xo ∈ X phần tử thỏa mãn điều kiện: dist(xo , M) = in f ||xo − y|| = d > y∈M Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định toàn không gian X cho: 1) f (y) = 0, ∀y ∈ M ; 2) || f || = d1 ; 3) f (xo ) = 1.4 Nguyên lý bị chặn Định lý 1.4.1 Định lý phạm trù Baire Cho X không gian metric đầy cho (Xn )n≥1 dãy tập đóng X Giả sử rằng: IntXn = 0/ Khi ∀n ≥ ∞ Xn ) = / Int( n=1 Nhận xét 1.4.1 Định lý phạm trù Baire thường sử dụng dạng sau Cho X không gian metric đầy không trống (Xn )n≥1 dãy tập đóng X thỏa mãn: ∞ Xn = X n=1 Khi tồn số no cho IntXno = / (24) sup f,x ≤ c x∈G+L ||x||≤1    sup f , x + sup f , x x∈L   x∈G Từ (24) ý với ϕ (x) = IBX (x) − f , x , ∀ f ∈ X ∗   ||x||≤1 ||x||≤1    ψ (x) = IG (x), BX = {x ∈ X : x ≤ 1} Ta có: (25) BG + GL ⊃ 1c BG+L Thật vậy, giả sử xét ngược lại, tồn xo ∈ G + L với ||xo || ≤ c xo ∈ / BG + BL Khi có siêu phẳng đóng X tách ngặt {xo } BG + BL Vì tồn fo ∈ X ∗ α ∈ R thỏa mãn: f o , x < α < f o , xo , ∀x ∈ BG + GL Do ta có sup fo , x + sup fo , x ≤ α < fo , xo , x∈G ||x||≤1 x∈L ||x||≤1 Điều mâu thuẫn với (24) (25) chứng minh Cuối cùng, xét không gian E = G × L với chuẩn ||[x, y]|| = max { x , y } không gian F = G + L với chuẩn X Ánh xạ T : E → F xác định T ([x, y]) = x + y tuyến tính liên tục Từ (25) ta có T (BE ) ⊃ BF c Sử dụng bước hai, chứng minh Định lý 1.5.1 ánh xạ mở ta kết luận T (BE ) ⊃ BF 2c Chứng tỏ, T toàn ánh từ E lên F tức G + L = G + L 20 Chương Toán tử tuyến tính không bị chặn 2.1 Toán tử không bị chặn Định nghĩa 2.1 Cho X Y hai không gian Banach Một toán tử tuyến tính không bị chặn từ X vào Y ánh xạ tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y xác định không gian tuyến tính D(A) ⊂ X với giá trị Y Tập D(A) gọi miền xác định A Ta nói A bị chặn (hoặc liên tục) D(A) = X tồn số c ≥ cho: Ax ≤ c x , ∀x ∈ X Nhận xét 2.1.1 Tất nhiên xảy toán tử tuyến tính không bị chặn bị chặn Thuật ngữ không thật thích hợp nói chung sử dụng không dẫn tới nhầm lẫn Một số ví dụ toán tử tuyến tính không bị chặn 21 Ví dụ 2.1 Toán tử không : X1 ⊂ X → Y xác định x → Ví dụ 2.2 Toán tử đồng Id : X1 ⊂ X → X xác định x → x Ví dụ 2.3 Toán tử A : C1 [a, b] ⊂ C[a, b] → C[a, b] xác định x → Ax(t) = x (t) Sau vài định nghĩa quan trọng kí hiệu khác: Đồ thị A = G(A) = {[u, Au]; u ∈ D(A)} ⊂ X ×Y , Tập giá trị (Ảnh) A = R(A) = {Au; u ∈ D(A)} ⊂ Y , Hạch (Nhân) A = N(A) = {u ∈ D(A) : Au = 0} ⊂ X Một ánh xạ A gọi đóng G(A) đóng X ×Y Ví dụ 2.4 Cho toán tử A : C[0, 1] → C[0, 1] xác định t x → (Ax)(t) = x(s)ds Khi đó: Nhân A N(A) = {0} Ảnh A tập hàm số y có đạo hàm liên tục đoạn [0, 1] y(0) = Nhận xét 2.1.2 Để chứng minh A toán tử đóng, ta thường làm sau: Lấy dãy (un ) ⊂ D(A) cho un → u X Aun → f Y Sau kiểm tra hai điều: (a) u ∈ D(A), (b) f = Au Chú ý xét dãy (un ) mà un → X Aun → f Y chứng minh f = chưa đủ Nhận xét 2.1.3 Nếu A đóng N(A) đóng, nhiên R(A) không thiết đóng Chứng minh Trước hết ta chứng minh A đóng N(A) đóng Thật với dãy xn ∈ N(A), giả sử xn → x Do xn ∈ N(A) nên Axn = Mà A đóng nên cho qua giới hạn (n → ∞) Ax = hay x ∈ N(A) 22 Nếu A đóng R(A) không thiết đóng chẳng hạn: Cho ánh xạ A : với x ∈ 2 → mà x = (xn )n≥1 ta đặt Ax = ( 1n xn )n≥1 Khi R(A) không đóng Ví dụ 2.5 Chứng minh toán tử sau toán tử bị chặn tìm chuẩn chúng a ) A : C1 [0, 1] → C[0, 1] xác định (Ax)(t) = x(t) b) A : C1 [a, b] → C[a, b] xác định (Ax)(t) = x (t) Giải a) Với x ∈ C1 [0, 1], ta có ||x||C1 [0,1] = |x(0)| + sup |x (t)|, t∈[0,1] Theo công thức số gia hữu hạn, ta có x(t) = x(0) + tx (c), c ∈ (0, 1), t ∈ [0, 1] Do |x(t)| ≤ |x(0)| + sup |x (t)| = ||x||C1 [0,1] , ∀t ∈ [0, 1] t∈[0,1] Từ suy ||Ax||C[0,1] = ||x||C[0,1] ≤ ||x||C1 [0,1] Vậy A bị chặn ||A|| ≤ Mặt khác, lấy xo (t) = 1,t ∈ [0, 1], ta xo ∈ C1 [0, 1], ||xo ||C[0,1] = ||xo ||C1 [0,1] = Từ suy ||A|| ≥ Vậy ||A|| = b) Ta thấy A toán tử tuyến tính.Thật ∀x, y ∈ C1 [a, b], ∀α, β ∈ P ta có (A(αx+β y))(t) = (αx+β y) (t) = (αx) (t)+(β y) (t) = αx (t)+β y (t) = α(Ax)(t)+β (Ay)(t) Do αx + β y ∈ C1 [a, b] Với x ∈ C1 [a, b], ta có ||Ax||C[a,b] = sup |x (t)| ≤ |x(a)| + sup |x (t)| = ||x||C1 [a,b] t∈[a,b] t∈[a,b] Do A bị chặn ||A|| ≤ Mặt khác, lấy xo (t) = t − a, a ≤ t ≤ b, ta xo ∈ C1 [a, b] ||Axo ||C[a,b] = Từ suy ||A|| ≥ Vậy ||A|| = 23 Định nghĩa 2.2 Toán tử liên hợp A∗ Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, xác định trù mật Toán tử không bị chặn A∗ : D(A∗ ) ⊂ Y ∗ → X ∗ xác định sau: Đầu tiên ta định nghĩa miền xác định nó: D(A∗ ) = {v ∈ Y ∗ ; ∃c ≥ : | v, Au | ≤ c||u||, ∀u ∈ D(A)} Khi D(A∗ ) không gian tuyến tính Y ∗ Thật vậy: ∀x, y ∈ D(A∗ ), ∀α, β ∈ P ta có | αx + β y, Au | = | αx, Au + β y, Au | ≤ |α x, Au | + |β y, Au | ≤ |α|| x, Au | + |β || y, Au | Do theo định nghĩa D(A∗ ) tồn c1 c2 cho | x, Au | ≤ c1 ||u||và| x, Au | ≤ c2 ||u|| ∀u ∈ D(A) Suy αx + β y ∈ D(A∗ ) hay D(A∗ ) không gian tuyến tính Y ∗ Tiếp theo ta định nghĩa A∗ v: với v ∈ D(A∗ ), xét ánh xạ g : D(A) → R xác định bởi: g(u) = v, Au , ∀u ∈ D(A) Ta có |g(u)| ≤ c u , ∀u ∈ D(A) Theo định lý Hahn - Banach, tồn ánh xạ tuyến tính f : X → R thác triển mở rộng g thỏa mãn: | f (u)| ≤ c u , ∀u ∈ X Khi f ∈ X ∗ Chú ý thác triển nhất, D(A) trù mật X Ta thiết lập ánh xạ A∗ : D(A∗ ) ⊂ Y ∗ → X ∗ xác định công thức A∗ v = f , 24 ∀v ∈ Y ∗ tức A∗ v, u = v, Au ∀u ∈ D(A) Khi A∗ toán tử tuyến tính Thật ∀x, y ∈ Y ∗ , ∀α, β ∈ P ta có A∗ (αx + β y), u = αx + β y, Au = α x, Au + β y, Au = α A∗ x, u + β A∗ y, u = αA∗ x, u + β A∗ y, u = αA∗ x + β A∗ y), u , ∀u ∈ D(A) Suy A∗ (αx + β y) = αA∗ x + β A∗ y Do A∗ toán tử tuyến tính Toán tử A∗ gọi toán tử liên hợp toán tử A Từ định nghĩa ta có mối liên hệ A A∗ sau v, Au Y ∗ ,Y = A∗ v, u X ∗ ,X ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ D(A∗ ) Ví dụ 2.6 Tìm toán tử liên hợp với toán tử cho a) Ax = (0, x1 , x2 , , xn , ), với x = (xn ) ∈ b) (Ax)(t) = t x(s)ds, với ≤ t ≤ 1, x ∈ L2 [0, 1] Giải a) Với x = (xn ) ∈ A toán tử tuyến tính bị chặn nên tồn toán tử liên hợp A∗ ∀x = (x1 , x2 , ), y = (y1 , y2 , ) ta có: Ax, y = 0y1 + x1 y2 + + xn yn+1 + = x1 y2 + + xn yn+1 + = x, A∗ y Vậy A∗ y = (y2 , y3 , ) b) Trước hết ta thấy A toán tử tuyến tính L2 [0, 1] Thật ∀x, y ∈ L2 [0, 1], (A(αx + β y))(t) = = α ∀α, β ∈ P ta có t (αx + β y)(s)ds t t x(s)ds + β y(s)ds = t ((αx(s)) + (β y(s)))ds = α(Ax)(t) + β (Ay)(t), Với t ∈ [0, 1] t | t x(s)ds|2 ≤ ( t |x(s)|ds)2 ≤ 0 25 |x(s)|2 ds = ||x||2 ∀t ∈ [0, 1] Suy t | x(s)ds| dt ≤ ||x||2 hay ||Ax||2 ≤ ||x||2 nên ||Ax|| ≤ ||x|| Vậy A toán tử tuyến tính bị chặn tồn toán tử liên hợp A∗ ∀x, y ∈ L2 [0, 1] ta có Ax, y = x, A∗ y Khi Ax, y (Ax)(t)y(t)dt 1 0 x(s)y(t)dsdt 1 x(s)( s y(t)dt)ds = = = Do x, A∗ y = Vậy (A∗ y)(s) = = 1 ( x(s)ds)y(t)dt ∗ x(s)(A y)(s)ds s y(t)dt, s ∈ [0, 1] Chú ý 2.1.1 Ta không cần sử dụng tới định lý Hahn - Banach để thác triển g mà cần sử dụng thác triển cổ điển tính liên tục D(A) trù mật, g liên tục D(A) R không đầy Nhận xét 2.1.4 (Có thể xảy khả D(A∗ )) không trù mật Y ∗ (kể A đóng ) trường hợp trực giao khác Vì A đóng D(A∗ ) trù mật Y ∗ topo yếu δ (Y ∗ ,Y ) Đặc biệt, Y phản xạ D(A∗ ) trù mật Y ∗ theo topo ứng với chuẩn thông thường Nhận xét 2.1.5 Nếu A toán tử bị chặn A∗ toán tử bị chặn (từ Y ∗ vào X ∗ ) A∗ £(Y ∗ ,X ∗ ) = A £(X,Y ) Ta thấy: D(A∗ ) = Y ∗ Thật vậy: Rõ ràng D(A∗ ) ⊂ Y ∗ Mặt khác, với z ∈ Y ∗ ta có | z, Au | ≤ ||z||||Au|| Mà A bị chặn z ∈ Y ∗ nên tồn c1 c2 cho ||Au|| ≤ c1 ||u|| ||z|| ≤ c2 Suy | z, Au | ≤ (c1 c2 )||u|| hay z ∈ D(A∗ ) tức Y ∗ ⊂ D(A∗ ) Từ định nghĩa ta có | A∗ v, u | ≤ A Chứng tỏ, A∗ v ≤ A u v , ∀u ∈ X, ∀v ∈ Y ∗ v A∗ ≤ A Ta có | v, Au | ≤ A∗ Từ suy Au ≤ A∗ u v , ∀u ∈ X, u A ≤ A∗ 26 ∀v ∈ Y ∗ Mệnh đề 1.1 Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, xác định trù mật Khi A∗ đóng tức G(A∗ ) đóng Y ∗ × X ∗ Chứng minh Giả sử ∈ D(A∗ ) thỏa mãn: → v Y ∗ A∗ → f X ∗ Ta cần chứng minh (a) v ∈ D(A∗ ) (b) A∗ v = f Ta có: , Au = A∗ , u , ∀u ∈ D(A) Qua giới hạn ta thu ∀u ∈ D(A) v, Au = f , u , Do v ∈ D(A∗ ) (vì| v, Au | ≤ f u , ∀u ∈ D(A)) A∗ v = f Đồ thị A A∗ liên hệ hệ thức trực giao đơn giản Xét đẳng cấu I : Y ∗ × X ∗ → X ∗ ×Y ∗ xác định I([v, f ]) = [− f , v] Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, xác định trù mật Khi đó: I[G(A∗ )] = G(A)⊥ Thật giả sử [v, f ] ∈ Y ∗ × X ∗ , [v, f ] ∈ G(A∗ ) ⇔ ⇔ ⇔ f , u = v, Au , ∀u ∈ D(A), − f , u + v, Au = 0, ∀u ∈ D(A), [− f , v] ∈ G(A)⊥ Sau số hệ thức trực giao quan trọng miền giá trị nhân Hệ 2.1 Nếu Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, xác định trù mật đóng Khi (i) N(A) = R(A∗ )⊥ , (ii) N(A∗ ) = R(A)⊥ , (iii) N(A)⊥ ⊃ R(A∗ ), (iv) N(A∗ )⊥ = R(A) 27 Chứng minh Chú ý (iii) (ii) suy cách trực tiếp từ (i) (ii) kết hợp với Mệnh đề 1.1 Có cách chứng minh đơn giản trực tiếp (i) (ii) sau: (i) ∀x ∈ N(A) ⇒ Ax = ⇔ Ax, y∗ = ⇔ x, A∗ y∗ = ⇔ x ∈ R(A∗ )⊥ (ii) ∀y∗ ∈ N(A∗ ) ⇒ A∗ y∗ = ⇔ x, A∗ y∗ = ⇔ Ax, y∗ = ⇔ y∗ ∈ R(A)⊥ Tuy nhiên, ta gắn vấn đề với Mệnh đề 1.1 theo cách sau: Xét không gian E = X ×Y , E ∗ = X ∗ ×Y ∗ không gian E G = G(A) L = X × {0} Thật dễ kiểm tra : (26) N(A) × {0} = G ∩ L, (27) X × R(A) = G + L, (28) {0} × N(A∗ ) = G⊥ ∩ L⊥ , (29) R(A∗ ) ×Y ∗ = G⊥ + L⊥ Chứng minh (i): Theo (29) ta có R(A∗ )⊥ × {0} = (G⊥ + L⊥ )⊥ = G ∩ L = N(A) × {0} (do(16)) (do(26)) Chứng minh (ii): Từ (27) ta có : {0} × R(A)⊥ = (G + L)⊥ = = G⊥ ∩ L ⊥ {0} × N(A∗ ) (do(17)) (do(28)) Nhận xét 2.1.6 Có thể xảy (thậm chí A toán tử tuyến tính bị chặn), khả N(A)⊥ = R(A∗ ) Tuy nhiên, ta có N(A)⊥ bao đóng R(A∗ ) topo yếu δ (X ∗ , X) Đặc biệt X phản xạ N(A)⊥ = R(A∗ ) 2.2 Toán tử với miền giá trị đóng toán tử toàn ánh Kết liên quan tới toán tử với miền giá trị đóng sau : 28 Định lý 2.2.1 Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, xác định trù mật đóng Khi tính chất sau tương đương: (i) R(A) đóng, (ii) R(A∗ ) đóng, (iii) R(A) = N(A∗ )⊥ , (iv) R(A∗ ) = N(A)⊥ Chứng minh Với kí hiệu giống chứng minh Hệ 2.1 ta có: (i)⇔ G + L đóng E (xem (27)) (ii)⇔ G⊥ + L⊥ đóng E ∗ (xem (29)) (iii)⇔ G + L = (G⊥ ∩ L⊥ )⊥ (xem (27) (28)) (iv)⇔ (G ∩ L)⊥ = G⊥ + L⊥ (xem (26) (29)) Do theo Định lý 1.7.1 ta có điều phải chứng minh Hệ 2.2.1 Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, đóng Khi R(A) đóng ⇔ tồn số c cho dist(u, N(A)) ≤ c Au , ∀u ∈ D(A) Kết cung cấp đặc trưng quan trọng toán tử toàn ánh Định lý 2.2.2 Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, xác định trù mật đóng Các tính chất sau tương đương: (a) A toàn ánh, tức R(A) = Y , (b) Tồn số c thỏa mãn: v ≤ c A∗ v , ∀v ∈ D(A∗ ) (c) N(A∗ ) = {0} R(A∗ ) đóng Nhận xét 2.2.1 Phép suy (b) ⇒ (a) hữu dụng chứng minh toán tử A toàn ánh Khi ta làm sau: Giả sử v thỏa mãn A∗ v = f , ta chứng minh ||v|| ≤ c|| f || (với c độc lập với f ) Điều gọi phương pháp đánh giá tiên nghiệm Người ta thường không quan tâm tới phương trình 29 A∗ v = f có nghiệm hay không mà ta giả sử v nghiệm (nếu có) ta đánh giá chuẩn Chứng minh (a) ⇒ (b) Đặt B∗ = {v ∈ D(A∗ ) : A∗ v ≤ 1} Theo tính nhất, ta cần chứng minh B∗ bị chặn Với mục đích - theo hệ (Nguyên lý bị chặn ) - ta cần chứng minh với fo ∈ Y , tập B∗ , fo bị chặn (trong R) Do A toàn ánh nên tồn uo ∈ D(A) thỏa mãn Auo = fo Với v ∈ B∗ ta có: v, fo = v, Auo = A∗ v, uo | v, fo | ≤ uo (b) ⇒ (c) Giả sử fn = A∗ fn → f Do fn → f nên ∀ε > 0, ∃no > : ∀n, m ≥ no ta có || fn − fm || < 1c ε Với n, m ≥ no ta có ||vn − vm || ≤ c||A∗ (vn − vm )|| ≤ c||A∗ (vn ) − A∗ (vm )|| ≤ c|| fn − fm || < ε Suy dãy không gian Banach nên hội tụ v ∈ D(A∗ ) Mặt khác A∗ đóng (theo Mệnh đề 1.1) ta kết luận f = lim fn = lim A∗ = A∗ v n→∞ n→∞ Từ suy (c) (c) ⇒ (a) Vì R(A∗ ) đóng, nên theo Định lý 2.2.1 ta có R(A) = N(A∗ )⊥ ⊂ Y Mặt khác N(A∗ ) = {0} nên N(A∗ )⊥ = Y Suy R(A) = Y hay A toàn ánh Hệ 2.2.2 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X,Y A ∈ £(X,Y ) Khi R(A) trù mật Y A∗ đơn ánh Chứng minh Ta có R(A) trù mật Y ⇔ R(A) = Y 30 ⇔ ((∀y∗ ∈ Y ∗ )y∗ ∈ R(A)⊥ ⇔ y∗ = 0) ⇔ R(A)⊥ = {0} Do từ Định lý 2.2.1 suy R(A) = Y ⇔ N(A∗ ) = {0} ⇔ A∗ đơn ánh Sau kết đối ngẫu định lý Định lý 2.2.3 Cho A : D(A) ⊂ X → Y toán tử không bị chặn, xác định trù mật đóng Các tính chất sau tương đương: (a) A∗ toàn ánh, tức R(A∗ ) = X ∗ , (b)Tồn số c thỏa mãn: u ≤ c Au , ∀u ∈ D(A), (c) N(A) = {0} R(A) đóng Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.2.2 ta xem tập Ví dụ 2.7 Chứng minh A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y thỏa mãn điều kiện ||Ax|| ≥ m||x||, ∀x ∈ X m số dương toán tử liên hợp A∗ A toàn ánh Giải Giả x∗ phần tử X ∗ Ta chứng minh tồn y∗ ∈ Y ∗ cho A∗ y∗ = x∗ Từ bất đẳng thức cho suy A đơn ánh ánh xạ ngược A−1 : A(X) → X xác định Ax → x toán tử tuyến tính bị chặn Ánh xạ hợp x∗ ◦ A∗ : A(X) → P phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian tuyến tính không gian tuyến tính định chuẩn Y Theo định lý Hahn - Banach, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục y∗ Y cho y∗ |A (X) = x∗ ◦ A∗ Khi y∗ phiếm hàm cần tìm tức A∗ y∗ = x∗ , với x ∈ X, ta có (A∗ y∗ )x = y∗ (Ax) = (x∗ ◦ A∗ )(Ax) = x∗ (x) 31 Nhận xét 2.2.2 Nếu ta giải dim X < ∞ dimY < ∞ khẳng định sau tương đương: A toàn ánh ⇔ A∗ đơn ánh A∗ toàn ánh ⇔ A đơn ánh Đây thực kết cổ điển toán tử tuyến tính không gian hữu hạn chiều Lý để kết luận R(A) R(A∗ ) hữu hạn chiều (do đóng) Trong trường hợp nói chung, ta có nhận xét sau Nhận xét 2.2.3 Cho A toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y Khi a) Nếu A toàn ánh A∗ đơn ánh b) Nếu A∗ toàn ánh A đơn ánh Chứng minh a) Giả sử y∗ ∈ Y ∗ mà A∗ y∗ = Khi (A∗ y∗ )x = y∗ (Ax) = 0, ∀x ∈ X Do A toàn ánh nên từ suy y∗ (y) = với y ∈ Y Do y∗ = Vậy A∗ đơn ánh b) Giả sử x ∈ X mà Ax = x∗ phiếm hàm tuyến tính liên tục X Vì A∗ : Y ∗ → X ∗ toàn ánh nên tồn y∗ ∈ Y ∗ cho A∗ y∗ = x∗ Do x∗ (x) = (A∗ y∗ )x = y∗ (Ax) = y∗ (0) = Vì x∗ (x) = với x∗ ∈ X ∗ nên theo hệ định lý Hahn - Banach, ta có x = Vậy A đơn ánh Chiều ngược lại, không đúng: Thật ta có ví dụ đơn giản sau: Cho X =Y = 2, với x ∈ với x = (xn )n≥1 đặt Ax = ( n1 xn )n≥1 Thật dễ để chứng minh A toán tử bị chặn A∗ = A, A∗ ánh xạ − A không toàn ánh, R(A) trù mật không đóng 32 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung toán học đại, chuyên ngành giải tích hàm, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khoá luận em nghiên cứu cách khái quát toán tử tuyến tính không bị chặn, xem tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm toán tử tuyến tính không bị chặn nói riêng giải tích hàm nói chung Đó thành công đề tài Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 33 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2007 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] H Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2011 34 [...]... nhiên có thể xảy ra rằng một toán tử tuyến tính không bị chặn là bị chặn Thuật ngữ này không thật thích hợp nhưng nói chung nó vẫn được sử dụng và không dẫn tới bất kì sự nhầm lẫn nào Một số ví dụ về toán tử tuyến tính không bị chặn 21 Ví dụ 2.1 Toán tử không 0 : X1 ⊂ X → Y xác định bởi x → 0 Ví dụ 2.2 Toán tử đồng nhất Id : X1 ⊂ X → X xác định bởi x → x Ví dụ 2.3 Toán tử A : C1 [a, b] ⊂ C[a, b] →... + L 20 Chương 2 Toán tử tuyến tính không bị chặn 2.1 Toán tử không bị chặn Định nghĩa 2.1 Cho X và Y là hai không gian Banach Một toán tử tuyến tính không bị chặn từ X vào Y là một ánh xạ tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y xác định trên một không gian tuyến tính con D(A) ⊂ X với giá trị trong Y Tập D(A) được gọi là miền xác định của A Ta nói A là bị chặn (hoặc liên tục) nếu D(A) = X và nếu tồn tại hằng... xạ liên tục bất kì (tuyến tính hoặc không) là đóng Chứng minh Nếu A là toán tử tuyến tính thì đồ thị của nó là không gian con của không gian tích X × Y Nếu A lại là đóng thì G là không gian con đóng của X × Y , cho nên bản thân G cũng là không gian Banach Ta xét toán tử B : G → X xác định bởi (x, A(x)) → x Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục, 1 - 1 từ không gian Banach G lên không gian Banach X... là toán tử tuyến tính Toán tử A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A Từ định nghĩa ta có mối liên hệ cơ bản giữa A và A∗ như sau v, Au Y ∗ ,Y = A∗ v, u X ∗ ,X ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ D(A∗ ) Ví dụ 2.6 Tìm các toán tử liên hợp với các toán tử cho dưới đây a) Ax = (0, x1 , x2 , , xn , ), với x = (xn ) ∈ b) (Ax)(t) = t 0 x(s)ds, với 0 ≤ t ≤ 1, 2 x ∈ L2 [0, 1] Giải 2 a) Với x = (xn ) ∈ thì A là toán tử tuyến. .. (thậm chí cả khi A là toán tử tuyến tính bị chặn) , khả năng N(A)⊥ = R(A∗ ) Tuy nhiên, ta luôn có N(A)⊥ là bao đóng của R(A∗ ) đối với topo yếu δ (X ∗ , X) Đặc biệt nếu X là phản xạ thì N(A)⊥ = R(A∗ ) 2.2 Toán tử với miền giá trị đóng và toán tử toàn ánh Kết quả chính liên quan tới các toán tử với miền giá trị đóng như sau : 28 Định lý 2.2.1 Cho A : D(A) ⊂ X → Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật... là toán tử không bị chặn, xác định trù mật và đóng Các tính chất sau là tương đương: (a) A∗ là toàn ánh, tức là R(A∗ ) = X ∗ , (b)Tồn tại một hằng số c thỏa mãn: u ≤ c Au , ∀u ∈ D(A), (c) N(A) = {0} và R(A) là đóng Chứng minh Tương tự như chứng minh của Định lý 2.2.2 ta xem nó như một bài tập Ví dụ 2.7 Chứng minh rằng nếu A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không. .. X} ⊂ X ×Y Nếu đồ thị G(T ) là tập đóng trong không gian định chuẩn tích X ×Y thì toán tử T là toán tử đóng Một ánh xạ liên tục thì bao giờ cũng là đóng Ngược lại nói chung không đúng, nhưng riêng đối với toán tính tuyến tính Định lý ánh xạ mở cho ta hệ quả sau đây Định lý 1.5.2 Định lý đồ thị đóng Cho X và Y là hai không gian Banach Cho T là toán tử tuyến tính từ X vào Y Giả sử rằng đồ thị của T là... A là đơn ánh Đây thực sự là kết quả cổ điển đối với các toán tử tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều Lý do để các kết luận trên là R(A) và R(A∗ ) là hữu hạn chiều (do đó là đóng) Trong trường hợp nói chung, ta có nhận xét sau Nhận xét 2.2.3 Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y Khi đó a) Nếu A là toàn ánh thì A∗ là... rằng để chứng minh tập B là bị chặn ta chỉ cần nhìn B qua các hàm tuyến tính bị chặn Đây là cách quen thuộc trong không gian hữu hạn chiều, ở đó các phiếm hàm tuyến tính là các tọa độ đối với một số cơ sở Theo một nghĩa nào đó, Hệ quả 1.4.2 là sự thay thế cách nhìn đó Trong không gian vô hạn chiều, đôi khi kết luận của Hệ quả 1.4.2 được phát biểu như sau "bị chặn yếu" ⇔ "bị chặn mạnh" Tiếp theo chúng... |x (t)| ≤ |x(a)| + sup |x (t)| = ||x||C1 [a,b] t∈[a,b] t∈[a,b] Do đó A bị chặn và ||A|| ≤ 1 Mặt khác, lấy xo (t) = t − a, a ≤ t ≤ b, ta được xo ∈ C1 [a, b] và ||Axo ||C[a,b] = 1 Từ đó suy ra ||A|| ≥ 1 Vậy ||A|| = 1 23 Định nghĩa 2.2 Toán tử liên hợp A∗ Cho A : D(A) ⊂ X → Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật Toán tử không bị chặn A∗ : D(A∗ ) ⊂ Y ∗ → X ∗ xác định như sau: Đầu tiên ta định nghĩa ... L 20 Chương Toán tử tuyến tính không bị chặn 2.1 Toán tử không bị chặn Định nghĩa 2.1 Cho X Y hai không gian Banach Một toán tử tuyến tính không bị chặn từ X vào Y ánh xạ tuyến tính A : D(A)... gian thỏa mãn điều kiện bị chặn toán tử tuyến tính bị chặn nhiên ta cho phép định nghĩa ánh xạ tuyến tính không gian thực nhỏ không gian xét có toán tử tuyến tính không bị chặn Đây khái niệm mà... toán tử tuyến tính không bị chặn bị chặn Thuật ngữ không thật thích hợp nói chung sử dụng không dẫn tới nhầm lẫn Một số ví dụ toán tử tuyến tính không bị chặn 21 Ví dụ 2.1 Toán tử không : X1 ⊂