TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN                                                               ****************                                                                     TRẦN THỊ THOA         PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG En            KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học                           HÀ NỘI - 2012                                                                                TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN                                                             ****************                                                                     TRẦN THỊ THOA         PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ TRONG En            KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học                                                           Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGHUYỄN NĂNG TÂM             HÀ NỘI - 2012                                                                        LỜI CẢM ƠN     Sau  một thời gian nghiên  cứu với sự cố gắng  của bản thân đặc biệt là sự  hướng dẫn, chỉ  bảo tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm đã giúp đỡ em trong  suốt q trình nghiên cứu để em có thể hồn thành khóa luận.      Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, lịng biết ơn chân thành nhất đến  thầy Nguyễn Năng Tâm, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của các  thầy, cơ giáo trong tổ hình học và các thầy, cơ giáo trong khoa Tốn đã giúp  đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp này.      Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm của bản thân cịn nhiều hạn chế nên  khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót. Kính mong các thầy, cơ cùng các bạn  đọc  nhận  xét  và  góp  ý  kiến để  em rút  được kinh nghiệm  và  có  hướng hồn  thiện, phát triển khóa luận sau này.                                                                                                                                 Hà Nội, tháng 5 năm 2012                                                                                  Sinh viên                                                                                   Trần Thị Thoa                                                                                                            LỜI CAM ĐOAN       Em  xin  cam  đoan  bản  khóa  luận  này  được  hồn  thành  do  sự  nỗ  lực  tìm  hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Năng  Tâm cũng như các thầy, cơ giáo trong tổ hình học của khoa Tốn trường Đại  học Sư phạm Hà Nội 2.      Bản khóa luận này khơng trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu trùng  em xin hồn tồn chịu trách nhiệm.                                                                                       Sinh viên                                                                                     Trần Thị Thoa      Mục lục                                                                                                                     Trang  Phần mở đầu…………………………………………………………………1  Phần nội dung……………………………………………………………… 1  Chương 1: Phép dời hình trong  E n ………………………………………     1     1.  Sơ lược về phép biến hình và phép biến hình afin… ……………… 1     2.  Đại cương về phép dời hình ………………………………………… 2  Chương 2: Ứng dụng phép dời hình vào giải một số lớp bài tốn trong  E n   Ứng  dụng  phép  dời  hình  để  giải  bài  tốn  chứng  minh  trong  hình  học……………………………………………………………………10  Ứng dụng phép dời hình để giải bài tốn quỹ tích trong hình học… 20  Ứng  dụng  phép  dời  hình  để  giải  bài  tốn  dựng  hình  trong  hình  học……………………………………………………………………27  Ứng dụng phép dời hình để giải bài tốn tính tốn trong hình học….38  Kết luận ………………………………………………………………… 45   Tài liệu tham khảo………………………………………………………  .46                                                               PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài      Trong chương trình hình học ở bậc trung học học sinh đã được biết đến các  phép biến hình và việc vận dụng nó như là một cơng cụ để giải một số lớp các  bài  tốn  hình  học  một  cách  nhanh  gọn  và  hợp  lý.  Trong  nhiều  trường  hợp  phép biến hình là một cơng cụ hữu hiệu để giải lớp các bài tốn như: bài tốn  quỹ  tích,  bài  tốn  tính  tốn…  Tuy  nhiên  việc  giải  các  bài  tập  bằng  phương  pháp  biến  hình  khơng  phải  là  dễ  dàng.  Để  khắc  phục  và  làm  sáng  tỏ  thêm  phần nào đó về việc giải tốn bằng phương pháp biến hình nói chung và của  phép dời hình nói riêng nên em đã chọn đề tài “Phép dời hình và ứng dụng  của nó trong  E n ”.    Nhiệm vụ nghiên cứu 2.1  Trình bày cơ sở lý thuyết về phép dời hình.  2.2   Đề xuất phương pháp vận dụng phép dời hình để giải quyết một số          dạng bài tốn hình học.   2.3  Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập.    3.  Các phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng lý luận, cơng cụ tốn học.  - Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu có liên quan.    1         Chương Phép dời hình En   Sơ lược phép biến hình phép biến hình afin 1.1.    Phép biến hình - Giả  sử  K   là  một  tập  khác  rỗng.  K   sẽ  được  gọi  là  một  không gian,  các  phần tử của  K  gọi là một điểm,  một phần tử khác rỗng của  K  được gọi là  một hình.  -   Giả sử  K  là một khơng gian, song ánh  f : K  K  được gọi là một phép  biến hình của khơng gian  K   -   Phép biến hình  f  của khơng gian  K  được gọi là phép biến hình đối hợp  nếu  f  là đồng nhất.  -   Giả sử  f  là phép biến hình của khơng gian  K ,  điểm  M  K  được gọi là  điểm bất động đối với  f  nếu  f  M   M   Hình  H  của khơng gian  K  được gọi là hình kép đối với  f  nếu  f  H   H ,   hình  H  được gọi là hình bất động nếu với mọi điểm của  H  đều bất động.    1.2 Phép biến hình afin 2      - Định nghĩa: Phép  biến hình của khơng gian  E n  biến đường thẳng thành  đường thẳng được gọi là phép biến hình afin - Định lý: Phép biến hình  f  của khơng gian  E n  là phép biến hình afin khi  và chỉ khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểm  khơng thẳng hàng thành ba điểm khơng thẳng hàng   Đại cương phép dời hình 2.1.   Định nghĩa -   Phép biến hình của khơng gian  E n  bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tùy  ý được gọi là phép dời hình.  -   Trong khơng gian  E n  hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép  dời hình biến một  trong hai hình thành hình cịn lại.    2.2 Tính chất a,   Phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo  tồn thứ tự các điểm đó.  Chứng minh:     Giả sử qua phép dời hình  f ,   cho ba điểm khơng thẳng hàng  A,   B,   C   khi  đó  điểm  A   thành  A,   điểm  B   thành  B,   điểm  C   thành  C    thì  ta  có  AB  AB,   BC   BC ,   C A  CA Vì  B   nằm  giữa  A   và    C   nên  AB  BC  AC Từ  đó  suy  ra  AB  BC   AC    Như  vậy  ba  điểm  A, B, C    thẳng hàng và điểm  B  nằm giữa  A  và  C    3      b,   Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng.  Chứng minh:     Cho đường thẳng  d  trong khơng gian  K  đi qua hai điểm  A, B  và gọi  d    là  đường thẳng  trong  K   đi qua  ảnh  A, B   của  A, B   Nếu  M   thuộc  d   thì  ảnh   M    của nó thuộc  d   và nếu  M   thuộc  d   thì theo tính chất a, tạo ảnh của nó  thuộc  d ,  tức là  f  d   d    c,   Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.  Chứng minh:     Cho hai phép dời hình  f  và  g Ta xét tính chất của phép biến hình  g  f   Giả  sử  A, B   là hai điểm  bất kì và  ta có  f  A   A,   g  A   A,   f  B   B,   g  B   B Vì  f   và  g   đều  là  phép  dời  hình  nên  ta  có  AB  AB   và  AB  AB   Như vậy phép biến hình  g  f   đã biến điểm  A  thành điểm  A,   biến điểm  B  thành điểm  B  thỏa mãn điều kiện  AB  AB   Do đó tích của  hai phép dời hình  g  f  là một phép dời hình vì nó là một phép biến hình có  tính chất bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì  A, B  của mặt phẳng.  d,   Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.  Chứng minh:     Giả  sử  g , h, f   đều  là  các  phép  dời  hình,  ta  cần  chứng  minh   g  h  f  g   h  f    Thật  vậy  giả  sử  f   biến  M   thành  M ,   h   biến  M    thành  M   và  g  biến  M   thành  M    Ta có  g  h  là một phép dời hình biến  M    thành  M    và do đó   g  h   f  biến  M  thành  M    Mặt khác  h  f   biến  M  thành  M   và  g   h  f   biến  M  thành  M       Vậy   g  h   f  g   h  f   vì cả hai đều biến điểm  M  thành điểm  M   với  mọi điểm  M  bất kì trong mặt phẳng.  e,   Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm đối với phép nhân ánh xạ.  4      Chứng minh:     Do tích các phép dời hình là phép dời hình. Như vậy tập hợp các phép dời  hình đóng kín với phép tốn đã cho. Mặt khác ta thấy rằng tập hợp các phép  dời  hình  có  tính  chất  kết  hợp.  Hơn nữa trong tập  hợp  các  phép  dời  hình có  phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất và bất cứ phép dời hình nào cũng  có phép dời hình đảo ngược của nó.     Nếu gọi  f  là một phép dời hình bất kì,  f 1  là phép dời hình đảo ngược của  nó,  e  là phép đồng nhất ta ln ln có  f  f 1  e      Vậy tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép  dời hình.  f,   Phép dời hình chính là một phép biến hình afin.  Chứng minh:      Giả sử  f  là một phép dời hình ta phải chứng minh                                       f : A, B, C  A, B, C    Nếu  A,   B,   C  thẳng hàng thì                           AB  BC  AC   AB  BC   AC  Giả sử  AC  lớn nhất thì  AC  AB  BC   Giả sử  AC   lớn nhất thì  AC   AB  BC    Tức là  A,   B,   C   khơng thẳng hàng do đó  A,   B,   C  khơng thẳng hàng.  g,   Phép dời hình bảo tồn độ lớn của góc phẳng    5                         Phân tích:   Giả sử  a, b, c  song song với nhau ( b  ở giữa  a  và  c ) và ta dựng được tam giác  đều  ABC   Ta có phép quay tâm  A , góc  60 biến  B  thành  C , nên  C  là giao điểm của  c   với  b  là ảnh của  b  qua phép quay  Q A;60      Cách dựng: - Dựng giao điểm  A  thuộc  a   - Dựng  b =  Q A;60   b     - Dựng giao điểm  C  của  c  và  b   - Dựng điểm  B  Q A;60  C       Ta được  ABC  là tam giác đều cần dựng.  Chứng minh: Ta có  AB  AC  và  BAC  60   Vậy tam giác  ABC  đều.  Biện luận: - Bài tốn có vơ số nghiệm hình.  e,   Ví dụ 33         Cho hai mặt phẳng song song   R   và   S    A  và  B  là hai điểm nằm về hai  phía khác nhau của mặt phẳng   S  , trong đó điểm  A  nằm trong miền giữa hai  mặt  phẳng   R    và   S    ( A, B   R  ,  S  ).  Hãy  dựng  đoạn  thẳng  MN   vng  góc với   R  ,  S  ,  M   R   và  N   S   sao cho tổng độ dài  AM  MN  NB   có độ dài nhỏ nhất.  Lời giải:                                      Phân tích:   Lấy  H   R    và  gọi  K   là  hình  chiếu  vng  góc  của  H   trên   S    Ta  có  khoảng cách giữa   R   và   S   là  HK  h  (khơng đổi). Dễ thấy  MN  h , nên  ta cần xác định vị trí của  M , N  để  AM  BN  nhỏ nhất.   :B Q  Thực hiện  T KH Suy ra  BN  QM   Gọi  S R  là phép đối xứng qua mặt phẳng   R    SR : A  P   34      Suy ra  AM  PM   Do đó  AM  BN  PM  QM   Nhận thấy  P, Q  cố định và khác phía đối với   R       PM  QM  nhỏ nhất khi  M  I  với  I  PQ   R       AM  BN  nhỏ nhất bằng  PQ  khi  M  I   Cách dựng: - Dựng  P  S R  A      B    - Dựng  Q  T HK - Dựng  I  PQ   R      I    - Dựng  J  T HK M  I  và  N  J  là điểm cần dựng.  Chứng minh: Khi  M  I  và  N  J  ta có   AM  NB  PM  MQ  PQ    MN  h  Vậy  AM  MN  NB  có giá trị nhỏ nhất bằng  PQ  h   Biện luận: Bài tốn ln thực hiện được (do  A, B  khác phía nhau đối với   S  ).    Bài tập Bài tập 1:   Cho đường tròn    , đường thẳng    và hai điểm phân biệt  A, B   không thuộc chúng. Xác định  C  thuộc   , điểm  D  thuộc     sao cho tứ giác  ABCD  là hình thang cân có hai đáy  AB  và  CD   35      Bài tập 2:      Cho  góc  xOy   và  hia điểm  phân  biệt  A, B   trong  nó.  Hãy  dựng  điểm  X  trên  Ox  để  XA, XB  cắt  Oy  lần lượt tại  Y , Z  sao cho  XY  XZ   Bài tập 3:      Cho  điểm  A   và  đường  thẳng  d   khơng  qua  A   Dựng  hình  lập  phương sao cho  A  là một điểm của nó và  d  qua tâm hai mặt song song với  nó.  Lời giải  1)    Phân tích:  Giả  sử  ABCD   là  hình  thang  cân với  hai  đáy  AB   và  CD   Gọi  m   là  đường  thẳng trung trực của  AB ,  D  là ảnh của  C  qua phép đối xứng trục  Đm , mặt  khác  C  thuộc    nên  D  thuộc đường thẳng    là ảnh của    qua  Đm  Do đó  D  là giao điểm của    và     Từ đó suy ra cách dựng  D  và  C   Cách dựng: - Dựng đường thẳng    đối xứng với    qua  m   - Dựng  D  là giao điểm của    và      - Dựng  C  đối xứng với  D  qua  m   2)    Phân tích:  Giả sử ta dựng được điểm  X  để  XA, XB  cắt  Oy  mà  XY  XZ  (với  Y , Z  là  các giao điểm)  Xét phép đối xứng qua  Ox  là  S   Ta đặt  C  S  A   Đặt  xOy  k , XYZ  h   Khi đó  X  X  h  k   1                X  180  2h       Theo  1  và     ta có  CXB  X  X  X  180  2k  là góc khơng đổi.  36      Vậy  X  nằm trên cung chứa góc dựng trên  CB  nằm khác phía của  O  đối với  CB   Cách dựng: Xét phép đối xứng qua  Ox ,  C  S  A  ,  C  xác định.  Ta dựng cung chứa góc trên và xét giao của nó với  Ox  chính là  X  Vậy  X  là  điểm cần dựng.  3)   Phân tích:  Giả  sử  đã  dựng  được  hình  lập  phương  ABCDABC D   có  d   qua  hai  tâm  O, O  của hai mặt   ABCD   và   ABC D   Dễ dàng chứng minh  d  là trục đối  xứng của hình lập phương. Tính được  AC  AA   Cách dựng: - Dựng  O  là hình chiếu của  A  trên  d   - Dựng  C  ĐO  A    Trên  mặt  phẳng   d , AC  :  kẻ  các  đường  thẳng  AA / / d / / CC    AC    AA  CC     2  - Dựng mặt phẳng   P   qua  d  và   P    d , AC   O   P    - Dựng mặt phẳng   Q   qua  AC  và vng góc với  d  tại  O   - AC   BD   Q    P     BO  OD      - Dựng  mặt  phẳng   R    qua  AC    và  vng  góc  với  d   tại  O   là  trung  điểm của  AC    - AC   BD   R    P     BO  OD      Vậy  ABCDABC D  là hình lập phương cần dựng.  37      Ứng dụng phép dời hình để giải tốn tính   tốn hình học Bài tốn tính tốn    Ta thường gặp một số bài tốn tính tốn như tính khoảng cách, tính số đo  góc, tính diện tích…     Để giải bài tốn tính tốn ta phải thiết lập mối liên hệ giữa những cái đã biết  và cái cần tìm, sau đó tính tốn theo u cầu bài ra.    Giải tốn tính tốn nhờ phép dời hình    Dùng  phép  dời  hình  vào  giải  bài  tốn  tính  tốn  thực  chất  là  sử  dụng  các  phép dời hình để di chuyển các yếu tố đã cho ở vị trí khơng thuận lợi về các vị  trí thuận lợi cho việc tính tốn.    Các ví dụ a,   Ví dụ    Cho  ABC  cân tại  A , góc  BAC  80 , điểm  O  nằm trong tam giác sao cho  góc  OBC  10 , OCB  30  Hãy tính góc  AOB Lời giải:  38                                        Kẻ đường cao  AH   Gọi  I  AH  OB ,  K  AH  OC   Xét phép đối xứng trục                            ĐAH : B  C                         ĐAH : IHB  IHC                         ICH  IBH  OBC  10                         ICK  OCB  ICH  30  10  20   180  80  50    ACK  20   Mà  ACB   CK  là phân giác của góc  ACI                ĐAH : A  A   II                           B  C   KK Vậy phép đối xứng trục  ĐAH  biến  AIB  thành  AIC  nên nó biến phân giác  CK  của tam giác  AIC  thành phân giác  BK  của tam giác  AIB                           ABK  20  KBO   Ngoài ra  BOK  OBC  OCB  10  30  40     góc  BOK  BAK  40   Xét phép đối xứng trục  ĐBK :  A  O   39                                                      BB   KK Suy ra  OAB  cân tại  B  có góc  ABO  40  nên góc  AOB  70   Vậy  AOB  70   b,  Ví dụ    Cho  ABC , trung tuyến  BE , CF  sao cho chúng thỏa mãn  ABE  =  ACF  =  30  Gọi  G  là trọng tâm tam giác  ABC  Tính góc  BGC ?  Lời giải:                                        Do góc  ABE  ACF  FBE  ECF   Từ đó suy ra tứ giác  BFEC  nội tiếp.  Gọi  O  là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác  BFEC , có bán kính là  R   Xét phép đối xứng tâm  ĐE :               ĐE :  O  O1   40                           C  A    OC  AO1  O1 E  EO  R   1   Xét phép đối xứng tâm  ĐF :               ĐF :  O  O2                        B  A    OB  AO2  FO2  FO  R       Từ  1  và     suy ra  OEF  cân tại  O   Ta lại có:  FOE  FCE  2.30  60      OEF  là tam giác đều.  Lại có  E , F  là trung điểm của  OO1 , OO2      O1O2  EF      O1O2  R      AO1  AO2  R  O1O2      A, O1 , O2  thẳng hàng và  A  nằm giữa hai điểm  O1  và  O2   Do đó tam giác  AEF  là tam giác đều   Suy ra tam giác  ABC  là tam giác đều     BGC  120   Vậy  BGC  120   c,   Ví dụ    Cho  mặt  phẳng   P    và  tam  giác  ABC   có  đỉnh  C   nằm  khác  phía  với hai  đỉnh  A ,  B  đối với   P   Biết khoảng cách từ  A ,  B ,  C  đến   P   tương ứng là  a,   b,   c   Chứng  minh  rằng  khoảng  cách  từ  trọng  tâm  G   của  tam  giác  đến   P   bằng  abc   Lời giải:  41      Gọi  A,   B,   C   thứ tự là chân đường vng góc hạ từ  A ,  B ,  C  xuống   P    Ta có  AA  a,   BB  b,   CC   c   Xét phép tịnh tiến:  TCC :   P    Q    A  A1                                             B  B1   C  C Suy ra  A1 ,   B1 ,  C    Q   và   P  / /  Q                                  Ta có  CC    P  ,   BB   P  ,  AA   P       AA / / BB / / CC    CC  / / AA1 / / BB1 Theo tính chất của phép dời hình ta có     CC   A1 A  B1 B  c      A,   A,   A1  thẳng hàng và  AA1  a  c           B,   B,   B1  thẳng hàng và  BB1  b  c   Dễ thấy  AA1 ,   BB1     Q    42                     Gọi  E ,   F  lần lượt là trung điểm của  BC  và  CB1    EF / / BB1 / / AA1  Ta có   b  c  EF   Q     EF  BB1   G  là trọng tâm tam giác  A1 B1C  AG G  là trọng tâm tam giác  ABC  AG  A1 F   AE   Trong hình thang  AA1 FE ta có  GG / / EF  GG   Q    Vậy  d  G,  Q    GG  Ta cần tính  GG       E F    Q    Gọi  E ,   F   lần lượt là trung điểm  AG,   AG Trong hình thang  EFF E  ta có  GG  là đường trung bình nên                GG  EF  EF  EF EF  BB1 E F      1   2 Trong hình thang  GGA1 A  có  E F   là đường trung bình nên                                     E F   GG  AA1  2   Từ  1  và     ta có  43      GG  BB1  GG  AA1 BB  AA1 GG    GG   4  GG  BB1  AA1 c  a  c  b a  b  2c     3 Gọi  d  G,  P    h  thì  h  GG  c  abc     Bài tập  Bài tập 1:   Cho  ABC  vuông cân tại  A , điểm  M  tùy ý trên cạnh  AC , kẻ tia  Ax   vng góc với  BM   cắt  BC   tại  H  Gọi  K   là điểm đối xứng với  C  qua  H , kẻ tia  Ky  vng góc với  BM  cắt  AB  tại  I  Tính góc  A I M   Bài tập 2:   Cho hình thang  ABCD  AB / / CD   có  AB  a,   BC  b,   CD  c,   AD  d   Gọi  M  là giao điểm của các đường phân giác góc  A   và  D,   N  là  giao điểm của các đường phân giác góc  B  và  C  Tính độ dài  MN   Lời giải:  1)   Ta có  KI / / AH   Gọi  F  ĐA  I   CF / / AH / / KI    BM  CF , ABM  ACF    ABM  ACF  g.c.g     AM  AF  AI   Suy ra  AMI  vuông cân tại  A  Vậy  AIM  45   2)   Do  M   là giao điểm của các đường phân giác góc  A   và  D   nên  M   cách  đều hai đáy  AB,   CD;   N   là giao điểm của các đường phân giác góc  B   và  C   nên cách đều hai đáy  AB  và  CD    MN / / AB  và  MN / / CD   Xét phép tịnh tiến   44       : A  A T MN                                            D  D   M N Suy ra  ADM  ADN    ADN  NDC   Do đó  N  là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác  ABCD    AD  BC  AB  DC BC  AD  AB  CD b  d  a  c    MN   2 Vậy  MN  bd ac                                           45                                 KẾT LUẬN     Phép biến hình là một vấn đề tương đối khó với học sinh phổ thơng. Muốn  học tốt và sử dụng thành thạo các phép biến hình trong  E n  cần phải thường  xun rèn luyện giải tốn để tích lũy thêm kinh nghiệm, hồn thành kĩ năng,  kĩ xảo. Để giúp học sinh có hứng thú hơn với việc học và sử dụng phép biến  hình vào giải tốn hình học, trong khóa luận này em xin trình bày một số kiến  thức về các phép dời hình và một số bài tập vận dụng phép dời hình là một  trong những phép biến hình cơ bản. Em mong rằng khóa luận về đề tài “Phép dời hình ứng dụng E n ”  sẽ là một tài liệu có ích hơn cho bạn  đọc và đặc biệt là những người u thích hình học.                                                                 46                                TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Bình, Giáo trình hình học sơ cấp tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993.  [2] Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993  [3] Võ Anh Dũng – Trần Đức Hun, Giải tốn hình học 11, NXB Giáo dục.  [4] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình khơng gian, NXB Giáo dục, 2005.  [5] Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề, NXB            Giáo dục.  [6]  Văn Như Cương – Tạ Mân, Hình học afin hình học ơclit, NXB Đại học                     quốc gia Hà Nội, 1993.  47    ... Chương 2: Ứng dụng phép dời hình vào giải một số lớp bài tốn? ?trong? ? E n   Ứng  dụng  phép  dời  hình  để  giải  bài  tốn  chứng  minh  trong? ? hình  học……………………………………………………………………10  Ứng dụng phép dời hình để giải bài tốn quỹ tích? ?trong? ?hình học…... thầy Nguyễn Năng Tâm, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của các  thầy, cơ giáo? ?trong? ?tổ hình học và các thầy, cơ giáo? ?trong? ?khoa Tốn đã giúp  đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp này.      Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm của bản thân cịn nhiều hạn chế nên ...                                                          TRẦN THỊ THOA         PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG En            KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học                                                           Người