Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn LI NểI U Phng trỡnh vi phõn l mt nhng lnh vc quan trng ca toỏn hc hin i Rt nhiu bi toỏn toỏn hc, vt lý, húa hc, u dn n vic gii cỏc phng trỡnh vi phõn Tuy nhiờn lp cỏc phng trỡnh vi phõn cú th tỡm c nghim chớnh xỏc rt hp Do ú, gii c cỏc phng trỡnh vi phõn thụng thng ngi ta thng phi s dng cỏc phng phỏp xp x tỡm nghim gn ỳng ca chỳng Do nhu cu thc tin, cỏc nh khoa hc ó tỡm rt nhiu phng phỏp tỡm nghim gn ỳng ca phng trỡnh vi phõn Trong khúa lun ny em xin trỡnh by mt s phng phỏp gii gn ỳng bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng cp Ni dung chớnh ca khúa lun gm cỏc chng: Chng 1: Cỏc kin thc m u Chng 2: Mt s phng phỏp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng cp - phng phỏp a v bi toỏn Cauchy, phng phỏp kh lp Chng 3: ng dng vo gii nhng bi toỏn c th Tuy ó cú nhiu c gng, song c im ti, thi gian v ti liu nghiờn cu hn ch nờn khúa lun ca em chc chn khụng trỏnh nhng thiu sút Em rt mong c s ch bo, tham gia úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn khúa lun ca em hon chnh hn GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Chng CC KIN THC M U 1.1 S gn ỳng v sai s 1.1.1 Sai s tuyt i, sai s tng i Trong tớnh toỏn, ta thng phi lm vic vi cỏc giỏ tr gn ỳng ca cỏc i lng Ta núi a l s gn ỳng ca a *, nu a khụng sai khỏc a* nhiu i lng : = | a a* | gi l sai s thc s ca a Do khụng bit a * nờn ta cng khụng bit Tuy nhiờn, ta cú th tỡm c a 0, gi l sai s tuyt i ca a, tha iu kin: | a a* | a (1.1.1) hay a a a* a a ng nhiờn, a tha u kin (1.1.1) cng nh cng tt Sai s tng i ca a l : a : a |a| Vớ d : Gi s a* = ; a = 3,14 Do 3,14 a* 3,15 3,14 0,01 nờn ta cú th ly a 0, 01 Mt khỏc, 3,14 3,142 0, 002 ú cú th coi a 0, 002 Vớ d : o di hai on thng AB, CD ta c a = 10cm v b = 1cm vi a b 0, 01 Khi ú ta cú a 0,01 0,01 1% hay 0,1% cũn b 10 b 10 a Hin nhiờn rng phộp o a chớnh xỏc hn hn phộp o b mc dự a b Nh vy chớnh xỏc ca mt phộp o phn ỏnh qua sai s tng i GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn 1.1.2 Sai s thu gn Mt s thp phõn a cú dng tng quỏt nh sau: a ( p10 p p110 p1 ps10 ps ) ú i 9,(i p 1, p s) ; p l nhng s nguyờn Nu p s thỡ a l s nguyờn Nu p s = - m ( m > ) thỡ a cú phn l gm m ch s Nu s = + thỡ a l s thp phõn vụ hn Thu gn mt s a l vt b mt s cỏc ch s bờn phi a c mt s ngn gn hn v gn ỳng nht vi a Quy tc thu gn : Gi s a p10 p p110 p1 ps10 ps v ta gi li n s hng th j Gi phn vt b l , ta t a p10 p p110 p1 j 110 j j10 j , ú: u 0,5.10 j 10 j j 1, neỏ j : u0 0,5.10 j j , neỏ Nu = 0,5 10j thỡ u j leỷ j 1, neỏ j : u j chaỹ n j , neỏ Vớ d 3,141592 3,14159 3,1416 3,142 3,14 3,1 Sai s thu gn a l mt s tha iu kin : | a | a Vỡ a = p 10p + p-1 10p-1 + + j 10j + p p j j Cũn a p10 p110 j 110 j 10 GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn )10 | 0,5.10 Nờn | a a | | ( j j j j Sau thu gn sai s tuyt i tng lờn : | a* - | | a* - a | + | a | a + a 1.1.3 Ch s cú ngha, ch s chc Ch s cú ngha l mi ch s khỏc ch s v c ch s nu nú kp gia hai ch s cú ngha hoc nú i din cho hng c gia li Vớ d : a = 0,0030140 Ba ch s u khụng cú ngha p p ps Mi ch s cú ngha j ca a ( p 10 p 110 p s 10 ) gi l ch s chc nu a .10i ú l tham s cho trc Tham s c chn mt ch s ó chc sau thu gn l ch s chc Gi s ch s chc cui cựng ca a trc thu gn l j j+1 v c ch s trc nú chc, phi cú a a .10i1 Suy .10i1 0,5.10i1 .10i1 hay Ta s gi ch s chc theo ngha hp (rng) nu = 0,5 ( = 1) vit s gn ỳng, ch lờn gi li mt hai ch s khụng chc tớnh toỏn sai s ch tỏc ng n ch s khụng chc m thụi 1.2 Sai s tớnh toỏn Trong tớnh toỏn ta thng gp bn loi sai s sau : a) Sai s gi thit: Do mụ hỡnh húa, lý tng húa bi toỏn thc t Sai s ny khụng loi tr c b) Sai s phng phỏp: Cỏc bi toỏn thng gp rt phc tp, khụng th gii ỳng c m phi s dng cỏc phng phỏp gn ỳng Sai s ny s c nghiờn cu cho tng phng phỏp c th c) Sai s cỏc s liu: Cỏc s liu thng thu c bng thc nghim ú cú sai s Sai s cỏc s liu gn ỳng ó c nghiờn cu Đ1 GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn d) Sai s tớnh toỏn: Cỏc s ó cú sai s, cũn thờm sai s thu gn nờn tớnh toỏn s xut hin sai s tớnh toỏn Gi s phi tỡm i y theo cụng thc: y f ( x1 , x2 ,, xn ) * Gi xi , y * (i 1, n) v xi , y , (i 1, n) l cỏc giỏ tr ỳng v gn ỳng ca i s v hm s Nu f kh vi liờn tc thỡ: | y y | | f ( x1, x2 , , xn ) f ( x , x , , x ) | | fi ' | | xi xi* | n * * * * n i f ' f ú f i l o hm tớnh ti cỏc im trung gian Do liờn tc xi xi v xi khỏ ta cú th coi n y | fi ' ( x1 , , xn ) |.xi i (1) ú n y y | ln f | xi | y | i xi (2) Sau õy l sai s ca cỏc phộp tớnh c bn: 1.2.1 Sai s ca tng Gi s tớnh y = x1 + x2 + + xn ; y 1, i 1, , n xi Theo cụng thc (1) cú : y = |1| x1 + |1| x2 + + |1| xn y = x1 + x2 ++ xn GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn n y xi i Sai s tuyt i ca mt tng bng tng cỏc sai s tuyt i ca cỏc s hng thnh phn Trong tớnh toỏn nu cú tng l mt s nh thỡ sai s tng i s l mt s ln Vy tớnh toỏn ta phi trỏnh vic tớnh cỏc hiu s ca hai s rt gn nu khụng trỏnh c thỡ cn phi ly cỏc s vi nhiu ch s chc 1.2.2 Sai s ca tớch Gi s tớnh sai s ca vi y = x1 x2 xn ; | y | = | x1 | | x2 | | xn | ln |y| = ln |x1| + ln |x2| + + ln|xn| hay ln | y | n ln | x | i i n n i i ln | y | ln | xi | ln | xi | n y x i i Sai s tng i ca mt tớch bng tng cỏc sai s tng i ca cỏc s hng thnh phn 1.2.3 Sai s tng i ca mt thng Gi s tớnh y ' Ta cú y x1 x1 x2 x ' ; y x2 12 x2 x2 Cú GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip y | Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn x | x1 | 12 | x2 x2 x2 |x | x1 12 x2 | x2 | x2 | x2 | x1 | x1 | x2 | x22 | Cú y y | x2 | x1 | x1 | x2 | x2 | | y| | x2 |2 | x1 | | x2 | x1 | x1 | x2 | x1 | | x2 | | x2 | x1 | x1 | x2 | x1 | | x2 | | x1 | | x2 | x1 x2 | x1 | | x2 | x1 x2 Vy sai s tng i ca mt thng bng tng cỏc sai s tng i ca cỏc s hng thnh phn 1.2.4 Sai s ca cỏc phộp ly tha, khai cn, nghch o Cho y x , ú y | d ln y | x | | x dx Nu ( phộp ly tha) thỡ y x ú chớnh xỏc gim Nu ta cú phộp khai cn, ú y x hay chớnh xỏc tng GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Nu ta cú phộp nghch o, y x ngha l chớnh xỏc khụng i 1.3 Bi toỏn ngc ca lớ thuyt sai s Gi s i lng y tớnh theo cụng thc y = f (x1, x2, , xn) hi phi ly xi bng bao nhiờu y const cho trc ? Sau õy l hai phng phỏp n gin gii bi toỏn trờn : 1.3.1 Nguyờn lớ nh hng u a ) Ta coi | f | xi c , (c const ) , i 1, n xi Suy n y | i f | xi nc xi Vy xi c y ,(i 1, n) f f | | n.| | xi xi b) Nu coi xi = const ( i = 1,, n ) thỡ : xi c) Nu coi x1 x2 xn v t k k y n | x j j f | x j ú: xi y n f | | j x j n xi f | hay thỡ y k | xi | xi | xi i | xi | y ;(i 1, n) f | xj | x j j n GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Vớ d Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy R = cm Chiu cao h = 3m Hi R v h phi bng bao nhiờu th tớch V c tớnh chớnh xỏc ti 0,1 m3 ? Gii Ta cú V = R2h p dng nguyờn lớ nh hng u th nht ta cú Nờn V R h 12 0,1 V 0,003 v Rh 37, 3,12 R Suy R Do ú h 1.3.2 0,1 V 0,001; R 12,6 3.37,7 h 0,1 0,003 3.12,6 Phng phỏp biờn Gi s hm y f ( x1 , x2 , , xn ) ng thi theo cỏc bin x1, x2 , , x p v nghch bin theo cỏc bin cũn li x p1 , , xn Nu bit cn thay i ca i s xi xi xi ;(i 1, n) thỡ: y f ( x1 , , x2 , x p , , xn ) y y f ( x1 , , x p , x p 1, , xn ) T õy suy y y y 1.4 Sai phõn 1.4.1 nh ngha: Gi s f l mt hm xỏc nh trờn X, h > cho x + h X, ú biu thc f ( x) f ( x h) f ( x) c gi l sai phõn cp ca hm f ( x ) ti x GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn f (f ) [ f ( x h h) f ( x h)] [ f ( x h) f ( x)] f ( x 2h) f ( x h) f ( x ) f ( x h) f ( x) c gi l sai phõn cp ca f (x) ti x Tng t f ( n n1 f ) c gi l sai phõn cp n ca f ( x) ti x 1.4.2 Tớnh cht ca sai phõn 1.4.2.1 Sai phõn l mt ỏnh x tuyn tớnh ( toỏn t tuyn tớnh ) k ( f g ) k f k g k ( f ) k f 1.4.2.2 c = vi c - const 1.4.2.3 Gi s P(x) l a thc bc n P(x) l a thc bc n-1 m P(x) = c - hng s nu m = n m P(x) = - nu m > n n 1.4.2.4 f ( x nh) Cnk k f ( x) k n Cnk k f k 1.4.3 Bng sai phõn f (xi) = yi vi i = 0; 1; 2; ; n GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 10 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Theo cụng thc (2.2.11) ta tỡm c y10 theo cụng thc : yn 1cn2d n2 Bh (1 cn2 ) h Sau ú ta tỡm c cỏc giỏ tr yi ( i =9,8,,1 ) theo cụng thc (2.2.12): yn1 cn2 (d n2 yn ) y c (d y ) n n n n y1 c0 (d0 y2 ) Cũn vi giỏ tr y0 ta tỡm theo cụng thc (2.2.13): y0 y1 Ah h Bi Bng phng phỏp kh lp gii phng trỡnh: y x y vi iu '' y (0) y (1) kin biờn: Gii S dng cụng thc sai phõn trung tõm: yi' yi yi " yi yi yi , yi h h2 GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 41 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn v ly h = 0,1 thỡ xi = 0,1i (i=0, 1, , 10) thay vo phng trỡnh trờn v iu kin biờn ta c h phng trỡnh sai phõn l: yi yi yi xi2 yi 0,01 ; i 0,8 y0 y 10 Sau bin i ta c h: yi yi (1 0,01xi2 ) yi ; i 0,8 y0 y 10 Nh vy ta cú: mi =-2 ki =1+ 0,01 xi2 fi = A=0 B=1 Th t in vo bng : GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 42 Khúa lun tt nghip i xi Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn mi ki fi ci di yi 0,0 -2 1,0 0,0 -0,5000 0,0000 0,0000 0,1 -2 1,0001 0,0 -0,6667 0,0000 0,1029 0,2 -2 1,0004 0,0 -0,7502 0,0000 0,2059 0,3 -2 1,0009 0,0 -0,8005 0,0000 0,3089 0,4 -2 1,0016 0,0 -0,8346 0,0000 0,4117 0,5 -2 1,0025 0,0 -0,8596 0,0000 0,5142 0,6 -2 1,0036 0,0 -0,8793 0,0000 0,6163 0,7 -2 1,0049 0,0 -0,8957 0,0000 0,7169 0,8 -2 1,0064 0,0 -0,9103 0,0000 0,8154 0,9 0,9103 10 1,0 1,0000 Chiu thun in vo bng cỏc s xi = 0,1i v tớnh cỏc giỏ tr mi, ki, fi vi i 0,8 Tip theo ta tỡm c : h c m0 a1 h k01 k0 Ah d h2 f0 m0 a1 h k01 Vi cỏc giỏ tr ci , di m i 0,8 ta tớnh theo cụng thc : ci m k c i i i d h f k c d i i i i i GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 43 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Chiu ngc Theo cụng thc (2.2.11) ta tỡm c y10 theo cụng thc : yn 1cn2d n2 Bh (1 cn2 ) h Sau ú ta tỡm c cỏc giỏ tr yi ( i =9,8,,1 ) theo cụng thc (2.2.12): yn1 cn2 (d n2 yn ) y c (d y ) n n n n y1 c0 (d0 y2 ) Cũn vi giỏ tr y0 ta tỡm theo cụng thc (2.2.13): y0 y1 Ah h Bi Bng phng phỏp a v bi toỏn Cauchy gii phng trỡnh: y (0) y (1) y'' y ' y x2 10 x vi iu kin biờn: Gii Nghim phng trỡnh vi phõn cú dng: y ( x) Z ( x) c1Z1 ( x) c2 Z ;0 x ú c1, c2 l nhng hng s tựy ý; Z(x), Z1(x), Z2(x) l nhng nghim ca bi toỏn Cauchy sau : GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 44 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Z " 5Z ' 6Z x 10 x (I) (II) (III) Z (0) 0; Z ' (0) Z1" 5Z1' Z1 Z1 (0) 0; Z1' (1) Z 2" 5Z 2' 6Z Z (0) 1; Z 2' (1) Gii (I) Z " 5Z ' 6Z x 10 x Z (0) 0; Z ' (0) Phng trỡnh c trng l: cú nghim thc khỏc l: 2; Do vy nghim riờng ca phng trỡnh vi phõn khụng thun * nht c vit di dng: Z ( x) Ax Bx C Thay biu thc ny vo phng trỡnh ta i n h thc sau: Ax (6 B 10 A) x 6C 5B A x 10 x ng nht cỏc h s ca ly tha cựng bc ca x ta c: A 6;6 B 10 A 10;6C 5B A * Suy A = 1; B = 0; C = Do ú Z ( x) x Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh l: Z ( x) c1e 2x c2e3x x ' Vi iu kin Z (0) 0; Z (0) suy c1 = 0; c2 = Vy phng trỡnh (I) cú nghim l: Z ( x) x Gii (II) Z1" 5Z1' Z1 Z1 (0) 0; Z1' (1) GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 45 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Phng trỡnh c trng l: cú nghim thc khỏc l: 2; Do vy nghim ca phng trỡnh vi phõn thun nht c vit di dng: Z1 ( x) c1e 2x c2e3x Vi iu kin Z1 (0) 0; Z1' (0) suy c1 = -1; c2 = Vy phng trỡnh (II) cú nghim l: Z1 ( x) e 2x e3x Gii (III) Z 2" 5Z 2' 6Z Z (0) 1; Z 2' (1) Phng trỡnh c trng l: cú nghim thc khỏc l: 2; Do vy nghim ca phng trỡnh vi phõn thun nht c vit di dng: Z1 ( x) c1e 2x c2e3x Vi iu kin Z2 (0) 1; Z2' (0) suy c1 = 3; c2 = -2 2x 3x Vy phng trỡnh (III) cú nghim l: Z ( x) 3e 2e Vy bi toỏn cú nghim l: y( x) x2 c1 (e2 x e3 x ) c2 (3e2 x 2e3 x ) 2e3 3e2 ; c2 Vi iu kin y(0) 1; y(1) suy c1 e3 e Kt lun: Phng trỡnh cú nghim y( x) x2 c1 (e2 x e3 x ) c2 (3e2 x 2e3 x ) vi 2e3 3e2 c1 ; c2 e3 e GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 46 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Bi Bng phng phỏp a v bi toỏn Cauchy gii phng trỡnh: y (0) y (1) y '' y ' 5x2 x vi iu kin biờn: Gii Nghim phng trỡnh vi phõn cú dng: y ( x) Z ( x) c1Z1 ( x) c2 Z ;0 x ú c1, c2 l nhng hng s tựy ý; Z(x), Z1(x), Z2(x) l nhng nghim ca bi toỏn Cauchy sau : Z " Z ' x x (I) (II) (III) Z (0) 0; Z ' (0) Z1" 5Z1' Z1 (0) 0; Z1' (1) Z 2" 5Z 2' Z (0) 1; Z 2' (1) Gii (I) Z " Z ' x x Z (0) 0; Z ' (0) Phng trỡnh c trng l: cú nghim thc l: 0; Do vy nghim riờng ca phng trỡnh vi phõn khụng thun * nht c vit di dng: Z ( x) x( Ax Bx C ) Thay biu thc ny vo phng trỡnh ta i n h thc sau: 15 Ax (6 A 10 B) x B 5C x x ng nht cỏc h s ca ly tha cựng bc ca x ta c: 15 A 5;6 A 10 B 2; 5C B GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 47 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn 1 Suy A ; B 0; C Do ú Z * ( x) x3 3 5x Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh l: Z ( x) c1 c2e x ' Vi iu kin Z (0) 0; Z (0) suy c1 = 0; c2 = Vy phng trỡnh (I) cú nghim l: Z ( x) x Gii (II) Z1" 5Z1' Z1 (0) 0; Z1' (1) Phng trỡnh c trng l: cú nghim thc l: 0; Do vy nghim ca phng trỡnh vi phõn thun nht c vit 5x di dng: Z1 ( x) c1 c2e Vi iu kin Z1 (0) 0; Z1' (0) suy c1 ; c2 5 5x Vy phng trỡnh (II) cú nghim l: Z1 ( x) e Gii (III) Z 2" 5Z 2' Z (0) 1; Z 2' (1) Phng trỡnh c trng l: cú nghim thc l: 0; Do vy nghim ca phng trỡnh vi phõn thun nht c vit 5x di dng: Z1 ( x) c1 c2e Vi iu kin Z2 (0) 1; Z2' (0) suy c1 = 1; c2 = Vy phng trỡnh (III) cú nghim l: Z ( x) GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 48 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn 1 5x Vy bi toỏn cú nghim l: y ( x) x c1 c2 ( e ) 5 Vi iu kin y(0) 1; y(1) suy c1 0; c2 3e5 Kt lun: Phng trỡnh cú nghim y ( x) 1 x c1 c2 ( e5 x ) vi 5 c1 0; c2 3e5 Bi yờu cu Bng phng phỏp kh lp gii cỏc phng trỡnh vi phõn sau: '' ' y y y x 1;0,5 x x a) y (0,5) 0,125 y (1) y ' (1) '' ' y x y y 1;0,5 x x2 ' b) y (0,5) y (0,5) y (1) '' ' y x y 1;0,5 x ' c) y (0,5) y (1) y ' (1) GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 49 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn y '' xy ' y x,0 x ' d) y (0) y (0) y (1) Bng phng phỏp a v bi toỏn Cauchy gii cỏc phng trỡnh vi phõn sau: a) y '' y ' y 2e2 x ,0 x vi iu kin biờn: y(0) y ' (0) 1; y(1) b) y '' y (2 x 1)e2 x ,0 x vi iu kin biờn: y(0) 1; y(1) y ' (1) c) y '' y ' y e x (cos x 7sin x),0 x vi iu kin biờn: y (0) 1; y (1) d) y '' y 2sin x,0 x vi iu kin biờn: y(0) y ' (0) 1; y(1) GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 50 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn Kt lun Nh chỳng ta ó bit, cỏc bi toỏn phỏt sinh thc t khụng phi lỳc no cng tỡm c nghim chớnh xỏc hoc nu tỡm c cng phi mt rt nhiu thi gian v nhiu ú l khụng cn thit Vic xut hin cỏc phng phỏp gn ỳng i vi cỏc bi toỏn lm tng thờm kh nng ng dng ca toỏn hc vo thc tin Trong khúa lun ny, ngoi kin thc c bn v sai s, phng trỡnh vi phõn thng v bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng em ó nờu lờn hai phng phỏp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng v ó ng dng cụng ngh thụng tin ú l ngụn ng Pascal quỏ trỡnh tớnh toỏn Cỏc phng phỏp gii gn ỳng bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng rt phong phỳ nhng khuụn kh ca khúa lun v nng lc ca bn thõn cú hn nờn khúa lun ny em ch nờu c hai cỏc phng phỏp Thụng qua khúa lun ny em rỳt c nhiu iu b ớch vic nghiờn cu khoa hc v em thy vic phỏt trin cỏc phng phỏp gn ỳng l rt cn thit v nhng ng dng to ln ca chỳng GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 51 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn TI LIU THAM KHO Phm K Anh (1996), Gii tớch s, Nxb HQG H Ni Nguyn Minh Chng, Khut Vn Ninh, Nguyn Vn Khi, Nguyn Vn Tun, Nguyn Tng (2003), Gii tớch s, Nxb Giỏo Dc Hong Hu ng (1979), Phng trỡnh vi phõn- 2, Nxb Giỏo Dc Phan Vn Hp, Lờ ỡnh Thnh (2002), Phng phỏp tớnh v thut toỏn, Nxb Giỏo Dc Nguyn Th Hon Phm Phu, C s phng trỡnh vi phõn v lý thuyt n nh, Nxb Giỏo Dc I.a.D.Mamedov (1979), Cỏc phng phỏp gii xp x phng trỡnh vi phõn thng, Nxb Maarif.Bacu GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 52 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn LI CM N hon thnh khúa lun ny, em ó nhn c s quan tõm giỳp v to iu kin ca cỏc thy, cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l cỏc thy, cụ t Gii tớch trng HSP H Ni Em xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc thy, cụ giỏo, c bit l thy giỏo - PGS.TS Khut Vn Ninh ó ng viờn, hng dn v tn tỡnh giỳp em hon thnh khúa lun ca mỡnh Em xin chõn thnh cm n ! H Ni, thỏng nm 2012 Sinh viờn Ngụ Th Tõm GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 53 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn LI CAM OAN Em xin cam oan khúa lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng em Trong nghiờn cu, em ó k tha nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc, cỏc nh nghiờn cu vi s tụn trng v bit n Nhng kt qu nờu khúa lun ny cha c cụng b trờn bt kỡ cụng trỡnh no khỏc H Ni, thỏng nm 2012 Sinh viờn Ngụ Th Tõm GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 54 Khúa lun tt nghip Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn MC LC Li núi u Chng Cỏc kin thc m u 1.1 S gn ỳng 1.2 Sai s tớnh toỏn 1.3 Bi toỏn ngc ca lý thuyt sai s 1.4 Sai phõn 1.5 Mt s kin thc v phng trỡnh vi phõn thng 11 1.6 Bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng 12 Chng Mt s phng phỏp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng cp - phng phỏp a v bi toỏn Cauchy, phng phỏp kh lp 17 2.1 Phng phỏp a v bi toỏn Cauchy 17 2.2 Phng phỏp kh lp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 20 Chng ng dng vo gii bi toỏn c th 30 Kt lun 51 Ti liu tham kho 52 GVHD: PGS.TS Khut Vn Ninh 55 [...]... MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG CẤP 2 - PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ BÀI TOÁN CAUCHY, PHƢƠNG PHÁP KHỬ LẶP 2. 1 Phƣơng pháp đƣa bài toán biên về bài toán Cauchy 2. 1.1 Bài toán Xét phương trình vi phân L  y ( x)   y" ( x)  p( x) y ' ( x)  q( x) y ( x)  f ( x); a  x  b (2. 1.1) Tìm hàm số y = y(x) sao cho bên trong [a, b] thì thỏa mãn phương trình (2. 1.1) còn ở hai... -2, 00 0,98 0,0 -0,9016 0,0000 1,10 92 1,0000 1 0,1 -2, 02 1,00 -0,4 -0,8941 -0,0040 1 ,22 02 1,1100 2 0 ,2 -2, 04 1, 02 -0,8 -0,8865 -0,0116 1,3534 1 ,24 08 3 0,3 -2, 06 1,04 -1 ,2 -0,8787 -0, 022 6 1,5098 1,3941 4 0,4 -2, 08 1,06 -1,6 -0,8706 -0,0330 1,6916 1,5735 5 0,5 -2, 10 1,08 -2, 0 -0,8 622 -0,0510 1,9 026 1,7840 6 0,6 -2, 12 1,10 -2, 4 -0,8535 -0,0 723 2, 15 52 2,0333 7 0,7 -2, 14 1, 12 -2, 8 -0,8445 -0,0971 2, 4453 2, 3 323 ... Ngô Thị Tâm-K34C Toán yi 2yi 3yi 4yi y-3 x -2 2y-3 y -2 3y-3 y -2 x -1 3y -2 y-1 x0 y+1 3y-1 y +2 4y-1 2y0 3y0 y+1 x +2 4y -2 2y-1 y+0 y0 x +1 4y-3 2y -2 y-1 2y+1 y +2 x+3 y+3 1.5 Một số kiến thức về phƣơng trình vi phân thƣờng Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm số chưa xác định ( đóng vai trò như ẩn số ) và những đạo hàm của hàm số đó: F ( x, y(... u1(x), u2(x) ta tìm y(x) từ bài toán Cauchy sau:  y ( x)  u1 ( x) y ' ( x)  u2 ( x), a  x  b   1u1 (b)  1u1 (b)   y ( b )    1  1u1 (b)   Nếu thỏa mãn điều kiện:  0  0  0; 1.1  0; q( x)  0; a  x  b thì phương pháp dồn vi phân sẽ ổn định đối với sai số tính toán 2. 2 Phƣơng pháp khử lặp giải bài toán biên đối với phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 2 .2. 1 Nội dung phương pháp. .. và phương pháp bắn, phương pháp dồn vi phân giải bài toán Cauchy không phải để cho phương trình ban đầu mà là để cho những phương trình trung gian khác (trong nhiều trường hợp bậc của nó thấp hơn bậc của phương trình ban đầu) Như vậy với điều kiện o  0 lược đồ của phương pháp dồn vi phân đối với phương trình (2. 1.1) – ( 2. 1.3) gồm những bước như sau : 1) Giải các bài toán Cauchy:  Z1' ( x)   Z 12. .. kiện biên: l0  y (a)    0 y (a)   0 y ' (a)   0 (2. 1 .2) l1  y (b)   1 y (b)  1 y ' (b)   1 (2. 1.3) Trong đó p(x); q(x); f(x) là những hàm số cho trước  0 , 0 ,  0 , 1 , 1 ,  1 là những hằng số cho trước 2. 1 .2 Các phương pháp đưa bài toán biên về bài toán Cauchy 2. 1 .2. 1 Phƣơng pháp biến thiên hằng số Ta biết rằng từ giáo trình về phương trình vi phân thì nghiệm của bài toán (2. 1.1)... một lần nữa giải (2. 1.7) với t = t 2 Dễ dàng chứng tỏ rằng ở bài toán nói trên Z ( x, t2 )  y( x) GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 18 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Tâm-K34C Toán Phương pháp bắn có thể khái quát cho trường hợp bài toán phi tuyến nhưng cũng như phương pháp biến thiên hằng số có thể dẫn đến sai số 2. 1 .2. 3 Phƣơng pháp dồn vi phân Khác với phương pháp khử lặp, phương pháp biến thiên hằng số. .. y2 ) (2. 2. 12) Dựa vào điều kiện (2. 2 .2) sau khi thay đổi bởi tỉ số sai phân hữu hạn, ta được y0 là : y0  1 y1  Ah 1   0 h GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh (2. 2.13) 23 Khóa luận tốt nghiệp i xi Ngô Thị Tâm-K34C Toán mi ki fi ci di yi 0 x0 m0 k0 f0 co d0 yo 1 x1 m1 k1 f1 c1 d1 y1 2 x2 m2 k2 f2 c2 d2 y2 n -2 xn -2 mn -2 kn -2 dn -2 yn -2 n-1 xn-1 yn-1 n xn yn fn -2 cn -2 Như vậy, vi c tính toán dường... Tâm-K34C Toán mi ki fi ci di yi 0 0,0 -2, 00 0,98 0,0 -0,9016 0,0000 0,1159 1 0,1 -2, 02 1,00 -0,4 -0,8941 -0,0040 0, 127 5 2 0 ,2 -2, 04 1, 02 -0,8 -0,8865 -0,0116 0,1415 3 0,3 -2, 06 1,04 -1 ,2 -0,8787 -0, 022 6 0,1537 4 0,4 -2, 08 1,06 -1,6 -0,8706 -0,0330 0,1618 5 0,5 -2, 10 1,08 -2, 0 -0,8 622 -0,0510 0,1616 6 0,6 -2, 12 1,10 -2, 4 -0,8535 -0,0 723 0,1 527 7 0,7 -2, 14 1, 12 -2, 8 -0,8445 -0,0971 0, 126 2 8 0,8 -2, 16 1,14... Toán y1  y0   y   A 0 0 1  h    y   yn  yn1  B 1  0 n h (2. 2.4) Phương pháp khử lặp giải hệ trên được tiến hành như sau: Trước hết ta vi t n-1 phương trình đầu tiên của (2. 2.3) dưới dạng: yi  2  mi yi 1  ki yi  h 2 f i ;(i  0, n  2) (2. 2.5) trong đó : mi  2  hpi ki  1  hpi  h 2qi ;(i  0, n  2) Giả sử có: yi 1  ci (di  yi  2 );(i  0, n  2) (2. 2.6) (2. 2.7) các số ... Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG CẤP - PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ BÀI TỐN CAUCHY, PHƢƠNG PHÁP KHỬ LẶP 2. 1 Phƣơng pháp đƣa tốn biên tốn Cauchy 2. 1.1 Bài tốn... 2. 1 .2. 3 Phƣơng pháp dồn vi phân Khác với phương pháp khử lặp, phương pháp biến thiên số phương pháp bắn, phương pháp dồn vi phân giải tốn Cauchy khơng phải phương trình ban đầu mà phương trình trung... 12 | x2 x2 x2  |x | x1  12 x2 | x2 | x2  | x2 | x1  | x1 | x2 | x 22 | Có y  y | x2 | x1  | x1 | x2 | x2 |  | y| | x2 |2 | x1 |  | x2 | x1  | x1 | x2 | x1 | | x2 |  | x2