MỤC LỤC Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach Không gian tôpô .6 1.3 Tập hợp lồi .8 1.3.1 Định nghĩa tính chất 1.3.2 Bao lồi bao đóng 1.4 Ánh xạ đa trị 10 Chương Điểm bất động ánh xạ đa trị 2.1 Định lý Caristi .14 2.2 Định lý Nadler 18 2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng 23 2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer .23 2.3.2 Bổ đề phân hoạch đơn vị .31 2.3.3 Định lý Kakutani 33 2.3.4 Điểm bất động không gian định chuẩn .37 Kết luận Tài liệu tham khảo LỜI MỞ ĐẦU Nhiều tượng thực tế dẫn đến việc nghiên cứu tồn tại, xây dựng xấp xỉ cho phương trình phi tuyến Phương pháp điểm bất động phương pháp quan trọng hữu hiệu để chứng minh tồn nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm lớp phương trình phi tuyến khác Lý thuyết điểm bất động đời từ năm 1920, hoàn thành phát triển ngày để áp dụng cho ngày nhiều lớp phương trình Cùng với phát triển khoa học nhu cầu phát triển nội toán học, ánh xạ đa trị đưa vào nghiên cứu từ năm 1950 Chúng công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều tượng tự nhiên, xã hội, kinh tế, Từ đó, nảy sinh yêu cầu phát triển phương pháp nghiên cứu với ánh xạ đa trị, có phương pháp điểm bất động Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị thu nhiều kết có giá trị Tuy nhiên hướng nghiên cứu nhà Toán học quan tâm nghiên cứu hứa hẹn đạt tới kết thú vị lý thuyết ứng dụng Với lý em chọn đề tài: “Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị” Mục đích khố luận trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng Nội dung khoá luận gồm chương Chương 1: Nhắc lại số kiến thức giải tích hàm số không gian, tập hợp số định nghĩa ánh xạ dùng cho chương Chương 2: Chương giới thiệu số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị , định lý điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co, nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng Bản khố luận hồn thành trường đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng Em xin bày tỏ lòng biết ơn bảo, giúp đỡ tận tình thầy q trình em hồn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, dạy bảo thầy cô khoa toán trường đại học sư phạm Hà Nội suốt thời gian em học tập trường Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Ngọc Huyền CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN METRIC Định nghĩa 1.1.1 Không gian metric cặp  , d  ,  tập hợp khác rỗng, d :     thoả mãn điều kiện sau i) Với x , y   : d  x, y   d  x, y    x  y ii) Với x , y   : d  x, y   d  y, x  iii) Với x, y, z   : d  x , y   d  x , z   d  z, y  Ánh xạ d gọi metric  Mỗi phần tử  gọi điểm  ; d  x, y  gọi khoảng cách từ điểm x tới điểm y Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric  , d  , a   , số r  Ta gọi Tập   a, r   x   : d  x , a   r hình cầu mở tâm a , bán kính r Tập   a, r   x   : d  x , a   r hình cầu đóng tâm a , bán kính r Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric  , d  ,    Ta gọi lân cận điểm x   hình cầu mở tâm x bán kính r  Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian metric  , d  ,    Điểm x   gọi điểm  tồn lân cận x bao hàm  Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric  , d  ,     tập đóng  với điểm x   tồn lân cận x giao  rỗng Định lý 1.1.1 Trong khơng gian metric hình cầu đóng tập đóng Định lý 1.1.2 Trong khơng gian metric a Giao họ tuỳ ý tập hợp đóng tập hợp đóng b Hợp họ hữu hạn tập đóng tập hợp đóng Định lý 1.1.3 Cho khơng gian metric  , d  Tập       Tập  đóng  dãy điểm xn   A hội tụ tới điểm x x   Định nghĩa 1.1.6 Cho dãy xn  không gian metric  , d  Ta nói dãy xn  hội tụ tới điểm x     0, n0  * : n  n0 d  xn , x    Ký hiệu: lim xn  x xn  x  n    n Điểm x gọi giới hạn dãy xn  Định lý 1.1.4 Tập hợp  không gian metric  , d  tập hợp đóng dãy hội tụ  hội tụ tới điểm thuộc  Định nghĩa 1.1.7 Giả sử  tập hợp tuỳ ý không gian metric  Số   sup d  x, y  x , y gọi đường kính tập  , số hữu hạn hay vơ hạn Nếu     gọi tập hợp bị chặn Từ định nghĩa ta có điều kiện sau a Để tập hợp  bị chặn, điều kiện cần đủ tồn hình cầu   x0 , R  chứa  b Hợp số hữu hạn tập hợp bị chặn tập hợp bị chặn Định nghĩa 1.1.8 Tập hợp  không gian metric  , d  gọi compact dãy   điểm x n   có dãy x nk hội tụ đến điểm thuộc  Định nghĩa 1.1.9 Dãy xn  không gian metric  , d  gọi dãy (hay dãy Cauchy)   0, n0   * : n, m   n, m  n0 d  x m , xn    Định nghĩa 1.1.10 Không gian metric  , d  gọi không gian đầy đủ (hay không gian metric đủ) dãy  hội tụ tới điểm thuộc  Nghĩa là, dãy x n  dãy  tồn lim xn lim x n   1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử  trường số thực trường số phức Tập hợp  với hai ánh xạ (gọi phép cộng phép nhân vô hướng) Phép cộng xác định    lấy giá trị   x, y   x  y ; x , y   Phép nhân vô hướng xác định    lấy giá trị    , x    x ;   , x   gọi khơng gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) thoả mãn tiên đề sau 1) x , y   : x  y  y  x 2) x , y, z   :  x  y   z  x   y  z  3) Tồn phần tử  cho x   : x   x 4) Với x   , tồn phần tử   x  cho:   x   x  5)   , x , y   :   x  y    x   y 6) x  ,  ,    :      x   x   x 7) x  ,  ,    :    x     x  8) x   :1.x  x Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa không gian định chuẩn) Cho  khơng gian tuyến tính trường  +) Chuẩn  ánh xạ :  x x Thoả mãn tiên đề i) x  0, x   x   x   (  véctơ 0) ii)  x   x , x  ,    iii) xy  x  y , x , y   +) Không gian định chuẩn  ,  đó:  khơng gian tuyến tính chuẩn  Khi x   x gọi chuẩn vectơ x Định nghĩa 1.2.3 (Định nghĩa không gian Banach) Nếu không gian định chuẩn  không gian metric đầy đủ khoảng cách d  x, y   x  y  gọi không gian định chuẩn đầy đủ hay gọi không gian Banach Định nghĩa 1.2.4 (Định nghĩa không gian tôpô) Một họ tập   2 tập hợp  gọi tôpô  thoả mãn điều kiện sau i)   ,   ii) Giao họ hữu hạn tuỳ ý tập hợp thuộc  tập thuộc  iii) Hợp họ tuỳ ý tập thuộc  tập thuộc  Các tập thuộc  gọi tập mở Phần bù tập mở  gọi tập đóng Tập  trang bị tôpô  gọi không gian tôpô ký hiệu  ,  đơn giản  1.3 TẬP HỢP LỒI 1.3.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.3.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính, A  X gọi lồi nếu: x1 , x  A,   tập số thực Tập :0     x1  1    x2  A Hàm số f : A  gọi lồi tập A lồi f   x1  1    x    f  x1   1    f  x  , với x1 , x  A,  :0    Ví dụ 1.3.1 1) Cho X không gian định chuẩn, u0  X , r  Khi hình cầu đơn vị B  u  X : u  u0  r lồi 2) Cho X không gian định chuẩn với chuẩn Đặt f  u   u Khi đó, hàm số f : X  liên tục lồi Mệnh đề 1.3.1 Giả sử A  X ,   I tập lồi, với I tập số Khi tập A   A lồi I Mệnh đề 1.3.2 Giả sử tập Ai  X lồi, i  (i  1,2, , m) Khi 1 A1  2 A2   m Am tập lồi Mệnh đề 1.3.3 Một tập lồi A khơng gian k có điểm tương đối Mệnh đề 1.3.4 Nếu tập lồi A có điểm a b  A điểm c   a  1    b với    điểm A Mệnh đề 1.3.5 Giả sử X , Y không gian tuyến tính , T : X  Y tốn tử tuyến tính Khi a) A  X lồi suy T  A  lồi b) B  X lồi suy nghịch ảnh T 1  B  ảnh B tập lồi Định nghĩa 1.3.2 Vectơ x  X gọi tổ hợp lồi vectơ x1 , x , , x m  X m m tồn i  (i  1, 2, , m),  i  cho x   i xi i 1 i 1 Định lý 1.3.1 Giả sử tập A lồi, x1 , x , , x m  A Khi A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x , , x m 1.3.2 Bao lồi bao đóng Định nghĩa 1.3.2.1 Giả sử tập    , giao tất tổ hợp lồi chứa  gọi bao lồi tập  ký hiệu co  Nhận xét 1.3.2.1 a co  tập lồi tập hợp lồi nhỏ chứa  b  lồi co    Lấy đỉnh v ( đơn hình con) phép tam giác phân đó, gọi co ui : i  I  diện nhỏ S chứa v Khi theo điều kiện (KKM) v   Fi Vậy tồn m  I v  Fm Ta gán cho v số m iI ký hiệu vm Vậy với h 0,1, , n ta có vh  Fh Đặc biệt, đỉnh ui S phải thuộc Fi , i  0,1, , n Cách gán thoả mãn điều kiện Sperner Vì theo bổ đề Sperner, phải có đơn hình tốt (được gán số từ đến n), ta có kí hiệu    co v10 , v11 , , v1n Theo nhận xét ta có vi1  Fi với i  0,1, , n Ta thực S phép tam giác phân bước hai, tức tiếp tục chia nhỏ đơn hình có bước cho điều kiện tam giác phân (trên S ) bảo đảm Các đỉnh xuất gán số theo cách nêu bước một, kết ta tìm đơn hình tôt mới, ký hiệu    co v02 , v12 , , vn2 với vi2  Fi , i  0,1, , n Tiếp tục trình ta dãy đơn hình tốt m   m  : m  1, 2, với   co v0m , v1m , , vnm vim  Fi , i  0,1, , n   Dãy v0m  nằm tập hợp compac S nên tồn dãy v0mi hội tụ đến   m i v0  F0 F0 đóng Dãy v1 j hội tụ đến v1  F1 F1 đóng   dãy v  hội tụ đến v  F Vậy ta dãy đơn hình tốt   dãy   mà dãy đỉnh v  hội tụ đến v  F , i  0,1, , n Sau n+1 lần trích dãy con, ta dãy vnmk m n mk n n mk i i i 27 m Có thể giả thiết lim diam mk k  (chỉ cần chọn phép tam giác phân thích   hợp) Khi dãy đỉnh vimk , i  0,1, , n hội tụ điểm, tức n v0  v1   Ký hiệu điểm giới hạn chung v , ta có v   Fi i0 Bổ đề chứng minh Bổ đề gọi bổ đề KKM Trước sử dụng bổ đề KKM để chứng minh nguyên lý bất động Brouwer, ta cần nhắc lại số kiến thức sau Định nghĩa 2.3.2 Cho hai không gian tôpô X , Y Ánh xạ f : X  Y Giả sử f song ánh từ X lên Y , f f 1 liên tục f ánh xạ đồng phôi hay phép đồng phôi Hai không gian tôpô X Y gọi đồng phôi với tồn phép đồng phôi từ X lên Y Mệnh đề 2.3.1 Giả sử M tập hợp khơng gian tơpơ có tính chất sau: ánh xạ liên tục T : M  M ' có điểm bất động Nếu M ' đồng phơi với M M ' có tính chất Chứng minh Cho  phép đồng phôi từ M lên M ' T ' : M '  M ' ánh xạ liên tục Ta cần chứng minh T ' có điểm bất động Thật vậy, đặt T   1 T ' ta T : M  M ánh xạ liên tục, nên theo giả thiết, tồn x  M với Tx  x Khi   x0  điểm bất động T ' Mệnh đề chứng minh 28 Định nghĩa 2.3.2 Cho đơn hình S  co u0 , u1 , , un  Khi điểm x  S n n biểu diễn dạng x   xi ui với xi  0,  x i  Sau ta i0 i 0 viết x   x , x1 , , x n  xi gọi toạ độ trọng tâm x , biến đổi liên tục theo x Định lý 2.3.1 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng R n vào có điểm bất động (ở ký hiệu đường thẳng thực) Chứng minh Vì hình cầu đóng R n đồng phơi với n _đơn hình S nên ta cần chứng minh ánh xạ liên tục T : S  S có điểm bất động S Với x  S ta có x   x , x1 , , xn  y  Tx   y0 , y1 , , yn  Với i  0,1, , n ta đặt Fi  x  S : xi  yi  Do T liên tục nên Fi đóng Ta chứng minh Fi thoả mãn điều kiện KKM Lấy I  0,1, , n x  co ui : i  I  Vậy với xi  i  I n xi  i  I , y   y0 , y1 , , yn  với yi  0,  yi  i 0 Để chứng minh x   Fi ta cần chứng minh tồn i0  I x  Fi0 , tức iI xi0  yi0 Giả sử ngược lại xi  yi , với i  I Khi ta gặp mâu thuẫn n n   x i   x i   yi   yi  i 0 iI iI i 0 29 n Vậy điều kiện (KKM) thoả mãn Theo bổ đề KKM, tồn x *   Fi i 0 Khi ta có xi*  yi* , với i  0,1, , n , yi* toạ độ trọng tâm y*  Tx * n Vì n  xi*   yi*  1, bất đẳng thức phải đẳng thức, tức xi*  yi* , i 0 i 0 với i  0,1, , n Vậy ta có x *  y*  Tx * Nguyên lý chứng minh Chú ý : Từ định lý Brouwer suy bổ đề KKM, hai định lý thật tương đương Định lý Brouwer có nội dung trực quan tự nhiên sau: Giả sử có n doanh nghiệp cạnh tranh thị trường, điểm x  S biểu thị tình doanh nghiệp i chiếm thị phần xi Do cạnh tranh nên từ tình x  S dẫn tới tình f  x  Đương nhiên doanh nghiệp i mong muốn chuyển đến tình f  x  với fi  x   xi Định lý Brouwer cho biết ánh xạ f liên tục có điểm x *  f  x *  , nghĩa tình cân mà khơng doanh nghiệp muốn thay đổi để lợi Chính với ý nghĩa mà định lý bất động Brouwer (cùng với mở rộng nó) cơng cụ xây dựng lý thuyết cân kinh tế nhiều lĩnh vực khác 30 2.3.2 Bổ đề phân hoạch đơn vị Định lý Brouwer phát biểu cho ánh xạ đơn trị Để mở rộng cho ánh xạ đa trị ta dựa vào bổ đề sau , gọi bổ đề “ phân hoạch đơn vị’’ Bổ đề 2.3.2 Cho tập compac C không gian metric X số hữu hạn tập mở G1 , G2 , , Gm phủ C Bao có hàm số liên tục ei : X  0,1  i  1, , m  cho 1) ei  x   Gi 2) e1  x   e2  x    em  x   với x  C Chứng minh Trước hết ta nhận xét F1 , F2 hai tập đóng rời khơng gian metric X có hàm số liên tục e1 : X   0,1 F1 F2 , e1    x , F1    x, F1     x , F2  (trong   x , M  khoảng cách từ x đến M , tức số inf   x , y  ) yM Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo m Nếu m  đặt F1  C G1 , F2  C G2 , lấy e1  x  trên, e2  x    e1  x  ta có hàm số đòi hỏi Giả sử bổ đề chứng minh cho trường hợp m  tập mở phủ C, xét trường hợp có m tập G1 , G2 , , Gm Tập F  C Gm compac (vì tập đóng C ) phủ m  tập mở G1 , , Gm 1 , theo giả thiết quy nạp, có hàm liên tục hi : X   0,1 cho hi  x   Gi 31 h1  x    hm1  x   F, mặt khác, hai tập đóng F F1  C  m 1 i 1 Gi rời nhau, có hàm số liên tục h : X  0,1 F1 F Các hàm liên tục ei  x   hi  x  h  x  (i  1, , m  1) em  x    e1  x    em1  x  , đáp ứng yêu cầu nêu bổ đề Bổ đề chứng minh Các hàm e1  x  , , em  x  gọi phân hoạch đơn vị ứng với phủ mở G1 , , Gm C Dựa vào bổ đề 2.3.2 suy dễ dàng hệ sau định lý Brouwer Hệ 2.3.2 n Mọi ánh xạ liên tục f : C  C từ tập lồi compac C  vào có điểm bất động x *  f  x *  Chứng minh Bằng cách tịnh tiến thay (nếu cần) n không gian nhỏ chứa C , cho C có điểm a C nằm phần     đơn hình S Với k  1,2, , cho Ck  x  C :  x, S C  / k Hai tập mở int C (phần C) S Ck phủ S , theo trên, có hàm liên tục ek : S   0,1 cho ek  x   Ck C Đặt  k  x   ek  x  f  x   1  ek  x   a ta có ánh xạ liên tục từ S vào S , theo định lý 2.3.1, phải có điểm x k   k  x k  Vì S compac 32  ek  x   1, ta thay (nếu cần) dãy dãy thích hợp để có x k  x * , ek  x k    Nếu với k ek  xk   x k  f  xk  điểm bất động Vậy coi ek  x k   với k Khi      x k , S C  / k  ,  x * , S C  , tức x * điểm biên C Mà x *   f  x *   1    a Theo tính chất tập lồi,   , tức x *  f  x *  2.3.3 Định lý Kakutani Định nghĩa 2.3.3.1 Một ánh xạ đa trị f : C  2Y từ tập C không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , gọi đóng, đồ thị  x, y  : x  C, y  f  x  tập đóng khơng gian X  Y , hay nói cách khác, từ x v  x , yv  y yv  F  xv  luôn suy y  f  x  Định lý 2.3.3.1 (Heine-Borel) Một tập M compac họ tập mở G  phủ lên M :  G M:    M , có chứa họ hữu hạn: G1 , G2 , , G m phủ m i 1 Gi  M 33 Định lý 2.3.3.2 n Cho tập lồi compac C  C vào tập compac D  n , ánh xạ đa trị đóng f : C  D từ , cho với x  C, f  x  tập lồi compac khơng rỗng Khi có x *  C y *  f  x *  nghiệm  x  C   x  x * , y *   (1) Chứng minh Trước hết ta chứng minh có x *  C  x  C   y  f  x *    x  x * , y   (2) Giả sử trái lại, tức  x  C   u  C   y  f  x    u  x, y   (3) Với u  C đặt G  u   x  C :  u  x , y   y  f  x  Nếu x  C theo (3) phải có u  C cho x  G  u  Vậy họ G  u  , u  C , phủ C Dễ thấy G  u  tập mở C Thật xv  C G  u  x v  x  v    với v có yv  f  xv  nghiệm  u  x v , yv   , D compac ta thay (nếu cần) dãy dãy thích hợp để có yv  y ấy, ý f đóng, ta có    y  f x u  x , y  , chứng tỏ x  C G  u  Vì C compac nên theo tính chất Heine-Borel có số hữu hạn phần tử ui  C (i  1, , m) cho G  u1  , , G  um  phủ C Cho ei  x  i  1, , m  phân hoạch đơn vị ứng với phủ theo bổ đề 2.3.2 đặt 34 m g  x    ei  x  ui i 1 Vì C lồi nên g  x   C, tức g : C  C Mặt khác ánh xạ g liên tục, theo hệ 2.3.2 phải có x  g x Nhưng với x  C  y  f x:  g  x   x, y    e  x  u  x, y  Trong  * i * i biểu thị tổng lấy theo i mà ei  x   , tức x  G  ui  (do  ui  x, y   ) Ta có  e  x   ,  g  x   x, y   : điều * i đưa đến mâu thuẫn lấy x  x (theo giả thiết f  x    với x ) Vậy ta phải có (2) Bây ta đặt, với x  C :      D  x   y  f x* : x  x*, y  Để hoàn thành việc chứng minh định lý ta phải vạch rõ ràng có điểm y * f  x *  không thuộc D  x  Giả sử trái lại, D  x  , x  C, phủ lên tập f  x  Vì D  x  hiển nhiên tập mở, mà f  x  compac nên theo tính chất Heine-Borel, phải * * có số hữu hạn D  x  , chẳng hạn D  x1  , D  x2  , , D  xm  , phủ   f x * Ta khẳng định có số   đủ nhỏ hệ bất đẳng thức x  khơng có nghiệm f  x  Thật vậy, trái lại ta có y  f  x   k  1, 2,  cho  x  x , y     (i  1, 2, , m) i  x * , y     i  1, 2, , m  * * k * i k 35 k (4) dãy với  k  ( k  ) Vì f  x *  compac ta lấy dãy để có yk  y0  f  x *  Hiển nhiên  x i  x * , y0    i  1, 2, , m  nghĩa y0 không thuộc D  xi   i  1, 2, , m  (Mâu thuẫn với trên) Vậy với   đủ nhỏ hệ khơng có nghiệm tập lồi f  x *  Theo định lý bất đẳng thức khơng tương thích, phải có số thực i   i  1, , m  m cho    i  i 1 m y  f  x     x  x , y      * * i i i 1 m Đặt  i  i /  ta có x   i 1  i x i  C y  f  x    x *   x*, y  Mâu thuẫn với , điều giả sử sai Định lý chứng minh Định lý 2.3.3.3 (Kakutani) Cho tập lồi compac C  n ánh xạ đa trị đóng f : C  2C từ C vào nó, cho với x  C, f  x  tập lồi, compac, khơng rỗng Khi f có điểm bất động, nghĩa điểm x *  C cho   x*  f x* 36 Chứng minh Áp dụng định lý trước cho ánh xạ F  x   x  f  x  ( C compac dễ thấy D compac) ta điểm x *  C y *  f  x *  cho  x  C   x  x * , x *  y *   Lấy x  y*  C ta suy  y *  x * , x *  y *   Từ x *  y *  f  x *  Định lý chứng minh Ta thấy định lý Brouwer trường hợp riêng định lý Kakutani, f ánh xạ đơn trị 2.3.4 Điểm bất động khơng gian định chuẩn Các kết mở rộng vào không gian định chuẩn Định lý 2.3.4.1 (Ky Fan) Cho tập lồi compac C không gian định chuẩn X, ánh xạ đa trị đóng f : C  2C từ C vào cho với x  C, f  x  tập lồi compac, không rỗng Khi tồn x *  C cho x *  f  x *  Chứng minh Xét hình cầu mở Wr tâm gốc ,và có bán kính / r Họ tập mở x  Wr phủ C , mà C compac nên có số hữu hạn tập phủ C : xi  Wr , i  1, , n Gọi S bao lồi x1 , , x n F : S  S ánh xạ xác định   F  x   f  x   Wr  S 37 Với x  S có y  f  x   C với y lại có xi cho y  xi  Wr , tức xi  y  Wr (vì Wr  Wr ), mà hiển nhiên xi  S nên xi  F  x  Vậy F  x    Cũng rõ ràng F  x  lồi giao hai tập lồi f  x   Wr S Ta kiểm tra lại F ánh xạ đóng Giả sử x v  x, yv  y, yv  F  xv  Ta có yv  zv  uv với zv  f  xv  , uv  Wr Vì zv   C mà C compac nên có dãy zv  z  C , f ánh xạ đóng nên z  f  x  Mặt khác, uv  yv  zv  y  z , mà Wr đóng nên y  z  Wr , y  z  Wr  f  x   Wr , tức y  F  x  hiển nhiên y  S Vậy F ánh xạ đóng Theo định lý Kakutani phải có x r cho xr  f  xr   Wr tức có yr  f  xr  cho yr  xr  Wr Vì x r , r  1, 2,   C compac nên có dãy xrs  x *  C ( s  ) Khi yrs  x * , f đóng ta phải có   x*  f x* Hệ 2.3.4.2 (Schauder) Một ánh xạ liên tục f : C  C từ tập lồi compac C không gian định chuẩn vào có điểm bất động x *  f  x *  Định lý Ky Fan ( định lý Schauder) cịn X khơng gian lồi địa phương- lớp không gian rộng không gian định chuẩn 38 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khoá luận “ Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị ” Nội dung khoá luận gồm chương: Chương 1: Nhắc lại số kiến thức giải tích hàm số không gian, tập hợp số định nghĩa ánh xạ dùng cho chương Chương 2: Nội dung chủ yếu bao gồm: định lý Caristi điểm bất động ánh xạ đa trị; định lý Nadler điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co; ngun lý điểm bất động Brouwer suy rộng Để hồn thành khố luận này, thân có nhiều cố gắng song kiến thức hạn chế vấn đề khó giải tích hàm nên khố luận khơng tránh thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để khố luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Hồng Tụy Hàm thực giải tích hàm NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2 Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm NXB Giáo dục 3 Phan Đức Chính Giải tích hàm NXB Đại học Hà Nội 4 Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải Giải tích lồi NXB KHKT- Hà Nội 5 Nguyễn Phụ Hy Giải tích hàm NXB KHKT 40 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng, khoá luận tốt nghiệp đại học “Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị” hoàn thành theo nhận thức vấn đề riêng tôi, không trùng với khố luận khác Trong q trình thực nghiên cứu khố luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Ngọc Huyền 41 ... thuyết ứng dụng Với lý em chọn đề tài: ? ?Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị? ?? Mục đích khố luận trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng... số định nghĩa ánh xạ dùng cho chương Chương 2: Chương giới thiệu số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị , định lý điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co, ngun lý điểm bất động Brouwer suy... Chương 2: Nội dung chủ yếu bao gồm: định lý Caristi điểm bất động ánh xạ đa trị; định lý Nadler điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co; ngun lý điểm bất động Brouwer suy rộng Để hồn thành khố