ệ ệ r ệ ệ ữỡ ởt số tự trủ ởt số tự t ỳ ổ tỷ t t t tỷ t t ổ ữỡ t t ổ t t t ữủ t t t t ổ ố q t t t ổ t õ t ữủ t t ữủ ị ề R ữớ t tỹ Rn ổ n C t ự tỹ ởt số ự ổ Rn ã, ã t ổ ữợ tr ổ rt H ã tr ổ rt H t ữủ ữỡ tr r tữớ t tr ỹ ổ t ỵ từ ỷ ỵ õ ỳ t ỳ q tr t ỵ ổ ữủ trỹ t t ú tứ ỳ ỳ t r õ ú tổ tợ t t t ổ t t t ữủ r ữớ t ữỡ tr r t t t t t ổ ởt t ữủ t õ tọ õ õ t tở tử t ởt tổổ õ t ỳ t t t ởt tr ổ tọ t t õ r t t ổ õ õ trú ữ s ử ữỡ ởt số tự trủ ữỡ t t t t ữủ t t r ữỡ ú tổ tr ởt số tự trủ ữỡ t tr ởt số tự t ỳ ổ t tỷ t t t tỷ t t ổ r ữỡ ú tổ tr t t t t ổ ố q t t t ổ t t t ữủ t õ t ữủ tớ ổ t ỏ õ s ổ tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ õ ỵ qỵ t ổ õ ữủ t ữợ sỹ ữợ t t t t t ự sỹ ú ù t ổ tr tờ t trữớ ũ ợ tọ ỏ t ỡ s s tợ t ự ữớ t sỹ q t ú ù t t tr sốt q tr t ự t õ ố ũ t ỷ ỡ t ổ tr rữớ tr ỳ tự t tr sốt ỡ t t ợ t ú ù t tr q tr t t õ ì ẹ ởt số tự t ổ ổ t t tỹ u : X R ữủ ã 0, u X u = u = u = || u , u X, R u + v u + v , u, v X ổ t t tr ữủ ổ t t ổ ổ t t ỵ ỗ t õ E F ổ t E ì F ụ ổ ợ (x, y) = x + y sỷ E F ổ f : E F tứ E F t Gf = {(x, f (x)) E ì F : x E} ỗ t f f tử t Gf t õ tr E ì F ự sỷ {(xn , f (xn )} Gf , (xn , f (xn )) (x, y) E ì F ự (x, y) Gf tự ự y = f (x) õ xn x f (xn ) y (xn , f (xn )) (x, y) f tử xn x n f (xn ) f (x) n t ởt tr ổ tr tử t tử tợ ởt t tứ (1.1), (1.2) s r y = f (x) õ (x, y) Gf Gf õ tr E ì F ỵ ỵ ỗ t õ sỷ E, F ổ f : E F t t õ f tử ỗ t õ t õ tr E ì F ự ỵ trữớ ủ t 1.3 sỷ E, F ổ f : E F t t Gf t õ tr E ì F t ự f tử tự ự tỗ t số k s f (x) k x õ q sỷ , x E tr ổ t t E õ (E, ), (E, ) ổ s s ữủ ợ t 1 tr E tt (E, ) ổ t s ỹ tr E s (E, ) ụ ổ x 1 : E R ổ tự = x + f (x) , x E t (1.3) ởt tr E ó r sỷ {xn } ởt tr (E, ) ự {xn } tử tr (E, ) tự ự xE xn x theo {xn } tr ổ E ợ xn xm n, m tữỡ ữỡ ợ xn xm + f (xn xm ) n, m õ t õ xn xm 0, f (xn ) f (xm ) n, m ứ s r {xn } tr ổ (E, ) {f (xn )} tr ổ (F, ) tỗ t x E y F s xn x E f (xn ) y F õ (xn , f (xn )) (x, y) E ì F t {xn , f (xn )} Gf õ tr E ì F (x, y) Gf y = f (x) t ủ ợ (1.6) t õ xn x f (xn ) f (x) õ xn x = xn x + f (xn ) f (x) r xn x (E, ) (E, ) ổ t t õ số c s x 1 r , tỗ t c x , x E õ x + f (x) c x ự f (x) (c 1) x , x E f tử ỵ ữủ ự ổ rt ổ t t tỹ ã, ã : H ì H R ữủ t ổ ữợ u, v = v, u , u, v H u u, v t t ợ v H u, u u, u = u = ổ rt ởt ổ ợ ữủ s r ởt t ổ ữợ tỷ u, v H trỹ u, v = ởt ỡ s ữủ {wk }k wk , wl wk u H {wk }k = 0, = 1, H ởt ỡ s trỹ (k, l = 1, 2, , k = l) (k = 1, 2, ) H ởt ỡ s trỹ t + u= u, wk wk n=1 + u u, wk = n=1 ỳ ổ f : F t tr ổ E ỏ F ổ õ f t x0 tr tỗ t S L(E, F ) s f (x0 + h) f (x0 ) S(h) = o( h ) õ ợ > > h < f (x0 + h) f (x0 ) S(h) ( h ) ữủ t ữợ q tở lim h f (x0 + h) f (x0 ) S(h) = h f t tr t f t x0 ổ t E ữủ t tữỡ ữỡ S L(E, F ) tọ t ỵ S f (x0 ) Df (x0 ) f t x0 T L(E, F ) ụ tọ (1.7) t T S S T f t x0 t õ f (x0 + h) f (x0 ) S(h) = o( h ) f (x0 + h) f (x0 ) T (h) = o( h ) õ S(h) T (h) = (f (x0 + h) f (x0 ) S(h)) (f (x0 + h) f (x0 ) T (h)) = o( h ) + o( h ) = o( h ) r lim h S(h) T (h) = h E t h = t õ h S(th) T (th) tS(h) tT (h) S(h) T (h) = = th |t| h h ợ t R, t = r S(th) T (th) S(h) T (h) = lim = t0 h th õ S(h) T (h) = õ S(h) = T (h), h = r S(h) = T (h), h E S T ữ f tr t õ f : L(E, F ) x f (x) L(E, F ) r f tử t f tử tở ợ C t f C tr f (x0 ) L(E, F ) tứ s r f tử t x0 t trữớ ủ E = R rữợ t ổ tự (T ) = T (1), T L(R, F ) ỳ ỳ L(R, F ) F t ỗ t T L(R, F ) ợ T (1) sỷ f : (a, b) F t x0 (a, b) õ f (x0 + h) f (x0 ) f (x0 )(1)] h0 h f (x0 + h) f (x0 ) f (x0 )(h) = lim = h0 h ữ ỗ t f (x0 ) ợ f (x0 )(1) t õ t t lim [ f (x0 + h) f (x0 ) h0 h f (x0 ) = lim õ t tổ tữớ f : F, f = const, t f = tr f L(E, F ) t f t x0 E f (x0 ) = f ự f t x0 E lim h lim h f (x0 + h) f (x0 ) S(h) =0 h f (x0 ) + f (h) f (x0 ) S(h) = h õ A = gf t x0 (gf ) (x0 ) = g (f (x0 ))f (x0 ) tỷ t t t tỷ t t ổ tỷ t t tỷ t t tr ổ X Y ổ tỹ A : X Y t tỷ t t A(u + àv) = Au + àAv, u, v X, , R N (A) = {u X : Au = 0} t tỷ A R(A) = {Au : u X} t tỷ A tỷ t t A : X Y ữủ ỡ N (A) = {0} tỷ t t A : X Y ữủ t R(A) = Y tỷ t t A : X Y A := sup{ Au Y| u X 1} < tỷ t t tr ổ rt H ổ rt ợ t ổ ữợ , A : H H t tỷ t t t tỷ ủ õ A : H H tọ Au, v = u, A v , u, v H A tỹ ủ A = A tỷ t t A : H H t tỷ t õ ộ t tr H t ởt t t tữỡ ố tr H ởt t tỷ t t t t tử t ởt t tỷ t t tử A õ tr ỳ t A t ỵ sỷ A : H H t tỷ tỹ ủ t tr r A số tỹ tỡ r ự ợ tr r trỹ tỷ t t ổ ởt tr ỳ t tỷ ổ s s ợ t tỷ õ ú ổ tr t ổ t tỷ t t ổ A : D(A) H H ỗ D(A) ú t tt r A trũ t tr ổ t t H tỷ A ữủ rở A A t A D(A) Ax = Ax ợ x D(A) õ ữủ t D(A) A A A A A t tỷ tr trũ t D(A) tr ổ H t A õ t ởt t tỷ rở A tr H ủ t tỷ ổ A : D(A) H H t tỷ A : D(A ) H H s Ax, y = x, A y x D(A), y D(A ), ợ D(A ) ổ ợ t H tt ỡ y H t y (x) = y, Ax t t y : D(A) C ú t õ r y D(A ) y tr D(A) r trữớ ủ tứ D(A) trũ t tr H y õ ởt rở t t ởt t t tr H ứ õ t ỵ s tỗ t t ởt tỡ z H s y (x) = z, x õ y, Ax = z, x ợ x D(A) ú t A y = z sỷ r A : D(A) H H t tỷ ổ tr trũ t tr ổ rt H tỷ A : D(A ) H H t tỷ ợ D(A ) = {y H\ z H, Ax, y = x, z , x D(A)} y D(A ) t ú t A y = z ợ z tỷ t s Ax, y = x, z x D(A) ú t ú ỵ r D(A ) õ t ổ trũ t tr ổ rt H D(A) trũ t r trữớ ủ õ t ụ ổ ữủ A tỷ ổ A ữủ ố ự A rở A õ D(A ) D(A) A (x) = Ax tỷ ổ A ữủ tỹ ủ A = A õ D(A ) = D(A) A (x) = Ax ợ x D(A) tỷ A : D(A) H H õ (xn ) D(A) s xn x Axn y t x D(A) Ax = y A : D(A) H H s t ú t t tỷ ữủ A1 : H H A1 y = x Ax = y A1 ợ A A õ t A1 t tỷ A : D(A) H H t tỷ tr trũ t tr ổ rt H ợ t tỷ ữủ A1 : H H t (A )1 = (A1 ) ự ứ A1 s r õ õ t tỷ ủ t tỷ x D(A ) y H t (A1 ) A x, y = A x, A1 y = x, AA1 y = x, y õ (A1 ) A x = x, x D(A ) r x H, y D(A) t A (A1 ) x, y = (A1 ) x, Ay = x, A1 Ay = x, y ứ D(A) trũ t tr ổ H s r (A1 ) x D(A ) A (A1 ) x = x õ (A1 ) x = (A )1 x (A1 ) = (A )1 ì ế ìẹ sỷ A t tỷ õ trũ t tr ổ rt H t t tr u (t) = Au(t), < t < T, u(0) = f, v (t) = Av(t), < t < T, v(T ) = g t tr ố A t tỷ H ổ ỳ t t tr t tr ố tỹ t t ữỡ tr t t ú t ú tọ tỗ t t tở tử ỳ u (t) = Au(t) t ữỡ tr r t t q t r trữớ ủ A t tỷ ổ tr ổ rt H ổ ú tổ ự tọ r t tr t tr H t t tr ố t ổ t ợ ỳ g t tr D(A) A t t t ổ t t t t ổ H ổ rt A t tỷ t t tr H c [a, b] f H t u (t) = Au(t), a < t < b, u(c) = f, tử u : [a, b] H õ tr (a, b) s u(t) D(A) ợ t (a, b) ữủ tọ V t t t tr H t ữủ t tr V s ữủ tọ (A) ỗ t ợ ộ f V t tỗ t u (B) t ợ ộ f V õ t u (C) Pử tở tử ỳ ợ ộ t [a, b] t tỗ t số Mt s ợ ộ f V u t tọ u(t) Mt f t t ởt tr ổ tọ t t õ r t t ổ ú ỵ r t t V t tỷ õ t số Mt tr (C) õ t ợ t ỹ (A) (C) ữủ tọ t t ợ ỳ f õ t ữủ t u(t) = U (t)f, ợ U (t) : V H t tỷ t [a, b] ứ ỳ u tử tr [a, b] tỗ t số Mf s U (t)f Mf , a t b, ợ ộ f V õ ỵ [3, p46] tỗ t số M s U (t) M ợ a t b ỗ t G(A) A s ữủ tr [u, Au] = u + Au ; A t tỷ õ t G(A) ổ t ủ t s tr ú tổ tr õ t t ổ sỷ t ữỡ tr Au = f ợ A t tỷ t t t tứ ổ X ổ Y õ ỏ f ỳ tở ổ Y t t ổ t ổ ợ ỳ f t ụ õ tữớ t tỗ t t ởt õ t ổ tở tử t ởt tr õ ỳ f t ổ t số õ õ ỵ ởt s số ọ tr ỳ t õ t ởt s số ợ t ý tr ỵ tt t t ổ ữ r ữỡ số ỳ t ởt t ữủ õ trữợ t ự t õ t r ởt ợ M õ ổ X t tở ợ tở tử ỳ t ổ õ t t t t ỏ ú t tr t tr ữỡ số t s số ữỡ ỡ t tt r X Y ổ ợ tữỡ ự ã X ã Y sỷ r t ữủ ởt t ủ M t ữủ u M t õ s tở tử f tỗ t ởt ởt tỹ tử ợ (0) = s u X ( f Y ) ữủ tr trữớ ủ t ữủ õ t ữớ t ữ r t M tữớ ỳ t õ t õ ỵ t ỵ ữ õ t õ t tố ởt q tr t ỵ t ợ õ ởt t ỗ t ổ t ỡ (t) = ct ợ > õ t t õ r t õ ởt t tốt ởt rt t t õ rt t ỏ t ổ õ ởt tố t tợ (t) t t t õ ởt t rt t t ổ ữỡ tr số t t t tỹ t ữủ q số t t tr õ õ ởt sỹ t ọ số ữỡ tr t ợ t tr ổ ổ ỳ ữỡ tr số t t õ t t ữ ữủ ữỡ tr tr t số ữỡ tr ữủ tr ữỡ tr 2x1 + x2 = 2x1 + 1, 01x2 = 2, 01 õ x1 = x2 = tr õ ữỡ tr 2x1 + x2 = 2, 01x1 + x2 = 2, 05 õ x1 = x2 = t t ởt sỹ t ọ số tr ữỡ tr tự t ỳ t ữỡ tr õ ữủ ởt số sỷ õ t f (x + h) f (x) số t h0 h ố t {hk } s hk k t số s f (x + hk ) f (x) Dk = k = 0, 1, , N õ ợ hk tự hN ọ DN s f (x) t hN ọ t f (x) = lim s ữủ tốt hN ọ õ t tốt ỡ ổ? tr ọ t t s f (x) = ex f (1) ợ hk = 10k t t q k = 10 t Dk = f (1) 2, 718282 k = t Dk = 2, 7183 f (1) 2, 718282 ữ k = t t số s t tốt ỡ ứ t tr t õ t Dk ú DN +1 DN DN DN t tổ ố q t t t ổ t t t ữủ r ú tổ sỷ r H ởt ổ rt ổ A ởt t tỷ t t ổ õ trũ t tr H ỵ t tr u (t) = Au(t), < t < T, u(0) = f, t tr X t t tr ố v (t) = Av(t), < t < T, v(T ) = g, t ổ tr D(A) ự sỷ t t tr H U (t) : H H t tỷ u(t) = U (t)f U (t) t tỷ t t tử ợ t [0, T ] U (t) ữủ ự tr D(A) ợ t (0, T ) ú t õ t ởt J(t) : H G(A) J(t)f = [U (t)f, AU (t)f ], < t < T ú t r ợ ộ t (0, T ) ố J(t) t tỷ t sỷ fn f tr H J(t)fn [v, Av] tr G(A) õ U (t)fn v tr H AU (t)fn Av tr H U (t) t tỷ t t tử U (t)fn U (t)f õ v = U (t)f [v, Av] = J(t)f t J(t) õ õ J(t) t tỷ sỷ r t tỗ t t tr D(A) v ợ ỳ ố g D(A) < t < T t u(s) = v(s + t) õ u tọ u (s) = Au(s) u(0) = v(t) ứ t t u ữủ u(s) = U (s)v(t) rữớ ủ t g = u(T t) = U (T t)v(t) õ ợ t (0, T ) U (T t) õ ữủ tr D(A) v(t) = U (T t)1 g ú t r U (T t)1 ổ tr D(A) ợ t (0, T ) õ t t ổ tr D(A) t t t tỷ P : G(A) D(A) P [u, Au] = u A t tỷ ổ tỗ t (gn ) tr D(A) s gn ữ P gn ó r U (T t) = P J(T t) ứ P U (T t) s r J(T t) ụ ú t õ U (T t)1 = J(T t)1 P ứ J(T t) U (T t)1 gn tử t ổ r trữớ ủ tr õ ợ t (0, T ) U (T t)1 t tỷ tr D(A) t t tr ố t ổ õ t ữủ sỷ A t tỷ ố ự ổ tr ổ rt H A1 t tỷ t t t tr t tr H , , trỹ tỡ r A t u ợ ỳ ữủ (k t) u(t) = ak k , k=1 ợ ak = f, k k tr r k P u(t), u(t) ự tọ u(t) f ợ t tỷ A ữ tr t t ỵ 2.2.1 t tr ố t ổ ỳ f ổ tọ t tở tử t t un n ữủ t ợ ỳ ố gn = n en (tT ) un (t) = n n ứ n , gn ữ t < T t un (t) u tọ u (t) = Au(t) A t tỷ ố ự t log u(t) ỗ õ r < s < t t log u(s) sr ts log u(t) + log u(r) tr tr ự tọ r tọ t t ỳ ố (T ) = gn gn t (t) ợ t (0, T ) õ số M s (0) M n = 1, 2, r trữớ ủ ú t õ t t tở tử ỳ ữợ ởt tt t tớ sỷ A t tỷ õ [u, Au] u ỗ t A tr X t ỵ t tr t tr H t tr ố õ t tr H t t tr ố tở tử ỳ ữợ ởt tt t tớ sỷ X Y Z ổ X T : X Y t tỷ t S : Y Z t tỷ sỷ ST : X Z õ ợ ộ > tỗ t số C = C( ) s Tx x + C ST x ợ x X ự sỷ tr s õ tỗ t > (xn ) tr X s T xn > xn + n ST xn sỹ õ tr X ú tổ õ t sỷ r xn = õ T xn > + n ST xn > ứ xn = X t (xn ) õ tử [3, p30] sỷ x ợ ứ T t s r T xn T x tr Y õ ST xn ST x tr Z ữ r r ST x = õ x = t T x = t ợ sỷ s ự tọ tr ú ự ỵ 2.3.1 ự sỷ t t tr H U (t) t tỷ ợ < t < T ứ U (t) = P J(t) P t s r U (t) t tỷ t ú ỵ r U (T ) = U (T t)U (t) õ t tr H t U (t) ỡ ứ 2.3.2 s r ợ > tỗ t số C s U (T )f f + C U (T )f ự u(t) u(0) + C u(T ) ợ u t u (t) = Au(t) t (0, T ) tử tr [0, T ] sỷ (un ) ởt t ợ ỳ ố un (t) = gn ứ s r un (t) un (0) + C gn ; õ gn un (0) M t lim sup un (t) M ọ tũ ỵ t lim un (t) = ứ t (0, T ) tũ ỵ s r lim un (t) = ợ t (0, T ] t q t ữủ tr õ Pt ỡ t ữ ổ ổ rt t tỷ t t ổ t tỷ ố ự t tỷ tỹ ủ Pt ự tt ỵ ỗ t õ r ỳ ổ ự tt t t q t tr t ỏ ự tt ổ ự r t t t ổ r Pt ự ỵ 2.2.1 2.3.1 2.3.2 tr t t ỏ ự tt t P t ởt số ữỡ tr t t s ữợ str t t rs Prs rr rs s ts t r rs Prs rs Ps Prs rs tr rtr r rt rs Prs r rrt s rs Prs r Prt rt q ts rrr r t stt rs rs ss rt sts P Ps Prs tt Pss r t Pr s