BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TỐN  LUẬN VĂN THẠC SỸ ĐỀ TÀI: T - NHÓM HỮU HẠN GVHD SVTH : PGS.TS BÙI XN HẢI : LƯƠNG QUANG DƯƠNG TP HỒ CHÍ MINH - 2006 Cho em xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn sâu sắc Thầy hướng dẫn, PGS TS Bùi Xn Hải, thuộc Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh; dành nhiều cơng sức thời gian q báu giúp em nghiên cứu Tốn học; trách nhiệm nghiêm túc khoa học, nhân hậu rộng mở tình cảm Đồng thời, cho em xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn sâu sắc q Thầy PGS TS Bùi Tường Trí, TS Trần Hun, PGS TS Mỵ Vinh Quang, q Thầy, Cơ Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh, người Thầy nhiệt thành tận tụy giảng dạy, đức độ phúc hậu tình cảm; giúp cho em bạn lớp Cao học khóa 12 - chun ngành Đại số hiểu biết vững vàng kiến thức, tiếp nhận giá trị nhân văn sâu sắc Xin thành kính cảm ơn q Thầy, Cơ Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học, Khoa Tốn - Tin học Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp cho em bạn lớp Cao học khóa 12 - chun ngành Đại số học tập nghiêm túc, thành đạt Xin thành kính cảm ơn q Thầy, Cơ Ban Giám đốc, Phòng Giáo dục trung học, Phòng chức Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Đồng Nai ln động viên, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khóa học tốt đẹp Xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ Ban Giám hiệu, Tổ Tốn đồng chí, đồng nghiệp Trường THPT Đồn Kết - huyện Tân Phú - tỉnh Đồng Nai động viên, tạo điều kiện giúp tơi vượt qua khó khăn, học tập đạt kết viên mãn Xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ; anh, chị; thân hữu ln động viên, tạo điều kiện giúp tơi học tập tiến triển  Lý thuyết nhóm tuyến tính mơn học chương trình Cao học, chun ngành Đại số Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh; phần mở đầu mơn học này, có số nội dung lý thuyết nhóm; điều giúp nhớ kỷ niệm “thuở ban đầu” học Tốn Trường ĐHSP Quy Nhơn Xin viết Luận văn sau học mơn Lý thuyết nhóm tuyến tính xuất phát từ tình cảm tự nhiên “thuở ban đầu” thân thương Được đồng ý Thầy hướng dẫn, cho phép Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh, chúng tơi thực Luận văn “ - nhóm hữu hạn” Đây nhân dun tốt;T giúp tiếp cận, bước đầu hiểu biết số cấu trúc nhóm Luận văn phát triển theo hướng tìm điều kiện để nhóm có nhóm pronormal, đa chuẩn tắc; có hai kết vấn đề phát biểu chứng minh tài liệu tham kháo Luận văn thực lại điều ngơn ngữ học tập q Thầy; người Thầy khả kính có nhiều đóng góp cho phát triển Tốn học tỉnh, thành phía nam, đặc biệt thành phố Hồ Chí Minh Được Thầy PGS TS Bùi Xn Hải hướng dẫn, trách nhiệm nghiêm túc khoa học, nhân hậu rộng mở tình cảm nên Luận văn hồn thành viên mãn Nội dung Luận văn gồm hai chương : Chương I : Một số khái niệm Trình bày số khái niệm tính chất nhóm đa chuẩn tắc; nhóm Quaternion; nhóm giải được; nhóm lũy linh; nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic T Chương II : T - nhóm - nhóm Trình bày số khái niệm kết nhóm Dedekind; tâm hóa tử; nhóm Fitting T - nhóm; T - nhóm T- nhóm Vì lực, thời gian, kiến văn có hạn chế nên Luận văn có thiếu sót, sai sót Kính mong q Thầy, Cơ dạy; bạn đồng nghiệp góp ý Cuối cho em xin bày tỏ lòng thành kính, biết ơn sâu sắc Thầy PGS TS Bùi Xn Hải, Thầy PGS TS Bùi Tường Trí, Thầy TS Trần Hun, Thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang q Thầy, Cơ tham gia giảng dạy, quản lý lớp Cao học khóa 12 - chun ngành Đại số nhiệt thành, tận tụy giảng dạy, hướng dẫn giúp em hồn thành khóa học tốt đẹp  Chươn g I : 1.1 Nhóm quạt 1.1.1 Định nghĩa Cho D nhóm nhóm G Khi đó, nhóm H G gọi nhóm trung gian G D D nhóm H; trường hợp khơng nhầm lẫn nói ngắn gọn H nhóm trung gian 1.1.2 Định nghĩa (Z.I Borevich) Cho G nhóm, D nhóm G, cho họ khác rỗng M = {(G , NG(G))} gồm nhóm trung gian G  chuẩn hóa tử NG(G) chúng Ta nói M quạt G D với nhóm trung gian H tồn số    cho G  H  N G(G) Khi G, NG(G)/G gọi nhóm sở, phận quạt M Nếu D tồn quạt D gọi nhóm quạt G Ví dụ 1.1 Mọi nhóm chuẩn tắc D nhóm G nhóm quạt G Thật vậy, D nhóm quạt G, với quạt họ gồm phần tử M = {(D, NG(D))} 1.1.3 Định nghĩa Cho G nhóm, D nhóm G, A tập khác rỗng G, với a, x phần tử tùy ý G Khi đó, ký hiệu : x a = a -1xa, Da =  x a / x  D , DA = Da / a  A 1.1.4 Định nghĩa Cho G nhóm D  F  G Khi đó, F gọi nhóm đầy đủ G D DF = F Ví dụ 1.2 Cho D nhóm nhóm G Khi đó, D nhóm đầy đủ G D (vì DD = D) Chú ý 1.1 Cho G nhóm D  F  G Khi đó, DF F 1.2 Khái nịệm nhóm đa chuẩn tắc 1.2.1 Định nghĩa (Z.I Borevich) Cho D nhóm nhóm G Khi đó, D gọi nhóm đa chuẩn tắc G D nhóm quạt nhóm sở quạt đầy đủ Ví dụ 1.3 Mọi nhóm chuẩn tắc nhóm G nhóm đa chuẩn tắc G, quạt xác định Ví dụ 1.1 Khái niệm sau đây, thêm minh họa nhóm đa chuẩn tắc mà Chương II vận dụng 1.2.2 Định nghĩa (Ph Hall) Nhóm D nhóm G gọi pronormal G với x  G, tồn u  D, Dx cho Dx = D u Ví dụ 1.4 Mọi nhóm chuẩn tắc nhóm G nhóm pronormal G Chứng minh Giả sử D G; nên Dx = D, Dx = D1, với x  G ‫ٱ‬ Nhận xét 1.1 Cho D nhóm pronormal nhóm G Khi đó, D, Dx nhóm đầy đủ G D, với x  G Chứng minh Lấy x tùy ý thuộc G, tồn u  D, D x cho Dx = D u; ta có D, Dx = D, Du Vì u  D, Dx; nên Du  D  D , D x  x x ; từ D, Du  D  D , D   D, D x  x Vậy D, Dx  D  D , D  ; mà D  D , D  D, Dx; nên D, Dx =D ‫ٱ‬ Chú ý 1.2 (Z.I Borevich) Nhóm thỏa kết luận Nhận xét 1.1 gọi nhóm paranormal Nhận xét 1.2 Mọi nhóm paranormal nhóm G nhóm đa chuẩn tắc G Chứng minh Giả sử D nhóm paranormal G, với x  G, m  Z, ta có m m D x  D, D x  = D  D , D xm m  , D, D x  đầy đủ m m Mà D,D x   D , nênD Từ D =   , D DD x x 2  D ,D x   DD 1  x ,  m  Z,  x  G , D x , D, D x , D x ,    D D DD  x x D, Hiển nhiên = D,  x  G Do D nhóm đầy đủ,  x  G Theo Định lý 1.3.2 (chứng minh sau), ta có D nhóm đa chuẩn tắc G ‫ٱ‬ 1.3 Một số kết nhóm đa chuẩn tắc 1.3.1 Định lý Cho G nhóm D  G Khi đó, D nhóm đa chuẩn tắc G DH nhóm đầy đủ G D, với nhóm trung gian H Chứng minh () : Giả sử D nhóm đa chuẩn tắc G Vậy tồn quạt M = {(G, NG(G))} D, mà G nhóm đầy đủ G D, với   Xét H nhóm trung gian G D; theo định nghĩa quạt, tồn số    thỏa G  H  NG(G) Vì G NG(G); nên G  H; suy GH = G D G  DH  GH (vì D  G  H) Mà G = D G , G  nhóm đầy đủ G D G Từ G = D   DH  GH = G ; DH = G Do DH nhóm đầy đủ G D () : Giả sử DH nhóm đầy đủ G D, với nhóm trung gian H Xét họ M = {(G , NG(G))}, với G nhóm đầy đủ G D, nhận thấy M  ; (D, N G(D))  M Với H nhóm trung gian G D, cần chứng tỏ tồn số    cho G  H  N G(G) Thật vậy, hiển nhiên D  DH  G Và theo giả thuyết, DH nhóm đầy đủ G D Nên (DH, NG(DH))  M, tồn    thỏa G = D H Mà DH nhóm chuẩn tắc nhỏ H chứa D, G = DH H Do G  H  NG(G), NG(G) nhóm lớn G nhận G làm nhóm chuẩn tắc Bây giờ, giả sử tồn    cho G  H  NG(G) Nên G H (vì G NG(G) Vậy G = DH  GH = G (vì D  G) D G  DH = G (vì G  H) Mà G  G = D , G nhóm đầy đủ G D Vậy G = D G  DH = G  Từ G = G, nghĩa  =  Vậy với H nhóm trung gian G D, tồn số    cho G  H  NG(G ) Nên M = {(G, NG(G))} quạt D, G nhóm đầy đủ G D, với   Do D nhóm đa chuẩn tắc G ‫ٱ‬ 1.3.2 Định lý Cho G nhóm D nhóm G Khi đó, D nhóm đa chuẩn tắc G D  x  nhóm đầy đủ G D, với x thuộc G Chứng minh () : Giả sử D nhóm đa chuẩn tắc G Vậy DH nhóm đầy đủ G D, với nhóm trung gian H (Định lý 1.3.1) Mà D  x,D  G,  x  G; nên D x, D  nhóm đầy đủ G D,  x  G Mặt khác D x  = D x, D ,  x  G Do D x  nhóm đầy đủ G D,  x  G () : Giả sử D x  nhóm đầy đủ G D,  x  G Xét họ M = {(G , NG(G))}, với G nhóm đầy đủ G D Hiển nhiên M  , (D, NG(D))  M Lấy H nhóm trung gian tùy ý, cần chứng tỏ tồn    cho G  H  NG(G ) Thật vậy, ta có D  DH  G DH = Dx / x  H = D x  / x  H Mà D x  nhóm đầy đủ G D,  x  G Vậy DH nhóm đầy đủ G D Nên (DH, NG(DH))  M Nghĩa tồn    cho G = DH Mặt khác DH nhóm chuẩn tắc nhỏ H chứa D; nên G = DH H; G   H  NG(G) Bây giờ, giả sử tồn    cho G  H  NG(G); G NG(G) Nên G H Vậy G  = DH  GH = G (vì D  G) D Mà G  DH = G (vì G  H) G G = D , G nhóm đầy đủ G D Từ G = D G  DH = G Từ G = G, nghĩa  =  Vậy với H nhóm trung gian G D, tồn số    cho G  H  NG(G ) Nên M = {(G, NG(G))} quạt D, mà G  nhóm đầy đủ G D, với   Do D nhóm đa chuẩn tắc G ✿ ‫ٱ‬ 2.1 Bổ đề Cho G nhóm nhóm GL2(C) sinh hai phần tử 0 i   và b =  i 0  1     a 0=    Khi đó, ta có điều khẳng định sau : i/ G nhóm khơng Abel cấp ii/ G có nhóm cấp iii/ Mọi nhóm G chuẩn tắc G Chứng minh i/ Ta có         a =             1 0 0     i i    i i   = b 0 Nên a4 = b4 =   = 1, với ma trận đơn vị GL2(C)   Vậy a3 = a-1, b3 = b-1;  1 Suy b-1 = b3 = b2b =    i Do b-1a =      i  i    i        i      i  i         i      i i  = ab  Từ ta thấy G biểu diễn dạng phần tử sinh đồng thức sau G = a, b / a4 = 1, a2 = b2, b-1a = ab Vậy phần tử x  G viết dạng x = ab, với    3,    Nên G = {1, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b} Nghĩa |G| = i 0 i Mặt khác ab =   i       0 0  i   i i        = ba Do G nhóm khơng Abel cấp ii/ Ta có (a2)2 = 1, nên a2 phần tử cấp G; Vậy a2  nhóm cấp G Mặt khác : a, b phần tử cấp G; a3 phần tử cấp G; (a3)2 = a2  1, (a3)3 = a  1, (a3)4 = ab phần tử cấp G; (ab)2 = a2  1, (ab)3 = a2ab = a3b  1, (ab)4 = (a2)2 = a4 = a2b phần tử cấp G; (a2b)2 = a2ba2b = a2b = a2  1, (a2b)3 = a2(a2b) = b  1, (a2b)4 = a4 = a3b phần tử cấp G; (a3b)2 = a3ba3b = a2b-1aa3b = a2  1, (a3b)3 = a2a3b = ab  1, (a3b)4 = a4 = Do a2  nhóm cấp G iii/ Lấy H nhóm tùy ý G Vì |G| = 8, theo Định lý Lagrange, ta có |H| = 1, 2, 4, Trường hợp |H| = |H| = 8, hiển nhiên H G Trường hợp |H| = 2; |Hx| = 2, với x  G, Hx nhóm liên hợp với H G; nên Hx = H, với x  G, G có nhóm cấp 2; suy H G Trường hợp |H| = 4; Theo Định lý Lagrange, ta có [G : H] = 2; kéo theo H G Do nhóm G chuẩn tắc G ‫ٱ‬ 2.2 Định nghĩa Nhóm nói tới Bổ đề 2.1 gọi nhóm Quaternion ký hiệu Q ❁ Thật vậy, (1 2)(1 3) = (1 3)-1(1 2)(1 3) = (2 3) (1 2); nên (1 2) khơng nhóm chuẩn tắc S3 Mặt khác |(1 2)| = 2, | S3| = Vậy gọi H nhóm trung gian S3 (1 2), suy |H| = |H| =6, nên H = (1 2) H = S3 Kéo theo, khơng tồn dãy (1 2) H1 … Hn S3 Từ (1 2) khơng nhóm chuẩn tắc S3 Tương tự (1 3), (2 3) khơng nhóm subnormal S3 Ta có A3 S3 (v ì [S3 : A3] = 2); hiển nhiên S3, S3 S Vậy S3 có ba nhóm 1, A3 S3 chuẩn tắc S3 đồng thời chuẩn tắc S3 Do S3 T - nhóm ‫ٱ‬ Phản ví dụ S4 khơng T - nhóm Chứng minh Theo Ví dụ 3.3, §3 , Ch I, ta có V4 A4 S4 Xét D = (1 2)(3 4) = {1, (1 2)(3 4)}(do (1 2)(3 4)(1 2)(3 4) = 1) Mà V4 = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} Suy D  V4; D V4 (vì [V4 : D] = 2); từ D V A4 S4 Nghĩa D nhóm chuẩn tắc S4 Mặt khác (1 2)(3 4)(2 3) = (2 3)(1 2)(3 4)(2 3) = (1 3)(2 4)  (1 2)(3 4) Vậy D khơng nhóm chuẩn tắc S4 Do S4 khơng T - nhóm ‫ٱ‬ Nhận xét Mọi nhóm Dedekind T - nhóm Chú ý 1.2 Tồn T - nhóm, mà chúng khơng nhóm Dedekind, chẳng hạn S3 1.2.2 Mệnh đề Cho G nhóm Khi đó, G T - nhóm với H K G ta có H G, với H, K nhóm G Chứng minh () : Hiển nhiên () : Giả sử G nhóm mà với nhóm H, K thỏa H K G ta có H G; cần chứng minh G T - nhóm Thật vậy, lấy H nhóm chuẩn tắc tùy ý G, tồn dãy nhóm G cho H = H H2 … Hn = G Chứng tỏ H G, phương pháp quy nạp theo n Với n  3, điều phải chứng minh hiển nhiên Giả sử điều phải chứng minh với n = k  Xét trường hợp n = k + 1, nghĩa ta có H = H1 H2 … Khi Hk -1 Hk H k+1 = G Hk+1 = G Theo giả thuyết H k -1 G Nên từ dãy trên, viết lại H = H1 H2 … Hk -1 G (coi Hk = G) Theo giả thuyết quy nạp ta có H G Vậy H nhóm chuẩn tắc G, với H chuẩn tắc G Do G T - nhóm ‫ٱ‬ 1.2.3 Định lý Cho G nhóm lũy linh Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương : i/ G T - nhóm ii/ G nhóm Dedekind Chứng minh i/  ii/ : Vì G lũy linh nên theo Định lý 4.3.4, § 4, Ch I, ta có nhóm G nhóm chuẩn tắc G Mà G T - nhóm; nên nhóm chuẩn tắc G nhóm chuẩn tắc G Do G nhóm Dedekind ii/  i/ : Hiển nhiên ‫ٱ‬ ✿ 2.1 Định nghĩa Cho G nhóm   X  G Xét tập hợp : CG(X) = {x  G / xy = yx,  y  X} (Kiểm tra CG(X)  G) Khi đó, ta nói CG(X) tâm hóa tử X G Ví dụ Tâm hóa tử A4 S4 Chứng minh Đặt G = S4, X = A4 = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 3), (1 ), (1 4), (1 2), (1 4), (1 3), (2 4), (2 3)} Khi đó, vận dụng kết () chứng minh Chú ý 4.3, §4, Ch I, ta có (1 2)  CG(X); tương tự (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)  CG(X) Ta có (1 2)(3 4) (1 3) = (2 4)  (1 4) = (1 3) (1 2)(3 4) Nên (1 2)(3 4)  CG(X), (1 3)  CG(X); tương tự (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2), (1 4), (1 2), (1 4), (1 3), (2 4), (2 3) Z(S4) Và (1 4)(1 3) = (1 4)  (1 2) = (1 3)(1 4) Vậy (1 4)  CG(X); tương tự (1 3), (1 4), (1 2), (1 3), (1 2)  CG(X) Do CG(X) = ‫ٱ‬ Nhận xét 2.1 Cho nhóm G Khi CG(G) gọi tâm nhóm G - khái niệm quen thuộc, ký hiệu Z(G) 2.2 Mệnh đề Cho G nhóm Đặt C = CG(G’), với G’ = [G, G] Khi đó, ta có hai điều khẳng định sau : i/ C nhóm lũy linh ii/ C char G Chứng minh i/ Vì C = CG(G’) = {x  G / xy = yx,  y  G’}, nên với c thuộc C với [a, b] thuộc [C, C]  [G, G], ta có [a, b]c = c[a, b] Nghĩa [a, b]-1c-1[a, b]c = 1;  c  C,  [a, b]  [C, C], a, b C Vậy [[a, b], c] = 1,  c  C,  [a, b]  [C, C], a, b  C Từ [[C, C], C] = Do dãy tâm C : C = 0(C)  1(C) = [C, C]  2(C) = [[C, C], C] = Áp dụng Định lý 4.2.5, § 4, Ch I, ta có C nhóm lũy linh có lớp khơng vượt q ii/ Lấy  tùy ý thuộc Aut G, cần chứng tỏ (C)  C Thật vậy; lấy x tùy ý thuộc (C), tồn a  C cho (a) = x; lấy y tùy ý thuộc [G, G], tồn b  G cho (b) = y (do  thuộc Aut G) Mà [G, G] char G (Mệnh đề 3.4.2, § 3, Ch I); nên ([G, G]) = [G, G]; b  [G, G]; từ ab = ba Suy (ab) = (ba) Hay (a)(b) = (b)(a) Từ xy = yx, với y  [G, G] Nên x  C Vậy (C)  C Do C char G (Áp dụng Mệnh đề 3.1.2, §3, Ch I) Từ kết trên, kết hợp Mệnh đề 3.1.2 (§3, Ch I), thu : Nhận xét 2.2 Ta có C = CG(G’) G ❁ ‫ٱ‬ 3.1 Định nghĩa Cho G nhóm Nhóm sinh tất nhóm chuẩn tắc lũy linh G gọi nhóm Fitting G, ký hiệu Fit G Ví dụ A3 = Fit S3 Chứng minh Nhận thấy S3 có sáu nhóm 1, (1 2), (1 3), (2 3), A3, S3; A3 S3; (1 2), (1 3), (2 3) khơng nhóm chuẩn tắc S3 (Ví dụ 1.3, §1, Ch II) Mặt khác |A3| = 3, nên A3 - nhóm hữu hạn, A3 nhóm lũy linh (Định lý 4.3.2, §4, Ch I) Mà S3 khơng nhóm lũy linh (Chú ý 4.3, §4, Ch I) Từ A3 = Fit S3 ‫ٱ‬ Từ Mệnh đề 2.2 Nhận xét 2.1 (§2, Ch II) đến : Nhận xét Cho G nhóm Ta có C = CG(G’)  Fit G Trường hợp G = S4, ta có G’ = [S4, S4] = A4 Theo Ví dụ 2.1 (§2, Ch II), suy C = CG(G’) = Mà Fit S4  (Ví dụ 3.3, §3, Ch I ta có V4 S4 V nhóm Abel, nên lũy linh; kéo theo V4  Fit S4) Vậy quan hệ nhóm nói trên, điều minh họa khả tâm hóa tử nhóm thực nhóm Fiting Câu hỏi tự nhiên đặt ra, chúng trùng ? Kết sau, hướng trả lời khẳng định 3.2 Định lý Cho G T - nhóm C = CG(G ’) Khi C nhóm Fitting G Chứng minh Ta có C = CG(G’)  Fit G Cần chứng tỏ Fit G  C Thật vậy, Lấy H nhóm tùy ý G cho H lũy linh H G, lấy x tùy ý thuộc H Vì H lũy linh nên theo Định lý 4.3.4 (§4, Ch I) ta có x nhóm chuẩn tắc H Mà H G Kéo theo x nhóm chuẩn tắc G Vậy x G (vì G T - nhóm) Với a tùy ý thuộc G, xét ánh xạ a : x  x xm  a(xm) = (x m)a (m  N) Vì x G nên (xm)a  x, với m  N, với a  G Từ a  Aut x, với a  G Xét tương ứng  : G  Aut x a  (a) = a, với a(xm) = (x m)a (m  N) Hiển nhiên  ánh xạ Khi với a, b thuộc G, với xm thuộc x (m  N), ta có : (ab)(xm) = ab(xm) = (x m)ab = b-1a-1(xm)ab Đặt a-1xa = xn, b-1xb = x k (với n, k  N) Vậy (ab)(xm) = b -1(a-1(xm)a)b = = b-1(a-1xa)(a-1xa)…(a-1xa)b = b-1xnmb = m lần = (b-1xb)(b-1xb)…(b -1xb) = x knm nm lần Mà (a)(b)(xm) = ab(xm) = a(b-1xmb) = = a((b-1xb)(b-1xb)…(b-1xb)) = a(xkm) = a-1xkma = m lần = (a-1xa)(a-1xa)…(a-1xa) = xnkm = xknm km lần Vậy (ab)(xm) = (a)(b)(xm),  xm  x (m  N) Nên (ab) = (a)(b),  a, b  G Do  đồng cấu nhóm Mặt khác a  Ker   (a) = d  a = d  a(xm) = (x m),  xm  x (m  ℕ)  a-1(xm)a = (xm),  xm  x (m  ℕ)  a(xm) = (xm)a,  xm  x (m  ℕ)  a  CG(x) Vậy Ker  = CG(x) Suy CG(x) G (do Ker  G) Mà G / Ker  ≃ Im   Aut x (để ý Aut x nhóm Abel) Từ G / CG(x) nhóm Abel Do G’ = [G, G]  CG(x) Vậy y  G’ y  CG(x) nên xy = yx (do x  x) Nghĩa xy = yx,  y  G ’ Suy x  CG(G’),  x  H Từ H  CG(G’),  H  G thỏa H lũy linh H G Nên Fit G  C = CG(G’) Do C = Fit G ‫ٱ‬  4.1 T - nhóm giải Khái niệm T - nhóm trình bày Định nghĩa 1.2.1 (§1, Ch II); khái niệm nhóm Metabelian trình bày Định nghĩa 3.5.1 (§3, Ch I); kết sau tính chất T nhóm, nhờ chứng minh điều kiện đủ để nhận biết nhóm Metabelian 4.1.1 Mệnh đề Ta có hai điều khẳng định sau : i/ Ảnh đồng cấu T - nhóm T - nhóm ii/ Nhóm thương T - nhóm T - nhóm Chứng minh i/ Giả sử G T - nhóm, G’ nhóm f : G  G’ đồng cấu nhóm Lấy H’ nhóm chuẩn tắc tùy ý Im f Vậy tồn dãy nhóm Im f thỏa H’ Ta có f –1(Hn) H1 … Hn Im f G (vì f(xy) = f(y –1xy) = (f(y))-1f(x)f(y)  Hn,  x  f –1(Hn),  y  G; kéo theo xy  f –1(Hn),  x  f –1(Hn),  y  G) Tương tự f –1(H’ ) f –1(H1) … G f –1(Hn) G Nên f –1(H’ ) nhóm chuẩn tắc G Vậy f –1(H’ ) G (vì G T - nhóm) Từ với x’  H‘, với y’  Im f; kéo theo tồn x  f –1(H’ ) tồn y  G cho f(x) = x’, f(y) = y’ Khi xy  f –1(H’ ) Nên (y’ )-1x’y’ = f(y -1)f( x)f(y) = f(y –1xy) = f(xy)  H ‘,  x’  H‘,  y’  Im f Vây H ’ Im f Do Im f T - nhóm ii/ Giả sử G T - nhóm H G Xét đồng cấu f : G  G / H x  f(x) = xH Hiển nhiên f tồn cấu Áp dụng kết trên, ta có G / H = Im f T - nhóm ‫ٱ‬ Ta biết, nhóm Metabelian nhóm giải (Nhận xét 3.3, §3, Ch I) Điều ngược lại khơng đúng, chẳng hạn S4 nhóm giải khơng Metabelian (Phản ví dụ 3.5.2, §3, Ch I) Kết sau, trường hợp hướng bổ sung giả thuyết để mệnh đề đảo 4.1.2 Định lý Cho G T - nhóm giải Khi G nhóm Metabelian Chứng minh Vì G nhóm giải Nên theo Định lý 3.4.4 (§3, Ch I) dãy dẫn xuất G dừng Nghĩa tồn n  N thỏa G = G(0)  G(1)  …  G (n) = 1, với G (n-1)  Giả sử G khơng Metabelian, suy n  Theo Mệnh đề 3.4.2 (§3, Ch I) ta có G(3) char G Nên G (3) G, suy G (3) G(i),  i  {0, 1, 2, 3} Vậy G(0) / G(3)  G(1) / G (3)  G(2) / G (3)  G(3) / G(3) = 1, với G(2) / G(3)  Đặt H = G / G(3) Ta có H (1) = [G / G(3), G / G(3)] = [G, G] / G(3) = G(1) / G(3) Tương tự H(2) = G(2) / G(3), H(3) = G(3) / G(3) = Vậy H có dãy dẫn xuất H = H(0)  H(1)  H(2)  H(3) = Nên H nhóm giải Và H(2) Abel (vì = H(3) = [H(2), H(2)]) Suy H(2) lũy linh, nhóm Abel nhóm lũy linh Mà H(2) H (Nhận xét 3.2, §3, Ch I) Từ H(2)  Fit H Vì G T - nhóm; nên theo Mệnh đề 4.1.1 (§3, Ch II) suy H = G / G(3) T - nhóm Kéo theo Fit H = CH(H ’) (Áp dụng Định lý 3.2, §3, Ch II) Vậy H (2)  CH(H’) Do [H(2), H’] = Suy H’ = [H, H] có dãy tâm : H’ = 0(H’)  1(H’) = [H ’,H’] = [H(1),H(1)] = H(2)  2(H’) = [H(2), H’] = Áp dụng Định lý 4.2.5 (§4, Ch I) ta có H’ nhóm lũy linh Mà H’ = [H, H] H (Nhận xét 3.2, §3, Ch I) Từ H’  Fit H = CH(H’) Suy H(2) = [H’, H’] = Nghĩa G(2) / G(3) = Đây điều mâu thuẫn Do G nhóm Metabelian ‫ٱ‬ 4.2 Nhóm với nhóm pronormal Khái niệm nhóm pronormal trình bày Định nghĩa 1.2.2 (§1, Ch I) Kết sau thú vị, từ xác định điều kiện đủ để nhận biết nhóm T nhóm nhờ khái niệm nhóm pronormal 4.2.1 Bổ đề Cho H nhóm pronormal nhóm G cho K nhóm G chứa H Khi đó, H chuẩn tắc K H chuẩn tắc K Chứng minh () : Giả sử H chuẩn tắc K, tồn dãy sau : H = L0 Ta cần chứng minh H L1 … Lm Lm+1 = K (m  N) K Lấy x tùy ý thuộc K Vì H pronormal G, nên với x  G (Do x  K  G) tồn um  H, H x cho Hx = H u m Mặt khác Hx  Lmx Mà Lmx = Lm (Vì Lm Lm+1 = K x  K) Suy Hx  Lm Và hiển nhiên H  Lm Vậy H, Hx  Lm Nên um  Lm Từ với x  K tồn um  Lm cho Hx = H u m Tương tự, H pronormal G, với um  Lm (suy um  G) Vậy tồn um-1  H, H u m  cho H Lý luận tương tự, ta có um-1  Lm-1 Vậy H x =H um 1 um =H u m 1 … Tiếp tục q trình tương tự trên, ta có : Tồn u1  L1 cho Hx = H u1 Cuối H u1 = H (do H = L0 L1 u1  L1) Do Hx = H,  x  K Nghĩa H K () : Hiển nhiên ‫ٱ‬ 4.2.2 Định lý Cho G nhóm có nhóm pronormal G Khi đó, G T - nhóm Chứng minh Giả sử H nhóm chuẩn tắc G Vì H pronormal G (giả thuyết), mà H  G  G Nên theo Bổ đề 4.2.1 (§4, Ch II) ta có H G Do G T - nhóm ‫ٱ‬ 4.3 Nhóm với nhóm đa chuẩn tắc 4.3.1 Định nghĩa Nhóm G gọi T - nhóm với nhóm D, K, L G thỏa D K L kéo theo D L Ví dụ Mọi nhóm Abel T - nhóm Nhận xét Ta có hai điều khẳng định sau : i/ Mọi T - nhóm T - nhóm ii/ Cho G nhóm Khi đó, G - nhóm T nhóm G T - nhóm Khái niệm nhóm đa chuẩn tắc trình bày Định nghĩa 1.2.1 (§1, Ch I) Kết sau liên hệ - nhóm nhóm T đa chuẩn tắc 4.3.2 Định lý Cho G nhóm Khi đó, nhóm G nhóm đa chuẩn tắc G G T - nhóm Chứng minh () : Giả sử nhóm G đa chuẩn tắc G; ta cần chứng tỏ G -T nhóm Thật vậy, lấy D, K, L ba nhóm tùy ý G cho D K L Ta có D đa chuẩn tắc G, mà L nhóm trung gian G D; theo Định lý 1.3.1 (§1, Ch I) ta có DL nhóm đầy đủ G D, nghĩa DL D = D L Mặt khác DL  KL = K, suy DL KL D  D = DK = D Từ DL  D Suy Dx  D, với x thuộc L Vậy D L -Tnhóm Do G T () : Giả sử G - nhóm Lấy D nhóm tùy ý G, ta cần chứng tỏ D nhóm đa chuẩn tắc G Thật vậy, lấy H nhóm trung gian tùy ý G D, nghĩa D  H  G DH Theo Chú ý 1.1, § 1, Ch I ta có D D H T H; mà G - nhóm, DH D H H Mặt khác D nhóm chuẩn tắc nhỏ H chứa D; D DH vừa khẳng định nhóm chuẩn tắc H, hiển nhiên chúng chứa D; DH Từ D = DH DH  D DH Vậy DH nhóm đầy đủ G D, với H nhóm trung gian G D Theo Định lý 1.3.1 (§1, Ch I) ta có D nhóm đa chuẩn tắc G  Luận văn xây dựng khái niệm T - nhóm, minh họa tương ứng; tất vấn đề trình bày số Tài liệu tham khảo - nhóm, T số khái niệm khác liên quan ví dụ Các kết trình bày Luận văn khơng mới, tất phát biểu chứng minh số Tài liệu tham khảo Trong đó, có nhiều kết mà tác giả Luận văn đọc suy nghĩ nhiều lần chưa hiểu sáng tỏ; khó khăn Thầy hướng dẫn gợi ý, giảng giải Luận văn trình bày chứng minh Định lý 4.3.5 (§4 Ch I, Tr 25); cách chứng minh này, xuất phát từ phần chứng minh Định lý 9.18 (Xem [1], Tr 60); triển khai cụ thể chứng minh Định lý 4.3.5 có khác mặt kỹ thuật so với phần chứng minh Định lý 9.18 Vì thời gian khơng cho phép nên Luận văn chưa thực việc chứng minh kết đẹp quan trọng T - nhóm hữu hạn, giải liên quan đến nhóm pronormal  [1] Bùi Xn Hải (chủ biên), Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [2] Bùi Xn Hải (2002), Nhóm tuyến tính (Chun đề cao học), Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [3] P.A Gavron and L Yu Kolotilina (1980), Subgroups in T - groups, Zap Nauch Seminar Leningrad Otdel Mat Int Steklov., AN SSSR, Vol 103, pp 62 - 65 [4] T A Peng (1969), Finite groups With pro - normal Subgroups, Proc Amer Math Soc., 20, No 1, 232 - 234 [5] Derek J S Robinson (1995), A course in the Theory of groups, Second Editaon Springer - Verleg  [...]... Ảnh đồng cấu của m t T - nhóm là m t T - nhóm ii/ Nhóm thương của m t T - nhóm là m t T - nhóm Chứng minh i/ Giả sử G là m t T - nhóm, G’ là m t nhóm và f : G  G’ là m t đồng cấu nhóm Lấy H’ là m t nhóm con á chuẩn t c t y ý của Im f Vậy t n t i dãy nhóm con của Im f thỏa H’ Ta có f –1(Hn) H1 … Hn Im f G (vì f(xy) = f(y –1xy) = (f(y) )-1 f(x)f(y)  Hn,  x  f –1(Hn),  y  G; kéo theo xy  f –1(Hn),... Nhận thấy n+1(G)   (vì 1  n+1(G) (do [1, y] = 1 n(G),  y  G) Lấy a, b t y ý thuộc n+1(G), với y t y ý thuộc G, ta có [ab-1, y] = ba-1y-1ab-1 y = b(a-1y-1ay)y-1b-1 y = b[a, y](y-1b-1yb)b -1 = b[a, y] [y, b]b-1 = (b[a, y]b-1[a, y ]-1 ) [a, y]b[y, b]b-1 = [b-1, [a, y ]-1 ] [a, y][y, b]([y, b ]-1 b[y, b]b-1) = [b-1, [a, y ]-1 ] [a, y][y, b][[y, b], b -1 ] = [[a, y ]-1 , b-1 ]-1 [a, y][b, y ]-1 [[b, y ]-1 , b-1]... X t trường hợp n = k + 1, nghĩa là ta có H = H1 H2 … Khi đó Hk -1 Hk H k+1 = G Hk+1 = G Theo giả thuy t H k -1 G Nên t dãy trên, vi t lại H = H1 H2 … Hk -1 G (coi Hk = G) Theo giả thuy t quy nạp ta có H G Vậy H là nhóm con chuẩn t c của G, với mọi H là á chuẩn t c của G Do đó G là m t T - nhóm ‫ٱ‬ 1.2.3 Định lý Cho G là m t nhóm lũy linh Khi đó, hai mệnh đề sau là t ơng đương : i/ G là m t T - nhóm. .. D] = 2); t đó D V 4 A4 S4 Nghĩa là D là m t nhóm con á chuẩn t c của S4 M t khác (1 2)(3 4)(2 3) = (2 3)(1 2)(3 4)(2 3) = (1 3)(2 4)  (1 2)(3 4) Vậy D không là nhóm con chuẩn t c của S4 Do đó S4 không là T - nhóm ‫ٱ‬ Nhận x t Mọi nhóm Dedekind đều là T - nhóm Chú ý 1.2 T n t i T - nhóm, mà chúng không là nhóm Dedekind, chẳng hạn như S3 1.2.2 Mệnh đề Cho G là m t nhóm Khi đó, G là m t T - nhóm nếu... dãy t m trên của nhóm Abel trình bày Ví dụ 4.1 Chú ý 4.2 T n t i nhóm lũy linh không Abel, chẳng hạn như nhóm Q8, vì Q 8 là m t 2 - nhóm, theo Định lý 4.3.2 (chứng minh sau), ta có Q8 là lũy linh Nhận x t 4.3 Mọi nhóm lũy linh đều là nhóm giải được, khi đó dãy t m trên trở thành dãy Abel Chú ý 4.3 T n t i nhóm giải được không lũy linh, chẳng hạn như S3, S4 Chứng minh Theo chú ý 3.2, ta có S3 là nhóm. .. pháp quy nạp theo i Hiển nhiên 0(H)0(K) = 1 = 0(HK) Giả sử i(H)i(K)  i(HK), với i thuộc N Lấy h, k t y ý lần lư t thuộc i+1(H), i+1(K), và với mọi y thuộc G, ta có [hk, y] = k -1 h -1 y -1 hky = k -1 (h -1 y -1 hy)y -1 ky = k -1 [h, y]y -1 kyk -1 k = k -1 [h, y][y, k -1 ]k = k -1 [h, y][k -1 , y ]-1 k = ([h, y][k -1 , y ]-1 )k  i(HK) (vì [h, y]i(H) và [k -1 , y ]-1 i(K) nên [h, y][k -1 , y ]-1  i(H)i(K)... được đ t ra, khi nào chúng trùng nhau ? K t quả sau, là m t hướng trả lời khẳng định 3.2 Định lý Cho G là m t T - nhóm và C = CG(G ’) Khi đó C là nhóm con Fitting của G Chứng minh Ta có C = CG(G’)  Fit G Cần chứng t Fit G  C Th t vậy, Lấy H là nhóm con t y ý của G sao cho H lũy linh và H G, và lấy x t y ý thuộc H Vì H lũy linh nên theo Định lý 4.3.4 (§4, Ch I) ta có x là nhóm con á chuẩn t c trong... nhóm Khi đó G là m t nhóm Dedekind nếu và chỉ nếu hoặc G là m t nhóm Abel hoặc G đẳng cấu với Q8 × G1 × G 2 với G1 là m t nhóm Abel sơ cấp, G2 là m t nhóm Abel mà mọi phần t đều có cấp lẻ 1.2 T - nhóm 1.2.1 Định nghĩa Nhóm G được gọi là m t T - nhóm nếu mọi nhóm con á chuẩn t c của G đều là nhóm con chuẩn t c của G Ví dụ 1.3 S3 là m t T - nhóm Chứng minh Nhận thấy S3 chỉ có sáu nhóm con là 1, (1... CG(G’),  x  H T đó H  CG(G’),  H  G thỏa H lũy linh và H G Nên Fit G  C = CG(G’) Do đó C = Fit G ‫ٱ‬  4.1 T - nhóm giải được Khái niệm T - nhóm được trình bày ở Định nghĩa 1.2.1 (§1, Ch II); còn khái niệm nhóm Metabelian trình bày ở Định nghĩa 3.5.1 (§3, Ch I); k t quả sau là t nh ch t của T nhóm, nhờ đó chứng minh được m t điều kiện đủ để nhận bi t m t nhóm là Metabelian 4.1.1 Mệnh đề Ta có hai... 4.2.4, ta có G = 0(G)  n(G); nên n(G) = G Và n-1(G)  G (vì giả sử n-1(G) = G, t ơng t ta có n-1(G) = 1, điều này mâu thuẫn với n-1(G)  1) Do đó G là m t nhóm lũy linh lớp n ‫ٱ‬ 4.3 M t số k t quả của nhóm lũy linh 4.3.1 Định lý Ta có hai điều khẳng định sau : i/ Mọi nhóm con của m t nhóm lũy linh lớp n là nhóm lũy linh có lớp không vư t quá n ii/Mọi nhóm thương của m t nhóm lũy linh lớp n là nhóm