phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP Môn : Toán Năm học : 2015-2016 Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1(6đ):  3  x  + + + 1÷ ÷ 1, Cho biểu thức Q =  ÷ ÷  x + x + x − 27  x  a/ Rút gọn biểu thức Q b/ Tính giá trị biểu thức Q x = + − − 29 − 12 2, Tính giá trị biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 + 2 + 3 − 2 Bài 2: (4đ) a) Biết a, b số thoả mãn a > b > a.b = a + b2 ≥2 a −b b) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho :  abc = n − với n số nguyên lớn  cba = ( n − ) Chứng minh : Bài : (4đ) a , Giải phương trình : ( x-3)(x+1) + (x-3) = -3 b, Tìm nghiệm phương trình x − 25 = y ( y + 6) Bài (4 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Bài 5:( điểm ) Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC Chứng minh : 1 + = 2 R r a Hết -( Cán coi thi không giải thích thêm) phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp N¨m häc 2015 - 2016 M«n thi : To¸n CÂU Ý a)(2đ) Bài (6đ) b)2đ NỘI DUNG CẦN ĐẠT ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠   x 3   + + + 1 A =   x x + x + x − 27      x + x +  3   + =  2   x + x + ( x − )( x + x + ) x      x + x +  ( x − 3) +   =    ( x − )( x + x + ) x    = x− Ta có : x= + = + = + = + = +1 Thay x = + vào A ta có: A= = x− =1 Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), 2.(2đ) Đặt a= 3 + 2 , b= 3 − 2 Ta có ⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b) => x3 = + 3x ⇒ x3- 3x = Suy B = 2006 ĐIỂM 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a)(2đ) * Vì a.b = nên a + b ( a − b ) + 2ab ( a − b ) + 2 = = = ( a − b) + a −b a −b a −b a −b 0,75 * Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương Bài (4đ) Ta có : ( a − b ) + Vậy b)2đ ≥2 a −b a−b ( a − b) × 0,75 a + b2 ≥2 a −b 0,5 (1)  abc = 100a + 10b + c = n −  Viết  cba = 100c + 10b + a = n − 4n + (2) 0,5 0,5 Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n – + 99 (3) Mặt khác : 100 ≤ n − ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n − ≤ 119 Từ (3) (4) => 4n – = 99 Vậy số cần tìm abc = 675 0,5 (4) => n = 26 ĐK: ≥ ⇔ (*) 0,25 Đặt t = (x-3) , suy (x-3)(x+1) = t2 Khi phương trình có dạng : t2+4t+3 =0⇔ * Với t= -3, ta : (x-3) = -3 ⇔ ⇔ a)(2đ) ⇔ ⇔ x = 1- , thoả mãn điều kiện (*) * Với t=-1, ta được: Bài (x-3) = -1 ⇔ ⇔ (4đ) ⇔ ⇔ x= 1- , thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có hai nghiệm x=1- x= 1- b) (2đ) 0,5 0,25 0,75 Từ x − 25 = y ( y + 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Khi ta thấy: 0,75 ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn, số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích -16 tích số chẵn sau đây: 0,5 - 16 = (-2) = (-4) = (-8) Ta có bảng giá trị sau : y+3+x -2 -8 -4 0,25 y+3-x -2 -8 -4 x -5 -5 y 0 -6 -6 -3 Vì phương trình cho có nghiệm: ( x,y) = ( ±5, ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) -4 -3 1,0 C J Bài (4đ) A I M O 0,25 O ’ B D a)(2đ) a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB ⊥ CD : gt) ⇒ ACMD hình thoi ⇒ AC // DM, mà AC ⊥ CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) ⇒ DM ⊥ CB; MJ ⊥ CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) ⇒ D, M, J thẳng hàng ˆ + IMD ˆ = 900 (vì DIM ˆ = 900 ) Ta có : IDM ˆ = IDM ˆ (do IC = IJ = ID : ∆ CJD vuông J có JI Mà IJM trung tuyến) ˆ ' = JMO ˆ ' = IMD ˆ (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); MJO ˆ ' IMD ˆ đối đỉnh) JMO ˆ + MJO ˆ ' = 900 ⇒ = 90 0⇒ IJ tiếp tuyến (O’), ⇒ IJM J tiếp điểm b)(2đ b) Ta có AB = R (R bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) ∆ JIO’ vuông I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2 ≥ 2IJ.O’J = 4SJIO’ Do SJIO’ ≤ 0,5 0,5 0,5 0,25 IA = IM ⇒ IO’ = 0,5 R2 R2 SJIO’ = IJ = O’J ∆ JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ 0,5 0,5 = R nên : 0,5 R 2O’J2 = O’I2 = R2 ⇒ O’J = 0,25 Khi MB = 2O’M = 2O’J = R Bài (2đ) B E 0,25 M A O C I K D Tứ giác ABCD hình thoi nên AC đường trung trực đoạn thẳng BD, BD đường trung trực AC Do gọi M,I,K giao điểm đường trung trực đoạn thẳng 0,5 AB với AB,AC,BD ta có I, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB, ABC Từ ta có KB = r IB = R Lấy điểm E đối xứng với điểm I qua M Ta có BEAI hình thoi ( có hai đường chéo EI AB vuông góc với cắt trung điểm đường) Ta có : = mà =900 ⇒ =900 0,5 ∆ Xét EBK cã =90 đường cao BM.Theo hệ thức tam 1 + = 2 BE BK BM a 1 Mà BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn ⇒ + = 2 R r a giác vuông ta có: (§pcm) 0,5 0,25 ( Học sinh làm theo cách khác cho điểm ) ... (2) 0,5 0,5 Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n – + 99 (3) Mặt khác : 100 ≤ n − ≤ 99 9 ⇔ 101 ≤ n ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n − ≤ 1 19 Từ (3) (4) => 4n – = 99 Vậy số cần tìm abc = 675 0,5... có : = mà =90 0 ⇒ =90 0 0,5 ∆ Xét EBK cã =90 đường cao BM.Theo hệ thức tam 1 + = 2 BE BK BM a 1 Mà BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn ⇒ + = 2 R r a giác vuông ta có: (§pcm) 0,5 0,25 ( Học sinh làm theo... (O’); MJO ˆ ' IMD ˆ đối đỉnh) JMO ˆ + MJO ˆ ' = 90 0 ⇒ = 90 0⇒ IJ tiếp tuyến (O’), ⇒ IJM J tiếp điểm b)(2đ b) Ta có AB = R (R bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) ∆ JIO’ vuông I : IJ2 + O’J2 = IO’2