PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm) a +1 a a −1 a2 − a a + a −1 + + 1.(4đ) Cho biểu thức: M = a a− a a −a a với a > 0; a ≠ a) Rút gọn M b) Với giá trị a biểu thức N = + xy − xy 2.( 2đ) Tính giá trị biểu thức E = x + y − x − y x = + + + − + ; y= nhận giá trị nguyên M với − 12 + 20 18 − 27 + 45 Câu 2: (4 điểm) 1.(2đ) Giải phương trình: ( )( x+4 −2 ) − x + = 2x 2.(2đ) Với a; b số thực dương thỏa mãn a 2b + = 1+ a 1+ b Tìm giá trị lớn P = ab2 Câu : (4 điểm) 1.(2đ) Tìm số nguyên (x,y) thỏa mãn: 5x2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y) 2.(2đ) Cho a, b, c số lớn Chứng minh bất đẳng thức sau: Câu : (5 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ đường thẳng · AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác IAM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K a) Chứng minh điểm F, E, K, M cùng nằm một đường tròn b) Chứng minh HF ⊥ BI c) Xác định vị trí M nửa đường tròn O để chu vi ∆AMB đạt giá trị lớn tìm giá trị đó theo R? Câu (1.0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y biết rằng: (2 x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − y = 11879 -Hết - PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN Đáp án hướng dẫn chấm Điểm Câu1 6đ 0,25 ĐKXĐ a > 0; a ≠ (*) a M= a +1 + a Vậy M = ( ) ) a +1 a ( a − 1) a −1 ⇒0< N = 2,25 a + a +1 a +1 = +2 a a Do a > 0; a ≠ nên b ) − ( a − 1) ( a − a + a +1 với a > 0; a ≠ (*) a Ta có M = (4đ) )( a( a −1 a + a +1 ( ) a −1 > ⇔ a +1 > a ⇒ M > < đó N nguyên N = M a ⇔ =1⇔ a +1+ a ( a −2 { ) 2 a +2=4 a 0,5đ ( ( ) ) a = +  a = 2+  =3⇔  ⇔ (TM *)  a = −  a = − Vậy N nguyên a ∈ ( + ) ; ( − ) 2 0.25đ } 0,5đ 0,25đ Ta có: x = + + + − + ( (2đ) )( ) x = + 2 − − = 2 + 2 − = 2.2 = 0,75 ( ( 0,75 y= ) ) −2 3+ − 12 + 20 = = 3 18 − 27 + 45 −2 3+ 4 1− 3− =9 ⇒E= 8 3 1+ Câu 0,5 4đ ĐK: −4 ≤ x ≤ PT cho tương đương với: x x+4 +2 (2đ) ( ) − x + = 2x 0.5đ * x = nghiệm * Giải − x + = ( x + + ) Đặt u = x + ; v = − x ta thu 0.25đ 0.5đ 14  v = 2u + 2 96 u = ; v = ⇒ u + ( 2u + ) = ⇔  5 ⇒ x+4 = ⇒ x =−  2 (TM) 25 u + v =  u = −2(loai) 96 Vậy pt cho có nghiệm: x1 = , x2 = − 0.25đ 25 Theo BĐT Cô – si cho hai số dương ta có: b a b = 1− = + ≥2 1+ b 1+ b 1+ a 1+ b ab ( 1+ a) ( 1+ b) 0.5đ 0.5đ 2 (2đ) 4ab 4ab   = Suy :  ÷ ≥  1+ b  ( 1+ a) ( 1+ b) 1+ a 1+ b a 2b 2b 4ab   = 1− = ⇒ ⇒ ab ≤ Mà ÷ ≥ 1+ a 1+ a 1+ b  1+ b  1+ b 1+ b Dấu bằng xảy ⇔ a = b = Vậy Pmax = tại a=b= 0.5đ Câu 4đ PT tương đương ( x + y ) + ( x − 3) + ( y + 1) = 10 Mà 10 có thể biểu diễn dạng tổng bình phương : 10 = 02 + 12 + 32 2x – 3; 2y + số lẻ nên: (2đ) 0.5đ x + 3y =  ( x − 3) =  ( y + 1) = (*) hoặc 2 x + 3y =  ( x − 3) = (**)  ( y + 1) = 0,5 0,25 0,25 0,25 Xét hệ (*) từ Phương trình đầu ⇒ x = −3 y ⇒ ( ( −3 y ) − 3) = PT vô nghiệm x = y =  x − = ±3   Xét hệ (**) 2 y + = ±1 ⇔   x = x + 3y =   y = −1  Đáp số: x = y = 0; x = 3, y = -1 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt P = 0,5 P= 0,5 P= 0,5 P= (2đ) Do áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có : 0,25 P Vậy P (đpcm) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Câu 5đ Hình vẽ x I F M H A E K O B · Ta có M, E nằm nửa đường tròn đường kính AB nên FMK = 900 · = 900 a FEK 0.5 Vậy điểm F, E, K, M cùng nằm đường tròn đường kính FK 0.25 b Ta có ∆HAK cân tại A nên AH = AK (1) K trực tâm ∆AFB nên ta có FK ⊥ AB suy FK // AH (2) 0.25 0.25 · · · · Do đó FAH (gt) ·AFK = FAK = ·AFK mà FAH = FAK 0.25 Suy AK = KF, kết hợp với (1) ta AH = KF (3) 0.25 Từ (2) (3) ta có AKFH hình bình hành nên HF // AK Mà AK ⊥ IB suy HF ⊥ IB 0.25 Chu vi ∆AMB = C∆AMB = MA + MB + AB lớn khi MA + MB lớn (vì AB không đổi) 0.25 2 Áp dụng bất đẳng thức ( a + b ) ≤ ( a + b ) dấu "=" xảy ⇔ a = b , ta có ( MA + MB ) ≤ 2( MA2 + MB ) = AB 2 c 0.25 Nên MA + MB đạt giá trị lớn bằng AB MA = MB hay M nằm cung AB 0.25 Vậy M nằm cung AB C∆AMB đạt giá trị lớn Khi 0.25 đó C∆AMB = MA + MB + AB = AB + AB = (1 + 2) AB = R(1 + 2) Câu 1đ x x x x Đặt A = ( + 1) ( + ) ( + 3) ( + ) , ta có x A tích số tự 0.25 nhiên liên tiếp nên x A chia hết cho Nhưng x không chia hết cho 5, đó A chia hết cho Nếu y ≥ 1, ta có (2 x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − y chia hết cho mà 11879 không chia hết y ≥ không thỏa mãn, suy y = 0.25 x x x x y Khi đó , ta có ( + 1) ( + ) ( + 3) ( + ) − = 11879 0.25 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − = 11879 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 11880 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 9.10.11.12 ⇔ x = 0.25 Vậy x = 3; y = hai giá trị cần tìm Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa Giáo viên đề Tổ ký duyệt Ban giám hiệu duyệt Nguyễn Đình Tuấn ...PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 -2016 MÔN : TOÁN Đáp án hướng dẫn chấm Điểm Câu1 6đ 0,25 ĐKXĐ a > 0; a ≠ (*) a M= a +1... hết cho mà 118 79 không chia hết y ≥ không thỏa mãn, suy y = 0.25 x x x x y Khi đó , ta có ( + 1) ( + ) ( + 3) ( + ) − = 118 79 0.25 ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − = 118 79 ⇔ ( x + 1) (... Hình vẽ x I F M H A E K O B · Ta có M, E nằm nửa đường tròn đường kính AB nên FMK = 90 0 · = 90 0 a FEK 0.5 Vậy điểm F, E, K, M cùng nằm đường tròn đường kính FK 0.25 b Ta có ∆HAK