Phòng GD huyện Thanh Oai Trường THCS Bình Minh Đề thi chọn học sinh giỏi lớp năm học 2015- 2016 Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6đ) a Cho biểu thức:   x   x P = 1 + : − ÷  ÷ ÷ ÷  x +1   x −1 x x + x − x −1  1.Rút gon P 2.Tính P x=7+2 Tìm giá trị nhỏ P x>1 3n+3 169 b Chứng minh rằng: Với n ∈ N Ta có − 26n − 27M Bài 2:(4đ) a.Giải phương trình: x + + 3x + = x + + x + b.Cho a,b,c ≠ a3b3+ b3c3 + c3a3 =3a2b2c2  a  b  c  A =  + ÷1 + ÷1 + ÷  b  c  a  Tính Bài 3:(3đ) a.Tìm nghiệm nguyên phương trình (x+2)4 _ x4 = y3 2 1  1  x+ ÷ + y + ÷ y b Cho x,y>0 x+y=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=  x   Bài 4:(6đ) Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ điểm S đường tròn vẽ tiếp tuyến SA.SB ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC (O), tiếp tuyến C cắt AB E Chứng minh: a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc đường tròn b) AC2 = AB.AE c) SO // CB d) OE vuông góc với SC Bài 5: (1đ) Tìm a,b số nguyên dương cho: a + b2 chia hết cho a2b-1 Đáp án + biểu điểm Bài 1: a) (4đ) 1.(2đ) Tìm ĐK: x ≥ 0; x ≠ , 0,25đ P=  x +1+ x  x :  − ÷ ÷ x +1  x − ( x − 1)( x + 1)  0,5đ P= x + x +1 x + 1− x : x +1 ( x − 1)( x + 1) 0,5đ P= x + x + ( x − 1)( x + 1) x +1 ( x − 1) 0,5đ x + x +1 P= x −1 0,25đ 2 (1đ) Ta có x= + = ( + 1) ⇒ x = + Thay vào biểu thức ta có Ta có P= P= P= + + +1+1 + 6 + = = +1 −1 x + x +1 3 = x +2+ = x −1 + +3 x −1 x −1 x −1 Do x>1 ⇒ x − > Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho số dương ta có P ≥ + Dấu “ =” xảy x= (1+ )2 Vậy Min P= + x= (1+ )2 b Đặt A= 33n+3 - 26n – 27 = 27.27n – 26n - 27 =27.(27n – 1) -26n = 27(27-1)(27n-1 + 27n-2 +…+27+1) - 26n =26( 27n+27n-1+27n-2+…+27 – n)  (27 n − 1) + (27 n −1 − 1) + (27 n − − 1) + + (27 − 1)  =26  =26.bội số của26 M169(đpcm) Bài 2:(4đ) a) (2đ) 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ x≥ −1 ĐK: Biến đổi: 0,5đ ⇔ x + − x + = x + − 3x + Giả sử vế phương trình dấu, bình phương vế ta (4 x + 5)( x + 3) = (2 x + 7)(3 x + 1) ⇔ x + 17 x + 15 = x + 23x + ⇔ x + x − = ⇔ ( x + 4)( x − 1) =  x = −4loai ⇒ x = 0,5đ 0,25đ 0,5đ b)(2đ) Đặt ab=x;bc=y;ca=z Ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz Biến đổi ta được: x + y + z = ⇒ x = y = z ( x + y + z ) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x)  = • Nếu x+y+z=0 ⇒ ab + bc + ca = ⇒ A=-1 • Nếu x=y=z ⇒ a=b=c ⇒ A=8 Bài 3: (3điểm) a 1,5d) Giải: (x+2)4 –x4 =y3 ⇔ x4 +8x3 +24x2 + 32x + 16 –x4 = y3 ⇔ 8x3+24x2 +32x +16 =y3 Vì 12x2 + 22x +11 = 11(x+1)2 + x2 >0 12x2+ 26x +15 = 11(x+1)2 + (x+2)2>0 Ta có : (8x3 +24x2 + 32x +16) - (12x2 + 22x +11) < y3 < (8x3 +24x2 + 32x +16) + ( 12x2+ 26x +15) ⇔ (2x+1)3 Dấu “=” xảy a=b Áp dụng bất đẳng thức ta có: 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 2 1 1 1 1 25 A≥ x+ + y+ ÷  x + y + + ÷ ≥ (1 + 4) = 2 x y =2 x y 2 ( x+y =1) 0,5đ 0,25đ Dấu “=” xảy x= y = 0,5 0,25đ Vậy Min A = 12,5 ⇔ x= y = 0,5 Bài 4:(6đ) a Vẽ hình chứng minh điểm A,O,S,B thuộc đường tròn đường kính SO 1,5đ b.Cm AC2=AB.AE 1,5đ S O E C 1,5đ y c Cm SO//CB EC AC EC AC = ⇒ = ⇒ ∆ OCE đồng d Cm ∆ AECđồng dạng ∆ SOA ⇒ OA SA OC SA dạng ∆ SAC từ suy OE vuông góc với SC 1,5đ Bài 5: (1đ) x − 2Mxy + ⇒ y ( x − 2)Mxy + ⇒ x( xy + 2) − 2( x + y ) Mxy + ⇒ 2( x + y )Mxy + Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k ∈ Z + Nừu k=1 ⇒ x + y = xy + ⇔ ( x − 2)( y − 2) = Tìm x=4 ; y=3 Nừu k ≥ ⇒ 2( x + y ) ≥ 2( xy + 2) ⇒ x + y ≥ xy + ⇒ ( x − 1)( y − 1) + ≤ vô lí (loại) Vậy x=4 y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác cho điểm 1,0đ .. .Đáp án + biểu điểm Bài 1: a) (4đ) 1.(2đ) Tìm ĐK: x ≥ 0; x ≠ , 0,25đ P=  x +1+ x  x :  − ÷ ÷ x... + y ) ≥ 2( xy + 2) ⇒ x + y ≥ xy + ⇒ ( x − 1)( y − 1) + ≤ vô lí (loại) Vậy x=4 y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác cho điểm 1,0đ ... 27n+27n-1+27n-2+…+27 – n)  (27 n − 1) + (27 n −1 − 1) + (27 n − − 1) + + (27 − 1)  =26  =26.bội số của26 M1 69( đpcm) Bài 2:(4đ) a) (2đ) 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ x≥ −1 ĐK: Biến đổi: