PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN THANH OAI ( Trường THCS Thanh Cao ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học ( 2015 –2016) Môn TOÁN : (Thời gian làm 150 phút) Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức: P = x x + 26 x − 19 x − + x+2 x −3 x −1 x −3 x +3 a/ Rút gọn P b/ Tính P x= + 12 + − 12 c/ Tìm GTNN P Chứng minh với n nguyên dương thì: 7.5 n + 12.6 n 19 Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x2 +3x +1 =(x + 3) x + Chứng minh :Nếu x + y + z = 2.(x5 + y5+ z5) = 5xyz(x2 + y2+ z2) Bài 3: (3,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau 19x5 + 5y +1995z =x2 –x +3 Cho a,b,c >0 Bài (6,0 điểm) Cho (0; 1 1 1 + + = Cmr : + + ≥ 4(a + b + c) a +1 b +1 c +1 a b c AB ) Điểm M thay đổi (0), (M ≠ A,B) Vẽ (M) tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến (M) Cmr a/ CD tiếp tuyến (0) b/ Tổng AC+DB không đổi Từ tính GTLN AC.DB c/ Lấy N cố định (0) Gọi I trung điểm MN, P hình chiếu I MB Tìm tập hợp điểm P Bài 5: (1,0 điểm) Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,… (Số đứng sau viết 48 vào số đứng trước) Chứng minh tất số viết theo quy luật số phương HẾT………………………………………… Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai ( Trường THCS Thanh Cao ) N¨m häc 2015 - 2016 Bài 1: (6,0 điểm) a ) Rút gọn P = x + 16 x +3 2đ b) Tính x=1 ∈ đkxđ Suy p= 17 c) Pmin=4 x=4 =7.25n + 19.6n – 7.6n =7.19.( ) + 19.6n  19 Bài 2: (4,0 điểm) Đặt x + =t (t ≥ 0) phương trình cho trở thành t2+3x=(x+3).t ⇔ t=3 t=x +) Với t=3 => x= ± 2 +) Với t=x => vô nghiệm Từ x + y + z = ⇒ y + z = -x ⇒ (y + z)5 = - x5 ⇔ y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 +5yz4+z5 = - x5 ⇔ ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y3 +2y2z + 2yz2 +z3) = ⇔ ( x5 + y5+ z5) + 5yz((y +z)(y2 – yz +z2)+2yz(y + z)) = ⇔ ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y + z)( y2 + yz +z2)= ⇔ ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + yz +z2)= ⇔ ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)= ⇔ ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2) ⇔ ( x5 + y5+ z5) = 5xyz(( y + z)2 + y2 +z2) ⇔ ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( x2 + y2 +z2) ( đpcm) Bài 3: (3,0 điểm) ⇔ 20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3 ⇔ 20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3 Ta thấy VT 5 VP không chia hết pt vô nghiệm y+z z+x x+ y = ; = ; = Đặt a + x + y + z b + x + y + z c + x + y + z x y z  a= y + z ; b = z + x ; c = x + y Biểu thức cho ⇔ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ x( y − z ) y ( z − x) z ( x − y ) + + ≥ (luân đúng) yz ( y + z ) xz ( z + x) xy ( x + y ) Dấu “=” xảy x=y=z Bài (6,0 điểm) 0,5đ a/ Tính góc CMD=1800 => C, M, D thẳng hàng =>đpcm b/ AC+DB=AB không đổi AC + BD AB ) = (BĐT cosi) AB =>(AC.BD)max = AC=BD ⇔ H ≡ ⇔ M cung AB AC.BD ≤ ( c/ Gọi K giao PI AN Vì IK//AM =>K trung điểm AN =KB cố định =>P chuyển động dường tròn đường kính KB Bài 5: (1,0 điểm) 2đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 1đ Ta có: 4.44 488 89 A =       = + 8.10 + 8.102 +…+ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2…+4.102n+1 Ta viết = 1+4+4 = 4+4 ta được: A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).10 +…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1 = 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1) = 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1) 0,5đ n +1 n+2 10 − 10 −1 = 1+4 +4 9 n+1 n+ + 4.10 − + 4.10 −4 = n+ 4.10 + 4.10 n+1 + = n +1  2.10 +   =   n+1 Ta có: 2.10 +13 (Có tổng chữ số chia hết cho 3) Nên số ngoặc tạo thành số phương Suy A số phương 0,5đ ... Rút gọn P = x + 16 x +3 2đ b) Tính x=1 ∈ đkxđ Suy p= 17 c) Pmin=4 x=4 =7.25n + 19. 6n – 7.6n =7. 19. ( ) + 19. 6n  19 Bài 2: (4,0 điểm) Đặt x + =t (t ≥ 0) phương trình cho trở thành t2+3x=(x+3).t... = 5xyz( x2 + y2 +z2) ( đpcm) Bài 3: (3,0 điểm) ⇔ 20x5 –(x5-x)+5y+ 199 5z=x2+3 ⇔ 20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+ 199 5z=x2+3 Ta thấy VT 5 VP không chia hết pt vô nghiệm y+z z+x x+ y =...Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai ( Trường THCS Thanh Cao ) N¨m häc 2015 - 2016 Bài 1: (6,0 điểm) a ) Rút gọn P = x + 16