PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM AN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI Câu (6 điểm)   6x +   + 3x 3x     − − x Cho P =    + 3x  x + x +  3x −    a, Rút gọn P b, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) a, Giải phương trình: x + x+3 = x + b, Cho 00 < α < 900 sin α + cos α = Tính tan α Câu (3 điểm) a, Cho a, b, c > thỏa mãn biểu thức a + b + c = Chứng minh rằng: a + bc + b + ac + c + ab ≤ b, Cho < x < Tìm GTNN A = x + 1− x x Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC có ∠A = 1v , kẻ đường cao AH (H thuộc BC) AH ) cắt AB P AC Q Qua P Q vẽ hai tiếp AH tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC E F Vẽ đường tròn ( I; Chứng minh rằng: a, PE// QF b, AB AP = AQ AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm Tính EF d, Giả sử BC cố định A di động nhìn BC góc 900 Tìm vị trí A để diện tích tam giác APQ lớn Câu (1 điểm) Chứng minh không tồn x, y số nguyên thỏa mãn biểu thức: 2012x2015 + 2013y2018 = 2015 Hết -Người đề: Nguyễn Thị Thu Hường Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN Năm học: 2015 – 2016 Nội dung Câu  6x + − (6 điểm) a, P =  Điểm    + 3x 3x    − x    3x + 3x +   + x   3x − ( ) x ≥  đk:   x ≠   6x +   + 3x 3x     − − x P=      3x − 3x + 3x +   + 3x   + 3x − 3x + 3x  x + − 3x x − − x  P=  + 3x x − 3x + x +   ( ) ( P= P= P= ( ( ( ( )( ) ( ) )( x + − x + 3x (1 3x − x + x + )( ) ) 3x + 3x - 3x ) 3x + 3x + (3x - 3x + 1) 3x − 3x + 3x + 3x − ( 3x - 1) = 3x − 3x − )( ) ( ) ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên ( P= ) 3x − 3x − ( = ) ( ) 3x − + 3x − + Ta có 3x − P = ( 3x - 2) + + 3x − P = 3x + 3x − 3 x ∈ n (n ∈ Z ) Để P có giá trị nguyên  (2)  x − ∈ U (1)  x = 3(TM )  3x − =  3x = ⇔ ⇔ Từ (2) có   x = (loai )  x − = −1  x =  ( ) Vậy với x = P có giá trị nguyên a, (4 điểm) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Giải phương trình: x + x+3 = x + điều kiện: x ≥ -3 x + x + = 2x + 2x + - x − x + = (x - x + 1) + x + - x + + = ( x − 1) + ( x + − 2) = ( ( )  x − =   x + − = )  x − = ⇔  ⇔ x=1 (thỏa mãn)  x + − = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ b, b, Cho 00 < α < 900 sin α + cos α = Vì sin α + cos α = Tính tan α 7  ⇒ sin α =  − cos α  5  7  Mà sin α + cos = nên  − cos α  + cos α = 5  49 14 ⇔ − cos α + cos α + cos α = 25 ⇔ 50 cos α − cos α + 24 = ⇔ 25 cos α − 35 cos α + 12 = ⇔ 25 cos α − 20 cos α − 15 cos α + 12 = ⇔ (5cos α - 4) (5cos α - 3) = 2  cos α =  cos α =  3   sin α =  tan α = ⇔ ⇔  ⇔  sin α =  tan α =   Vậy tan α = cos α = sin α = 5 4 Hoặc tan α = cos α = sin α = 5 a, Ta có: a + bc = a + bc − a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) (3 điểm) Tương tự: b + ac = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) Mà: (a + b)(a + c) ≤ (a + b + a + c) (b + a )(b + c ) ≤ (b + a + b + c) (c + a)(c + b) ≤ (c + a + c + b) Nên a + bc + b + ac + c + ab ≤ (4a + 4b + 4c) = 2(a + b + c) = 2 a + b + c = a + b = a + c  ⇔ a=b=c= Dấu (=) xảy  b + a = b + c c + a = c + b b, Ta có: < x < ⇒ – x > x x − 5x + 5x + = + Và A = 1− x x 1− x x x 5(1 − x) x x 5(1 − x ) A= + + = + +5 1− x x x 1− x x x 5(1 − x ) x 5(1 − x) + ≥2 =2 Vì 1− x x 1− x x 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Do đó: A ≥ + 0〈 x 〈1  Dấu (=) xảy  x 5(1 − x) 1 − x = x Kết luận: giá trị nhỏ A (5 + ) x = 0,25đ 5− 0,5đ Vẽ hình 0,25điểm A Q P I I K B a, Chứng minh được: E H F +) P, I, Q thẳng hàng +) PE, QF vuông góc với PQ b, +) APHQ hình chữ nhật +) góc BAH góc C +) góc APQ góc BAH +) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g) c, +) Tính BC = 13cm +) E trung điểm BH; F trung điểm HC +) EF = BC = 6,5cm d, Kẻ AK ⊥ PQ ta có SAPQ= 1 AK PQ = AK AH 2 1 Vì AK ≤ AH nên SAPQ ≤ AH2 ⇔ SAPQ lớn ⇔ AH lớn ⇔ AH trung tuyến ∆ ABC ⇔ ∆ ABC vuông cân A Ta có với x 2012x2015  nên số chẵn (1 điểm) +) Nếu y số chẵn 2013.y2018 số chẵn, y2018 số chẵn Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) số chẵn mà 2015 Là số lẻ (vô lí) +) Nếu y số lẻ y1009 số lẻ Do chọn y1009 = (2n+1) (n ∈ Z ) Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n) +2013 Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho dư Còn số 2015 chia cho dư (vô lí) Vậy số nguyên x, y mà 2012x2015 2013.y2018 = 2015 C 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,25d 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ ...ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN Năm học: 2015 – 2016 Nội dung Câu  6x + − (6 điểm) a, P =  Điểm    + 3x 3x    − x  ... 0,25đ 0,75đ b, b, Cho 00 < α < 90 0 sin α + cos α = Vì sin α + cos α = Tính tan α 7  ⇒ sin α =  − cos α  5  7  Mà sin α + cos = nên  − cos α  + cos α = 5  49 14 ⇔ − cos α + cos α + cos... chẵn Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) số chẵn mà 2015 Là số lẻ (vô lí) +) Nếu y số lẻ y10 09 số lẻ Do chọn y10 09 = (2n+1) (n ∈ Z ) Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n)