Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Tác giả : NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN Giá bìa: 179.000đ _ Đặt sách Lovebook phiên 2.0: https://goo.gl/XeHwk5 Giải đáp thắc mắc sách Lovebook: http://vedu.vn/forums/ Tài liệu Lovebook chọn lọc: http://tailieulovebook.com Kênh giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG LOVEBOOK.VN | 13 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH 𝐅𝐅𝟏𝟏 (T3/2015) NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN 𝐅𝐅𝟐𝟐 (T11/2015) 𝐅𝐅 TĂNG HẢI TUÂN – NGUYỄN VĂN HƯỞNG 𝟐𝟐 (T11/2015) II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN NGUYỄN VĂN HƯỞNG Sinh ngày: 21/02/1995 Quê quán: Tứ kỳ - Hải Dương Facebook: https://www.facebook.com/mathkudo Học vấn:  Cựu học sinh Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương  Giải nhì HSG quốc gia môn Toán 2013  K58 KSTN Điều khiển tự động – Đại học Bách khoa Hà Nội  Giải Olympic Sinh viên môn Toán 2014 • Sở thích: Ăn mì, đá bóng • Câu nói yêu thích: Tò mò tố chất thành công mày mò nhân tố thành công • • • • Nguyễn Văn Hưởng 14 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission TĂNG HẢI TUÂN Sinh ngày: 20/09/1993 Quê quán: Thành phố Thái Bình Hiện nay: Đang sinh sống làm việc Hà Nội Điện thoại, Zalo: 0963 495 209 Học vấn:  Tốt nghiệp loại Giỏi, hệ cử nhân chất lượng cao, chuyên ngành Sư phạm Vật lí – khóa 61, trường Đại học Sư phạm Hà Nội  Đạt điểm 10 bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lí  Giải sinh viên nghiên cứu khoa học Khoa Vật lí 2015  Tổ trưởng tổ Vật lí công ty Vedu Tăng Hải Tuân • Facebook: https:// facebook.com/tanghaituan.vlpt • Sáng lập Diễn đàn Vật lí phổ thông vatliphothong.vn • Sáng lập trang Học trực tuyến học sinh Việt Nam: hoctructuyen.tv • Tác giả  Công phá đề thi THPT Quốc gia môn Vật lí  Công phá Bất đẳng thức • Đánh giá, nhận xét đề thi THPT Quốc gia môn Toán, môn Vật lí cho báo Zing.vn  http://news.zing.vn/Goi-y-loi-giai-mon-Toan-THPT-Quoc-gia-post554511.html  http://news.zing.vn/De-thi-va-loi-giai-goi-y-mon-Vat-ly-post555119.html • • • • • LOVEBOOK.VN | 15 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission LỜI MỞ ĐẦU “To be successful, you’ve got to be willing to fail” Đây câu nói tiếng, viết có mục đích mình! Khi học bất đẳng thức, cần chuẩn bị tâm lý có toán tự thân giải Cuốn sách viết ra, tổng hợp tất kinh nghiệm học nghiên cứu bất đẳng thức Đối tượng đọc sách là: bạn đam mê môn Toán, bạn học sinh chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi, thi chuyên, sách dùng làm tư liệu cho thầy cô giảng dạy, đặc biệt dành cho sĩ tử khao khát điểm 10 môn Toán đại học học sinh ấp ủ huy chương quốc gia, quốc tế Trước vào tìm hiểu sâu sách này, mong muốn bạn hiểu “mạch đập sách” mà viết ra: Phần I: Hai bất đẳng thức cổ điển Đây bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức CauchySchwarz Chúng ta học chúng từ lớp 10 Điều chứng tỏ vai trò hai bất đẳng thức lớn Chính mà đặt phần sách Tiếp theo ba phần quan trọng dành cho bạn ôn thi đại học Ban đầu, không định viết theo phong cách chia “phương pháp giải”, với mục đích dành cho bạn sĩ tử ôn thi, nên viết thành ba phần: Phần II: Bất đẳng thức biến Phần III: Bất đẳng thức hai biến Phần IV: Bất đẳng thức ba biến Ngoài ra, thêm phần V: “Bất đẳng thức lượng giác” bất đẳng thức xuất cách lâu Tại lại đưa vào sách thì: bạn đọc đến đó, bạn hiểu Phần VI: Phương pháp tam thức bậc hai Phần này, muốn giới thiệu cho bạn phương pháp hiệu dễ sử dụng Lời giải sử dụng phương pháp “trong sáng” sử dụng kiến thức cấp THCS mà giải số toán khó cách dễ dàng Phần VII: Vùng biển chưa khai thác Phần này, mong bạn đọc qua, tham khảo thêm số tư tưởng mà chưa xuất đề thi đại học Tuy mang tư tưởng “chuyên sâu” đưa vào đề thi đại học sau Đối với học sinh thi đại học, sách có điểm lạ so với sách bất đẳng thức khác? Bạn đọc yên tâm rằng, tập sách không lời giải đơn mà có phân tích, suy luận, nhận xét cách sâu sắc Điểm hay sách với học sinh 16 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission thi đại học nằm 132 toán tuyển chọn phân tích giải phần VIII Chúng tin sau đọc xong sách này, trình độ bất đẳng thức bạn cải thiện rõ rệt Đối với học sinh chuyên, đọc phần trên, sau đọc, bạn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quận Muốn tìm hiểu sâu hơn, để phục vụ cho thi cấp quốc gia, khu vực cao quốc tế, cố gắng tìm hiểu sâu, rộng mảng bất đẳng thức: Phần IX: Đào sâu mở rộng bất đẳng thức hay dùng Phần X: Một số bổ đề bất đẳng thức hoán vị Phần XI: Những phương pháp toán đại Phần XII: Tổng hợp đề thi chọn HSG quốc gia, chọn HSG tỉnh tỉnh nước Phần XIII: Tuyển tập tổng hợp toán khó Ngoài ra, trình bày số phụ lục PHỤ LỤC I : Sử dụng bất đẳng thức số toán Vật lí Ở phần này, bạn thấy ứng dụng bất đẳng thức số toán Vật lí tiêu biểu PHỤ LỤC II : Một số từ ngữ Tiếng Anh hay dùng liên quan đến bất đẳng thức Ở phần này, cung cấp cho bạn đọc số từ ngữ Tiếng Anh để bạn đọc đọc hiểu tài liệu Bất đẳng thức Tiếng Anh cách đơn giản PHỤ LỤC III : Tiểu sử số nhà Toán học đặt tên cho bất đẳng thức kinh điển Mặc dù dành nhiều tâm huyết cho sách, song sai sót điều khó tránh khỏi Để hoàn thiện sách, cần đến góp ý bạn đọc, dĩ nhiên, cảm ơn bạn đọc góp ý dẫn tận tình để tái lần sau tốt Mọi ý kiến đóng góp xin gửi hòm thư tác giả: Nguyễn Văn Hưởng mathkudo@gmail.com Tăng Hải Tuân tanghaituan@vatliphothong.vn Ngoài ra, mong trao đổi, bàn luận bạn sách nói riêng Bất đẳng thức nói chung trông qua diễn đàn trao đổi, sử dụng sách vedu.vn/forums/ Đội ngũ tác giả xin trân trọng cảm ơn! Thay mặt tác giả Nguyễn Văn Hưởng LOVEBOOK.VN | 17 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission LỜI CẢM ƠN Cuốn sách hoàn thiện gần tháng Đó khoảng thời gian dài mà người số kiên trì làm việc Để vững vàng suy ngẫm đưa ý tưởng, lựa chọn đắn nhất, cần nhiều giúp đỡ từ người Động lực lớn tạo ra, nói người sinh thành Cha mẹ người không nuôi nấng nên người, mà người giúp nhìn chân trời Mặc dù có lúc hoàn cảnh khó khăn, cha mẹ tạo điều kiện tốt cho học tập phát triển Thông qua sách này, muốn gửi lời trực tiếp đến cha mẹ mình: “Bố mẹ, yêu bố mẹ nhiều lắm!” Những người ảnh hưởng tới sách bất đẳng thức này, người thầy cô dìu dắt học THCS THPT Thầy Nguyễn Dũng cô Ngô Thị Hải (hai giáo viên trường Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương) dìu dắt, tạo cho – Nguyễn Văn Hưởng – tảng vững suốt ba năm cấp ba Thầy Bùi Đình Thân, (giáo viên môn Toán trường THCS Lương Thế Vinh – Thành phố Thái Bình) động viên, chia sẻ, góp ý quý báu kiến thức cách sống, làm để trở thành người thầy tốt với – Tăng Hải Tuân – sinh viên Sư phạm trường phấn đấu trở thành người thầy tốt Em cảm ơn Thầy nhiều!!! “Hi vọng thầy cô thành công nghiệp tạo nhiều lớp trẻ tài phục vụ cho đất nước” Lời cảm ơn xin gửi tới: Thầy Dương Đức Lâm (Đại học Sư phạm Hà Nội - thầy kèm học sinh dự thi IMO 2014 bất đẳng thức) cung cấp cho tài liệu quý Anh Võ Quốc Bá Cẩn, anh Trần Quốc Anh – người anh truyền cảm hứng Bất đẳng thức cho hệ khác học Bất đẳng thức, cho góp ý, đóng góp quý báu để sách hoàn thiện Anh Lê Khánh Sỹ (phường Tân An, tỉnh Long An) nhiệt tình góp ý, giúp đỡ, bảo trình tìm tòi khám phá Bất đẳng thức Anh Lương Văn Thiện, bạn Nguyễn Duy Hưng, Nguyễn Đức Long (những học sinh đạt giải cao kì thi quốc gia, quốc tế) bổ sung góp ý cho sách phong phú Ngoài ra, xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Minh Hiền – học sinh lớp 11 – THPT Gia Viễn A, Ninh Bình giúp chỉnh sửa, hoàn thiện hình thức thảo 18 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Và đặc biệt, quên anh Lương Văn Thùy giám đốc công ty VEDU động viên hỗ trợ trình thực sách Nếu hỗ trợ đặc biệt từ anh Lương Văn Thùy nhà xuất sách đến tới tay bạn đọc Anh người gợi mở - không sách mà nhiều sách khác - dẫn tận tình để sách vươn lên tầm cao mới, truyền cảm hứng cho người đọc Lời cảm ơn cuối muốn gửi tới, bạn đọc sách Hi vọng sách giúp bạn đọc tìm nhiều mẻ độc đáo, từ yêu bất đẳng thức toán học Hi vọng hơn, có dịp bình luận, chia sẻ nhiều điều lí thú toán học Một lần nữa, đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!! LOVEBOOK.VN | 19 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission MỤC LỤC PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Bất đẳng thức AM-GM II Các bất đẳng thức phụ hay dùng III Một số toán sử dụng AM-GM thông thường A Ứng dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM B Sử dụng đẳng thức ( a + b + c )2 = a + b + c + 2( ab + bc + ca) C Sử dụng bất đẳng thức phụ D Vài bất đẳng thức mạnh bất đẳng thức AM-GM $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Kĩ dự đoán điểm rơi II Kĩ biến hóa, thứ tự biến $3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM DƯỚI MẪU I Kĩ thuật AM-GM ngược dấu II Đánh giá AM-GM mẫu CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ I Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz II Một số dạng hay dùng đề thi đại học III Một vài ứng dụng $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ I Làm quen với dạng biểu diễn khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz II Kĩ thuật chọn điểm rơi III Kĩ thuật thêm bớt IV Kĩ đưa đại lượng giống V Kĩ đổi biến số VI Kĩ nhân, chia đại lượng vào tử mẫu VII Kết hợp nhiều kĩ PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN $1: TƯ TƯỞNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN $2: KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN $3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN $2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DO TÍNH ĐỐI XỨNG $3: BẤT ĐẲNG THỨC CÙNG BẬC VỚI HAI BIẾN $4: MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT PHẦN IV: BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN $1: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TOÀN PHẦN $2: KĨ NĂNG ĐƯA VỀ MỘT BIẾN I Kĩ thuật dồn biến II Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cổ điển, bất đẳng thức phụ ý tưởng nhỏ PHẦN V: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Dạng sử dụng loại bất đẳng thức II Phương pháp dồn biến bất đẳng thức lượng giác PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Một số tính chất tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tam thức bậc để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 20 | LOVEBOOK.VN 13 13 13 13 13 15 15 18 21 24 32 32 42 55 55 60 68 68 68 68 69 74 74 76 81 84 87 89 91 102 102 118 125 129 129 135 139 142 144 144 157 157 165 178 181 185 192 192 193 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức tam giác PHẦN VII: “VÙNG BIỂN” CHƯA ĐƯỢC KHAI THÁC $1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC NÊN BIẾT I BÀI TOÁN I: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN II BÀI TOÁN II: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV III BÀI TOÁN III : TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR IV BÀI TOÁN IV: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER V TƯ TƯỞNG BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG KHAI TRIỂN ABEL VI KĨ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG SOS $2: MỘT PHƯƠNG PHÁP “LẠ” PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC $1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TOÁN “CŨ” $2: 132 BÀI TOÁN TUYỂN CHỌN VÀ PHÂN TÍCH GIẢI $3: TUYỂN TẬP CÁC CÂU BẤT ĐẲNG TRONG ĐỀ ĐẠI HỌC 2005-2015 $4: BÀI TẬP RÈN KĨ NĂNG PHẦN IX: ĐÀO SÂU VÀ MỞ RỘNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG $1: PHƯƠNG PHÁP SOS SUY RỘNG Phương pháp S.S Phương pháp S.O.S hoán vị $ 2: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ NHỮNG MỞ RỘNG I Bất đẳng thức Jensen tổng quát II Bất đẳng thức Karamata III Bất đẳng thức Muirhead $3: BẤT ĐẲNG THỨC VORNICU-SCHUR PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ PHẦN XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI $1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC $2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC I Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức tích phân A Cơ sở lý thuyết B Bài tập minh họa II Sử dụng dãy số để chứng minh số bất đẳng thức ba biến đối xứng $3: BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN I Một số kĩ thuật đặc trưng với bất đẳng thức bốn biến II Bất đẳng thức n biến PHẦN XII: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG TRÊN CẢ NƯỚC PHẦN A ĐỀ BÀI PHẦN B LỜI GIẢI PHẦN XIII: TUYỂN TẬP VÀ TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN KHÓ $1: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BÀI THI TST (2000-2014) $2: BÀI TẬP TỔNG HỢP $3: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN PHỤ LỤC I SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ PHỤ LỤC II MỘT SỐ TỪ NGỮ TIẾNG ANH HAY DÙNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ LỤC III TIỂU SỬ MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC ĐƯỢC ĐẶT TÊN CHO CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI KẾT 202 222 226 226 226 232 237 243 247 250 253 263 263 270 367 385 390 390 398 403 406 406 408 411 413 418 440 440 448 448 448 449 453 457 457 465 478 478 482 510 510 542 610 613 619 622 632 634 LOVEBOOK.VN | 21 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Bất đẳng thức AM-GM AM-GM viết tắt “arithmetic and geometric means”, nghĩa trung bình cộng trung bình nhân Cách chứng minh hay sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô-si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng Cô-si phát bất đẳng thức này, hay gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) Bất đẳng thức AM-GM có dạng tổng quát là: a1 + a2 + … + an n ≥ a1 a2 … an n ,    ∀ a1 , a2 ,… , a > n Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức Chúng xin không nhắc lại Trong đề thi đại học, bạn phép sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai ba số Với n = 2, ta bất đẳng thức AM-GM cho số không âm a, b có dạng a + b ≥ ab Với n = 3, ta bất đẳng thức AM-GM cho số không âm a, b, c có dạng a + b + c ≥ 3 abc Các cách viết khác thường gặp là: a2 + b2 a3 + b3 + c ≥ ab , ≥ abc a+b  a+b+c ab ≤   , abc ≤       a b + ≥   b a Cách chứng minh đơn giản dùng hai đẳng thức sau: (a ) + b − ab =( a − b ) ,   ( ) 2 a + b + c ) ( a − b) + (b − c ) + (c − a) ( II Các bất đẳng thức phụ hay dùng (a ) + b + c − 3abc= Dưới liệt kê số bất đẳng thức hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức Bạn đọc đặt bút cố gắng làm hết trước xem lời giải nhé! Chứng minh với số thực dương a , b , c , x , y , z ta có 1 + ≥ ≥ a b ab a + b 1 + + ≥ a b c a+b+c x + y + z ≥ xy + yz + zx ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) a + b ≤ ( a + b) ( ) a + b ≥ ( a + b ) 22 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC $1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TOÁN “CŨ” Phần xoay quanh toán từ tổng hợp số kiến thức quan trọng cho bạn ! Bài toán 1: Cho x ≥ z ≥ y > Tìm giá trị nhỏ của: P= x z − xyz xyz + x xyz + z + + 3xyz + x + z x z + z + xyz x z + x “Chém gió”: Khi gặp toán này, bạn đọc có hướng suy nghĩ gì? Đó điều muốn bạn biết Khi gặp toán bất đẳng thức, đừng có hoảng sợ, cố gắng vạch hướng mà theo Đừng có nháp hay suy nghĩ viển vông mà thân chưa biết làm Với toán 1, thấy ý tưởng đầu tiên: dùng đạo hàm cho biến, lẽ biến x, y, z không ràng buộc vào đẳng thức Tuy nhiên, lại phức tạp cho việc xét dấu đạo hàm Vậy ta có nên theo hướng đó, hay nói cách khác, ta phải làm bây giờ? Chưa biết phải làm gì, xin đưa “form” chung cho toán bất đẳng thức sau: Đọc kĩ đề, mắc nối giả thiết kết luận với Thử dự đoán dấu xảy Lựa chọn phương pháp theo trình tự: Công cụ mạnh: • Phương pháp dồn biến • Phương pháp phân tích bình phương • Bất đẳng thức Schur Bất đẳng thức cổ điển: • Bất đẳng thức Cauchy • Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz • Bất đẳng thức Holder • Bất đẳng thức Jensen • … Phối hợp kĩ năng: Tách, ghép, đổi biến, bất đẳng thức phụ, … Đây “form’’ chung dành cho đa số toán, nằm suy nghĩ Điều mà nhấn mạnh đây: đa số tất Ví dụ bước hai, dự đoán dấu bằng, nhiều người nói rằng: dự đoán dấu coi giải 50% toán Điều không sai chưa đủ: Trước dự đoán, ta cần đặt câu hỏi: Dự đoán dấu để làm (mục đích); dự đoán liệu có không (tính sai), toán nên dự đoán (đối tượng) Để trả lời câu hỏi này, đưa số tiêu sau: - Một là: Chỉ nên dự đoán có hình thức đơn giản, để mục tiêu không bị tốn nhiều vào việc dự đoán Ví toán chả lao đầu vào việc tìm dấu xảy Như vậy, cần nhấn mạnh mục tiêu một: nên dự đoán dấu hay không? Hai là: Theo kinh nghiệm thấy, hầu hết toán có dấu xảy khi: • Hoặc biến biên (nằm giả thiết) • Hoặc hai biến LOVEBOOK.VN | 43 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Khi thay vậy, ta biến, dùng đạo hàm để tìm dấu dễ dàng hơn! Nhưng tất - Ba là: Dự đoán dấu để làm gì? (mục tiêu) Thì bạn đánh giá, bất đẳng thức bài, sau viết, bạn phải kiểm tra có xảy dấu hay không? Ví dụ dấu xảy ba biến x, y, z mà bạn lại xuất đánh giá xyz > bất đẳng thức chắn bạn làm kiểu lời giải sai Kinh nghiệm bạn thấy rõ phương pháp cân hệ số Ở bước ba, “form”của là: từ công cụ mạnh đến công cụ yếu Tại lại nghĩ thế? Đơn giản ta phải xác định mục tiêu ta: giải toán tìm lời giải toán Hai điều khác nào? Ý mà muốn bạn hiểu là: + Giải toán: tìm kết toán, tìm cách chứng minh kết luận phải theo chất Tức là, dù cách giải dài hay ngắn phải suy luận logic + Tìm lời giải toán: định nghĩa bao trùm giải toán, tức ta phải tìm lời giải hay, đẹp mắt, nhiều không theo suy luận logic Chắc chắn rằng, tìm lời giải phức tạp giải toán Trong kì thi tuyển sinh đại học, thứ mà cần “giải toán” Nếu bạn nắm rõ gốc gác vấn đề cần suy luận thông thường để tìm giải đáp Tuy nhiên, bước ba này, đâu phải theo “form”, ví dụ họ cho bất đẳng thức hai biến đối xứng chả “ngu” mà nghĩ tới kĩ thuật dồn biến, … Điều mà muốn nhắc nhở: đừng quy tắc, linh hoạt tốt Với đống công cụ, ta cần chọn công cụ cho hợp lý???? Quay lại toán 1, bạn có ý tưởng chưa? Đây toán “cũ” Vì nói vậy? Tôi nói không lần: Toán học không đơn công thức, mà tinh tế liều lĩnh Ta có P= xyz + z x z − xyz xyz + x + + 3xyz + x + z x z + z + xyz x z + x   1 1 xz  y +  zx  y +  x z = +  + 2 3xyz + x + z x z + z + xyz x z+x xz ( x − y )  1  1 y +   2y +   (x − y) +  z  +  x  = 1 1 x+ +y x+ 3y + + x z x z   a= x − y   Đặt  b =y + ⇒ a , b , c > (* ) z   c 2y + = x Khi đó, toán trở thành: Bài toán 2: Cho a , b , c > Tìm giá trị nhỏ của: P= 44 | LOVEBOOK.VN a b c + + b+c c+a a+b Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Quá quen thuộc ! Nhưng có phép biến đổi (*)? Đó nhờ vào giả thiết x ≥ z ≥ y > , xuất nhiều lần tích xyz với can đảm, nhạy cảm Sau đặt đưa toán dạng đối xứng biến a, b, c ta thấy rằng, người đề làm vẻ đẹp toán phép chuối! Điều không nên làm! Quay trở lại toán 2, nhìn qua có lời giải sau: Lời giải 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân số: (a + b + c) a2 b2 c2 + + ≥ P= ab + ac bc + ba ca + cb ( ab + bc + ca ) Áp dụng bất đẳng thức phụ: ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) Ta có ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) = P≥ ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) 2   1 − 2y = x− y=  1   z⇔ z x Đẳng thức xảy khi: a = b = c x ⇔ − y = y + = 2y + ⇔   z x y= 1−1 x − = − z x z z x   = , z Các bạn bị “nhiễm độc” lời giải mà không suy nghĩ Tại ta có lời giải Vì Có thể lấy ví dụ thỏa mãn đề= x 2,= y quen thuộc, xuất nhiều lần? Thế nhưng, khẳng định rằng: Chúng ta theo lời giải chưa giải toán (xem lại khái niệm giải mà đặt nhé) Bản chất lời giải toán chưa mở Hãy quay lại “form” suy ngẫm Điều mà thấy, chắn biến a, b, c không phụ thuộc vào nhau, nên hướng nghĩ đạo hàm theo biến bỏ qua ! Lời giải 2: Giả sử a ≥ b ≥ c > Ta xét: P = f ( a; b; c ) = a b c + + b+c c+a a+b b c ⇒ f a' ( a ; b; c ) = − − b + c ( c + a ) ( a + b )2 ⇒ f a' ( a ; b; c ) ≥ b c − − = b + c ( c + b )2 ( c + b )2 Suy ra: f ( a ; b; c ) đồng biến  b; +∞ ) 2b b b c c + + = + b + c c + b b + b c + b 2b 2x b ⇒ P ≥ f (x) = + ,  x = ≥ 1 + x 2x c ⇒ P ≥ g ( b; c= ) Xét hàm số f ( x ) 1; +∞ ) có: f ′( x) = (1 + x ) − ≥ 0, ∀x ≥ 2x2 Do đó, ta thu được: LOVEBOOK.VN | 45 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission P ≥ f ( x ) ≥ f ( 1) = Bài toán có biến độc lập với ta nghĩ tới phương pháp sử dụng đạo hàm để làm giảm biến số Tiếp tục theo hướng giảm biến số, ta có phương pháp mạnh: Lời giải 3: Đặt: t = b+c Xét hiệu: M= =  b 2t b c t   t c  + − = − − − c + a a + b a + t  c + a t + a   t + a b + a  (b − c )t  1  −=  a + t  c + a b + a  t (b − c ) ( a + t )( a + b )( a + c ) ≥ Từ ta có b c 2t Do + ≥ c+a a+b a+t a b c a 2t a 2t P= + + ≥ + = + b + c c + a a + b b + c a + t 2t a + t ⇒ P ≥ f (x) = Xét hàm số f(x) ( 0; +∞ ) có: f ′ ( x = ) x a + ,  x = x+1 t − ( x + 1) ⇒ f ′( x) = 0⇔x=1 Lập bảng biến thiên ta thu được: P ≥ f ( x ) ≥ f ( 1) = Lời giải hai cách rõ ràng Cách ba sử dụng tư tưởng dồn biến:  b+c b+c Bước 1: f ( a ; b; c ) ≥ f  a ; ; 2   Bước 2: Cùng bậc a, t nên đặt x = Bước 3: Khảo sát hàm f ( x ) a t Khá quen thuộc nói rõ Những toán nên nghĩ qua phương pháp này: Bài toán ba biến, đối xứng, hình thức đơn giản, nghĩ tới phương pháp dồn biến Ngoài hai hướng (mục tiêu đưa biến) hướng thứ hai đánh giá đồng thời có nhiều hướng Khi đối xứng, ta có lời giải: Lời giải 4: Xét hiệu: a b c P− = + + − b+c c+a a+b  a − b − c b − c − a 2c − a − b  = + +  b + c c+a a + b  46 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Suy     3    − + (b − c )  − + (c − a)  −  P −  = ( a − b)     2  b+c a+c c+a b+a a+b c+b ( a − b) + (b − c ) + (c − a) = ( a + c )( b + c ) ( b + a )( c + a ) ( c + b )( a + b ) 2 ≥ Do Lời giải đơn giản ngắn gọn, dựa tư tưởng phân tích bình phương SOS P≥ Bài toán đối xứng, đặc biệt đạng phân thức, có dấu biến có hướng nghĩ sử dụng phương pháp phân tích bình phương SOS Khi biến dạng đối xứng, ta hướng suy nghĩ cũ: Lời giải 5: Đặt p = a + b + c ,  q = ab + bc + ca ,  r = abc P= = = a b c + + b+c c+a a+b a ( a + b )( a + c ) + b ( b + c )( b + a ) + c ( c + a )( c + b ) ( a + b )( b + c )( c + a ) p − pq + 3r pq − r Ta có P≥ ⇔ 9r ≥ pq − p Theo bất đẳng thức Schur bậc ba ta có: 9r ≥ pq − p Lại có: pq − p ≥ pq − p ⇔ p ≥ 3q ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) Do đó, ta có: 9r ≥ pq − p ≥ pq − p ⇒P≥ Bài toán đối xứng ba biến, có hướng nghĩ đổi biến để dùng bất đẳng thức Schur Khi học phương pháp đánh giá toàn phần, có đưa ví dụ, ta thử áp dụng xem cho không? Tìm số k để có: a 3.a k ≥ b + c 2( a k + b k + c k ) Ta tìm k = LOVEBOOK.VN | 47 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Do đó, ta có lời giải : 3.a a ≥ (* ) 3 b+c  2 a2 + b2 + c      3 3 (* ) ⇔ 2.a + 2a.b + 2a.c ≥ 3a b + 3a c Đến đây, đơn áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 3   a + a.b + a.b ≥ 3.a b  3  a + a.c + a.c ≥ 3.a c  (*) Áp dụng thêm hai lần đem cộng ba bất đẳng thức lại ta thu được: Quay sang góc nhìn hoàn toàn khác với độc lập, tính đối xứng ta thấy bất đẳng thức P≥ bất đẳng thức bậc Vì ta giả sử: a + b + c = Bài toán có dạng: f ( a ; b; c ) ≥ ⇔ f ( ka ; kb; kc ) ≥ ta giả sử đại lượng thích hợp không đổi Khi đó, toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ của: Cho a , b , c > 0, a + b + c = a b c + + 3−a 3−b 3−c Có lời giải cho hướng tập Chắc chắn rồi, có hai hướng đi: P= Lời giải 7: Ta chứng minh: x ∀x x ∈ ( 0; ) ⇒ ≥ − (* ) 3−x 4 Thật ta có: ≥0 (* ) ⇔ x ≥ ( 3x − 1)( − x ) ⇔ x ≥ −3x + 10x − ⇔ ( x − 1)   Áp dụng (*) ta có:  a 3− a ≥ a −  3 3 3  b ≥ b − ⇒ P ≥ (a + b + c) − = − =  4 4 3− b  c 3−c ≥ 4c−  Sự xuất số cập 48 | LOVEBOOK.VN bạn hiểu Đây phương pháp đánh giá toàn phần mà đề Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission , cần chứng minh: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ ta tìm k để: Bài toán có g ( a ) + g ( b ) + g ( c ) = f ( a ) ≥ kg ( a ) Lời giải 8: Xét hàm số = f (x) x , x ∈ ( 0; ) ta có 3−x f ′( x) = (3 − x) f ′′ ( x ) ⇒= (3 − x) ≥    , ∀x ∈ ( 0; ) Do đó, theo bất đẳng thức Jensen ta có:  a+b+c P = f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ f  = f ( 1) =    Bài toán có tổng tích a, b, c có f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) , ta nghĩ tới bất đẳng thức Jensen Bài toán quy toán Bài toán lại có 7, lời giải với tư tưởng khác hoàn toàn Mỗi tư tưởng đúc kết công cụ, phương pháp Chúng ta cần quan sát tinh tế, suy luận theo lối mòn, dẫn tới đích Mỗi đóng khung lưu ý mà bạn đọc cần để ý, ôn lại số dạng toán mà ta học chương trước Và đây, tiếp tới 132 toán khiến bạn có nhìn khác bất đẳng thức LOVEBOOK.VN | 49 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission $2: 132 BÀI TOÁN TUYỂN CHỌN VÀ PHÂN TÍCH GIẢI 132 toán lựa chọn kĩ Ở đây, có nhiều vượt xa với chương trình ôn thi đại học không sát với đề thi Chúng chưa cần bạn làm tập Mà mong muốn đơn giản bạn đọc, hiểu lối tư từ có áp dụng tinh tế theo tư logic thân vào tập khác Bài 1: (Iran-2008) Cho x , y , z > 0, x + y + z = Chứng minh rằng: y3 x3 z3 + + ≥ + ( xy + yz + zx ) 3 y + z + x + 27 Phân tích hướng dẫn Đẳng thức dự đoán x= y= z= Lưu ý đẳng thức: a3 + = ( a + ) ( a2 − 2a + ) ,  a ( + b + c) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) Do bậc tử vế trái 3, gợi ý áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số: a3 + u ( a + ) + v a − a + ≥ 3 uv a b3 + ( )   Do ta có: 27 Chọn u; v để có đẳng thức a= b= thì: u= v=  x3 y + y2 − 2y + x + + ≥  27 27 y +8  y z + z2 − 2z + y + + ≥  27 27  z +8  z3 x + x − 2x + z + + ≥  27 27 x +  Cộng vế với vế bất đẳng thức ta thu được: ( ( ) ) ( 10 ( x + y + z ) − x + y + z − 18 12 − x + y + z y3 x3 z3 + + ≥ = 27 27 y + z3 + x3 + = ( + ( x + y + z ) − x2 + y + z2 27 ) ) = + ( xy + yz + zx ) 27 Vậy toán giải  Bài 2: Cho x , y , z ≥ 0,  x + y + z = Tìm giá trị lớn của: P= x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) Phân tích hướng dẫn Biểu thức P đối xứng x ; y ; z dạng đa thức nên ta hoàn toàn biểu thị chúng đại lượng:   x+y+z= x + y + z) (   0≤a≤ = xy + yz + zx = a ⇒   3 ⇒ ≤ 9b ≤ a ≤   xyz = b  0 ≤ 3b= ( x + y + z ) xyz ≤ a Khi đó, P hai biến a ; b đơn giản hơn: 50 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission P= x ( xy + xz ) + y ( yz + yx ) + z ( zx + zy ) = (x ( ) + y + z ( xy + yz + zx ) − xyz x + y + z = ( − a + 3b ) a − b ( − a ) ) f ( a ; b ) =− a 3a + ab − b Từ suy P = Biến b xuất nên xét: fb' ( a ; b= ) 5a − có hai trường hợp cần xét: ⇒ P = f ( a ; b ) ≤ f ( a ; ) = a − 3a = a ( − 3a ) Đến ta dùng khảo sát hàm cân bất đẳng thức Cauchy: • Nếu a ≤ P ≤ a ( − 3a= ) 1  3a + − 3a  =   a ( − 3a ) ≤   3 12   x+y+z= x + y + z =   3+ 3−    Đẳng thức xảy  3a =1 − 3a ⇔  xy + yz + zx = ⇔ ( x ; y ; z ) = ; ;0   6  b=0     xyz =  • Nếu a >  a a 1 ⇒ P = f ( a ; b ) ≤ f  a ;  = a − 3a + a − = a ( − 11a ) <    ∀ 0,  a + b + c = P= (b − c ) a+ + b+ c≤ Phân tích hướng dẫn Do toán có b; c bình đẳng nên ta dự đoán đẳng thức b= c= t Khi đó:  a + 2t = ⇒P=  P a +2 t = − 2t + t Bằng khảo sát hàm ta thấy P ≤ ⇔ t = Như vậy, sau đoán đẳng thức bước dùng Cauchy-Schwarz Tại lại nghĩ tới bất đẳng thức này, có dạng x + y + z +  … Tuy nhiên dùng Bunhia phải thật khéo léo Sẽ có hai hướng nghĩ tự nhiên mà ta xét đầu tiên:  b − c)  ( + * P ≤  a +     ( b+ c ) 2  b − c)  (  + x b +y c *P ≤ a +     ( ) + ((1 − x ) Nhưng vế trái có xuất b + (1 − y ) c ) nên ta loại trừ ( 1) Vấn đề để vai trò b; c bình đẳng ta phải chọn: y= − x Khi đó, ta phải tìm x để: LOVEBOOK.VN | 51 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission  b − c)  a+ (  + x b + (1 − x ) c     ( ( ) + ((1 − x ) b+x c ) ≤1 ) (b + c ) + 16x (1 − x ) bc ≤ (1 − a)= (b + c ) ⇔ ( b − c ) + ( b + c ) ( x + ( − x ) − 1) + 16 x ( − x ) bc ≤  * () ⇔ ( b − c ) + x + (1 − x ) 2 2 Một suy nghĩ tự nhiên bất đẳng thức (*) cần có GTLN b = c nên ta không nghĩ tới việc (*) phải phân tích nhân tử Ta cần chọn x để: 4( x + (1 − x ) − 1) 16 x ( − x ) =− 1 ⇒x= 2 Ta có lời giải đẹp sau, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số: (  b − c)  (  + P ≤ a +     b+ c ) +( b+ c ) Ta chứng minh bất đẳng thức sau để hoàn thành toán:  b − c)  a+ ( +     ( b+ c ) +( b+ c ) ≤1 ) ( ⇔ ( b − c ) − b + c − bc ≤ ( Bất đẳng thức cuối do: ⇔ ( b+ c ) b− c )  ( b+ c )  − 2 ≤  ≤ (b + c ) ≤ (a + b + c ) = Vậy toán giải quyết, maxP = a= b= c=    Bài 4: Cho a ; b; c > Tìm giá trị nhỏ của: P= ( a + c )( a + 4b + c )( a + b + c ) (( ) abc a + b + c + ab + bc + ca ) Phân tích hướng dẫn: Có hai nhận xét cần ý: • Đây bất đẳng thức bậc nên giả sử: a + b + c = Tại lại chọn đại lượng tổng mà không chọn đại lượng khác Đơn giản biểu thức có nhiều biểu thức biểu diễn tổng • Vai trò a ; c bình đẳng nên đoán đẳng thức a = c Khi ta có: P= 18 ( − b )( b + 1) ( abc a + b + c + ) Do có tổng nên suy nghĩ tự nhiên thử xem bất đẳng thức sau hay sai: ( 2 abc a + b + c + 52 | LOVEBOOK.VN ) (a + c) ≤ b 2   a + c)  b + ( +   * ()     Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission b2 + a2 + c + ⇔ b (a + c) + (a + c) ≤ ac +1 (a − c) (a − c) ⇔ ≤ ac   a + c) (   +1 b +   2   ⇔ ac ≤ 2b + ( a + c ) + 2 ⇔ 2b + ( a − c ) + ≥      Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Do đó, từ (* ) suy ra: P≥ 18 ( − b )( b + 1) (a + c) b 144 ( − b )( b + 1) =  b ( − b ) 2b + ( − b ) + + 1    a + c)  b + (   144 ( b + 1) = = 144 f ( b ) b ( − b ) 3b − 6b + 11 ( Xét hàm số: f ( x ) = ( x+1 ( ) x ( − x ) x − x + 11 ) ( 0; ) hàm phức tạp đạo hàm ngay, nhiên có phương pháp để tính đạo hàm hàm số sau: ( ln f ( x= ) ln ( x + 1) − ln ( x ) − ln ( − x ) − ln 3x − x + 11 ⇒ ) ) f ′( x) 1 6x − = − + − f ( x ) x + x − x 3x − x + 11 Sau giải ta có: f ′ ( x ) = ⇔ x = Do ta có: f ( x ) ≥ f ( 1)= ,  ∀x ∈ ( 0; ) 144 = 18 Vậy minP = 18 a= b= c  Suy ra: P ≥ 144 f ( b ) ≥ CÒN NỮA… LOVEBOOK.VN | 53 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Xét tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c với a ≠ f ( x) viết lại dạng tương đương là:  b  ac − b f ( x) =a  x +  + 2a  4a  Từ đẳng thức đơn giản đồ thị hàm số tam thức bậc hai ta rút số quan hệ dấu f ( x) với a ∆ , từ đến số tính chất tam thức bậc hai để áp dụng chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức y y x x Đồ thị hàm số y = f ( x) a > Đồ thị hàm số y = f ( x) a < Một số tính chất tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức a Định lí dấu tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c với a ≠ Ta có af ( x) ≥ 0, ∀x ⇔ ∆= b − ac ≤ Chứng minh: 2    b  ac − b  b  ( b − ac )  = a2  x +  − , nên Ta có af ( x) = a  a  x +  + 2a  4a  2a      af ( x) ≥ 0, ∀x ⇔ ∆= b − ac ≤ b Định lí đảo dấu tam thức bậc hai Nếu tồn số α cho af (α ) < phương trình f ( x) = có nghiệm phân biệt x1 < α < x2 Chứng minh: Giả sử ∆ ≤ , ta có af ( x) ≥ 0, ∀x nên af (α ) ≥ 0, ∀α ∈ R trái với giả thiết Vậy ∆ > tức phương trình có hai nghiệm phân biệt Giả sử α ∉ ( x1 , x2 ) , suy af (α ) ≥ , trái với giả thiết Vậy α ∈ ( x1 , x2 )  Nếu tồn số α cho af (α ) ≤ phương trình f ( x) = có nghiệm Hệ Nếu tồn hai số thực α , β cho f (α ) f ( β ) ≤ phương trình f ( x) = có nghiệm Trong trường hợp tìm α , β thỏa f (α ) f ( β ) < suy phương trình f ( x) = có nghiệm phân biệt ∆ > 54 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Sử dụng tam thức bậc để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Tôi không muốn nêu phương pháp cụ thể, áp đặt tư bạn Chúng ta tìm hiểu phương pháp qua ví dụ minh họa  x + y + z = cho x đạt giá trị lớn Ví dụ Tìm ba số thực x , y , z thỏa mãn hệ  2  x + y + 3z = (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh 2006-2007) Lời giải Từ phương trình thứ hệ, ta có z = − x − y , thay vào phương trình thứ hai, ta x + y + 3(1 − x − y)2 =4 ⇔ x + y + 3(1 + x + y − x + xy − y) =4 ⇔ y + 6( x − 1) y + x − x − = (*) Để tồn giá trị y để x đạt giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) phương trình (*) phải có nghiệm, tức ta phải có ∆′ ≥ ⇔ 9( x − x + 1) − 20 x + 30 x + ≥ ⇔ −11x + 12 x + 14 ≥ ⇔ Theo trên, ta có x ≤ − 190 + 190 ≤x≤ 11 11 + 190 Vì ta cần tìm giá trị lớn x , nên ta đẳng thức 11 + 190 + 190 xảy giá trị giá trị lớn x 11 11 Theo phương trình bậc (*) x= −6( x − 1) −3( x − 1) 15 − 190 + 190 ⇔ ∆= ⇔ y= = = 11 2⋅5 55 Thay y vào phương trình (1), ta rút x= z =1− x + Vậy y = 3( x − 1) −2( x − 1) 10 − 190 = = 55 5 + 190 15 − 190 10 − 190 + 190 x = nên giá trị lớn x  = ,z 11 11 55 55 Bình luận:  15 − 190 10 − 190  Rõ ràng trường hợp đẳng thức xảy lẻ  y = = ,z  , để dự đoán   55 55   khó Hoặc dự đoán ta khó đánh giá Phương pháp tam thức bậc hai giúp ta giải cách dễ dàng Câu hỏi đặt là: Nếu từ phương trình hệ, ta rút y = − x − z đưa phương trình bậc theo z có không? Câu trả lời là: hoàn toàn có! Bạn đọc kiểm chứng Bạn đọc nhận là, ta đưa phương trình bậc theo y theo z đưa phương trình bậc theo x Tức ta đưa phương trình bậc cho biểu thức ta cần tìm giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) tham số phương trình bậc Chúng ta xét ví dụ để hiểu rõ Tìm GTLN GTNN biểu thức: Ví dụ Cho số thực x , y thoả x + y + xy − 6( x + y) + 11 = = P 2x + y Lời giải LOVEBOOK.VN | 55 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission Rõ ràng điều kiện giả thiết phương trình bậc hai theo biến x theo biến y , mặt khác biểu thức P đa thức bậc hai ẩn x , y nên ta rút x (hoặc y ) theo P thay vào giả thiết, để phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y ) với P tham số phương trình bậc hai Rút y= P − x , vào giả thiết ta có: x + ( P − x)2 + ( P − x)x − 6( P − x) + = ⇔ 3x − (3P − 6)x + P − P + = Coi phương trình bậc ẩn x , để P có GTNN GTLN phương trình phải có nghiệm Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm = ∆ (3P − 6)2 − 12( P − P + 5) ≥ ⇔ −3( P − 12 P + 8) ≥ ⇔6−2 ≤ P≤6+2 Ta có P = − ⇔ ∆ = ⇔ x = 3P − = − nên giá trị nhỏ P − 2.3 3P − = + nên giá trị lớn P + 2.3 Bài toán giải xong  P= + ⇔ ∆= ⇔ x= Tìm giá trị lớn Ví dụ Cho số thực không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = P =9 xy + 10 yz + 11zx Lời giải ta có z = − x − y , ta có Để ý rằng, với giả thiết x + y + z = P= xy + 10 yz + 11zx= xy + z(10 y + 11x)= xy + (1 − x − y)(10 y + 11x) Khai triển rút gọn, ta thu P= −11x − 10 y + 11x + 10 y − 12 xy , tương đương với 11x + (12 y − 11)x + 10 y − 10 y + P = (*) Coi tam thức bậc hai ẩn x , để P tồn giá trị lớn phương trình (*) phải có nghiệm, tức = ∆ (12 y − 11)2 − 44(10 y − 10 y + P) ≥ Hay −296 y + 176 y + 121 − 44 P ≥ Tương đương với P≤− 74  22 121  y − y−  11  37 296  Dùng phép tách thành bình phương, dễ dàng nhận thấy 22 121  11  5445 5445 ≥− y − y− = y−  − 37 296  37  10952 10952 Từ đó, suy  74   5445  495 P ≤  − . − =  11   10952  148 56 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission  11  y = 37  495 11 − 12 y 25  Đẳng thức xảy chỉ=  x = nên ta kết luận giá trị lớn P  148 2.11 74  27   z = − x − y = 74  Bình luận: Một lời giải nhẹ nhàng, ý tưởng tự nhiên, bắt nguồn từ việc đưa biểu thức từ biến biến biến (sau xét ∆ ), qua cho ta thấy hiệu phương pháp Hoàn toàn tương tự, ta dùng ý tưởng để chứng minh toán có dạng: k Tìm giá trị lớn của: Cho số thực không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = P = mxy + nyz + qzx Tất nhiên, số m, n, q, k phải thỏa mãn điều kiện định P có giá trị lớn Mình xin dành cho bạn đọc CÒN NỮA… Tác giả : NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN Giá bìa cuốn: 179.000đ _ Đặt sách Lovebook phiên 2.0: https://goo.gl/XeHwk5 Giải đáp thắc mắc sách Lovebook: http://vedu.vn/forums/ Tài liệu Lovebook chọn lọc: http://tailieulovebook.com Kênh giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG LOVEBOOK.VN | 57 [...]... “form” chung cho các bài toán bất đẳng thức như sau: 1 Đọc kĩ đề, mắc nối giả thiết và kết luận với nhau 2 Thử dự đoán dấu bằng xảy ra 3 Lựa chọn phương pháp theo trình tự: 1 Công cụ mạnh: • Phương pháp dồn biến • Phương pháp phân tích bình phương • Bất đẳng thức Schur 2 Bất đẳng thức cổ điển: • Bất đẳng thức Cauchy • Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz • Bất đẳng thức Holder • Bất đẳng thức Jensen • … 3 Phối hợp... c )(c + a) ≤  + 1  ( a + b)(b + c )(c + a) 8  Đẳng thức xảy ra khi a= b= c  = a xy = , b yz = , c zx thì bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức 8 Bất đẳng thức đúng vì khi ta đặt a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca Luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z hoặc y= z= 0 hoặc x= y= 0 hoặc z= x= 0  LOVEBOOK.VN | 23 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên bản 2.0 Your dreams – Our mission III... minh bất đẳng thức, đó là ta tìm cách đưa bất đẳng thức về dạng đồng bậc (thuần nhất), khi đó sẽ có nhiều ý tưởng chứng minh hơn (hoặc công việc chứng minh của ta dễ nhìn ra hơn) Rõ ràng vế trái là một biểu thức bậc 3, vế phải là một biểu thức bậc LOVEBOOK.VN | 25 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên bản 2.0 Your dreams – Our mission 2 nên ta sẽ đưa về đồng bậc 3 Để ý rằng 4 = 3 abc , nên ta đưa bất. .. nhiên, bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức phụ số (4) nên bài toán được chứng minh xong 5 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số: a2 b + 2 ab + b2 a + 2 ba ≥ a2 b2 a2 b2 + = + b + ( a + b ) a + ( b + a ) a + 2b b + 2 a  a2 1 a + 2b   b 2 b + 2 a  2 a 2b a2 b2 + + + ⇒ + ≥ ( a + b)   +   ≥ 9   b + 2a 9  3 3 a + 2b b + 2 a 3  a + 2b 24 | LOVEBOOK.VN Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức. .. y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) ≥ 3 ( xy + yz + zx ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z  5 Biến đổi tương đương ta thu được bất đẳng thức đúng: ( a− b ) 2 ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b  6 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 ( a + b )( a − b ) ≥ 0 , luôn đúng 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b  7 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ( a + b)(b + c )(c + a) ≥ 2 ab 2 bc... a + b ) + ( b + c ) + ( c + a )= 2( a + b + c ) Mặt khác, theo bất đẳng thức quen thuộc thì: ( a + b + c )2 ≥ 3( ab + bc + ca) = 3 Do đó P ≥ 2 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 3  26 | LOVEBOOK.VN 3 3 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên bản 2.0 Your dreams – Our mission B Sử dụng hằng đẳng thức: ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) 2... 39 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên bản 2.0 Your dreams – Our mission 2  1   3 ⇔ a−  2 3 +  ≥ 0 a 3   Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên (* ) đúng Do đó, ta có ba bất đẳng thức sau: 1  2 1  − a ≥ −2 3  a −  − 3  a  1  2 1  − b ≥ −2 3  b −  − 3  b 1  2 1  − c ≥ −2 3  c −  − 3   c 1 + 3 3 1 3 1 3 + 3 + 3 Từ đó ta có ( 3 ) P ≥ −2 3 a 2 + b 2 + c 2 − 1 − Đẳng. . .Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên bản 2.0 Your dreams – Our mission 9 7 ( a + b + c )( ab + bc + ca) ≤ ( a + b)(b + c )(c + a) 8 8 x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xyz( x + y + z) Chứng minh: 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương ta có: 1 1 2 a + b ≥ ab ,   a + b ≥ 2 ab  Từ đó ta thu được 1 1 2 4 4 + ≥ = ≥ a b ab 2 ab a + b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b  2 Áp dụng bất đẳng. .. 38 | LOVEBOOK.VN 9 2 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên bản 2.0 Ta có (* ) ⇔ a (1 − a ) 2 Your dreams – Our mission 2     9 1 3 1   3(3 − a) 9  1  9 ( 3 − 2a ) ≥ a− + ⇔ a−  − ≥ 0 ⇔ a−  ≥0 2 3 4 3   4 (1 − a )2 2  3  4 (1 − a )2     Lưu ý rằng a , b , c > 0, a + b + c = 1 ⇒ a < 1 < 3 2 Do đó, bất đẳng thức (* ) đúng Như vậy ta sẽ có ba bất đẳng thức sau:  9 1 3 ... + 1 2 2  1 3 x+ 2 + 4   ≤ 4 3 ≥3 ⇒t≤ 4 3 3 ?) Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên bản 2.0 Mặt khác, 3t= 2 x2 + x + 1 ⇒ x 2 + x= Your dreams – Our mission  4  4 8 − 1 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 1= 2  2 − 1  + 1= −1 2 9t 9t 2  9t  Khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức 1 biến t với 0 < t ≤ 4 3 3 8 − 1 ≥ 3 − 3t 9t 2 4 3 3−4 > 0 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương Thật vậy, vì 3 − 3t ≥ ... 21 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức – Phiên 2.0 Your dreams – Our mission PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Bất đẳng thức. .. , c zx bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức Bất đẳng thức ta đặt a + b + c ≥ ab + bc + ca Luôn Đẳng thức xảy x= y= z y= z= x= y= z= x=  LOVEBOOK.VN | 23 Trích đoạn Công phá Bất đẳng thức –... dụng bất đẳng thức cổ điển, bất đẳng thức phụ ý tưởng nhỏ PHẦN V: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Dạng sử dụng loại bất đẳng thức II Phương pháp dồn biến bất đẳng thức lượng giác PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP