Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXY GIA ĐÌNH LOVEBOOK biên soạn Đội ngũ anh em tham gia: Nguyễn Anh Văn, Lê Hoàng Nam, Nguyễn Hà Ngọc Thiện, Hoàng Thị Ngọc Ánh, Nguyễn Ngọc Huyền, Bùi Quang Nhật Phiên 2.0 có thêm tham gia đệ Nguyễn Đình Huynh Nxb: ĐH quốc gia HN Số trang: 496 trang khổ A4 Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015 Giá: 179.000 vnđ _ Đặt trước sách Lovebook phiên 2.0: https://goo.gl/XeHwk5 Giải đáp thắc mắc sách Lovebook: http://goo.gl/A7Dzl0 Tài liệu Lovebook chọn lọc:http://goo.gl/nU0Fze Kênh giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission NHÌN LẠI CÂU HÌNH HỌC PHẲNG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2015-VÀ CUỐN CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐÃ GIÚP GÌ CHO CÁC BẠN Câu 8: [Đề thi quốc gia 2015] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vuông góc A cạnh BC; D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vuông góc C đường thẳng AD Giả sử H(-5;-5), K(9;-3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x-y+10=0 Tìm tọa độ điểm A Bình luận: Chắc nhiều bạn làm tìm lời giải cho toán không  Bài viết xin giới đến bạn cách mà theo quan sát tài liệu mạng chưa trình bày theo hướng Nào let’s go ;) Chúng ta phác thảo hình vẽ nhé: Phân tích:  Trước tiên, ta vẽ hình cách chuẩn xác từ kiện nhỏ nhất, dễ thấy Đó tam giác ABC vuông A với đường cao AH Từ kiện này, ta suy tích vô hướng vecto tương ứng 0, dễ để suy phương trình có hiệu hay không phải cân nhắc Tiếp theo, D điểm đối xứng B qua H, ta dễ suy tam giác ABD có đường cao AH đồng thời trung tuyến, suy tam giác ABD cân A, từ ta lại có thêm giả thiết cạnh góc  Tiếp theo, kiện khó nhìn hơn, thực lại mấu chốt, góc vuông giả thiết Cạnh AC điểm H nhìn góc vuông, điểm K nhìn cạnh AC góc vuông vậy, theo giả thiết Từ dễ nhận thấy AHKC tứ giác nội tiếp, nhiên, ta phải cân nhắc Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission dùng tính chất Gọi M trung điểm AC, dễ thấy M tâm đường tròn nội tiếp Điểm M hoàn toàn tìm nhờ việc xâu chuỗi giả thiết đề Tham số hóa điểm M, ta phương trình, lại có MH=MK nên M thuộc đường trung trực HK, ta có phương trình Giải hệ vừa lập được, ta có tọa độ điểm M  Đến đây, phải suy luận để MẤU CHỐT BÀI TOÁN LÀ THẤY ĐƯỢC HA=HK … cách để xác định ta biết như: kẻ hình xác dùng thước ( cách hện xui :D tính logic hết), Còn khác đáp án mà bạn đọc kiểu suy luận: HKA  HCA mà ACH  BAH  HKA  HAD nên tam giác AHK cân H, suy HA=HK Nếu bắt suy  HAB  HAD luân kiểu bàn toán khó… VÌ có nhiều kiện… để liên hệ lại…  Minh tin bạn biết đến đinh lý toán dễ: Tính chất quen thuộc để ý : góc nội tiếp chắn cung góc Nhưng bạn có để ý đến : góc nội tiếp chắn cung khác cung VD: BAD  DAC  BD  DC định lý có sách giáo khoa lớp  Như giả sử bạn biết tính chất số nói áp dụng vào nha A B C H Khi gặp tam giác vuông bạn quen thuốc với kiện BAH  BCA Dữ kiện tam giác BAC cân dễ dàng đưa ta đến suy nghĩ BAH  HAK Từ kiên ta có HAK  ACH HAK chắn HK, HCA chắn cung AH nên ta có AH=HK Bài toán coi giải Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Cuốn CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH nhóm viết đưa tính chất vào phần lí thuyết sách Và bạn đọc , nhóm sử dụng tích chất để giải toán toán tương tự, toán – phần tập lớn trang 246 phiên 1.0 Rất vui nhiều bạn sau thi xong gửu lời cảm ơn đến nhóm tác giả giúp bạn giải cách dễ dàng Điều muốn nói ? nguy hiểm bạn đến tính chất kết không cần chứng minh, trường hợp (SGK lớp 9) Theo đáp án bạn phải chứng minh… gặp toán toán biến đổi hình bạn lại không biêt đường mà sử dụng lại phải mò cách suy luân để – khó Trích câu trang 246 Bài 1: Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có A  4;3 , đường phân giác góc A có phương trình x – y –1=0  3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I  2;  Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC  2 gấp lần diện tích tam giác IBC Bài giải: IA =  25   (C):  x -2 +  y -  =  2 Tọa độ D nghiệm hệ phương trình:   x – y –1=0  x =   -1   D ;    25    2    x -2 +  y -  =  y = -1  2   AD phân giác góc BAC  BAD=DAC  BD=DC  D điểm cung BC  ID  BC yx -2  -8x+6y +7=0 Phương trình  ID : = -1 -2 2 -6.2- +m SΔABC =2SΔIBC  d  A;  BC   =2d  I;  BC    -6.48.3+m  =2  m - 48 =2 m -24  m =0  2 2 MàID  BC  (BC):-6x –8y +m =0  +8 +8  Vậy phương trình  BC :3x+4y =0 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission XIN MỜI CÁC EM THAM KHẢO TRÍCH ĐOẠN CUỐN SÁCH CỦA NHÓM PHIÊN BẢN 2.0 PHẦN 2.TỪ BÀI TOÁN GỐC HÌNH HỌC PHẲNG ĐẾN BÀI TOÁN GIẢI TÍCH PHẲNG Bài toán gốc 2: Cho hình chữ nhật ABCD có K trung điểm CD Gọi H, M hình chiếu B AC trung điểm AH Chứng minh BM  MK Chứng minh ME AB KC  Gọi E trung điểm HB suy ME đường trung bình HAB nên  AB ME   KC Do tứ giác MECK hình bình hành Mà ME  BC suy E trực tâm tam giác AMC  CE  MC Mặt khác CE MK nên ta suy BM  MK Ta có điều phải chứng minh  Nhận xét: toán gốc này, ta không trọng vào tính chất mà phải biển đổi dựa kết gốc Để hiểu rõ đến với số toán sau Bài toán 2.1 Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B, C thuộc d1 : 2x  y   0, d2 : x  y   Gọi H  2 hình chiếu B xuống AC Biết M  ;  , K  9, 2 trung điểm AH CD 5 5 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết điểm C có hoành độ lớn  Phân tích Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Giả thiết toán đề cập xoay quanh điểm M, K, B, C Sau vẽ hình xong, việc mà hẳn thường làm tìm ba điểm có mối quan hệ đặc biệt với Bằng cách áp thước thật xác, nhận BM  MK Khi xác định đươc điều này, không hẳn mực tin tính chất Dựa giả thiết toán, hai điểm cho sẵn M, K Hơn điểm lại phần yêu cầu toán Khi thừa nhận để sử dụng tính chất Sau công đoạn đầu xong xuối, tìm cách để chứng minh tính chất Thật khó nguyên si hình mà ta chứng minh Bằng cách nên tạo thêm điểm đặc biệt có ích Chúng ta nên xuất phát từ điều cần chứng minh, BM  MK Một lời khuyên ta nên tạo thêm điểm cho xuất đường khác vuông góc với BM MK Mà toán cho hai điểm M, K trung điểm, ta cần đường song song, nên chọn MK thích hợp để dễ kẻ đường song song Bây công việc dẫn dắt đến tìm đường song song với MK Ta mạnh dạn dê thước từ từ vói phương trình với phương đường MK và dừng lại điểm cố định Kĩ việc sau kẻ, điểm lại có mối liên hệ với điểm cho sẵn, để thuận tiện việc chứng minh Chọn điểm C để bắt đầu vẽ Ta kẻ đường thẳng qua C song song với MK Lấy giao điểm với cạnh BH E Theo cách dực ta có nhận xét BE  MC CE  BH suy E trực tâm tam giác MBC Từ suy trung điểm BH Đây mục đích chúng ta, tìm chất điểm cần dựng thêm Và ngược từ lên trên, ta chứng minh Bây tính tìm điểm lại Còn giả thiết chưa đụng đến điều kiện tọa độ điểm C Vì ta nhắm tới điểm C trước Một suy nghĩ nhanh nhẹn có điều kiện có hai nghiệm để loại Với điểm M nằm trơ không lợi dụng Còn lại hai điềm B, K Lại có BC.CK  nên việc tìm C coi xong Kế đến, xét với M trung điểm AH nên việc tìm H giúp tìm A Mà BH  MC nên coi xong việc tìm H , kế tìm A qua tâm hình chữ nhật tìm D Lời giải: ME AB KC  Gọi E trung điểm HB suy ME đường trung bình HAB nên  AB ME   KC Do tứ giác MECK hình bình hành Mà ME  BC suy E trực tâm tam giác AMC  CE  MC Mặt khác CE MK nên ta suy BM  MK Phương trình đường thẳng BM qua M vuông góc MK 9x  2y  85  9x  2y  85  x    B 1;  Tọa độ điểm B nghiệm hệ  2x  y   y  c   C  9;  xC    C  9;  Gọi C  c; c  5 , ta có BC.CK    c  92c      c   C  4; 1 Phương trình đường thẳng BH : 2x  y   Phương trình MC : x  2y   Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission  13 x  2x  y     13  Tọa độ điểm H nghiệm hệ    H  ;   A 1; 0 x  2y    5  y   Từ suy tâm hình chữ nhật 5; 2 suy D  9; 0 Bài toán 2.2 Cho hình thang ABCD vuông A, D có CD  2AB Gọi H hình chiếu D lên AC Điểm  22 14  M  ;  trung điểm HC Biết đỉnh D 2; 2 điểm B thuộc d : x  2y   Tìm tọa  5  độ đỉnh hình thang ABCD  Phân tích Đọc qua đề toán, tính ý nhận câu văn có quen thuộc, khác hình thang với điều kiện độ dài hai đáy? Phần thiếu phần lo, liều mà nối thêm vào cho trọng vẹn hình chữ nhật xem? Dựng hình chữ nhật ADCE , vẽ điểm giả thiết đưa Thật tuyệt vời! Bài toán thay đổi nhiều ngoại trừ cắt xén phần thừa Đến bạn yên tâm mà chiến đấu với Tuy với bạn xa lạ với toán này, nghĩ thêm phương pháp mới, phương pháp TỌA ĐỘ HÓA Về phương pháp nên áp dụng cho toán có tính đối xứng có giả thiets đặc biệt Ta thường chọn ba điểm để làm gốc Do hình thang vuông A D nên ta chọn điểm A D làm gốc, từ biểu diễn điểm lại theo ẩn thực phép toán chứng minh Một điều cần lưu ý thêm toán với hình thang có tỉ lệ độ dài hai cạnh đáy việc ứng dụng IB IA AB    , tính chất ứng dụng định lí Thales để xây dựng qun hệ tọa độ Xét ID IC CD nhiều Sau chứng minh DM  MB ta tìm tọa độ B , áp dụng công thức ID  2IB  tọa độ I Viết phương trình DH AC ta tìm H suy tọa độ C A Lời giải: c  Chọn hệ trục tọa độ vuông góc với A  0; a  , B  ;a  , C  c; 0 , D 0, 0 2  Phương trình đường thẳng AC : ax  cy  ac  Phương trình DH : cx ay    a2c ax  cy  ac  ac2  c  2a2c ac2 Tọa độ điểm H thỏa:   H  2 ; 2   M  ;  a2  c2 a2  c2 cx  ay   a c a c           Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Do DM.MB     4a  c  ac2 c3  2a2c  ac2 ac2  2a3 2 Your dreams – Our mission    DM  MB Phương trình đường thẳng BM qua M vuông góc với MD 3x  y  16  3x  y  16  x    B  4;  Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ  x  2y   y  Gọi I  AC  BS theo Thales ta có AB IB IA  10 10      DI  2IB  I  ;  CD ID IC  3  Phương trình AC qua I M x  2y  10  Phương trình DH : 2x  y    14 x x  2y  10     H  14 ; 18   Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ     5  2x  y   y  18   Do M trung điểm HC nên suy tọa độ C  6; 2 Từ đẳng thức CI  2IA  A  2; 4 Bài toán gốc 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C Chứng minh IA  EF Chứng minh Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với  I, IA  Do BEC  CFB  90  tứ giác BFEC nội tiếp suy AFE  ECB (do bù với BFE ) Mặt khác ta có xAB  ACB (cùng chắn AB ) nên suy xAB  AFE suy Ax EF Mà Ax  IA nên IA  EF Hay ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn C : x2  y2  Đường thẳng AC qua K 2; 1 Kẻ hai đường cao BM CN Biết phương trình MN : 4x  3y  10  hoành độ A dương Tìm tọa độ điểm A, B, C Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission  Phân tích Đọc xong toán, bước đầu nhắm đến xem tìm trước Bây mà lấy giao điểm MN đường tròn  C  tạo hai điểm không liên quan Vì ta cần lồng ghép giả thiết với Từ phương trình đường tròn, ta có O  0; 0 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo tư tức thời có điểm, phương trình đường thẳng ta cố gằng tìm hai đường thẳng vuông góc song song với đường thẳng MN Từ phương đường MN , cầm thước rà theo phương vuông góc với MN , ta phát mối liên hệ MN  IA Nếu muốn thử lại vẽ hình vẽ khác để kiểm chứng, thấy Vậy bắt tay vào để chứng minh Nhẩm lại phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chứng minh đường song song với đường khác vuông góc với đường IA Theo “hình địa”, ta thấy IA bán kính đường tròn, nên cách đơn giản để tìm đường vuông góc với IA kẻ tiếp tuyến Ax với  C  tai A Ta hướng mục đích tới chứng minh MN Ax Phản xạ cố gắng chứng minh ANM  NAx , hai góc so le trong, để im manh mối Bây ta cần “cầu nối” bắc trung gian hai góc Ta có nhận xét NAx  ABC (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp) Vậy để xem liệu ANM  ACB? Vì hai góc vị trí xa lạ, ta lại tiếp tục dùng “cầu nối” để khẳng định chúng Bằng việc quan sát hình vẽ, kết hợp tứ giác BNMC nội tiếp, ta có thêm nhận xét ACB  BNM  180, ANM  BNM  180  ACB  ANM Công việc chứng minh hoàn tất Sau đó, ta vẽ viết phương trình IA Do giả thiết đưa điều kiện A nên dễ dàng loại nghiệm Để ý giả thiết sót lại điểm K , thường cho điểm có tính chất để ta viết phương trình chứa Do A có sẵn nên ta viết phương trình AC, từ tìm tọa độ C Yêu cầu toán lại điểm B Ta viết phương trình BM qua M vuông góc với AC Lấy giao điểm với  C  ta tìm B Phát sinh thêm điều hai điểm B Để xem giả thiết ta chưa dùng? Đây điều dễ bỏ qua mà không để ý, tam giác ABC nhọn, ta cần xét BA.BC phân biệt Lời giải: Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với  I, IA  Đường tròn  C  tâm O 0; 0 , bán kính R  Do BMC  CNB  90  tứ giác BNMC nội tiếp suy ANM  MCB (do bù với BNM ) Mặt khác ta có xAB  ACB (cùng chắn AB ) nên suy xAB  ANM suy Ax MN Mà Ax  IA nên IA  MN Phương trình đường thẳng IA qua I vuông góc với MN 3x  4y   3x  4y  x  16 x  4  Tọa độ điểm A thỏa mãn  2  y  (do x A  )  A  4; 3 x  y  y   x   Phương trình đường thẳng AC qua A K x  3y    x  3y   x  x  4 Tọa độ điểm C nghiệm hệ:  2    C 5; 0 x  y  y  y   Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission x  3y   x  1   M  1; 2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  4x  3y  10  y  Phương trình đường thẳng BM qua M vuông góc với AC 3x  y    x   B  0; 5 3x  y    y    Tọa độ điểm B thỏa mãn  2  x  3 B  3; 4  x  y     y  4 Với B 0; 5  BA.BC  40   B tù, loại trường hợp Với B  3; 4  BA.BC  20   B nhọn, thỏa mãn, suy B  3; 4  Bài toán 3.2 9 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I  ;  có phương trình đường thẳng BC  2 x  3y   Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B C thỏa mãn EF  2 biết điểm K 6; 1 thuộc AC, diện tích AEIF tung độ điểm C âm Tìm tọa độ đỉnh A, B, C  Phân tích Đọc xong toán, giọng điệu toán nghe quen quen, đọc toán lần thứ hai, hẳn thấy quen thuộc Không lâu để nhớ lại tính chất IA  FE Coi phần toán trở nên nhẹ nhõm Nhưng nhìn lại thấy tính chất chưa có tác dụng cho Đọc thêm giả thiết diện tích độ dài, cho hẳn có liên quan đến Để ý tiếp EF, IA đường chéo tứ giác AEIF Ta tìm mối liên hệ chúng Một công thức quen thuộc diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với SAEIF  IA.EF Từ suy độ dài IA  R viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Thật may mắn có phương trình BC, đặc biệt điều kiện tọa độ điểm C Hướng hoàn toàn hợp lí Yêu cầu toán tìm điểm A Còn giả thiết chưa dùng đến điểm K Có C; K ta viết phương trình AC, lấy giao điểm với  I, IA  ta suy tọa độ A Xét thấy điều kiện thêm, ta kết thúc toán Lời giải: Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với  I, IA  Do BEC  CFB  90  tứ giác BFEC nội tiếp suy AFE  ECB (do bù với BFE ) Mặt khác ta có xAB  ACB (cùng chắn AB ) nên suy xAB  AFE suy Ax EF 10 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission 1)Hướng : chứng minh tứ giác BHCG hình bình hành, tìm G giao AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác , sau tìm trung điểm M BC trung điểm HG Lập BC qua M vuông góc với JM, tìm giao với đường tròn tìm B C 2)Hướng : chứng minh AH  2JM , sau tìm M , thực tế làm gần tương tự cách Mình làm cách , cách bạn coi tập tự rèn luyện A E F H I K J D B C G Lời giải Gọi E F chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC Gọi giao điểm AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G   ADB  ACG  90 Xét tam giác ABD ACG có   ABD ACG  g.g   BAD  JAC 1 ABD  AGC   Mặt khác ta có EFBC nội tiếp  AEF  ABD 2 Từ (1) (2) suy AJ  FE 1 Ta có tứ giác HIDK nội tiếp (vì I  K  900 ) Suy HIK  HDK (góc nội tiếp chắn cung HK) Mặt khác HDK  HCD (cùng phụ với DHC ) Suy HIK  HCD  FEB  FE / /IK 2 Từ (1) (2)  IK  JA Ta có nIK  0; 1  nJA  1; 0  JA : x   x   x  1   A  1; 5 Tọa độ điểm A nghiệm hệ  4x  5y  21  y  Gọi M trung điểm BC Ta có EB// CG (cùng vuông góc với AC); CF//BG( vuông góc với AB) Suy BHCG hình bình hành Suy HG qua trung điểm M BC Ta có JM đường trung bình AHG  AH  2JM  M 0; 2 Ta có JM  1; 2  nBC  1; 2  BC : x  2y   Ta có JA   C :  x  1  y  25 2   x  1  y  25  x  4; y  4 Tọa độ B;C nghiệm hệ    B  4; 4  ; C  4; 0  x  4; y   x  2y   Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC A(-1;5);B(-4;-4);C(4;0) 27 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(-3;1) AB vuông góc với  13  BD Gọi N điểm đối xứng C qua D H  ;  hình chiếu vuông góc N lên BC Tìm tọa độ  5 đỉnh B;C;D biết D thuộc đường thẳng x+2y-1=0 N A D B C H Phân tích : Trước hết nhận xét hình bình không thông thường mà có đặc biệt có đường chéo vuông góc với cạnh hình bình hành nên lấy điểm đối xứng C qua D ta thu ANDB hình bình hành đặc biệt , hình chữ nhật Có nhiều góc vuông, sử dụng tứ giác nội tiếp Nhớ tới hình phẳng 2013 khối A có nét tương tự : lấy đối xứng, sử dụng tứ giác nội tiếp Vậy nên hướng làm có lẽ chuẩn  Tương tự hình khối A năm 2013 chứng minh tứ giác ABNH nội tiếp đường tròn đường kính NB D thuộc đường tròn đường kính BN nên điểm A,N;B;D;H thuộc đường tròn đường kính AD Chú ý hình chữ nhật đường chéo đường kính nên điểm thuộc đường tròn đường kính AD Lòng vòng AH DH vuông góc với  ( tương tự khối A năm 2013 không ?) Bây phần Oxy tuần túy : Có tọa độ A H , có thêm DH vuông góc với AH nên lập đường thẳng DH Cũng chủ ý người đề lập đường thẳng DH dễ dàng giải tọa độ điểm D Sau có D việc tìm điểm khác dễ dàng Có A D lâp AD, điểm H chưa dùng  ý H thuộc BC BC//AD nên lập BC qua H song song với AD Vì không lập thêm đường có B C nên chọn cách tham số hóa điểm B sử dụng AB vuông với BD để tìm B (A D biết nên cần giải phương trình bậc ra, ý loại điểm  giống đề thi THPT quốc gia 2015 B trùng H mà không loại điểm ) tìm nốt điểm C biết A,B,D , dễ nhé!!! Vậy trình bày Lời giải Ta có ND//AB ND=AB nên ANDB hình bình hành Mà AB vuông góc với BD nên ABDN hình chữ nhật (1)  NAB  NHB  900  tứ giác ABHN nội tiếp đường tròn đường kính NB(2) Từ (1) (2) suy điểm A;B;H;D;N thuộc đường tròn đường kính BN  AHD  AND  900  AH  DH  28  Ta có AH   ;   nDH  7; 1  DH : 7x  y  20   5 28 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission 7x  y  20  x    D 3; 1 Tọa độ điểm D nghiệm hệ  x  2y   y  1 Ta có BC / / AD  BC : x  3y   Gọi B(8-3b;b) ta có AB  11  3b; b  1 ; DB 5  3b; b  1 b   C  Ta có AB  BD  ABBD   11  3b5  3b    b  1 b  1    (vì B khác H) b   L    B  1; 3 Ta có ABCD hình chữ nhật suy C(5;1) Vậy B(-1;3);C(5;1);D(3;-1) Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2) Gọi E chân đường cao hạ từ đỉnh A; F điểm đối xứng E qua A H(1;-1) trực tâm tam giác FBC Tìm tọa độ đỉnh B;C tam giác , biết diện tích FBC 78 đỉnh B có hoành độ âm Phân tích: Câu nói quen thuộc giải hình : “cứ nói đến trung điểm nghĩ đến đường trung bình” toán cho trung điểm đoạn FE A với câu nói ẩn “F đối xứng với E qua A” nên gọi thêm trung điểm để dựng nên đường trung bình Khi dựng đường trung bình cần ý phải lợi dụng hết hệ thu cặp đường thẳng song song để thu yếu tố vuông góc Đặc biệt ý trực tâm đường cao để vẽ song song vuông góc với chúng Để ý H trực tâm tam giác FBC nên lập đường qua A song song với BF CF để khai thác trực tâm Trong này, trình bày cách kẻ hình song song với BF, cách lại bạn coi tập tự luyện  Gọi P trung điểm BE AP đường trung bình tam giác FEB, suy PA//FB Lại CH vuông với BF nên PA vuông với CH Tới ý kĩ AH vuông với BC nên hiển nhiên H trực tâm tam giác khác FBC tam giác APC, lại suy PH vuông với AC Mặt khác tam giác ABC vuông nên ta thu PH//AB Tới hiển nhiên PH đường trung bình tam giác AEB nên H trung điểm AE Tính chất tới xong, lúc sử dụng kĩ thuật Oxy túy Có H trung điểm AE , có toạn độ H A việc tìm E đơn giản Khi có E tương tự tìm F ( A trung điểm EF) Lập đường BC qua E vuông góc với EF sử dụng nốt điều kiện diện tích để giải  Tham số hóa điểm B C sau sử dụng phương trình diện tích tam giác FBC Một phương trình lại dụng tính chất vuông góc chưa sử dụng , ví dụ BA vuông góc với AC hay BH vuông góc với FC hay CH vuông góc với HB Có phương trình ẩn cần giải nốt B C Bắt ta vào trình bày Lời giải : F Gọi P trung điểm BE Ta có A;P trung điểm FE;BE suy AP đường trung bình tam giác BFE A  FB / / AP Mặt khác CH  FB  CH  AP Ta lại có AH  CP nên H H trực tâm tam giác APC Do PH  AC  PH / / AB E B P 29 C Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission (vì vuông góc với AC) Vì PH//AP P trung điểm BE nên H trung điểm AE  E 1; 4  F 1; 8 Ta có FE  0;12  nBC  0;1  BC : y  4  d F; BC   12 Gọi B(b;-4);C(c;-4) Ta có SFBC  BC.d  F; BC   78  BC  13  b  c  131 Mặt khác FC  BH  FC.BH    c  11  b  12.3    b  1c  1  36 2 Từ (1) (2) suy ta có hệ  c  b  13 b  10; c  B  10; 4  C 3; 4   b  c  13   b  0    b  0    b   ; c  b  c    36    b  c    36     B  8; 4  C 5; 4      B  10; 4  C 3; 4  Vậy tọa độ đỉnh cần tìm  B  8; 4  C 5; 4  Câu : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm cạnh BC cho MC=2MB, tia đối DC, lấy điểm N cho NC=2 ND, biết D(1;-3), điểm A nằm đường thẳng d:3x-y+9=0, phương trình đường thẳng MN 4x-3y-3=0 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Phân tích: Bài toán cho A thuộc đường , thử xem có lập đường chứa A không , AB;AD không được, nên phải chuyển sang hướng tham số hóa điểm A để tìm A Điểm A đường MN ??? Không có diện tích, độ dài khoảng cách nên việc tìm A theo d(A;MN) điều không nên nghĩ tới Vậy nghĩ tới lúc hợp lí , có A theo tham số, có D gọi giao MN AD E để tìm A E lúc dựa vào hệ thức vecto ( có vecto cho phương trình ẩn để tìm E A) cần tìm tỉ lệ ED AD, chứng minh tỉ số độ dài không khó không 1 bạn  Nhận thấy ED đường trung bình tam giác MEN nên  ED  MC  BC  AD  AD  3ED , 3 sau tham số A E giải A E nhờ hệ phương trình vecto Có A chuyện đơn giản trước có A Có A D lập AD , sau lập CD vuông góc với AD tìm giao điểm CD với MN N Vì D trung điểm NC nên có D N việc tìm C đơn giản  tìm A;C có D cần tìm nốt B theo tính chất giao điểm đường chéo hình chữ nhật trung điểm đường B A M E N C D 30 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Lời giải Gọi E giao điểm AD MN Ta có ED//MC D trung điểm NC, suy ED đường trung bình tam giác MCN 1  ED  MC  BC  AD  AD  3ED 3 Do A nằm đường thẳng d:3x-y+9=0, suy tọa độ điểm A có dạng:A(a;3a+9)   Do E nằm đường thẳng MN:4x-3y+3=0, suy tọa độ điểm E có dạng E  e; e     31  e    a a  3e  2 a  2  Ta có AD  3ED       A  2; 3  3 3  e    3  3a  3a  4e  6 e     Ta có AD  3; 6  nCD  1; 2  CD :  x  1  2 y  3   x  2y   4x  3y   x  3   N  3; 5 Tọa độ điểm N ngiệm hệ phương trình  x  2y   y  5 Ta có D trung điểm CN nên ta có C 5; 1  B 2; 5 Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật cần tìm A  2; 3 ; B 2; 5 ; C 5; 1  21  Câu 9: Trong mặt phẳng với trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B  ;  Phương trình tiếp tuyến  5 A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x+2y-7=0 Đường phân giác góc A cắt BC kéo dài điểm E(9;3) Tìm tọa độ đỉnh A,C biết A có tung độ dương Phân tích: Bài tính chất hay mà có lẽ nhiều đề thi thử đề cập Tuy nhiên bạn chưa tiếp xúc qua việc giải toán dễ, việc kẻ hình phụ khó chịu Đề cho điểm B E nên lập phương trình BC trước đã, bí tham số điểm C để giải C Nhưng nhắc lại đừng nghĩ tới việc tham số trước nghĩ cách lập đường khác để tìm tương giao Ngoài kiện tọa độ điểm B E đề cho thêm đường tiếp tuyến A đường tròn, nên thử tìm giao tiếp tuyến BC xem sao, không nhiều thời gian cho việc bấm máy tìm giao điểm không  gọi F giao điểm, bấm máy F(5;1) Cũng không tệ tọa độ F không xấu, nên hướng khai thác F hợp lí Có phân giác nên kẻ phân giác để tạo góc vuông, kẻ thêm phân giác AD tam giác ABC hiển nhiên hệ CAD  BAD Bên cạnh hướng vẽ phân giác có phân giác đừng quên hướng sử dụng tính chất góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyển dây cung thần thánh FAC  ABD Sử dụng thêm tính chất góc đỉnh thu FDA  ABC  BAD , thêm tính chất cộng góc FAD  FAC  CAD Trộn tất lại thu hệ tuyệt vời  FAD  FDA  ADF cân F Suy AF=FD Việc vẽ phân giác chưa sử dụng, cần tới Ta có AD phân giác tam giác ABC, AE phân giác tam giác ABC  AD  AE Lại có Tam giác ADE vuông A có AF  FD  F trung điểm ED Tới biết F E nên tìm D Mãi không xong, đừng nản, phần tính chất coi xong, ghép tọa độ vào tính chất giải Tham số hóa A sử dụng phần điều kiện vừa chứng minh AD vuông với AE có D E để giải A Thực đọc đề 99% giải điểm A, để loại điểm không thỏa mãn A có tung độ dương, cách tìm điểm A tham số A sử dụng khoảng cách vecto độ dài ( trường hợp có nghiệm thường gặp ) tới sử dụng tích vô hướng chuẩn  Tìm điểm A thỏa mãn Có phương trình tiếp tuyến A lập đường thẳng chứa bán 31 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission kính IA Sau tham số hóa điểm I giải hệ phương trình (1) tọa độ I thỏa mãn IA, (2) độ dà IA=IB Vậy tìm điểm I Nhận thấy C giao BC (đã biết ) với đường tròn tâm I bán kính IA (sẽ lập ) nên lập đường tròn tìm giao điểm C Các bạn nhớ cho sai lầm nhiều bạn kì thi THPT Quốc gia 2015 chủ quan, không loại nghiệm, kết oan điểm nên nhớ kĩ nhé, để không bị điểm Bắt đầu giải  A E F B D C Lời giải  24 12  Ta có BE   ;   nBC  1; 2  BC :  x  9   y  3   x  2y    5 Gọi F giao điểm tiêp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường thẳng BC x  2y   x    F 5; 1 Tọa độ điểm F nghiệm hệ phương trình  x  2y   y  Gọi D chân đường phân giác góc A tam giác ABC Ta có FAD  FAC  CAD Và FDA  ABC  BAD (1)(góc đỉnh D tam giác ABD) Mặt khác FAC  ABD (2)( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) CAD  BAD (3)( AD phân giác góc BAC) Từ (1); (2) (3)  FAD  FDA  ADF cân F Suy AF=FD Ta có AD phân giác tam giác ABC, AE phân giác tam giác ABC  AD  AE Tam giác ADE vuông A có AF  FD  F trung điểm ED Vì F(5;1) trung điểm ED  D 1; 1 Vì A thuộc tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy tọa độ A có dạng A(7-2a;a) Ta có : AD  2a  6; a  1 , AE  2a  2; a  3 a  AD  AC  AD.AC   2a  2a  2   a  1 a  3   a2  2a     a  1  A 1; 3 (vì hoành độ A lớn 0) 32 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Gọi I tâm đường tròn ngọi tiếp tam giác ABC ta có IA vuông góc với phương trình tiếp tuyến A  IA : 2 x  1   y  3  2 21   3 2  Ta có IA   x  1   y  3 ; IB   x     y     5  Tọa độ điểm I nghiệm hệ 2  21   3 2 x   y        x  1   y  3  2x  y    x  4  I  4; 7    5    4x  3y   y  7 2 x   y        Vì C thuộc BC nên tọa độ điểm C có dạng C  2c  3; c  (c  ) Ta có IC  IA  c  9 2 2        125  2c   c   125   C  15; 9          c  (L)  Vậy tọa độ điểm cần tìm A(1;3);C(-15;-9)  Tiếp theo sê- ri kiểu dạng trên, có phân giác tiếp tuyến để bạn làm quen với việc vẽ phân giác hay lập phương trình đường thẳng chứa bán kính IA Câu 10 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(5;3), tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác góc ADB có phương trình x-y-3=0, đường thẳng AC qua gốc tọa độ Viết phương trình đường thẳng AB Phân tích: Khác với trước, xuất phân giác  nên đùng có “quen mui” mà gọi phân giác trong, gọi tác dụng tác hại hình vẽ thêm chằng chịt bạn giữ lối tư mà cho qua hướng giải khác, không suy nghĩ tới hướng khác Bài có tiếp tuyến đỉnh A nên vẽ thêm đường thẳng chứa bán kính A đường tròn Bài người đề cho thêm đữ kiện so với trước phân giác góc ADB vậy, gọi giao điểm với đường xung quanh: giả sử phân giác góc ADB cắt AB AC E F bạn thấy hình vẽ đặc biệt, tam giác AFE cân A Nhìn thấy phải chứng minh thử xem có không, không nên chuyển hướng khác Có đường tròn tiếp tuyến A sử dụng góc tạo tia tiếp tuyến dây cung để chứng minh cặp góc nhau: FAD  ACB Điều cần lúc chứng minh tam giác AFE cân A nên cần chứng minh AEF  AFE Hình kiện góc vừa thu không dùng để chứng minh mà cần, đừng vội bỏ toán học dạng, sử dụng tính chất bắc cầu, nên tìm vài hệ thức có liên quan giả thiết kết luận để chứng minh kết luận Trước EFA  FAD  FDA  FAD  ADB (góc đỉnh F tam có hệ thức liên qua tới góc AFE; FAD : giác EAF) Cũng tương tự hệ thức liên hệ góc lại AED  EDC  ACB  ADC  ACB (góc đỉnh E tam giác EAF) Nhờ hệ thức , suy kết luận AEF  AFE cách nhanh chóng dĩ nhiên tam giác AFE cân A Xong phần tính chất, lại Oxy túy Có tọa độ A có thêm gốc tọa độ O thuộc đường AC, lập AC Khi có phương trình AC, cần sử dụng thêm điều kiện giả thiết không liên quan tới A O để mở dàn nút toán, sử dụng 33 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission phương trình phân giác DE để giải tọa độ điểm E Có điểm A E, sử dụng tính chất AE=FA tham số hóa điểm F để giải F( lại ý phương trình độ dài se thường cho nghiệm phải loại nghiệm , lần F bị loại trùng E tương tự đề THPT Quốc gia 2015 nhé) Có F A, lập AB AB qua A F Vậy hoàn thành yêu cầu bì toán  trình bày lời giải Lời giải A E O F I C D B Giả sử phân giác ADB cắt AB;AC F E Ta có EFA  FAD  FDA  FAD  ADB 1 (góc đỉnh F tam giác EAF) Ta lại có AED  EDC  ACB  ADC  ACB 2 (góc đỉnh E tam giác EAF) Mặt khác FAD  ACB 3 (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AB) Từ (1) (2) (3)  AEF  AFE  AEF cân A Ta có OA  5; 3  nOA  3; 5  AC : 3 x  0  5 y  0   3x  5y   15 x  3x  5y   15    E ;  Tọa độ điểm E nghệm hệ   2 x  y   y   Gọi F  t ; t  3  DE Ta có FA   t  52   t  62  2 17  15    2t  22t  61 EA            2  34 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission  15 t  E  F  17 Mà FA  EA  2t  22t  61   t   F  ;     2 2 3 5 Ta có FA   ;   nFA  5; 3  AB : 5 x  5   y  3   5x  3y  16  2 2 Vậy phương trình đường thẳng AB cần lập 5x  3y  16  Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa dộ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A D(3;-4), tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC E(7;-2) , đường thẳng AC qua K(7;6) Tìm tọa độ đỉnh B,C tam giác ABC, biết điểm A thuộc đường thẳng x-3y-3=0 có hoành độ nhỏ Phân tích : Vẽ xong hình này, thấy hình vẽ sơ giống trên, nhiên thay cho phân giác góc AEB , hình vẽ lại xuất phân giác Có phân giác vẽ phân giác nhé, đề cho phân giác đừng có “lon ton” ta vẽ phân giác chả lợi dụng làm cho hìn vẽ thêm rối Vì phân giác có cách xử lí lấy đối xứng, nên cố gắng lập đường phân giác hướng suy nghĩ mình, để lập phân giác DA tìm điểm A( chẳng có đường vuông góc với AD nên chọn cách lập đường qua điểm hợp lí) Bây nhìn xung quanh điểm A xem hình có xuất đặc biệt không, thú vị phân giác AEB cho ta tam giác cân A phân giác góc BAC lại cho ta tam giác cân E Nhìn hình vẽ tam giác ADE cân E nên cố gắng chứng minh Có tiếp tuyến A khai thác tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung ACD  EAB Kết luận cần tam giác AED cân E hay ADE  EAD nên theo hướng , tìm hệ thức có góc giả thiết, góc kết luận để bắc cầu suy kết luận Và hệ thức cần ADE  DAC  ACD  BAC  ACD (góc đỉnh D tam giác ADE) Và EAD  BAC  EAB (góc đỉnh A tam giác EAD) từ hệ thức đó, suy tam giác AED cân E Hết phần tính chất hình học, việc lại ghép tọa độ kĩ Oxy bạn Mình tham số hóa điểm A giải A tính chất hình học vừa chứng minh AE=ED, có tọa độ A E việc tìm A không khó không  nhiên nhớ giả thiết điều kiện hoành độ điểm A nhỏ để giải điểm A Có A, lúc phát huy kĩ phân giác  lập phân giác AD qua A D , lập AC qua A K Lập BC qua E D từ tìm điểm C cách giải tương giao đường AC BC Để tìm B cân lập AB tìm tương giao AB BC, lập AB cần tìm điểm khác A AB tất nhiên B Kĩ thuật giải phân giác cần Mình tìm K’ đối xứng với K qua phân giác AD, cách lập đường qua K vuông góc với AD, đường cắt AD trung điểm H KK’ Nhanh chóng giải H nhờ giải hệ tương giao AD KK’, có H ; có K tìm nhanh K’ Có K’ A, lập AB tìm nốt B hệ tương giao AB BC, sau nhớ kết luận  35 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission A K I C D B E Lời giải Ta có ADE  DAC  ACD  BAC  ACD 1 (góc đỉnh D tam giác ADE) Tương tự EAD  BAC  EAB  2 (góc đỉnh A tam giác EAD) Mặt khác ACD  EAB 3 (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cungAB) Từ (1); (2) (3)  ADE  EAD  EAD cân E Gọi A 3t  3; t   EA  Ta có ED  3t  42   t  22  7  32   2  42  10t  20t  20 20  t   A 3; 0  Mà EA  ED  10t  20t  20  20    t   A  9; 3 L  Với A(3;0) Ta có AD  0; 4  nAD  1; 0  AD : x  Ta có AK   4; 6  n AK  3; 2  AK : 3 x  7  2 y  6    3x  2y   Gọi K’ điểm đối xứng với K qua AD Do AD phân giác góc BAC nên K’ thuộc AB Gọi H giao điểm KK’ với AD  KK '  AD H H trung điểm KK’ Ta có nAD  1; 0  nKK'  0;1  KK ': y  x    H 3;   K '  1;  Tọa độ điểm H nghiệm hệ  y  Ta có AK '   4; 6  n AK  3; 2  AB : 3 x  3  2 y  0   3x  2y   Ta có DE   4; 2  nDE  1; 2  DE :  x  7  2 y  2   x  2y  11  x  2y  11  x    B 5; 3 Tọa độ điểm B nghiệm hệ  3x  2y   y  3 x  2y  11  x  1   C  1; 6  Tọa độ điểm C nghiệm hệ  3x  2y   y  6 36 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Vậy B 5; 3 ; C  1; 6  điểm cần tìm Câu 12 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, có A(1;4) , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác góc ADB cắt cạnh AB;AC F  11  E  ;  tìm tọa độ đỉnh B;C tam giác ABC, biết D thuộc trục tung, F thuộc đường thẳng 3x+y=0 2  có hoành độ lớn -1 Phân tích: Bài tập hình vẽ giống y hệt hình vẽ 14 , hiển nhiên sử dụn tính chất 14 Tuy nhiên người ta thay đổi giả thiết, cho số điểm khác, đường khác để biến tấu phần tọa độ bước làm khác Phần tính chất không nói nữa, giống trước  Phần tọa độ xem xét bước Đề cho điểm E điểm A nên lập AC trước Giờ tới tính chất tam giác cân, tham số hóa điểm F, tìm điểm F nhờ phương trình độ dài AF=AE, ý loại điểm F không thảo mãn hoành độ lớn -1 Có E F lập EF, sau tìm giao với trục tung để tìm điểm D Sau có D, lại lợi dụng tính chất phân giác để tìm thêm điểm, , lập phuong trình phân giác góc ADB , tìm điểm A’ đối xứng A qua phân giác DE Có A’ thuộc BC đồng thời có D, lập BC Lập thêm AB qua A F sau giải hệ tương giao BC với AB để tìm B BC với AC để tìm C Vậy xong, đơn giản có tính chất không  trình bày A E F I C D B Lời giải Ta có EFA  FAD  FDA  FAD  ADB 1 (góc đỉnh F tam giác EAF) Ta lại có AED  EDC  ACB  ADC  ACB 2 (góc đỉnh E tam giá EAF) Mặt khác FAD  ACB 3 (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AB) Từ (1) (2) (3)  AEF  AFE  AEF cân A 37 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission  1 t  2 17  1  Gọi F(t;-3t) Ta có tam giác AEF cân A  AE  FA   t  1   3t      F ;   17  2 t   10 1  3  Ta có FE   4;   nFE  1; 1  FE :  x     y     x  y   2  2  x  y   x    D  0; 2 Tọa đọ điểm D nghiệm hệ  x  y  Gọi A’ đối xứng với A qua phân giác DE Suy A’ thuộc BC Gọi giao điểm DE với AA’ H, suy H trung điểm AA’ 7 7 Ta có DE   ;   n AA'  1; 1  AA ':  x  1   y     x  y   2 2  x x  y     3 7 Tọa độ điểm H nghiệm hệ    H  ;   A '  2; 3 2 2 x  y   y    Ta có DA '  2;1  nBC  1; 2  BC :  x  0  2 y  2   x  2y   3 5 Ta có FA   ;   nFA  5; 3  FA : 5 x  1   y     5x  3y   2 2 Tọa độ điểm B nghiệm hệ 2  x  x  2y    2 13    B ;    7  5x  3y   y  13  5 3 Ta có EA   ;   nFA  3; 5  FA : 3 x  1   y     3x  5y  17  2 2 x  2y   x  14   C  14; 5 Tọa độ điểm C nghiệm hệ  3x  5y  17  y  5  2 13  Vậy B  ;  ; C  14; 5 tọa độ điểm cần tìm  7  38 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission 3 9 Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có B(-1;5) Gọi E  ;  hình 5 5  19  chiếu vuông góc A BD, G  1;  điểm thuộc đoạn CD thỏa mãn ECD  CBG Tìm tọa độ   đỉnh hình chữ nhật ABCD biết C có hoành độ nguyên Phân tích : Vì đề cho điều kiện hoành độ điểm C nguyên nên ta tập chung tìm mối liên hệ điều kiện biết với điểm C Nhận thấy đề cho tọa độ điểm B; E G điểm G thuộc BC ràng buộc hệ thức ECD  CBG Nhìn mối liên hệ điểm B;E;G;C nhận GB  CE Phát tính chất quan trọng, việc chứng minh quan trọng Mình sử dụng ECD  CBG để chứng minh vuông góc Hình vẽ có nhiều góc vuông, nên không bỏ qua tính chất tứ giác nội tiếp để thu cặp góc chứng minh vuông góc Do gọi F giao AE DC để khai thác tứ giác BEFC nội tiếp Sử dụng tứ gisc ngẫu nhiên mà để ý cặp góc đề cho có góc nội tiếp tứ giác ECD Vậy liên hệ  BEC  BFC (góc nội tiếp chắn cung BC) Sử dụng thêm giả thiết ECD  CBG suy BHE  BCF  900  GB  CE Sau phần chứng minh tính chất hình học, đơn giản kĩ thuật Oxy Lập phương trình BG qua B G, nhờ có tính chất vừa chứng minh được, lập CE qua E vuông góc với BG Người ta cho điều kiện hoành độ điểm C nên chắn không lập đường khác chứa C để giải tương giao với CE rồi, cách tham số hóa điểm C CE để giải C loại nghiệm không thỏa mãn Đề có B G nên giải phương trình tích vô hướng vecto CG.CB  để tìm tọa độ điểm C Khi giải tọa độ điểm C, việc tìm kiếm, gỡ nút toán đơn giản hơn: có C, có G lập CD.Có B, có E lập BE, tìm D cách giải tương giao đường BE CD Khi có điểm B;C;D hình chữ nhật điểm A coi dã tìm Giờ tới phần trình bày  B A I E H D G F 39 C Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Lời giải Gọi F giao điểm AE với CD Ta có FBE  FCB  900  CFEB tứ giác nội tiếp  BEC  BFC (góc nội tiếp chắn cung BC) Theo giả thiết ta có ECD  CBG suy BHE  BCF  900  GB  CE  1  Ta có BG   2;   nBG  1;   BG :  x  1   y  5   BG : x  8y  39    9  3  Đường thẳng CE qua E vuông góc với BG  CE :  x     y     8x  y   5  5  CB   1  c;  8c   Vì C thuộc CE nên tọa độ điểm C có dạng C(c;8c-3)   31   CG    c;  8c     c   31    C 1; 5 Mặt khác CG  CB  CG.CB    1  c 1  c     8c    8c   61   c   L   65  1  Ta có CG   0;   nCG  1; 0  CD : x      16  Ta có BE   ;   nBE  2; 1  BD :  x  1   y  5   2x  y   5  x   x    D 1; 1 Tọa độ điểm D nghiệm hệ  2x  y   y  Ta có ABCD hình chữ nhật D1;1 ; B  1;5 ; C 1;5  A  1;1 Vậy tọa độ đỉn hình chữ nhật cần tìm D1;1 ; B  1;5 ; C 1;5 ; A  1;1 Câu 14 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M, N ,J trung điểm đoạn thẳng AI;CD;BN Giả sử phương trình đường thẳng MJ y   N(5;6) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết đỉnh C có hoành độ lớn Phân tích: Theo kinh nghiệm thân mình: “ cư nói đến trung điểm nghĩ tới đường trung bình” ý vẽ đường trung bình nên xe xét xem hình vẽ có cặp đườn thẳng vuông góc với để kẻ hình khai thác điều kiện vuông góc Mình chọn đường Ac vuông góc với BD để chuẩn hóa đường vẽ đường trung bình Mình gọi K trung điểm BD để tạo đường trung bình JK tam giác BDN JK //BD nên JK vuông góc góc AC Trong tam giác MJK có MI vuông với JK Cũng làm tương tự IJ vuông góc với MK,2 điều chứng tỏ I trực tâm tam giác MJK  IK  MJ Mà IK / /NJ  NJ  MJ Tới phần tọa độ 40 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Có phương trình MJ, có điểm N nên dễ dàng lập phương trình đường thẳng NJ qua N vuông góc với MJ Có phương trình MJ NJ ta tìm điểm J cách giải hệ tương giao đường Tìm J xem xét lại hình chút thấy J trung điểm BN nên có N J dễ dàng tìm B Do ta tính độ dài đoạn BN, theo tỉ lệ độ dài, dễ dàng tính độ dài đoạn BC NC Điểm C cách điểm B N biết khoảng xác định, việc tìm C khó khăn nữa, tham số hóa tọa độ C theo ẩn, sau giải hệ phương trình ẩn hoành độ tung độ C, nhớ loại điểm C có tọa độ không thỏa mãn điều kiện đề Sau tìm C, nhìn lại hình lần nữa, nhận thấy N trung điểm DC nên có tọa độ C N tìm D Sau giải D,C,B điểm A chắn tự suy  quan trình bày lại hướng toán để người đọc hiểu suy nghĩ bạn !!! A E B M I J C D K N Lời giải Gọi K trung điểm đoạn DN JK / /BD  JK  MI 1 Ta có JK đường trung bình tam giác NBD  BD  AC Tương tự JI  MK 2 Từ (1) (2) suy I trực tâm tam giác MJK  IK  MJ Mà IK / /NJ  NJ  MJ Ta có nMJ  0; 1  nNJ  1; 0  NJ : x   x   x     7  Tọa độ điểm J nghiệm hệ  7  J  5;   2 y   y  2BN Ta có J trung điểm BN  B 5; 1 Ta có BC  2NC  2 5 2 BC   a  5   b  1  20 a  7; b  C     C 7; 5 Gọi C(a;b) Ta có  2 a  3; b  5 L  NC   a  5   b    Ta có N trung điểm DC nên D3; 7  A 1; 3 Vậy tọa độ đỉnh cần tìm A 1; 3 ; B 5;1 ; C 7;5 ; D 3;7 41 [...]... chất khác nhau của hình vuông Bài toán này theo mình là khá đặc sắc , để đi tới tính chất lớn, chúng ta cần tinh ý khám phá các tính chất nhỏ ẩn chưa trong hình vẽ Bắt đầu giải 1 bài toán Oxy, mình thường chú trọng hình vẽ, nhiều người nói Oxy không cần sử dụng hình vẽ cũng làm được nhưng đó chỉ là những bài tập đơn giản Với những bài tập 13 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams –... của M trong bài toán đó là M thuộc JB Sau đó xử lí bình thường như 1 bài Oxy thuần túy, quên đi điều kiện biểu thức P mà chỉ cần nghĩ tới điều kiện thu được để giải Việc cần làm tới đây chỉ là BJ và giải hệ tương giao giữa đường thẳng và đường tròn Bài toán được giải quyết nhé!! Lời giải 17 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Ta thấy (C) có tâm I(1;1) và bán kính R=5... Thế Vinh lần 1): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15 Đường thẳng AB có phương trình x-2y=0 Trọng tâm của tam gác BCD là điểm  16 13  G  ;  Tìm tọa độ 4 đỉnh của hình chữ nhật biết điểm B có tung độ lớn hơn 3  3 3  Vậy 19 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Phân tích : Khi đề cho điều kiện tung độ điểm B lớn hơn... A(-1;5);B(-4;-4);C(4;0) 27 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(-3;1) và AB vuông góc với  13 9  BD Gọi N là điểm đối xứng của C qua D và H  ;  là hình chiếu vuông góc của N lên BC Tìm tọa độ  5 5 các đỉnh B;C;D biết D thuộc đường thẳng x+2y-1=0 N A D B C H Phân tích : Trước hết nhận xét hình bình này không... Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Vậy tọa độ 4 đỉnh hình vuông cần tìm là A 0; 1 ; B 3; 4 ; C 0;7 ; D  3; 4  Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với đường thẳng AB;AC lần lượt có phương trình là x-y+5=0 và x+3y-7=0 Trọng tâm G của tam giác CDA nàm trên đường thẳng d:2x-y6=0 Tìm tọa độ các đỉnh của hìn chữ nhật ABCD Phân tích: Đây... điểm C nằm trên đường thẳng  : x  2y  6  0 và tung độ dương, tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 15 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy B Your dreams – Our mission E C D F A Phân tích: Khi đọc xong đề bài, không cần quan tâm tới hình vẽ thì chúng ta đã thấy “cái ăn được” rồi Ăn ngay điểm B bằng cách giải hệ hai phương trình tương giao giữa 2 đường thẳng chứa B Ăn chắc 0,25 nhé!! Bây giờ... đề đại học khối A năm 2013, với 1 hình chữ nhật, và cũng cần chứng minh vuông góc, khi đó việc lợi dụng tứ giác nội tiếp là rất đúng đắn  Các bước sau của 2 cách không hoàn toàn giống nhau về thao tác nhưng giống nhau về hướng giải +) Trước tên đều phải lập BH và tham số hóa điểm B theo biến b 21 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission +) Sau đó tính độ dài BH và giải. .. nhất M B F I E J A Phân tích: Đây là một bài toán cực trị hình học- là 1 dạng bài khó trong hình phẳng chương trình THCS và cũng là 1 dạng bài khó và hiếm gặp trong hình học tọa độ phẳng Thường thì bài toán này có hai hướng giải quyết 1)Kẻ hình phụ: dang toán này thì chúng ta sẽ sử dugj 1 số phép dời hình như đối xứng trục, đối xứng tâm, sử dụng tam giác bằng nhau 2)Đại số hóa hình học, đây là 1 cách làm... 126 594 b  46c  0 BH  MC BH.MC  0 4c  6bc  b  1; c  9 5 5  24 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Suy ra E 17; 4  A 1; 0  D 9; 0 Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A 1; 0 ; B 1; 4 ; C  9; 4 ; D 9; 0 Câu 41 : Trong mặt phẳng với hẹ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD , trên tia đối của tia DA, lấy điểm P sao cho BAD  600 Gọi K ;M;N lần... tuy nhiên thì phần sau sẽ dễ hơn , vì nút đã được gỡ 1 nửa, không còn bị rối nữa Tới đây cũng có nhiều hướng giải : Gọi giao điểm của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là G 26 Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission 1)Hướng 1 : chứng minh tứ giác BHCG là hình bình hành, tìm G là giao của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác , sau đó tìm trung điểm M của BC cũng ...Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission NHÌN LẠI CÂU HÌNH HỌC PHẲNG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2015-VÀ CUỐN CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐÃ GIÚP GÌ CHO CÁC BẠN... coi giải Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Cuốn CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH nhóm viết đưa tính chất vào phần lí thuyết sách Và bạn đọc , nhóm sử dụng tích. .. Trích đoạn chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission có tính chất hình học, việc vẽ hình đóng vai trò quan trọng để tìm chìa khóa mở hướng giải Mình khuyên bạn vẽ hình vẽ thật