ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH HẠNH TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH HẠNH TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Danh sách ký hiệu iii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu 1 Cấu trúc tập lồi đa diện 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Hướng lùi xa tập lồi đa diện 1.3 Biểu diễn tập lồi đa diện 11 Nón pháp tuyến tập lồi đa diện 18 2.1 Nón pháp tuyến tập lồi 18 2.2 Nón pháp tuyến âm tập lồi đa diện 25 Phương pháp nón pháp tuyến 28 3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 28 3.2 Thuật toán nón pháp tuyến 32 3.2.1 Tìm đỉnh hữu hiệu ban đầu 33 3.2.2 Tìm đỉnh hữu hiệu cạnh hữu hiệu 34 3.2.3 Tìm diện hữu hiệu số chiều lớn 38 3.2.4 Tìm diện hữu hiệu (n -1) chiều 41 ii 3.2.5 3.3 Tập hữu hiệu R2 R3 41 Ví dụ minh họa 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Phụ lục 47 iii Danh sách ký hiệu Rn : Không gian n chiều A ⊂ B : A tập B M ⊆ Rn : M tập Rn Rec A: Nón lùi xa A B(x, ε): Hình cầu tâm x bán kính ε dim A: Số chiều A rank A: Hạng A cone{a1 , a2 , a3 }: Nón sinh hệ véctơ {a1 , a2 , a3 } Nc (X): Nón pháp tuyến C x ri(A): Phần tương đối tập A | I | : Số phần tử I a ≥ b: Quan hệ không âm a > b: Quan hệ nửa dương a >> b: Quan hệ thực dương conv(X): Bao lồi tập X iv Danh sách hình vẽ 1.1 Tập A lồi, Tập B không lồi 1.2 Đường thẳng véctơ phương 1.3 Tập lồi không bị chặn hướng lùi xa 1.4 Biểu diễn tập đa diện qua đỉnh cạnh vô hạn (hướng cực biên) 17 2.1 Tập X nón X + 19 2.2 Minh họa Bổ đề 2.2 Mệnh đề 2.1 21 3.1 D1 D2 : x1 , x2 - đỉnh hữu hiệu, [x1 , x2 ] - cạnh hữu hiệu 29 3.2 Sơ đồ khối Thuật toán 1: Tìm cạnh hữu hiệu kề x0 37 3.3 Sơ đồ khối Thuật toán 2: Tìm diện hữu hiệu chiều kề x0 40 Hình 2.2 Nón cone {a1 , a2 , a3 } ⊂ R3 Mở đầu Tập lồi đa diện có tính chất đáng ý sử dụng rộng rãi lý thuyết ứng dụng, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hóa Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản biểu diễn thông qua tập (hữu hạn) đỉnh cạnh Nhiều toán tối ưu tuyến tính (một hay nhiều mục tiêu) giải hiệu nhờ khai thác cấu trúc tập lồi đa diện, đặc biệt cấu trúc đỉnh cạnh, diện, nón pháp tuyến Nón pháp tuyến mở rộng khái niệm véctơ pháp tuyến mặt cong trơn biết giải tích cổ điển nghiên cứu cấu trúc mặt cong tính toán mặt cong Nón pháp tuyến tập lồi Minkowski (1911) đưa đầu tiên, sau Fenchel (1953) để xử lý đối tượng không trơn, tập lồi Rockafellar (1970) nghiên cứu có hệ thống nón pháp tuyến tập lồi Tiếp nghiên cứu mở rộng Morduhovic (1980) Clark (1983) xây dựng nón pháp tuyến qua véctơ pháp tuyến gần kề qua vi phân hàm Lipschitz Năm 2000, Nguyễn Thị Bạch Kim Đinh Thế Lục [5] đưa khái niệm nón pháp tuyến âm xây dựng điều kiện tối ưu cho toán qui hoạch đa mục tiêu tuyến tính theo ngôn từ nón pháp tuyến Từ đề xuất phương pháp nón pháp tuyến đơn giản để tìm diện nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Có thể nói nón pháp tuyến phương tiện thiếu để thiết lập điều kiện tối ưu cho toán tối ưu không trơn Sau học Giải tích lồi kiến thức toán học có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn "Tập lồi đa diện ứng dụng qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu" Luận văn có mục đích tìm hiểu, trình bày lại kết tập lồi đa diện ứng dụng kết xây dựng sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến [5] giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Nội dung luận văn viết ba chương Chương "Cấu trúc tập lồi đa diện" trình bày kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện khái niệm liên quan (đỉnh, cạnh diện tập lồi đa diện, nón lồi nón lồi đa diện, hướng lùi xa nón lùi xa, ) Tập lồi đa diện không bị chặn Tập lồi đa diện khác rỗng Chương "Nón pháp tuyến tập lồi đa diện" trình bày số kiến thức chuẩn bị nón pháp tuyến, nón pháp tuyến âm tập lồi đa diện điểm khái niệm liên quan tập chuẩn tắc tập chuẩn tắc âm Đồng thời giới thiệu kết nêu [5] làm sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến tìm nghiệm hữu hiệu (tối ưu Paeto) toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Chương "Phương pháp nón pháp tuyến" trình bày chi tiết phương pháp nón pháp tuyến đề xuất [5] tìm đỉnh, cạnh diện nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính tập lồi đa diện cho trước Các thuật toán mô tả chi tiết diễn giải qua sơ đồ khối ví dụ minh họa: - Thuật toán 1: Tìm cạnh hữu hiệu từ đỉnh hữu hiệu x0 biết - Thuật toán 2: Tìm diện hữu hiệu chiều kề đỉnh hữu hiệu x0 biết - Thuật toán 3: Tìm diện hữu hiệu (n - 1) chiều - Thuật toán 4: Tìm tập điểm hữu hiệu R2 , R3 Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong quý thầy cô bạn đóng gópý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp tác giả luận văn xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS TS Trần Vũ Thiệu, người tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn giảng viên Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Bích Hạnh Chương Cấu trúc tập lồi đa diện Chương trình bày kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện, nón lồi nón lồi đa diện Đặc biệt lưu ý khái niệm đỉnh, cạnh diện tập lồi đa diện, đặc trưng tập lồi đa diện không bị chặn, cách biểu diễn tập lồi đa diện qua đỉnh cạnh Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3] [4] 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Trước hết khái niệm liên quan tới tập afin Rn Định nghĩa 1.1 (Tập afin) Tập M ⊆ Rn gọi tập afin (affine set) ∀a, b ∈ M, λ ∈ R λa + (1 − λ)b ∈ M , tức M chứa hai điểm M chứa trọn đường thẳng qua hai điểm Một số tính chất tập afin: • Nếu M tập afin a + M = {a + x : x ∈ M } tập afin (a ∈ Rn ) • Giao họ tập afin tập afin • M ⊆ Rn tập afin M = {x ∈ Rn : Ax = b} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm 34 m i p µi a = i=1 λk ck , µi ≥ 0, i = 1, · · · , m, λk > 0, k = 1, · · · , p k=1 Nếu hệ vô nghiệm dừng: Bài toán (VP) nghiệm hữu hiệu Trái lại, giả sử λ >> nghiệm Đặt v = C T λ Nếu v = dừng: Tập D hữu hiệu (tức x ∈ D nghiệm hữu hiệu) Còn v = 0, giải qui hoạch tuyến tính: {v T x : x ∈ D} Theo Hệ 3.3, toán có nghiệm tối ưu, chẳng hạn đỉnh x0 , x0 đỉnh hữu hiệu ban đầu toán (VP) 3.2.2 Tìm đỉnh hữu hiệu cạnh hữu hiệu Giả sử x0 đỉnh hữu hiệu Ký hiệu I(x0 ) = {i ∈ {1, · · · , m} : , x0 = bi } Bất kỳ tập I ⊂ I(x0 ) với |I| = n - {ai : i ∈ I} độc lập tuyến tính, xác định hướng v = từ hệ phương trình ak , x = 0, k ∈ I Theo Hệ 3.2 để biết cạnh từ x0 theo hướng v hữu hiệu ta cần kiểm tra: a) I tập chuẩn tắc âm hay theo Định nghĩa 2.6, nón sinh {−ai : i ∈ I} có chứa véctơ C - âm b) I tập chuẩn tắc hay theo Định nghĩa 2.4 Hệ 2.2, hệ , x = bi , i ∈ I , x ≥ bi , i ∈ {1, · · · , m} \ I có nghiệm x0 + tv với t > THUẬT TOÁN 1: Tìm cạnh hữu hiệu từ đỉnh hữu hiệu x0 Bước (Khởi sự) Xác định tập số tích cực: I(x0 ) = {i ∈ {1, · · · , m} : , x = bi } Nếu |I(x0 )|= n, chuyển sang Bước Trái lại (|I(x0 )| > 0) chuyển sang Bước Bước (Đỉnh x0 không suy biến) Chọn tập I ⊂ I(x0 ) với |I| = n - (Có n tập) 35 1a) Kiểm tra I chuẩn tắc âm: Giải hệ p λk ck , µi ≥ 0, k = 1, · · · , p i µi a = i∈I (3.2) k=1 Nếu (3.2) vô nghiệm chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 1a) Trái lại, I tập chuẩn tắc âm chuyển sang thực 1b) 1b) (Lúc I tập chuẩn tắc: Tìm cạnh hữu hiệu tương ứng) Tìm hướng v cạnh từ x0 cách giải hệ ak , v = 1, k ∈ I(x0 ) \ I, , v = 0, i ∈ I Đặt ti = max{t : , x0 + tv ≥ bi , t ≥ 0}, i ∈ {1, · · · , m} \ I, t0 = min{ti : i ∈ {1, · · · , m} \ I} 1c) Nếu < t0 < ∞ x0 + t0 v đỉnh hữu hiệu [x0 , x0 + t0 v] cạnh hữu hiệu kề x0 Lưu giữ đỉnh cạnh hữu hiệu trước chúng chưa lưu giữ Chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 1a) 1d) Nếu t0 = ∞ {x0 + tv : t ≥ 0} tia hữu hiệu Ghi lại kết Chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 1a) Bước (Đỉnh x0 suy biến) Chọn I ⊂ I(x0 ) với |I| = n - 2a) Nếu rank {ai : i ∈ I} = n − chuyến sang thực 2b) Trái lại, chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 2a) 2b) (Kiểm tra I chuẩn tắc âm giống Bước 1.a)): Giải hệ (3.2) Nếu (3.2) vô nghiệm chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 2a) Trái lại, I tập chuẩn tắc âm chuyển sang thực 2c) 2c) (Kiểm tra I chuẩn tắc Nếu tìm cạnh hữu hiệu tương ứng): • Tìm hướng v = cạnh từ x0 nhờ giải hệ , v = 0, i ∈ I 36 • Tìm t nghiệm hệ , x0 + tv ≥ bi , i = 1, · · · , m Tập nghiệm t0 = 0, [t0 , 0] hay [0, t0 ] tùy thuộc t0 = 0, t0 < hay t0 > Có thể t0 = −∞ t0 = +∞ + Nếu t0 = D cạnh từ x0 theo phương v: I không tập chuẩn tắc Chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 2a) + Nếu t0 = hữu hạn x0 + t0 v đỉnh hữu hiệu [x0 , x0 + t0 v] cạnh hữu hiệu Lưu giữ đỉnh cạnh hữu hiệu trước chúng chưa lưu giữ Chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 2a) + Nếu t0 vô hạn, chẳng hạn t0 = +∞, [x0 , tv : t ≥ 0] tia hữu hiệu Ghi lại kết Chọn tập I ⊂ I(x0 ) khác (|I| = n - 1) quay lại thực 2a) Thuật toán dừng tập I ⊂ I(x0 ), |I| = n - 1, xét Các bước Thuật toán diễn tả sơ đồ khối vẽ Hình 3.2 37 Hình 3.2: Sơ đồ khối Thuật toán 1: Tìm cạnh hữu hiệu kề x0 38 Nhận xét 3.1 i) Do tập nghiệm hữu hiệu (VP) liên thông đường gấp khúc nên cách áp dụng thuật toán nêu tìm tất đỉnh hữu hiệu tất cạnh hữu hiệu toán ii) Trong trường hợp suy biến ta tìm trước tập số tương ứng với cạnh, sau kiểm tra tính chuẩn tắc âm chúng Tuy nhiên, ta nên kiểm tra trước tính chuẩn tắc âm tập số đó, cách cho phép loại bỏ số tập số không tương ứng với cạnh hữu hiệu 3.2.3 Tìm diện hữu hiệu số chiều lớn Giả sử x0 đỉnh hữu hiệu toán (VP) [x0 , x0 + tj v j ], j = 1, · · · , k , cạnh hữu hiệu kề x0 với tj > Ở tiện, ta đặt tj = +∞ {x0 + tv j : t ≥ 0} tia hữu hiệu viết tia [x0 , x0 + tj vj ] Ký hiệu Ij ⊂ I(x0 ) tập (chỉ số) chuẩn tắc âm xác định cạnh hữu hiệu j, j = 1, , k Trước hết ta thấy số chiều lớn diện kề x0 {k, n−1} Với < ≤ min{k, n − 1} ta có thuật toán sau THUẬT TOÁN 2: Tìm diện hữu hiệu chiều kề x0 Bước (Khởi sự) Giống Bước Thuật toán Tính I(x0 ) Nếu I(x0 ) = n, chuyển sang Bước Trái lại (|I(x0 |> n), chuyển sang Bước Bước (Đỉnh x0 không suy biến) Chọn tập J ⊆ K ≡ {1, · · · , k}, |J| = xét tập I = j∈J Ij Do |Ij | = n − nên |I| = n - 1a) (Kiểm tra I chuẩn tắc âm) Giải hệ (3.2) với tập I Nếu (3.2) vô nghiệm, chọn tập J khác (J ⊆ K, |J| = quay lại thực 1a) Trái lại, I tập chuẩn tắc âm chuyển sang thực 1b) 1b) (Lúc chắn I tập chuẩn tắc) Diện chiều (xác định tập I) chứa conv {x0 , x0 + ti v i : i ∈ J} hữu hiệu Ghi lại kết Chọn tập J khác (J 39 ⊆ K, |J| = ) quay lại thực 1a) Bước (Đỉnh x0 suy biến) Chọn J ⊆ K ≡ {1, · · · , k} với |J| = 2a) Xét điểm xj = x0 + +1 j∈J x0 + λj v j , +1 (3.3) λj = tj tj hữu hạn λj = tj = +∞ Xác định tập số tích cực I(xJ ) xJ Nếu rank {ai : i ∈ I(xJ )} < chọn tập J khác (J ⊆ K, |J| = ) quay lại thực 2a) Trái lại, chuyển sang thực 2b) 2b) Kiểm tra I(xJ ) chuẩn tắc âm) Giải (3.2) với I = I(xJ ) Nếu (3.2) vô nghiệm, chọn tập J khác (J ⊆ K, |J| = ) quay lại thực 2a) Trái lại, I(xJ ) chuẩn tắc âm chuyển sang thực 2c) 2c) (Tìm diện hữu hiệu chiều chứa cạnh [x0 , x0 + tj v j ], j ∈ J ) Xác định J0 = {j ∈ K : Ij ⊇ I(xJ )} (Rõ ràng J ⊆ J0 ) Bao lồi cạnh [x0 , x0 + tj v j ], j ∈ J0 chứa diện hữu hiệu chiều mà ta tìm (Mệnh đề 2.4) Chọn tập J khác, không chứa J0 (J ⊆ K, |J| = ), quay lại thực 2a) Thuật toán dừng tập J ⊆ K, |J| = , xét Các bước Thuật toán thể sơ đồ khối vẽ Hình 3.3 Nhận xét 3.2 Áp dụng Thuật toán ta tìm diện hữu hiệu tối đại kề đỉnh hữu hiệu cho trước, theo nghĩa diện hữu hiệu không nằm diện hữu hiệu có số chiều lớn 40 Hình 3.3: Sơ đồ khối Thuật toán 2: Tìm diện hữu hiệu chiều kề x0 41 3.2.4 Tìm diện hữu hiệu (n -1) chiều Nếu lý mà ta cần tìm diện nghiệm hữu hiệu (n - 1) chiều ta áp dụng thuật toán đơn giản (dựa Hệ 3.5) sau THUẬT TOÁN Giải m hệ (3.2), hệ tương ứng với I = {i}, i = 1, · · · , m a) Nếu với i ∈ {i = 1, · · · , m} (3.2) có nghiệm diện xác định hệ , x = bi , aj , x ≥ bj , ∀j ∈ {i = 1, · · · , m} \ i diện hữu hiệu (n - 1) chiều b) Trái lại, toán (VP) diện nghiệm hữu hiệu (n - 1) chiều 3.2.5 Tập hữu hiệu R2 R3 Đôi ta cần tìm tập hữu hiệu tập lồi đa diện D bị chặn (tức đa diện lồi) R2 R3 Tập tương ứng với tập nghiệm hữu hiệu toán (VP) với C ma trận đơn vị Khi đó, ta áp dụng trực tiếp thuật toán hiệu sau • Trường hợp D ⊆ R2 Biểu diễn a1 , · · · , am tọa độ cực = (|ai |, θi ), i = 1, · · · , m Bằng cách đánh số lại cần, ta giả thiết < θ1 < θ2 < · · · < θk < 21 π ≤ θk+1 ≤ · · · ≤ θm ≤ 2π Rõ ràng a1 , · · · , ak véctơ dương theo Hệ 3.5 véctơ xác định nên cạnh hữu hiệu Hơn nữa, cặp {m, 1}, {1, 2}, , {k, k + 1} tập chuẩn tắc âm Vì theo Hệ 3.1, chúng xác định tất diện hữu hiệu - chiều (đỉnh) D Ký hiệu Mi giao điểm hai đường thẳng 42 , x = bi , ai+1 , x = bi+1 , i = 0, 1, · · · , k, a0 = am , b0 = bm Khi đó, tập hữu hiệu D k [di , di+1 ] i=0 • Trường hợp D ⊆ R3 Nếu dim D = D có diện hữu hiệu với số chiều 0, Ta biết x0 ∈ D điểm hữu hiệu lý tưởng (ideal efficient point) x0 ≤ x với x ∈ D Có thể thấy D điểm hữu hiệu lý tưởng D có diện hữu hiệu với số chiều THUẬT TOÁN Xác định tập tất điểm hữu hiệu D ⊆ R3 Bước (Kiểm tra D có điểm hữu hiệu lý tưởng) Giải qui hoạch tuyến tính ei , x : x ∈ D với i = 1, 2, 3, e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T , e3 = (0, 0, 1)T giả sử x∗1 , x∗2 , x∗3 giá trị cực tiểu thu 1a) Nếu x∗ (x∗1 , x∗2 , x∗3 )T ∈ D x∗ điểm hữu hiệu lý tưởng D điểm hữu hiệu D 1b) Trái lại, chuyển sang Bước Bước Phân hoạch tập số {1, , m} thành I1 , I2 , I3 với I1 = {i : 0}, I3 = {i : 0}, I2 = {1, , m} \(I1 ∪ I3 ) 2a) Nếu I1 = ∅ diện hữu hiệu - chiều Chuyển sang Bước để tìm diện hữu hiệu chiều 2b) Trái lại, , i ∈ I1 xác định diện hữu hiệu chiều từ hệ phương trình , x = bi , aj , x ≥ bj , ∀j ∈ {1, , m} \ {i} Chuyển sang Bước để tìm diện hữu hiệu chiều hơn, không kể diện hữu hiệu chiều vừa tìm 43 Bước Chọn i, j∈ I2 3a) (Kiểm tra {i, j} chuẩn tắc âm) Giải hệ tai + (1 − t) aj 0, ≤ t ≤ Nếu hệ có nghiệm {i, j} chuẩn tắc âm Chuyển sang thực 3b) Trái lại, {i, j} không chuẩn tắc âm Chọn cặp khác i, j∈ I2 quay lại thực 3a) 3b) Kiểm tra {i, j} chuẩn tắc Xây dựng tập ∆ij = {x ∈ D : , x = bi , aj , x ≥ bj } • Nếu ∆ij = ∅ ∆ij điểm {i, j} không chuẩn tắc Chọn cặp i, j ∈ I2 khác quay lại thực 3a) • Trái lại, ∆ij đoạn thẳng cạnh hữu hiệu Lưu giữ cạnh Chọn cặp i, j khác ∈ I2 quay lại thực 3a) Nhận xét Theo Hệ 3.6, Bước tạo toàn tập hữu hiệu D, diện hữu hiệu khác D nằm diện tìm hai bước 3.3 Ví dụ minh họa Sau số ví dụ minh hoạ thuật toán nón pháp tuyến Ví dụ 3.1 ([5], tr 122) Giải toán   −x1 − x2 − 0, 25x3  với điều kiện x ∈ D M in  x1 + x2 + 1, 5x3 D = {x ∈ R3 |2x1 + x2 + 2x3 ≥ 2, x1 + 2x2 + x3 ≥ 2, − x1 − x2 − x3 ≥ −6, x1 , x2 , x3 ≥ 0} Kết thu diện hữu hiệu - chiều, xác định tập I(F) = Diện hữu hiệu chứa • đỉnh hữu hiệu: 44 x1 = (0.67, 0.67, 0) ; x2 = (2, 0, 0) ; x3 = (0, 2, 0) ; x4 = (6, 0, 0) ; x5 = (0, 6, 0) • cạnh hữu hiệu x1 , x2 , x1 , x3 x2 , x4 , x3 , x5 , x4 , x5 Ví dụ 3.2 ([5], tr 123) Giải toán   −x1 + 100x2 + 0x3  Min  −x1 − 100x2 + 0x3  0x1 + 0x2 − 1x3       với điệu kiện x ∈ D D = {x ∈ R3 : x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 10, 2x1 + x2 + 2x3 ≤ 10, 5x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 30, x1 , x2 , x3 ≥ 0} Kết thu diện hữu hiệu - chiều F1 , F2 , F3 xác định tập số I (F1 ) = {1} , I (F2 ) = {2} , I (F3 ) = {3} • Diện F1 có đỉnh x2 = (2, 4, 0)T , x4 = (0, 0, 5)T , x5 = (0, 5, 0)T cạnh x2 , x4 , x2 , x5 x4 , x5 • Diện F2 có đỉnh x1 = (4, 2, 0)T , x3 = (5, 0, 0)T , x4 = (0, 0, 5)T cạnh x1 , x3 , x1 , x4 x3 , x4 • Diện F3 có đỉnh x1 = (4, 2, 0)T , x2 = (2, 4, 0)T , x4 = (0, 0, 5)T cạnh x1 , x2 , x1 , x4 x2 , x4 Tóm lại, chương trình bày chi tiết phương pháp nón pháp tuyến tìm tập đỉnh, cạnh diện hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Cụ thể: Thuật toán 1: Tìm cạnh hữu hiệu từ đỉnh hữu hiệu x0 Thuật toán 2: Tìm diện hữu hiệu chiều kề đỉnh hữu hiệu x0 Thuật toán 3: Tìm diện hữu hiệu (n - 1) chiều Thuật toán 4: Tìm tập điểm hữu hiệu R2 , R3 (khi C ma trận đơn vị) 45 Kết luận Luận văn trình bày khái quát kết chủ yếu lý thuyết tập lồi đa diện giới thiệu ứng dụng kết xây dựng sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến [5] tìm đỉnh, cạnh diện hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Luận văn đề cập tới số nội dung cụ thể sau Kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện khái niệm có liên quan Tập lồi đa diện không bị chặn đặc trưng hướng cực biên lùi xa, tương ứng với cạnh vô hạn Tập lồi đa diện khác rỗng hoàn toàn xác định biết đỉnh cạnh vô hạn (hướng cực biên) Kiến thức chuẩn bị nón pháp tuyến, nón pháp tuyến âm tập lồi đa diện điểm khái niệm kết có liên quan tập chuẩn tắc, tập chuẩn tắc âm làm sở lý luận cho phương pháp nón pháp tuyến tìm nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Nội dung chi tiết phương pháp nón pháp tuyến [5] tìm đỉnh, cạnh diện hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính, tập lồi đa diện Có thể xem bước tìm hiểu ban đầu phương pháp nón pháp tuyến giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu phương pháp khác tìm nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính phi tuyến 46 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2014), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán, NXB Bách Khoa Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Bazara M.S et al (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition, A John Willey and Sons, Inc, Publication [4] Griffin C (2012), Linear Programming: Penn State Math 484, Lecture Notes (Version 1.8.2.1) [5] Kim N.T.B and Luc D.T (2000), "Normal Cone to a Polyhedral Convex Set and Generating Efficient Faces in Linear Multi - Objective Programming", Acta Mathe-matica Vietnamica, Vol 25, N 1, pp 101 - 124 [6] Tuy H (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston/ London/ Dordrecht (Chapters and 2, pp - 81) 47 Phụ lục MỘT SỐ THUẬT NGỮ ĐÃ SỬ DỤNG Bao afin (Định nghĩa 1.2) Bao lồi (Định nghĩa 1.5) Cạnh tập lồi đa diện (Định nghĩa 1.18) Cạnh hữu hiệu (Định nghĩa 3.1) Diện tập lồi (Định nghĩa 1.14) Diện (nghiệm) hữu hiệu (Định nghĩa 3.1) Điểm biên tập (Định nghĩa 1.16) Điểm cực biên tập lồi (Định nghĩa 1.15) Đỉnh tập lồi đa diện (Định nghĩa 1.15) Đỉnh hữu hiệu (Định nghĩa 3.1) Đỉnh kề (Định nghĩa 1.18) Đỉnh không suy biến, đỉnh suy biến (Định nghĩa 1.17) Đường thẳng (Định nghĩa 1.9) Hình cầu (Định nghĩa 1.16) Hướng cực biên (Định nghĩa 1.19) Hướng lùi xa (Định nghĩa 1.12) Nghiệm hữu hiệu (Định nghĩa 3.1) Nghiệm hữu hiệu lý tưởng (Định nghĩa 3.2) Nghiệm hữu hiệu yếu (Định nghĩa 3.2) 48 Nón đối cực dương (Định nghĩa 2.1) Nón lồi (Định nghĩa 1.11) Nón lồi đa diện (Định nghĩa 1.11) Nón lùi xa (Định nghĩa 1.13) Nón pháp tuyến (Định nghĩa 2.3) Nón pháp tuyến âm (Định nghĩa 2.6) Nón sinh hệ véctơ (Định nghĩa 2.2) Nửa không gian đóng (Định nghĩa 1.7) Siêu phẳng (Định nghĩa 1.5) Tập afin (Định nghĩa 1.1) Tập chuẩn tắc (Định nghĩa 2.4) Tập chuẩn tắc âm (Định nghĩa 2.6) Tập lồi (Định nghĩa 1.4) Tập đa diện hay tập lồi đa diện Định nghĩa 1.8) Tia (Định nghĩa 1.10) Thứ nguyên (số chiều) tập afin (Định nghĩa 1.3) Thứ nguyên (số chiều) tập lồi (Định nghĩa 1.4) Tổ hợp lồi (Định nghĩa 1.5) Tổ hợp lồi chặt (Định nghĩa 1.5) Véctơ C - âm (Định nghĩa 2.5) Véctơ C - dương (Định nghĩa 2.5) [...]... điểm thuộc tập lồi đa diện qua các đỉnh và cạnh vô hạn (mà đại diện là hướng cực biên) của tập đó Hình 1.4: Biểu diễn tập đa diện qua đỉnh và cạnh vô hạn (hướng cực biên) Tóm lại, chương này đã trình bày những kiến thức cơ bản về tập lồi, tập lồi đa diện và các khái niệm liên quan (đỉnh, cạnh và diện của tập lồi đa diện, nón lồi và nón lồi đa diện, hướng lùi xa và nón lùi xa, · · · ) Tập lồi đa diện không... đề 1.3 Tập đa diện là một tập lồi (Vì là giao của m tập lồi) Do tính chất này nên ta thường quen gọi tập đa diện là tập lồi đa diện (polyhedral convex set) Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi (polytope) Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường trong mặt phẳng (tam giác, hình chữ nhật, hình thang, ) là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi 8... một tập lồi C và véctơ 0 gọi là nón lùi xa (recession cone) của C, ký hiệu rec C 11 Ví dụ 1.6 Với các tập đa diện P và P0 vừa xét ở trên thì recP = {d ∈ Rn : Ad ≥ 0, d ≥ 0} và recP0 = {d ∈ Rn : Ad = 0, d ≥ 0} 1.3 Biểu diễn tập lồi đa diện Trước hết, ta đề cập tới khái niệm diện (nói riêng là đỉnh và cạnh) của một tập lồi và tập lồi đa diện Định nghĩa 1.14 (Diện của tập lồi) Một tập con lồi F của một tập. .. bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trên tập lồi đa diện cho trước Các thuật toán được mô tả chi tiết và diễn giải qua các sơ đồ khối và các ví dụ số cụ thể Nội dung của chương được tham khảo từ tài liệu [5] 3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính, ký hiệu (VP), có dạng min Cx x∈D trong đó C là ma trận cấp p × n và D ⊆ Rn là một tập lồi đa diện được xác... toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [2], [4] và [5], 2.1 Nón pháp tuyến của tập lồi Mục này đề cập tới nón pháp tuyến của tập lồi và của tập lồi đa diện tại một điểm Ký hiệu P là tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính (2.1) ai , x ≥ bi , i = 1, · · · , m, trong đó ai ∈ Rn , bi ∈ R(i = 1, · · · , m) Theo Định nghĩa 1.13 và Định lý... về nón pháp tuyến, nón pháp tuyến âm của tập lồi đa diện tại một điểm và các khái niệm liên quan về tập chuẩn tắc và tập chuẩn tắc âm giúp hiểu phương pháp nón pháp tuyến tìm nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính sẽ được trình bày ở chương sau 28 Chương 3 Phương pháp nón pháp tuyến Chương này trình bày phương pháp nón pháp tuyến đề xuất trong [5] tìm các đỉnh, cạnh và diện nghiệm... là các hướng lùi xa tương ứng với các cạnh vô hạn Tập lồi đa diện khác rỗng được hoàn toàn xác định khi biết các đỉnh và cạnh vô hạn (hướng cực biên) của nó Số đỉnh và cạnh này là hữu hạn 18 Chương 2 Nón pháp tuyến của tập lồi đa diện Chương này trình bày khái niệm về nón pháp tuyến của tập lồi đa diện tại một điểm và nón pháp tuyến âm, cùng với một số khái niệm liên quan về tập chuẩn tắc, chuẩn tắc... ở Hình 1.2 Tia đặc trưng cho tập lồi không bị chặn Cụ thể, một tập lồi là không bị chặn nếu ta chỉ ra nó chứa một tia Lớp tập lồi không bị chặn đáng chú ý là các nón lồi 9 Định nghĩa 1.11 (Nón lồi) Cho tập lồi K ⊆ Rn Khi đó, K là một nón lồi (convex cone) nếu với mọi x ∈ K và mọi λ ≥ 0, ta có λx ∈ K Một tập lồi đa diện mà đồng thời là một nón lồi gọi là một nón lồi đa diện (polyhedral convex cone)... Bổ đề 1.6 Giả sử P là tập đa diện khác rỗng và không bị chặn Khi đó, số các hướng cực biên của P là dương và hữu hạn Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý 1.3 và bổ đề 1.5 Định lý sau đây cho một cách biểu diễn một tập đa diện qua các đỉnh và hướng cực biên của tập đó (tương ứng với các cạnh vô hạn của nó) Định lý 1.6 (Biểu diễn tập đa diện) Cho P là một tập đa diện khác rỗng và không bị chặn, xác định... trong Rn là một tập lồi Trong số các tập lồi thì tập đa diện có vai trò đặc biệt quan trọng và được dùng nhiều trong lý thuyết tối ưu Trước khi nêu định nghĩa tập đa diện, ta cần hiểu rõ khái niệm siêu phẳng và nửa không gian đóng Định nghĩa 1.6 (Siêu phẳng) Cho véctơ a ∈ Rn , a = 0 và số b ∈ R Tập H = {x ∈ Rn |aT x = a1 x1 +· · ·+an xn = b} gọi là một siêu phẳng (hyperplane) trong Rn Đó là tập nghiệm ...I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN TH BCH HNH TP LI A DIN V NG DNG TRONG QUI HOCH TUYN TNH A MC TIấU Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC... mi i = 1, ã ã ã , k 6 Hỡnh 1.1: Tp A li, Tp B khụng li B 1.1 Giao ca mt s hu hn li Rn l mt li Trong s cỏc li thỡ a din cú vai trũ c bit quan trng v c dựng nhiu lý thuyt ti u Trc nờu nh ngha... ã+an xn = b} gi l mt siờu phng (hyperplane) Rn ú l nghim ca mt phng trỡnh tuyn tớnh Rn Vớ d 1.1 Trong khụng gian chiu R3 , phng trỡnh x1 2x2 +3x3 = xỏc nh mt siờu phng R3 ú l mt phng gm tt c