ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com TỐN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 45 Chương Hàm số biến số Chương Phép tính vi phân hàm biến số Chương Phép tính tích phân hàm biến số Chương Lý thuyết chuỗi Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A1 – C1 – ĐH Cơng nghiệp TP HCM §1 §2 §3 §4 Chương Hàm số biế biến số Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Đại lượng vơ bé – vơ lớn Hàm số liên tục ……………………………………… §1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1 Các định nghĩa dãy số thực Định nghĩa Một dãy số thực (gọi tắt dãy số) ánh xạ f từ ℤ+ vào ℝ cho tương ứng f (n ) = x n ∈ ℝ Ký hiệu dãy số {x n }, n = 1, 2, Trong đó, x ; x ; ; x n ; gọi số hạng x n số hạng tổng qt dãy số Chương Hàm số biế biến số VD • Dãy số {x n }, x n = − dãy tăng n n +1 • Dãy số {x n }, x n = dãy giảm 2n • Dãy số {x n }, x n = (−1)n khơng đơn điệu Định nghĩa • Dãy số {x n } gọi bị chặn ∃M ∈ ℝ cho x n ≤ M , ∀n ∈ ℤ+ • Dãy số {x n } gọi bị chặn ∃m ∈ ℝ cho x n ≥ m, ∀n ∈ ℤ + • Dãy số {x n } gọi bị chặn dãy bị chặn bị chặn Tốn cao cấp A1 Đại học Sunday, October 31, 2010 Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục Đỗ Cơng Khanh – Tốn cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM Nguyễn Viết Đơng – Tốn cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội Biên soạ soạn: ThS ThS Đồ Đồn Vương Ngun Tải Slide giả giảng Tố Tốn A1 Đại học dvntailieu.wordpress.com Chương Hàm số biế biến số VD • Dãy số {x n } cho dạng liệt kê: 1 x = 1; x = ; x = ; ; x n = ; n • Dãy số {x n }, x n = (−1)n cho dạng tổng qt • Dãy số {x n } sau cho dạng quy nạp (hồi quy): x −1 x n := n −1 , x0 = 2x n −1 Định nghĩa • Dãy số {x n } gọi tăng (hay giảm) x n ≤ x n +1 (hay x n ≥ x n +1) với n ∈ ℤ + • Một dãy số tăng (hay giảm) gọi dãy đơn điệu Chương Hàm số biế biến số VD • Dãy số {x n }, x n = − bị chặn số n n +1 • Dãy số {x n }, x n = bị chặn số 2n • Dãy số {x n }, x n = (−1)n sin n bị chặn vì: x n ≤ 1, ∀n ∈ ℤ + • Dãy số {x n }, x n = (−n )n +1 khơng bị chặn khơng bị chặn Định nghĩa • Số a ∈ ℝ gọi giới hạn dãy số {x n } nếu: ∀ε > 0, ∃N ∈ ℝ : ∀n > N ⇒ x n − a < ε ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Hàm số biế biến số Chương Hàm số biế biến số Ký hiệu: lim x n = a hay x n → a 1.2 Các tính chất dãy số hội tụ Định lý • Nếu dãy số hội tụ giới hạn n →∞ • Dãy số {x n } có lim x n = −∞ nếu: n →∞ ∀m ∈ ℝ, ∃N ∈ ℝ : ∀n > N ⇒ x n < m • Dãy số {x n } có lim x n = +∞ nếu: n →∞ ∀M ∈ ℝ, ∃N ∈ ℝ : ∀n > N ⇒ x n > M • Nếu dãy số {x n } có lim x n = a ∈ ℝ (hữu hạn) ta nói n →∞ dãy hội tụ, ngược lại ta nói dãy phân kỳ 2n − VD Chứng tỏ rằng: lim = n →∞ 3n + • Nếu dãy số hội tụ dãy bị chặn • Nếu dãy số tăng bị chặn dãy hội tụ • Nếu dãy số giảm bị chặn dãy hội tụ Định lý Cho hai dãy số hội tụ {x n }, {yn } lim x n = a , lim yn = b Khi đó: n →∞ n →∞ • lim (kx n ) = ka, k ∈ ℝ ; lim (x n + yn ) = a + b n →∞ n →∞ • lim (x n yn ) = ab ; Chương Hàm số biế biến số Nếu lim x n = a, lim yn = b a ≤ b n →∞ • Cho ba dãy số {x n }, {yn }, {z n } thỏa x n ≤ yn ≤ z n với n ≥ N Nếu lim x n = lim z n = a lim yn = a n →∞ n →∞ n →∞ xn yn = a ; y ≠ 0, b ≠ b n Chương Hàm số biế biến số Định lý • Cho hai dãy số {x n }, {yn } thỏa x n ≤ yn , ∀n ≥ N n →∞ lim n →∞ n →∞ 1 sin2 ≤ nên: n n +1 n 1 ≤ lim sin2 ≤ lim = n →∞ n n + n →∞ n 1 Vậy lim sin2 = n →∞ n n +1 VD Ta có ≤ Chương Hàm số biế biến số Định lý (định lý Cantor) Cho hai dãy số {x n }, {yn } thỏa: x ≤ y , [x ; y ] ⊂ [x ; y ], ∀n ∈ ℤ+  n n n +1 n +1 n n   lim(yn − x n ) = x →∞ Khi đó, tồn số thực c ∈ [x n ; yn ], ∀n ∈ ℤ+ Định lý (định lý Bolzano – Weierstrass) • Định nghĩa Cho dãy số {x n } Từ đó, ta trích dãy số: x n ; x n ; x n ; ; x n ; k với số nk ∈ ℤ+ thỏa n1 < n2 < < nk < Khi đó, x n gọi dãy trích từ dãy {x n } { } k Chương Hàm số biế biến số Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) • Định lý Từ dãy số bị chặn, ta trích dãy hội tụ π VD Cho dãy số bị chặn {x n }, x n = sin n • Định nghĩa Dãy số {x n } gọi dãy Cauchy (hay Từ dãy {x n }, ta trích hai dãy sau: π x 2k := sin k π , x 4k +1 := sin(4k + 1) • Định lý Mọi dãy số hội tụ dãy Cauchy ngược lại, dãy Cauchy hội tụ Ta có: x 2k → (hội tụ) x 4k +1 → (hội tụ) Nhận xét Do hai dãy hội tụ hai giới hạn khác nên dãy {x n } khơng có giới hạn Vậy dãy {x n } phân kỳ Tốn cao cấp A1 Đại học dãy bản) ∀ε > cho trước, ta tìm N ∈ ℤ+ cho ∀m, n ≥ N x m − x n < ε VD Xét hội tụ dãy số {x n } sau: a) x n := (−1)n ; n sin sin sin n sin k b) x n := + + + =∑ 1.2 2.3 n(n + 1) k =1 k (k + 1) ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Hàm số biế biến số Chương Hàm số biế biến số Một số kết giới hạn cần nhớ 1) lim k = k , k ∈ ℝ n →∞ 2) lim x n =0 ⇔ lim =∞ ; lim x n =a ⇔ lim x n = a n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ x n 1 3) lim α = 0, ∀α > ; lim n = 0, ∀α > n →∞ n n →∞ α 4) Nếu a < lim a n = ; a > lim a n = ∞ n →∞ n →∞ 1.3 Một số ví dụ giới hạn dãy số 3n − n − n →∞ n2 + VD Tìm lim (n − 1)(4n + 3) n →∞ 2n − n + n VD Tìm lim 3n − n + n →∞ 4n + n  1 5) lim n a = (a > ); lim n n = 1; lim 1 +  = e n →∞ n →∞ n →∞  n   VD 10 Tìm lim ln n nα 6) Nếu α ≥ 1, β > lim α = lim n = n →∞ n n →∞ β VD 11 Tìm L = lim n Chương Hàm số biế biến số Chương Hàm số biế biến số n +1 2n  9n + 2n −   VD 12 Tìm L = lim   n +  n →∞  VD 16 Tìm giới hạn L = lim n →∞ n →∞ ( ) VD 15 Tìm giới hạn L = lim n − n n + ? A L = −∞ ; B L = +∞ ; C L = − ; D L = an = 0, a > n →∞ n ! ) ( ) n3 + − n2 − n ? VD 17* Chứng minh rằng: lim n + − 2n − n →∞ ( A L = ; B L = +∞; C L = − ; n +4    VD 13 Tìm L = lim 1 −  n →∞  n + 1  VD 14 Tìm L = lim + 22 + 32 + + n n →∞ 5n + n + D L = Chương Hàm số biế biến số VD 18* Xét hội tụ tìm giới hạn (nếu có) dãy: x n := + x n −1 , x = …………………………………………………… Chương Hàm số biế biến số 2.1 Bổ túc hàm số Nếu f (x1 ) = f (x ) ⇒ x1 = x f đơn ánh Nếu f (X ) = Y f tồn ánh (hay tràn ánh) 2.1.1 Định nghĩa hàm số Nếu f vừa đơn ánh vừa tồn ánh f song ánh §2 GIỚI HẠN HÀM SỐ Cho hai tập khác rỗng X , Y ⊂ ℝ Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y quy luật mà x ∈ X xác định y ∈ Y Khi đó: Miền xác định (MXĐ) f , ký hiệu D f , tập X Miền giá trị (MGT) f là: G = y = f (x ) x ∈ X { Tốn cao cấp A1 Đại học } VD Các hàm số: • f : ℝ → ℝ với y = f (x ) = 2x đơn ánh • f : ℝ → [0; +∞) với f (x ) = x tồn ánh • f : (0; +∞) → ℝ với f (x ) = ln x song ánh Hàm số y = f (x ) gọi hàm chẵn nếu: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ D f Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Hàm số biế biến số Hàm số y = f (x ) gọi hàm lẻ nếu: f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ 2.1.2 Hàm số hợp Cho hai hàm số f g thỏa điều kiện Gg ⊂ Df Khi đó, hàm số h(x ) = ( f hàm số hợp f g Chú ý (f g )(x ) = f [g (x )] gọi g )(x ) ≠ (g f )(x ) Ký hiệu là: g = f −1 VD Cho f (x ) = 2x thì: f −1(x ) = log2 x , x > Nhận xét VD Hàm số y = 2(x + 1) − x − hàm hợp Chương Hàm số biế biến số 2.1.3 Hàm số ngược Hàm số g gọi hàm số ngược hàm số f nếu: x = g (y ), ∀y ∈ G f f (x ) = 2x − x g(x ) = x + Đồ thị hàm số y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị hàm số y = f (x ) qua đường thẳng y = x Chương Hàm số biế biến số 2.1.4 Hàm số lượng giác ngược a) Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = sin x có hàm ngược  π π f −1 : [−1; 1] → − ;   2   x ֏ y = arcsin x  π π − ;   2   Chương Hàm số biế biến số b) Hàm số y = arccos x • Hàm số y = cos x có hàm ngược [0; π] f −1 : [−1; 1] → [0; π] x ֏ y = arccos x π ; arccos(−1) = π ; VD arccos = VD arcsin = ; π arcsin(−1) = − ; π arcsin = arccos Chú ý arcsin x + arccos x = Chương Hàm số biế biến số c) Hàm số y = arctan x  π π • Hàm số y = tan x có hàm ngược − ;   2   π π f −1 : ℝ → − ;   2  x ֏ y = arctan x VD arctan = ; π , ∀x ∈ [−1; 1] Chương Hàm số biế biến số d) Hàm số y = arccot x • Hàm số y = cot x có hàm ngược (0; π) f −1 : ℝ → (0; π) x ֏ y = arc cot x π ; 3π arc cot(−1) = ; π arc cot = arc cot Quy ước (+∞) = 0, arc cot (−∞) = π VD arc cot = π arctan(−1) = − ; π arctan = Quy ước arctan (+∞) = π −1 2π = ; arccos = π π , arctan (−∞) = − 2 Tốn cao cấp A1 Đại học ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Hàm số biế biến số 2.2 Giới hạn hàm số 2.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa Cho hàm f (x ) xác định (a; b ) Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x tiến đến x ∈ [a; b ] với ε > cho trước, ta tìm số δ > cho < x − x < δ f (x ) − L < ε Ký hiệu là: lim f (x ) = L x →x Định nghĩa (định nghĩa theo dãy) Cho f (x ) xác định (a; b ) Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x → x ∈ [a ; b ] với dãy {x n } (a ; b) \ {x } mà x n → x f (x n ) → L Chương Hàm số biế biến số Định nghĩa (giới hạn vơ cùng) • Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x → +∞ với ε > cho trước ta tìm số M > cho x > M f (x ) − L < ε Ký hiệu là: lim f (x ) = L x →+∞ • Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x → −∞ với ε > cho trước ta tìm số m < cho x < m f (x ) − L < ε Ký hiệu là: lim f (x ) = L x →−∞ Chương Hàm số biế biến số Chương Hàm số biế biến số Định nghĩa (giới hạn phía) Định nghĩa (giới hạn vơ cùng) • Ta nói f (x ) có giới hạn L = +∞ x → x với số M > lớn tùy ý, ta tìm số δ > cho < x − x < δ f (x ) > M Ký hiệu là: lim f (x ) = +∞ x →x • Ta nói f (x ) có giới hạn L = −∞ x → x với số m < tùy ý, ta tìm số δ > cho < x − x < δ f (x ) < m Ký hiệu là: lim f (x ) = −∞ x →x • Nếu f (x ) có giới hạn L (L ∞ ) x → x (x hữu hạn) x > x ta nói f (x ) có giới hạn phải x Ký hiệu: lim f (x ) = L lim f (x ) = L x →x +0 x →x x →x − x →x f (x ) a = (b ≠ 0) x →x g (x ) x →x b 5) Nếu f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ (x − ε; x + ε) a ≤ b 6) Nếu f (x ) ≤ h(x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ (x − ε; x + ε) lim f (x ) = lim g(x ) = L lim h(x ) = L x →x Tốn cao cấp A1 Đại học Chương Hàm số biế biến số Một số kết giới hạn cần nhớ 1) lim sin α(x ) tan α(x ) = lim = α ( x ) → α(x ) α(x ) 2) Nếu α ≥ 1, β > lim 2) lim [ f (x ) ± g(x )] = a ± b x →x x →x + ln x xα = lim =0 x →+∞ x α x →+∞ β x x →x 3) lim [ f (x )g(x )] = ab ; Chú ý lim f (x ) = L ⇔ lim f (x ) = lim f (x ) = L α (x )→ 1) lim [k f (x )] = k a (k ∈ ℝ) x →x − x →x −0 Chương Hàm số biế biến số x →x 0 • Nếu f (x ) có giới hạn L (L ∞ ) x → x (x hữu hạn) x < x ta nói f (x ) có giới hạn trái x Ký hiệu: lim f (x ) = L lim f (x ) = L x →x 2.2.2 Tính chất Cho lim f (x ) = a lim g(x ) = b Khi đó: x →x + 4) lim x →x 3) Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: x →x x →x v (x ) lim [u(x )] x →x = ab x    4) lim 1 +  = lim (1 + x )x = e x →±∞  x →0 x   ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Hàm số biế biến số Chương Hàm số biế biến số 2.2.3 Một số ví dụ − 3x + VD Tìm giới hạn L = lim x →0 x VD Tìm giới hạn L = lim x →0 x + − − 2x x   VD Tìm giới hạn L = lim  x + 2x − x    x →+∞   VD Tìm giới hạn L = lim x + + x + 1   x →−∞ tan − x , x ≤  VD Cho hàm số f (x ) =  sin2 x −  , x >  3x −  Tính f (1), lim− f (x ) lim+ f (x ) x →1 2x  x −1  x − x −  VD Tìm giới hạn L = lim   x →−∞   x +  A L = ; Chương Hàm số biế biến số A L = ∞ ; B L = e ; C L = e ; D L = 1 A L = ∞ ; B L C L = e2; ( D L = b) Tính chất VCB 1) Nếu α(x ), β(x ) VCB x → x α(x ) ± β(x ) α(x ).β(x ) VCB x → x 2) Nếu α(x ) VCB β(x ) bị chận lân cận x α(x ).β(x ) VCB x → x 3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), α(x ) Tốn cao cấp A1 Đại học 3.1 Đại lượng vơ bé a) Định nghĩa • Hàm số α(x ) gọi đại lượng vơ bé (VCB) x → x lim α(x ) = (x0 vơ cùng) ) VD α(x ) = tan3 sin − x VCB x → 1− ; Chương Hàm số biế biến số VCB x → x D L = x →x ……………………………………… x →x C L = 1; §3 ĐẠI LƯỢNG VƠ CÙNG BÉ – VƠ CÙNG LỚN  cos x x VD 8* Tìm giới hạn L = lim    cos 2x  x →0  = e2; B L = ; Chương Hàm số biế biến số 2x −3  x + x +   VD Tìm giới hạn L = lim  x →∞  x +    x →1 β(x ) = ln2 x VCB x → +∞ Chương Hàm số biế biến số c) So sánh VCB • Định nghĩa Cho α(x ), β(x ) VCB x → x , lim x →x α(x ) = k β(x ) Khi đó: – Nếu k = , ta nói α(x ) VCB cấp cao β(x ), ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) – Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) VCB cấp thấp β(x ) – Nếu ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) β(x ) VCB cấp – Đặc biệt, k = 1, ta nói α(x ) β(x ) VCB tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Hàm số biế biến số Chương Hàm số biế biến số VD • − cos x VCB cấp với x x → vì: x sin2 − cos x = = lim lim 2 x →0 x → x x      • sin 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 x → • Tính chất VCB tương đương x → x0 1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )) 2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) α(x ) ∼ γ(x ) 3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α (x ) ∼ β2 (x ) α1(x )α (x ) ∼ β1(x )β2 (x ) 4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) α(x ) + β(x ) ∼ β(x ) • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho α(x ), β(x ) tổng VCB khác cấp x → x α(x ) lim giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x →x β(x ) tử mẫu x − cos x + VD Tìm giới hạn L = lim x →0 x4 + x2 • Các VCB tương đương cần nhớ x → 1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ; 3) arcsin x ∼ x ; 4) arctan x ∼ x x2 5) − cos x ∼ ; 6) e x − ∼ x ; Chương Hàm số biế biến số Chương Hàm số biế biến số x 7) ln(1 + x ) ∼ x ; 8) + x − ∼ n Chú ý Nếu u(x ) VCB x → ta thay x u(x ) cơng thức ln(1 − 2x sin2 x ) VD Tính giới hạn L = lim x →0 sin x tan x n VD Tính L = lim sin ( ) x + − + x − tan2 x sin x + 2x x = 2t − t  VD Cho hàm số y = f (x ) thỏa:  y = t + 3t Khi x → , chọn đáp án đúng? x →0 Chương Hàm số biế biến số 3.2 Đại lượng vơ lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) gọi đại lượng vơ lớn (VCL) x → x lim f (x ) = ∞ (x0 vơ cùng) x →x VD cos x + VCL x → ; 2x − sin x x3 + x −1 VCL x → +∞ x − cos 4x + Nhận xét Hàm số f (x ) VCL x → x VCB x → x f (x ) Tốn cao cấp A1 Đại học x2 x2 ; B f (x ) ∼ ; x C f (x ) ∼ ; D f (x ) ∼ −3x Chú ý Quy tắc VCB tương đương khơng áp dụng cho hiệu tổng VCB chúng làm triệt tiêu tử mẫu phân thức A f (x ) ∼ VD lim x →0 e x + e −x − x2 = lim (e x − 1) + (e −x − 1) x2 x + (−x ) = lim = (Sai!) x →0 x2 x →0 Chương Hàm số biế biến số b) So sánh VCL • Định nghĩa Cho f (x ), g(x ) VCL x → x , lim x →x f (x ) =k g(x ) Khi đó: – Nếu k = , ta nói f (x ) VCL cấp thấp g(x ) – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) VCL cấp cao g(x ) – Nếu ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) g(x ) VCL cấp – Đặc biệt, k = 1, ta nói f (x ) g(x ) VCL tương đương Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Hàm số biế biến số VD • x → vì: 2x + x 3  2x + x x lim  :  = lim = lim = ∞ 3  x →0  x → x →  x 2x + x  x x3 x3 VCL khác cấp với • x + x − ∼ x x → +∞ Chương Hàm số biế biến số • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) g(x) tổng VCL khác cấp x → x f (x ) lim giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao x →x g(x ) tử mẫu VD Tính giới hạn: x − cos x + x − 2x + A = lim ; B = lim x →∞ x →+∞ 3x + 2x x − sin2 x Chương Hàm số biế biến số §4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1 Định nghĩa • Số x ∈ Df gọi điểm lập f (x ) ∃ε > : ∀x ∈ (x − ε; x + ε) \ {x } x ∉ D f • Hàm số f (x ) liên tục x lim f (x ) = f (x ) x →x • Hàm số f (x ) liên tục tập X f (x ) liên tục điểm x ∈ X Chú ý Hàm f (x ) liên tục đoạn [a; b ] có đồ thị đường liền nét (khơng đứt khúc) đoạn Quy ước Hàm f (x ) liên tục điểm lập Chương Hàm số biế biến số 4.2 Định lý • Tổng, hiệu, tích thương hàm số liên tục x0 hàm số liên tục x0 • Hàm số sơ cấp xác định đâu liên tục • Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn nhỏ đoạn 4.3 Hàm số liên tục phía • Định nghĩa Hàm số f(x) gọi liên tục trái (phải) x0 lim f (x ) = f (x ) ( lim f (x ) = f (x )) x → x 0− • Định lý Hàm số f(x) liên tục x0 lim f (x ) = lim f (x ) = f (x ) x →x 0− Chương Hàm số biế biến số  tan2 x + sin2 x  , x >0 VD Cho hàm số f (x ) =   2x  α , x ≤  Giá trị α để hàm số liên tục x = là: A α = ; B α = ; C α = ; D α = 2  ln(cos x )  ,x ≠0 VD Cho hàm số f (x ) =  arctan2 x + 2x  α − 3, x =  Giá trị α để hàm số liên tục x = là: 17 17 3 A α = ; B α = − ; C α = − ; D α = 12 12 2 Tốn cao cấp A1 Đại học x → x 0+ x →x 0+ Chương Hàm số biế biến số 4.4 Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm f (x ) khơng liên tục x x gọi điểm gián đoạn f (x ) y (C ) O x0 x • Nếu tồn giới hạn: lim f (x ) = f (x 0− ), lim f (x ) = f (x 0+ ) x →x 0− x →x 0+ f (x 0− ), f (x 0+ ) f (x ) khơng đồng thời ta nói x điểm gián đoạn loại Ngược lại, x điểm gián đoạn loại hai …………………………………………………………………………… ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số §1 §2 §3 §4 §5 §6 Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số Đạo hàm Vi phân Các định lý hàm khả vi – Cực trị Cơng thức Taylor Quy tắc L’Hospital Khảo sát hàm số ……………………………………………………… §1 ĐẠO HÀM 1.1 Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f (x ) xác định lân cận (a ; b) x ∈ (a ; b ) Giới hạn: f (x + ∆x ) − f (x ) ∆y lim = lim ∆x → ∆ x ∆x → ∆x (nếu có) gọi đạo hàm y = f (x ) x Ký hiệu f ′(x ) hay y ′(x ) Nhận xét Do ∆x = x − x nên: f ′(x ) = lim b) Đạo hàm phía Cho hàm số y = f (x ) xác định lân cận phải f (x ) − f (x ) (x ; b ) x Giới hạn lim (nếu có) + x − x0 x →x gọi đạo hàm bên phải y = f (x ) x Ký hiệu f ′(x 0+ ) Tương tự, f ′(x 0− ) Nhận xét Hàm số f (x ) có đạo hàm x0 f ′(x ) = f ′(x 0− ) = f ′(x 0+ ) 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích thương hai hàm số: (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ;  k ′ −kv ′  u ′ u ′v − uv ′   =   = , k ∈ ℝ ;  v   v  v2 v2 2) Đạo hàm hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]: VD Cho f (x ) = x ⇒ f ′(0) = ∞, f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ Chú ý f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) Nếu f (x ) liên tục có đạo hàm vơ x tiếp tuyến x đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy 3) Đạo hàm hàm số ngược y = y(x ): x ′(y ) = y ′(x ) Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số Đạo hàm số hàm số sơ cấp α−1 ; 3) (sin x )′ = cos x ; 5) (tan x )′ = cos x = + tan2 x ; Tốn cao cấp A1 Đại học 2) ′ = ex ; 8) a x ( )′ = x1 ; 10) loga x 9) ln x 4) (cos x )′ = − sin x ; sin2 x ( )′ = a ln a ; ( ) 7) e x ( x )′ = 1x ; 6) (cot x )′ = − Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số • Tương tự, ta có khái niệm đạo hàm vơ phía ( )′ = α.x x − x0 x →x Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số c) Đạo hàm vơ ∆y • Nếu tỉ số → ∞ ∆x → ta nói y = f (x ) có ∆x đạo hàm vơ x 1) x α f (x ) − f (x ) 11) (arcsin x )′ = ( 1−x x )′ = x ln1 a ; ; 12)(arccos x )′ = ; 14) (arc cot x )′ = −1 − x2 ; ; 13) (arctan x )′ = 1+x −1 + x2 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số 1.3 Đạo hàm hàm số cho phương trình tham số • Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số x = x (t ), y = y(t ) Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược hàm số ngược có đạo hàm thì: y′ y ′(t ) y ′(x ) = hay yx′ = t x ′(t ) x t′ x = 2t −  VD Tính y ′(x ) hàm số cho  , t ≠ y = 4t  x = et  VD Tính yx′ (1) hàm số cho  y = t − 2t Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số VD Tính f (n )(x ) hàm số f (x ) = (1 − x )n +1 VD Tính y(n ) hàm số y = x − 3x − Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số 1.4 Đạo hàm cấp cao • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) f ′(x ) có đạo hàm ( f ′(x ))′ = f ′′(x ) đạo hàm cấp hai f (x ) • Tương tự ta có: ′ f (n )(x ) = f (n −1)(x ) đạo hàm cấp n f (x ) ( ) VD Cho hàm số f (x ) = sin x Tính đạo hàm f (6)(0) A f (6)(0) = 32 ; B f (6)(0) = −32 ; C f (6)(0) = −16 ; D f (6)(0) = Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số 1.5 Đạo hàm hàm số ẩn • Cho phương trình F (x , y ) = (*) Nếu y = y(x ) hàm số xác định khoảng cho y(x ) vào (*) ta đồng thức y(x ) gọi hàm số ẩn xác định (*) • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta Fx′ + Fy′.yx′ = Vậy yx′ = − VD Tính đạo hàm f (n )(x ) hàm số f (x ) = sin x Fx′ , F ′ ≠ Fy′ y y ′(x ) = yx′ gọi đạo hàm hàm số ẩn y(x ) Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định xy − e x + e y = Tính y ′(x ) VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: xy − e x + ln y = (*) Tính y ′(0) VD 10 Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: y ln x + y = arctan Tính y ′(x ) x Chú ý Ta xem hàm ẩn y(x ) hàm hợp u(x ) thực đạo hàm hàm số hợp VD 11 Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: y − (x − 2)y − 2x = (*) Tính y ′′(1) Tốn cao cấp A1 Đại học Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số VD 12 Viết phương trình tiếp tuyến x y2 (E ) : + = điểm M (x ; y ) ∈ (E ) a b2 Giải x y2 + −1 • Với y0 ≠ , ta có: F = a b2  F ′ = 2x  x a ⇒ y ′(x ) = − b x ⇒   2y0 a 2y0 Fy′ = b  10 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số • Cho đường cong (C ) tọa độ Descartes có phương trình F (x , y ) = Thay x = r cos ϕ, y = r sin ϕ vào ta F (r cos ϕ, r sin ϕ) = , giải r theo ϕ ta thu phương trình (C ) tọa độ cực VD Trong mpOxy , xét phương trình đường tròn qua gốc tọa độ O(0; 0): (C ) : x + y − 2ax − 2by = Ta có: r cos2 ϕ + r sin2 ϕ − 2a(r cos ϕ) − 2b(r sin ϕ) = Vậy phương trình (C ) tọa độ cực là: r = 2(a cos ϕ + b sin ϕ) Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số 6.2.3 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số r = r(φ) • Ta xem x = r (ϕ) cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ khảo sát trường hợp theo tham số ϕ • Trong nhiều trường hợp biến ϕ tăng dần, ta theo dõi chiều biến thiên r để vẽ đồ thị • Góc α tạo bán kính cực tiếp tuyến xác định r (ϕ) cơng thức: tg α = r ′(ϕ) VD Khảo sát vẽ đồ thị (C ) : r = a cos 2ϕ π π Giải MXĐ: cos 2ϕ ≥ ⇔ − + k π ≤ ϕ ≤ + k π 4 Chương Phé Phép tính vi phân hàm biế biến số Hàm cos 2ϕ tuần hồn với chu kỳ π nên ta khảo sát π π khoảng − ≤ ϕ ≤ r = a cos 2ϕ 4 a sin 2ϕ Ta có: r ′(ϕ) = − = ⇔ ϕ = cos 2ϕ Bảng biến thiên Đồ thị Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số §1 Tích phân bất định §2 Tích phân xác định §3 Ứng dụng tích phân xác định §4 Tích phân suy rộng ………………………… §1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Định nghĩa • Hàm số F (x ) gọi ngun hàm f (x ) khoảng (a; b ) F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ) Ký hiệu …… …………………………………… Nhận xét • Nếu F (x ) ngun hàm f (x ) F (x ) + C ngun hàm f (x ) Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Tính chất 1) ∫ k f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ 2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C d f (x )dx = f (x ) dx ∫ 4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx 3) ∫ f (x )dx (đọc tích phân) Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 3) ∫ dx = ln x + C ; x 4) ∫ e dx = e + C ; 7) ∫ cos xdx = sin x + C ; x 5) 9) ∫ cos x dx ∫ MỘT SỐ NGUN HÀM CẦN NHỚ ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ 11) ∫ x + a = a arctan a + C 2) ∫x x α+1 + C , α ≠ −1 α +1 12) ∫ dx = Tốn cao cấp A1 Đại học dx a −x = arcsin ax dx sin2 x = − cot x + C x 1) α = x +C x x 6) = tan x + C ; 10) dx ∫ a dx = ln a + C 8) ∫ sin xdx = − cos x + C x dx ∫ x +C, a > a 19 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 13) dx ∫ x −a2 = x −a ln +C 2a x + a ∫ dx x = ln tan + C sin x 15) ∫ x π dx = ln tan  +  + C   cos x 16) ∫ 14) dx x +a = ln x + x + a + C Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD Tính I = − x2 2+x A I = ln +C ; 2−x x −2 C I = ln +C ; x +2 VD Tính I = Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 1.2 Phương pháp đổi biến a) Định lý Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C với ϕ(t ) khả vi thì: ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C VD Tính I = ∫ dx x − ln x dx x (x + 3) ∫ VD Tính I = ∫ sin x + dx cot x  1   +C + dx = ln 2x + −  2x + 2  2(2 x + 1) (2x + 1)   Dạng 2: I = αx + β ∫ ax + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ >  p q  dx , +   x − x1 x − x  (x 1, x nghiệm mẫu thức) Cách giải Biến đổi I = ∫ a VD ∫ 3x + dx = ∫ 2 2x + 3x − Tốn cao cấp A1 Đại học dx ∫ x −x −6 3x + dx  5 (x − 1) x +    B I = 2−x ln +C ; 2+x D I = x +2 ln +C x −2 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD Tính I = ∫  π dx , x ∈ 0;    cos x cos2 x + tan x b) Một số dạng tích phân hữu tỉ (tham khảo) αx + β dx, a ≠ Dạng 1: I = ∫ (ax + b )2 VD Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số ∫ Cách giải Biến đổi I = VD Tính I = = dx ∫ ∫ 4x + 4x + 4x + ∫ dx =  p  q   + dx  ax + b (ax + b )2   ∫ 2(2x + 1) + (2x + 1)2 dx Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 5 3x + = ∫ (x − 1)(2x + 5) dx = ∫  x − + = 11 ln x − + ln 2x + + C 14 Dạng 3: I = αx + β ∫ ax + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ < Cách giải Biến đổi I = VD I = ∫ 11  dx 2x +  ∫ 2x + 4x − 4x +  X p   + dx  2  X + γ X + γ  dx = (2x − 1) + ∫ (2x − 1)2 + dx 20 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số = 2x − I1 I2 ∫ (2x − 1)2 + dx + ∫ (2x − 1)2 + dx d[(2x − 1) + 4] = ln[(2x − 1)2 + 4] + C ∫ (2x − 1)2 + 4  2x − 1  d   2x − 1    + C • I2 = ∫ = arctan    2  2x − 1 +     • I1 = Vậy I =  2x − 1 1  + C ln 4x − 4x + + arctan    ( ) Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Vậy I = ∫   − − + dx = + ln x − + C  x x x − 1 x x VD 11 Tính I = ∫ x + 4x + dx x (x − 1)2 x + 4x + A B C = + + Giải Ta có: x x − (x − 1)2 x (x − 1) Đồng hệ số, ta được: A = 4, B = −3, C = dx dx dx − 3∫ + 9∫ x x −1 (x − 1)2 = ln x − ln x − − +C x −1 Vậy I = ∫ Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số c) Tích phân hàm lượng giác I = ∫ R(sin x , cos x )dx Cách giải • Nếu R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ) (nghĩa bậc sin lẻ) ta đặt t = cos x • Nếu R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) (nghĩa bậc cosin lẻ) ta đặt t = sin x • Nếu R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x ) (nghĩa bậc sin cosin chẵn) ta đặt t = tan x hạ bậc • Nếu R(sin x , cos x ) = ta đặt: a sin x + b cos x + c x 2t − t2 t = tan ⇒ sin x = , cos x = + t2 + t2 Tốn cao cấp A1 Đại học Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Dạng Tích phân hàm hữu tỉ bậc cao Cách giải Biến đổi hàm dấu tích phân phân thức tối giản dx VD 10 Tính I = ∫ x (x − 1) Giải Ta có: A B C = + + x x −1 x (x − 1) x (B + C )x + (A − B )x − A x (x − 1) Đồng hệ số, ta được: A = −1, B = −1, C = = Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số  x2 −    ∫  x − 7x + dx x2 − x2 − Giải Ta có: = x − 7x + (x − 1)(x − 2)(x + 3) A B C = + + x −1 x − x + 1 Đồng hệ số, ta được: A = , B = , C = 10 dx dx dx + ∫ + ∫ Vậy I = ∫ x − x − 10 x + 1 = ln x − + ln x − + ln x + + C 10 VD 12 Tính I = Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD 13 Tính I = ∫ sin VD 14 Tính I = ∫ VD 15 Tính I = ∫ 2x cos2 x dx dx sin x + sin 2x − cos2 x dx sin x + cos x + 1.3 Phương pháp tích phân phần a) Cơng thức ∫ u(x )v ′(x )dx = u(x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx hay ∫ udv = uv − ∫ vdu 21 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD 16 Tính I = ∫ x ln x dx VD 17 Tính I = ∫ x 2x Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số b) Các dạng tích phân phần thường gặp dx • Đối với dạng tích phân Chú ý Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trước lấy phần VD 18 Tính I = ∫ cos VD 19 Tính I = ∫ cos ∫ P(x )ln α x dx , u = lnα x , dv = P (x )dx x dx ………………………………………………… Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ điểm chia x = a < x1 < < xn −1 < xn = b Lấy điểm ξk ∈ [x k −1; x k ] tùy ý (k = 1, n ) Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Tính chất b 1) k =1 Giới hạn hữu hạn (nếu có) I = lim max(x k −x k −1 )→ 2) k b ∫ f (x )dx a b ∫ [ f (x ) ± g (x )]dx a a 3) ∫ 4) ∫ = ∫ b f (x )dx ± a ∫ a a f (x )dx = g (x )dx f (x )dx = − ∫ f (x )dx b c b ∫ a ∫ a b f (x )dx = 0; a b σ gọi tích phân xác định f (x ) đoạn [a ; b ] ∫ b k f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ a b n Lập tổng tích phân: σ = ∑ f (ξk )(x k − x k −1 ) f (x )dx + a ∫ f (x )dx , c ∈ [a ; b ] c b ∫ 5) f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [a ; b ] ⇒ a f (x )dx ≥ a Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số b 6) f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ; b ] ⇒ b b a 8) m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a; b ] b ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a 9) Nếu f (x ) liên tục đoạn [a; b ] b ∃c ∈ [a; b ] : ∫ f (x )dx = f (c )(b − a ) a Tốn cao cấp A1 Đại học Khi đó, đại lượng f (c ) = a f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx a Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số b ∫ f (x )dx ≤ ∫ g(x )dx a ∫ dx , P (x ) đa thức, P (x ) đa thức, ta đặt: §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1 Định nghĩa Cho hàm số f (x ) xác định [a; b ] 7) a < b ⇒ αx u = P (x ), dv = e αx dx • Đối với dạng tích phân x e sin x dx ∫ P(x )e ta đặt: Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Ký hiệu I = ∫ cos(ln x )dx VD 20 Tính I = b −a b ∫ f (x )dx gọi a giá trị trung bình f (x ) đoạn [a; b] VD Tích phân ∫ dx bị chặn (hữu hạn) x + cos2 x hàm số f (x ) = liên tục đoạn [0; 1] x + cos x VD Giá trị trung bình hàm số f (x ) = [1; e ] x e dx = ∫ e −1 x e −1 22 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 2.2 Cơng thức Newton – Leibnitz 2.2.1 Tích phân với cận thay đổi sin x Cho hàm f (x ) khả tích [a; b ], với x ∈ [a; b ] VD Tìm giới hạn L = lim x → 0+ x hàm số ϕ(x ) = ∫ 2t dt tan x ∫ ∫ f (t )dt liên tục x ∈ [a; b ] sin t dt a ϕ′(x ) = f (x ) x x VD Xét ϕ(x ) = ∫ e dt, x > VD Tìm giới hạn L = lim t2 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 2.2.2 Cơng thức Newton – Leibnitz Nếu f (x ) liên tục [a ; b ] F (x ) ngun hàm α α ∫ −α a f (x )dx = 2∫ f (x )dx b ngun hàm f (x ) [a; b ] 4) Để tính ∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ) a Nhận xét 1) Có hai phương pháp tính tích phân §1 α ∫ f (x )dx = ∫ f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu f (x ) để a b 2) f (x ) liên tục lẻ [−α; α ] x2 + 3) f (x ) liên tục chẵn [−α; α ] thì: ∫ f (t )dt F (x ) = ϕ(x )+C b dt Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số x tùy ý f (x ) ϕ(x ) = x →+∞ Ta có: f (t ) = e ϕ ′(x ) = f (x ) = e x Vậy ta có: ∫ (arctan t ) t2 tách f (x ) thành tổng hàm đoạn nhỏ Đặc biệt b ∫ a b f (x ) dx = ∫ f (x )dx f (x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b ) a −α Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD Tính tích phân I = dx ∫ x − 2x + Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD 10* Lập cơng thức quy nạp (truy hồi) để tính: π e VD Tính tích phân I = ∫ (x + 1) ln x dx x In = ∫ tan n x dx , n ≥ VD Tính tích phân I = ∫ x + 1.sin x dx VD 11* Lập cơng thức quy nạp (truy hồi) để tính: π −1 VD Tính tích phân I = ∫ −3 Tốn cao cấp A1 Đại học x − x dx In = ∫ sin n x dx , n ≥ 23 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số π Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số xn ∫ x + dx = n →∞ π Nhận xét Đặt t = − x , ta được: I n = ∫ cosn x dx VD 12* Chứng minh rằng: lim Sử dụng cơng thức truy hồi, ta có cơng thức Walliss:  (n − 1)!! π π  , n lẻ 2  n !! n n = = sin xd x cos x dx  ∫ ∫ π  (n − 1)!! , n chẵn 0  n !!  Trong đó: 0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 3; !! = 2.4 ; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; !! = 1.3.5.7; VD 13* Sử dụng định nghĩa tích phân, tính giới hạn:    1 n  L = lim   + + + + + +  n →∞  n  n n n     Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 Tính diện tích S hình phẳng 3.1.1 Biên hình phẳng cho tọa độ Descartes a) Biên hình phẳng cho phương trình tổng qt S=∫ VD 14* Sử dụng định nghĩa tích phân, tính giới hạn: 1 1  L = lim  + + + +  n n + n + n →∞  2n − 1 …………………………………………… Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y = x y = x A S = ; B S = 15 15 C S = ; D S = 15 15 S S b  f (x ) − f (x ) dx   d S = ∫ g (y ) − g1 (y ) dy a c Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn y = x − x + trục hồnh VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y = e x − , y = e 2x − x = ln − 1 − ln A ln − ; B ; C ; D ln − 2 2 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD Tính diện tích S giới hạn đường cong: x (t ) = t − 1, y(t ) = 4t − t y − O x b) Biên hình phẳng cho phương trình tham số Hình phẳng giới hạn đường cong có phương trình x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [α; β] thì: β S = ∫ y(t ).x ′(t ) dt α VD Tính diện tích hình elip S : Tốn cao cấp A1 Đại học x2 a2 + y2 b2 3.1.2 Diện tích hình quạt cong tọa độ cực Diện tích hình quạt cong S có biên cho tọa độ cực (xem §6 Chương 2) giới hạn r = r (ϕ), ϕ ∈ [α; β] là: β ≤ S= r (ϕ)d ϕ ∫α 24 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số VD Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi:  π r = cos 4ϕ, ϕ ∈ 0;   8   VD Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi: y = 0, y = x ,   2 x + y − 2x = VD Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi: x = 0, y = x x + y + 2y = A S = π 3π 3π π + ; B S = + ; C S = ; D S = 2 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số b) Đường cong có phương trình tham số Cho cung AB có phương trình tham số x = x (t )  , t ∈ [α; β] thì:  y = y(t )  β l = ∫ [x ′(t )] + [y ′(t )] dt AB Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 3.2 Tính độ dài l đường cong a) Đường cong có phương trình tổng qt Cho cung AB có phương trình y = f (x ), x ∈ [a ; b ] thì: b l AB =∫ + [ f ′(x )]2 dx a  π VD Tính độ dài l cung y = ln(cos x ), x ∈  0;   4   Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số c) Đường cong có phương trình tọa độ cực Cho cung AB có phương trình tọa độ cực r = r (ϕ), ϕ ∈ [α; β] thì: β l AB =∫ r (ϕ) + [r ′(ϕ)]2 d ϕ α α VD 10 Tính độ dài l cung C có phương trình:  x = t +     , t ∈ 0; 1 y = ln t + t +   Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 3.3 Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y = f (x ), y = , x = a , x = b quay quanh Ox là: b V = π∫ [ f (x )] dx a VD 12 Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn y = ln x , y = 0, x = 1, x = e quay xung quanh Ox VD 13 Tính V (E ) : x2 a2 + Tốn cao cấp A1 Đại học y2 b2 = quay quanh Ox VD 11 Tính độ dài l cung: r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0; π] Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn x = g(y ), x = , y = c y = d quay quanh Oy là: d V = π ∫ [g(y )]2 dy c VD 14 Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn y = 2x − x , y = quay xung quanh Oy Giải Ta có: x = + − y , x ≥  y = 2x − x ⇔  x = − − y , x <  25 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Vậy V = π∫   + 1−y   ( ) − (1 − = 4π∫ − y dy = − 2 ) − y  dy   8π 8π (1 − y )3 = 3 Chú ý Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y = f (x ), y = , x = a x = b quay quanh Oy tính theo cơng thức: b V = 2π ∫ xf (x )dx (*) Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay a) Diện tích mặt tròn xoay S đường cong y = f (x ), a ≤ x ≤ b , quay xung quanh trục Ox là: b S = 2π∫ f (x ) + [ f ′(x )]2 dx a VD 16 Tính diện tích mặt cầu x + y + z = R b) Diện tích mặt tròn xoay S đường cong x = g(x ), c ≤ y ≤ d , quay xung quanh trục Oy là: d S = 2π∫ g(y ) + [g ′(y )]2 dy a c VD 15 Dùng cơng thức (*) để giải lại VD 14 VD 17 Tính S y = x , ≤ x ≤ xoay quanh Oy Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số §4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1 Tích phân suy rộng loại 4.1.1 Định nghĩa • Cho hàm số f (x ) xác định [a ; +∞), khả tích đoạn [a ; b ] (a < b ) b Giới hạn (nếu có) ∫ f (x )dx b → +∞ gọi Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số • Định nghĩa tương tự: b ∫ b f (x )dx = lim a →−∞ −∞ +∞ ∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx ; a b ∫ f (x )dx b →+∞ a →−∞ a −∞ a tích phân suy rộng loại f (x ) [a ; +∞) Ký hiệu: +∞ ∫ b f (x )dx = lim b →+∞ a • Nghiên cứu tích phân suy rộng (nói chung) khảo sát hội tụ tính giá trị hội tụ (thường khó) ∫ f (x )dx a Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số +∞ VD Khảo sát hội tụ tích phân I = b I = lim b →+∞ ∫ ∫ Giải • Trường hợp α = 1: • Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ dx xα Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số (hội tụ) α −1 • Với α ≤ 1: I = +∞ (phân kỳ) Vậy: • Với α > : I = b  dx = lim ln x  = +∞ (phân kỳ) 1 b →+∞  x • Trường hợp α khác 1: b  dx = I = lim ∫ lim x 1−α  α b →+∞ 1 − α b →+∞   x   , α >1 = lim b1−α − = α −  + ∞, α < 1 − α b →+∞  VD Tính tích phân I = b ( Tốn cao cấp A1 Đại học ) ∫ −∞ (1 − x ) +∞ VD Tính tích phân I = dx ∫ dx −∞ + x 26 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Chú ý • Nếu tồn lim F (x ) = F (+∞), ta dùng cơng thức: x →+∞ +∞ ∫ f (x )dx = F (x ) +∞ a 4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn Nếu ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞) +∞ a ∫ f (x )dx = F (x ) b −∞ +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = +∞ f (x )dx = F (x ) −∞ +∞ −∞ c) Tiêu chuẩn • Cho f (x ), g(x ) liên tục, ln dương [a ; +∞) +∞ f (x ) dx hội tụ a ∫ f (x )dx hội tụ (ngược lại lim x →+∞ a khơng đúng) • Các trường hợp khác tương tự f (x ) = k Khi đó: g(x ) Nếu < k < +∞ thì: +∞ ∫ +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = ∫ +∞ f (x )dx a e −x cos 3x dx ∫ g(x )dx hội tụ phân kỳ a +∞ Nếu k = ∫ +∞ g(x )dx hội tụ a Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số k = +∞  Nếu +∞  ∫ g(x )dx phân kỳ  a  VD Xét hội tụ tích phân I = f (x )dx phân kỳ +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = ∫ 1 + x + 2x Chú ý • Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → +∞) ∫ a +∞ f (x )dx ∫ ∫ VD Điều kiện α để I = dx g(x )dx có tính chất ∫ a +∞ f (x )dx hội tụ a +∞ +∞ ∫ ∫ Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số • Các trường hợp khác tương tự +∞ 10 e −x dx Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số b) Tiêu chuẩn +∞ ∫ Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số ∫ a • Tương tự: • Nếu f (x )dx hội tụ • Các trường hợp khác tương tự −∞ ∫ ∫ a • Nếu tồn lim F (x ) = F (−∞ ) , ta dùng cơng thức: x →−∞ b ∫ +∞ g(x )dx hội tụ A α > ; B α > ; dx x lnα x + C α > ; +∞ VD Điều kiện α để I = ∫ dx + sin x + x hội tụ là: D α > (x + 1)dx 2x α + x − hội tụ? a Tốn cao cấp A1 Đại học 27 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 4.2 Tích phân suy rộng loại 4.2.1 Định nghĩa • Cho hàm số f (x ) xác định [a ; b ) khơng xác định b , khả tích đoạn [a ; b − ε] (ε > 0) b −ε Giới hạn (nếu có) ∫ f (x )dx ε → gọi a tích phân suy rộng loại f (x ) [a ; b ) Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số • Định nghĩa tương tự: b b ∫ f (x )dx = lim ε→ b ∫ ∫ f (x )dx (suy rộng a ); a+ε b −ε a f (x )dx = lim ε→ a ∫ f (x )dx (suy rộng a , b ) a+ε • Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ b VD 10 Khảo sát hội tụ I = Ký hiệu: b−ε b ∫ ∫ ε→0 f (x )dx = lim a b I = lim a ε→ 0+ Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số ∫ ε b  dx = lim ln x  = ln b − lim ln ε = +∞ ε x ε→0+  ε→0+ Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số • Trường hợp α khác 1: b I = lim ∫ ε→ ε dx xα b = lim ∫ x −αdx = ε→ ε b  lim x 1−α  ε − α ε→0    b1−α  , α  ( ) VD 11 Tính tích phân I = 1−α ∫ ∫ ∫ Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ • Các tiêu chuẩn hội tụ tích phân suy rộng loại x ln x dx x −x VD 15 Tích phân suy rộng I = ∫ b b ∫ f (x )dx a ∫ g(x )dx a có tính chất (với b cận suy rộng) VD 14 Tích phân suy rộng I = ∫ x αdx x (x + 1)(2 − x ) hội tụ khi: 1 A α < −1; B α < − ; C α > − ; 2 D α ∈ ℝ Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số Chú ý Tốn cao cấp A1 Đại học dx VD 13 Tính tích phân I = Với α ≥ : I = +∞ (phân kỳ) − 9x e b (hội tụ) 1−α • Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → b ) 3dx π π π A I = − ; B I = ; C I = ; D I = +∞ 3 VD 12 Tính tích phân I = Vậy Với α < 1: I = Giải • Trường hợp α = 1: f (x )dx dx ∫ x α , b > xα + (x + 1)sin x phân kỳ khi: 1 A α ≤ −1; B α ≤ − ; C α ≥ − ; 2 dx D α ∈ ℝ Chú ý • Cho I = I + I với I , I , I tích phân suy rộng ta có: 1) I I hội tụ ⇒ I hội tụ 28 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số I → −∞ ( phân kỳ ) I 2)   I ≤ I   I phân kỳ I → −∞ ( phân kỳ ) I 3)   I > I   chưa thể kết luận I phân kỳ VD 16 I = xα + ∫ x sin x → +∞ ( phân kỳ ) ≥0 → +∞ ( phân kỳ ) Sn → ∞ ⇒ chuỗi phân kỳ ∑ aq n ∑ aq n−1 hội tụ ⇔ q ∞ với a ≠ VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số • Nếu ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 ∞ ∑ un , ∑ ∞ ∞ n4 n =1 3n ∞ +n +2 hội tụ thì: ∞ ∞ ∑ (un + ) = ∑ un + ∑ n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số n 1.3 Tính chất ∑ un phân kỳ ∑ Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi u = 0, ∑ un hội tụ nlim →∞ n VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 ∞ n →∞ 1 ∑ ln 1 + n  n =1 1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ngược lại lim un ≠  ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi n =1 ∑ n(n + 1) n =1 n =1 Giải • q = 1: Sn = na → ∞ ⇒ chuỗi phân kỳ −qn − qn • q ≠ 1: Sn = u1 = aq 1−q 1−q aq ⇒ chuỗi hội tụ Với q < Sn → −q • Nếu chuỗi < n =1 • Nếu n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ ∑ un hội tụ thì: ∑ αun = α ∑ un n =1 n =1 n =1 • Tính chất hội tụ hay phân kỳ chuỗi số khơng đổi ta thêm bớt hữu hạn số hạng n5 ∑ n4 + n =1 Tốn cao cấp A1 Đại học 29 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ §2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1 Định nghĩa • Nếu ∞ • ∑ un gọi chuỗi số dương un ≥ 0, ∀n n =1 ∑ ∞ ∑ un hội tụ hội tụ n =1 ∞ • Nếu n =1 ∞ ∑ un phân kỳ ∑ n =1 Khi un > 0, ∀n chuỗi số dương thực phân kỳ n =1 ∞ 2.2 Các định lý so sánh VD Xét hội tụ chuỗi số n =1 Định lý ∞ ∞ ∞ ∑ un , ∑ thỏa: Cho hai chuỗi số dương n =1 n =1 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Cho hai chuỗi số Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi n =1 thỏa: n =1 un > > với n đủ lớn lim n →∞ ∞ • Nếu k = +∞ ∞ ∑ un n =1 • Nếu < k < +∞ ∑ un , n =1 phân kỳ n =1 ∞ n.3n +1 cách Chú ý ∞ ∑ nα hội tụ α > phân kỳ α ≤ ∞ ∑ tính chất VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 n =1 n +1 2n + Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy ∞ ∞ ∑ un lim un +1 n →∞ • Nếu D < chuỗi hội tụ • Nếu D > chuỗi phân kỳ • Nếu D = chưa thể kết luận ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số un  Cho chuỗi số dương = D 1 nu ∑ un nlim n →∞ • Nếu C < chuỗi hội tụ • Nếu C > chuỗi phân kỳ • Nếu C = chưa thể kết luận 5n (n !)2 ∑ (2n )! n =1 n2 1  VD Xét hội tụ chuỗi số ∑     n =1   ∞ ∞ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số =C n =1 n ∑ 3n 1 + n  n =1 Tốn cao cấp A1 Đại học n =1 n =1 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi n =1 ∑   n =1 ∞ 2n (n + 1) n =1 Chuỗi 2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương so sánh với = k hội tụ ⇒ ∑ hội tụ ∞  n ∞ un ∞ ∑ un phân kỳ ⇒ ∑ n =1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ ∞ ∑ un , ∑ cách n =1 n =1 Định lý ∞ ∑n VD Xét hội tụ chuỗi điều hòa ∞  1 so sánh với ∑ ln 1 +   n  ≤ un ≤ , ∀n ≥ n0 • Nếu k = ∑ n.2n VD Xét hội tụ chuỗi số nn ∑ 3n n =1 30 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số f (x ) liên tục, khơng âm giảm nửa khoảng [k ; +∞), k ∈ ℕ Khi đó: ∞ +∞ n =k k ∑ f (n ) hội tụ ⇔ ∫ §3 CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý 3.1 Chuỗi đan dấu ∞ a) Định nghĩa Chuỗi số ∞ ∞ ∑3 n =1 n2 ∞ VD 10 Xét hội tụ chuỗi số chuỗi số đan dấu un > 0, ∀n (−1)n ∞ 2n + VD ∑ , ∑ (−1)n +1 chuỗi đan dấu 2n +1 n =1 n n =1 b) Định lý Leibnitz Nếu dãy {un }n ∈ℕ giảm nghiêm ngặt un → chuỗi ∞ ∑ n ln3 n ∑ (−1)n un n =2 hội tụ Khi đó, ta gọi chuỗi Leibnitz n =1 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 3.2 Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa ∞ (−1)n n n =1 ∑ VD Xét hội tụ chuỗi số gọi n =1 f (x )dx hội tụ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ (−1)n un ∞ • Chuỗi ∑ un , un ∈ ℝ gọi chuỗi có dấu tùy ý n =1 ∞ ∑ (−1) VD Xét hội tụ chuỗi số n n =1 2n + 2n +1 • ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un gọi hội tụ tuyệt đối ∑ un hội tụ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số • ∞ (−1)n n =2 n + (−1) ∑ n ∞ ∑ un gọi bán hội tụ ∑ un hội tụ n =1 n =1 ∞ ∑ un phân kỳ n =1 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ (−1)n VD Chuỗi số ∑ bán hội tụ n =1 n §4 CHUỖI HÀM 4.1 Khái niệm chung chuỗi hàm 4.1.1 Các định nghĩa b) Định lý ∞ Nếu ∑ un ∞ hội tụ chuỗi có dấu tùy ý n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số n =1 ∞ cos(n n ) n =1 n2 ∑ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 Tốn cao cấp A1 Đại học ∑ un hội tụ ∞ n =1 gọi chuỗi hàm số hay chuỗi hàm D ⊂ ℝ n +1 (−1) + (−2) 3n D ⊂ ℝ Tổng hình thức: u1(x ) + u2(x ) + + un (x ) + = ∑ un (x ) (1) n • Cho dãy hàm u1(x ), u2(x ), , un (x ), xác định • Nếu x ∈ D , chuỗi số ∞ ∑ un (x ) hội tụ (phân kỳ) n =1 x gọi điểm hội tụ (phân kỳ) chuỗi (1) 31 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi • Tập hợp điểm hội tụ x chuỗi (1) gọi miền hội tụ chuỗi (1) • Chuỗi (1) gọi hội tụ tuyệt đối x ∈ D ∞ chuỗi ∑ un (x ) hội tụ Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ Ta viết là: ∑ un (x ) = f (x ) n =1 Khi đó, Rn (x ) = f (x ) − S n (x ) gọi phần dư (1) x thuộc miền hội tụ lim Rn (x ) = n →∞ n =1 • Tổng Sn (x ) = u1(x ) + u2 (x ) + + un (x ) gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1) Trong miền hội tụ chuỗi (1), tổng Sn (x ) hội tụ hàm số f (x ) • Hàm f (x ) = lim Sn (x ) xác định miền hội tụ n →∞ chuỗi (1) gọi tổng chuỗi (1) ∞ VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ ne−nx n =1 Giải • Với x > : lim ( x 2n VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ Giải n =1 n ! • Với x = : Chuỗi hội tụ • Với x ≠ , ta có:  x 2(n +1) x 2n   = lim x = ⇒ chuỗi hội tụ lim  :  n →∞ (n + 1)! n !  n →∞ n +   Vậy miền hội tụ chuỗi hàm ℝ 4.1.2 Chuỗi hàm hội tụ a) Định nghĩa Chuỗi (1) gọi hội tụ miền D Rn (x ) = un +1(x ) + un +2 (x ) + + un +m (x ) + hội tụ miền D Nghĩa là: ∀ε > 0, ∃N = N (ε) : ∀n > N , ∀x ∈ D ⇒ | Rn (x ) | < ε b) Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass Nếu chuỗi (1) thỏa mãn: un (x ) ≤ C n , ∀x ∈ D, C n ∈ ℝ n hội tụ ∞ sin nx hội tụ ℝ vì: n2 n =1 ∞ sin nx 1 ≤ , ∀ x ∈ ℝ hội tụ ∑ 2 n n n =1 n ∑ VD Chuỗi hàm Nếu chuỗi hàm n =0 ∑ an x n hội tụ x = α ≠ chuỗi n =0 ∞ ∑ anx n n =0 Nhận xét ∞ ∑ an x n n =0 ∑ anx n chứa x = nên khác rỗng ( ) hội tụ tuyệt đối điểm x ∈ − α ; α • Hệ Nếu chuỗi hàm gọi chuỗi lũy thừa Tốn cao cấp A1 Đại học n =1 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ n =0 ∑C 4.2.2 Bổ đề Abel∞ ∑ an (x − x )n với an , x số ∞ ∞ chuỗi (1) hội tụ miền D Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 4.2 Chuỗi lũy thừa 4.2.1 Định nghĩa • Nếu đặt x ′ = x − x chuỗi lũy thừa có dạng ) Vậy miền hội tụ chuỗi hàm 0;+ ∞ Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ • Miền hội tụ ne −nx = e −x < ⇒ chuỗi hội tụ • Với x ≤ : ne−nx → / ⇒ chuỗi phân kỳ Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chuỗi hàm n n →∞ phân kỳ x = β phân kỳ x thỏa x > β 4.2.3 Bán kính hội tụ a) Định nghĩa ∞ • Số R > để ∑ an x n hội tụ tuyệt đối (−R; R) n =0 phân kỳ ∀x : x > R gọi bán kính hội tụ 32 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi • Khoảng (−R; R ) gọi khoảng hội tụ Nhận xét Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Bước Tìm bán kính hội tụ R , suy khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa là: (−R; R) • Nếu chuỗi hội tụ ∀x ∈ ℝ R = +∞ • Nếu chuỗi phân kỳ ∀x ≠ R = Bước Xét hội tụ chuỗi số x = ±R b) Phương pháp tìm bán kính hội tụ a Nếu tồn lim n +1 = r lim n an = r thì: n →∞ a n →∞ n Bước • Nếu chuỗi số phân kỳ x = ±R kết luận: miền hội tụ chuỗi hàm (−R; R)  0, r = +∞   R =  , < r < +∞  r +∞, r =  • Nếu chuỗi số phân kỳ x = R hội tụ x = −R kết luận: miền hội tụ chuỗi hàm [−R; R) • Tương tự: miền hội tụ (−R; R ], [−R; R ] Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi x n ∑n 4.3 Sơ lược chuỗi Fourier a) Chuỗi lượng giác ∞ a Chuỗi hàm dạng: + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) (*) n =1 gọi chuỗi lượng giác n =1 VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∞ (x − 1)n n =1 n.2n ∑ n2  1 VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ 1 +  x n  n  n =1  ∞ ∞ VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ 3n (x + 2)n n =0 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi b) Định nghĩa chuỗi Fourier • Chuỗi lượng giác (*) có hệ số tính theo cơng thức (2), (3) gọi chuỗi Fourier hàm f (x ) Các hệ số an , bn gọi hệ số Fourier f (x ) • Mọi hàm f (x ) khả tích [−π; π ] tương ứng với chuỗi Fourier thơng thường ta viết: ∞ a f (x ) ∼ + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) n =1 VD Tìm chuỗi Fourier hàm số: −1, − π ≤ x < f (x ) =   1, ≤ x ≤ π  Tốn cao cấp A1 Đại học Nếu chuỗi (*) hội tụ [−π; π ] đến hàm số f (x ) hệ số an , bn tính theo cơng thức: an = bn = π π ∫ f (x ) cos nx dx , n = 0, 1, 2, (2); π ∫ f (x )sin nx dx , n = 1, 2, −π π (3) −π Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi VD Tìm chuỗi Fourier f (x ) = x [−π; π ] c) Khai triển Fourier hàm số Định lý Dirichlet Nếu hàm số f (x ) tuần hồn với chu kỳ 2π , đơn điệu khúc bị chặn [−π; π ] chuỗi Fourier hội tụ điểm [−π; π ] đến tổng là: f (x − ) + f (x + ) VD 10 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số: 0, −π ≤ x < f (x ) =  x , ≤ x ≤ π  ………………………….Hết………………………… 33 [...]... = −1 VD 5 Tính vi phân cấp n của hàm số y = e 2x VD 2 Tính vi phân cấp 1 của y = arctan(x 2 + 1) VD 6 Tính vi phân cấp 3 của f (x ) = tan x tại x 0 = VD 3 Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2ln(arcsin x ) Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số d n y = y (n )dx n khơng còn đúng nữa 3.1 Các định lý 3.1.1 Bổ đề Fermat Cho hàm số f (x ) xác... Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số 4 VD 5 Khai triển Maclaurin của hàm số y = 2 đến x x VD 6 Khai triển Maclaurin của y = e sin x đến x 3 VD 7 Khai triển Maclaurin của hàm số: f (x ) = 1+x +x 2 1−x + x 2 B f (7)(0) = 560 ; C f (7)(0) = 3360 ; D f (7)(0) = 6720 Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số VD 9 Tính số e chính xác... 3 Phé Phép tính tích phân hàm một biế biến số 3 VD 6 Tính tích phân I = dx ∫ x 2 − 2x + 5 Chương 3 Phé Phép tính tích phân hàm một biế biến số VD 10* Lập cơng thức quy nạp (truy hồi) để tính: π 4 1 e VD 7 Tính tích phân I = ∫ 1 (x 2 + 1) ln x dx x In = ∫ tan n x dx , n ≥ 2 0 1 VD 8 Tính tích phân I = ∫ x 2 + 1.sin 3 x dx VD 11* Lập cơng thức quy nạp (truy hồi) để tính: π 2 −1 3 VD 9 Tính tích phân... là điểm uốn của VD 14 Xác định tính lồi, lõm của hàm số y = arctan 2x và đồ thị của hàm số y = arctan 2x đồ thị hàm số y = f (x ) Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số 3.4 Tiệm cận của đồ thị • Tiệm cận đứng Đường cong y = f (x ) có tiệm cận đứng x = x 0 nếu Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số VD 15 Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số: y= lim f (x ) = ∞ x →x 0 • Tiệm... 1∞ ) VD 6 Tìm giới hạn L = lim (x + 1 x x 3 ) x →+∞ ………………………………………………… (dạng ∞0 ) Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số Chương 2 Phé Phép tính vi phân hàm một biế biến số §6 KHẢO SÁT HÀM SỐ (Tham khảo) 6.1 Khảo sát hàm số theo tham số Cho đường cong (C ) xác định bởi phương trình tham số: x = x(t )  , t ∈ D (D là MXĐ) y = y(t )  6.1.1 Khoảng biến thiên của biến t a) Nếu x (t +... Phép tính tích phân hàm một biế biến số 13) dx ∫ x 2 −a2 = 1 x −a ln +C 2a x + a ∫ dx x = ln tan + C sin x 2 15) ∫ x π dx = ln tan  +  + C  2 4  cos x 16) ∫ 14) dx 2 x +a = ln x + x 2 + a + C Chương 3 Phé Phép tính tích phân hàm một biế biến số VD 1 Tính I = 4 − x2 1 2+x A I = ln +C ; 4 2−x 1 x −2 C I = ln +C ; 2 x +2 VD 2 Tính I = Chương 3 Phé Phép tính tích phân hàm một biế biến số 1.2... Sunday, October 31, 2010 Chương 3 Phé Phép tính tích phân hàm một biế biến số VD 16 Tính I = ∫ x ln x dx VD 17 Tính I = ∫ x 2x Chương 3 Phé Phép tính tích phân hàm một biế biến số b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp dx • Đối với dạng tích phân Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần VD 18 Tính I = ∫ cos 3 VD 19 Tính I = ∫ cos 3 ∫ P(x )ln α x dx , u = lnα... 0 Quy tắc tính vi phân cấp n 2) d n (uv ) = d n (u + v ) = d nu + d nv ; n ∑C nkd n−k u.d kv với d 0u = u, d 0v = v 3.1.2 Định lý Rolle k =0 3 VD 7 Tính vi phân cấp 10 của hàm số y = (x − x )e Tốn cao cấp A1 Đại học π 4 §3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì cơng thức 1) d n (k u ) = k d nu ; VD 4 Tính vi phân cấp 2 của hàm số y = ln(sin... gọi là chuỗi số dx phân kỳ khi và chỉ khi: 1 1 1 A α ≤ ; B α ≤ − ; C α ≤ − ; D α ∈ ℝ 4 4 2 • Các số u1, u2 , , un , là các số hạng và un được gọi là số hạng tổng qt của chuỗi số • Tổng n số hạng đầu tiên Sn = u1 + u2 + + un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số ………………………………………………… Chương 4 Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi • Nếu dãy {Sn } n ∈ℕ Chương 4 Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi hội tụ đến số S hữu hạn... − 1)(x − 2)(x + 3) A B C = + + x −1 x − 2 x + 3 1 1 3 Đồng nhất các hệ số, ta được: A = , B = , C = 2 5 10 1 dx 1 dx 3 dx + ∫ + ∫ Vậy I = ∫ 2 x − 1 5 x − 2 10 x + 3 1 1 3 = ln x − 1 + ln x − 2 + ln x + 3 + C 2 5 10 VD 12 Tính I = Chương 3 Phé Phép tính tích phân hàm một biế biến số VD 13 Tính I = ∫ sin VD 14 Tính I = ∫ VD 15 Tính I = ∫ 3 2x cos2 x dx dx 2 sin x + sin 2x − cos2 x dx 4 sin x + 3 ... ) là: y = y ′(x )(x − x ) + y ⇒ y = − b x0 a 2y0 ⇒ b 2x 0x + a 2y 0y = b 2x 02 + a 2y02 ⇒ x 0x a2 (x − x ) + y0 + y 0y b2 = (*) x 0x a + y0y b ∆f (x ) = A.∆x + 0(∆x ) dạng: với A số 0(∆x ) VCB... dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Chương Phé Phép tính tích phân hàm biế biến số 13) dx ∫ x a2 = x −a ln +C 2a x + a ∫ dx x = ln tan + C sin x 15) ∫ x π dx = ln tan  +  + C   cos... [α; β] thì: β S = ∫ y(t ).x ′(t ) dt α VD Tính diện tích hình elip S : Tốn cao cấp A1 Đại học x2 a2 + y2 b2 3.1.2 Diện tích hình quạt cong tọa độ cực Diện tích hình quạt cong S có biên cho tọa