DIỄN ĐÀN TOÁN THPT TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ www.k2pi.net Phạm Kim Chung - THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An ne t Xin chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy giáo Châu Ngọc Hùng hướng dẫn hỗ trợ kỹ thuật Latex tất thành viên tham gia post tập, lời giải diễn đàn www.k2pi.net PHẦN ĐỀ RA Bài Giải phương trình : − 2x + 4x + = 15 4−x 4x + 3 3x + = 15x + 12 − 2x − x −3 = 12 Bài Giải phương trình : (x − 1)2 + (x + 1) x +1 Bài Giải phương trình : − x − = x − − x + + x x +1 Bài Giải phương trình : =x− x +1− 3−x ww w k2 p i Bài Giải phương trình : Bài Giải phương trình : x + x − x = 2x + + x − = x + 2x − x x x Bài Giải phương trình : x + 6x − 11 x − = 5x − 10x + 1 Bài Giải phương trình : x + = x − +5 2x Bài Giải phương trình : Bài 10 ( Trích đề thi thử số 4-k2pi.net) Giải phương trình : Bài 11 Giải phương trình : x2 − − x3 − + x 3x − + Bài 12 Giải phương trình : 1+2 x −x x 3−x − 2−x =2 1+x x 1+x =0 x2 − x − x x2 + = 2 (7x − x + 4) Bài 13 Giải phương trình : x − 2x + + = x − + 2x 1 − x − = 2(x ∈ R) x x 2x + + x + = 3x − 16 + 2x + 5x + x+ x− + = x x+ x+ x− x− Bài 14 Giải phương trình : x− Bài 15 Giải phương trình : Bài 16 Giải phương trình : Bài 17 ( Trích đề thi thử số 7-k2pi.net) Giải phương trình : (x + 5)− x + 13 = 11 − x − (3 − x) PHẦN LỜI GIẢI Bài ⇔ + (4 − x) 4−x 4−x + (4x + 1) + 4x + Bài Xét trường hợp : x = Với : x = 15 2 − x + 4x + 15 15 ⇔ − x + 4x + + = 2 4x + − x 4x + 17 < t ≤ 34 Giải t = + − x + 4x + + Đặt : t = − x + 4x + = = Chia vế cho ] 2x − đặt : 3x + = a; 2x − 15x + 12 = b Ta cóa = b − a − 3b = 2x − Bài TH1: Nếu x ≥ P T ⇐⇒ (x + 1)(x − 3) + (x + 1)(x − 3) = TH2: Nếu x < −1 P T ⇐⇒ (x + 1)(x − 3) − (x + 1)(x − 3) = Bài Điều kiện:−1 ≤ x ≤ Phương trình viết lại sau: − x2 Bình phương vế thu gọn ta phương trình: 8x − 3x − + (6x − 4) Ta đặt t = − x phương trình trở thành: ne t 1−x −5 1+x = x +6−3 − x2 = 8x − 3x − + (6x − 4)t = Bây ta thêm bớt vào lượng mt để tạo phương trình bậc theo t là: mt + (6x − 4)t + (8 + m)x − 3x − − m = ww w k2 p i Ta có ∆ = (3x − 2)2 − m[(8 + m)x − 3x − − m] = (9 − 8m − m )x + (3m − 12)x + m + 4m + Ta mong muốn ∆ = (ax + b)2 để có điều ta cần: ∆ = (3m − 12)2 − 4(9 − 8m − m )(m + 4m + 4) = Giải phương trình ta thu m = −8 Như phương trình bậc theo t : −8t + (6x − 4)t − 3x − = Ta có: ∆ = (3x − 2)2 − 24x + 32 = (3x − 6)2 Phần lại đơn giản  −1 ≤ x ≤ Bài Điều kiện : x = Với điều kiện phương trình cho tương đương với phương trình : x + 1( x + + − x) =x− 2(x − 1) ⇔ 2x + + 2x − x =x 2(x − 1) ⇔ + 2x − x = 2x − 4x  3 + 2x − x = 4x (x − 2)2 ⇔ x ≤ ∨ x ≥  (x − 1)2 (x − 2x − 13 ) = ⇔  x ≤0 ∨ x ≥2  17 x = 1+ ⇔  17 x = 1− Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có hai nghiệm vừa tìm nghiệm phương trình cho Bài ∗x = 0, thay vào phương trình không thoả mãn ∗x = 0, chia vế (1) cho x ta được: x − + x x− −2 = x PT trở thành: t + t − = ⇔ t = x 1± Với t = 1, ta có: x − x − = ⇔ x = Đặt: t = x− Bài Đặt x− = a x 2x − = b chuyển vế ta có a − b = b − a x Bài Đặt t = x − Pt cho trở thành (t − 1)5 = Bài ĐK : x ≥ − x +3 = x − + ⇔ x(x + 3) − 2x x + + 7(x − 1) = 2x x x + 3(x − 1) ⇔ x x + 3( x + − 2) + 7(x − 1) = ⇔ + 7(x − 1) = ⇔ (x − 1) x +3+2 +7 = ne t x x +3 x +3+2 Bài 10 Cách : Điều kiện : ≤ x ≤ Phương trình cho biến đổi tương đương thành phương trình : x x +x −x − x − x −1 ⇐⇒ = 1+ x x − x +1 1+x 1+ x x − x +1 1+x 2−x +x −3 2x − x + x − x −1 = 1+x 2−x +x −3 (1) x − x −1 ww w k2 p i ⇐⇒ 2−x +x −3 x +1 x − x −1 = Tới ta có : − x + x − < 0, ∀x ∈ [0; 2] Mặt khác ta có : 2−x +x −3 có (2) tương đương với : x − x −1 ≥ − x + x − ⇐⇒ 2−x + x ≤ Ta có (3) theo bất đẳng thức B.C S ta có : − x + x ≤ xảy : tương đương với : 2−x = x ⇐⇒ x = Lại có : ≤ 1, ∀x ∈ [0; 2] (2) Thật vậy, ta (3) (12 + 12 )(2 − x + x) = Dấu đẳng thức x − x +1 ≥ 1, ∀x ∈ [0; 2] 1+x (4) Thật vậy, ta có (4) x − ≥ (luôn đúng)  x − x −1   ≤1     2−x +x −3 x − x + ≥ + x ⇐⇒ Dấu đẳng thức xảy (4) x = Vậy ta có : x ∈ [0; 2] nên (1) xảy      x − x +1 ≥ 1+x x = Vậy x = nghiệm phương trình Cách : Đặt  a = x a ≥0 b = 2−x ≥ ⇐⇒ a + b = Ta viết lại phương trình cho thành: + 2a − a(2 − b ) + a3 = − (2 − b ) − b + a2 + ab 1+a ⇐⇒ =2 b −b +1 + a2 ⇐⇒ + ab + a + a b = 2b − 2b + + 2a b − 2a b + 2a ⇐⇒ a (b − 2b + 1) + b − 2b + + b − ab + a − a = ⇐⇒ (a + 1)(b − 1)2 + (a − 1)(a − b ) = ⇐⇒ (a + 1)(b − 1)2 + 2(a − 1)(a − 1) = ⇐⇒ (a + 1)(b − 1)2 + 2(a − 1)2 (a + 1) =  (b − 1)2 = Mà a, b ≥ nên ta có (a − 1)2 = Hay a = b = ⇐⇒ x = Vậy x = nghiệm phương trình Cách : ĐK : ≤ x ≤ Đặt : a = x; b = − x ⇒ a + b = (a + 1) a − a − 1 + 2a − a a3 + a +b −2 (a − 1)2 (a − 1)2 = 2 ⇐⇒ = + ⇐⇒ = (∗) 2 3−a −b a +1 a +b −3 a +1 a +1 b −b +1 Từ giả thiết : a + b = =⇒ a + b ≤ 2(a + b ) = a =1 Do V T (∗) ≥ 0;V P (∗) ≤ Nên PT ⇐⇒ =⇒ x = b=a x2 − − x3 − + x = ⇔ x2 − x − − + (x − 3) + − x − = ⇔ x2 − +    x +3  ⇔ (x − 3)  x + 3x +  =0 + x3 − +1− x2 − + x2 − + x =3 x +3 +1− x + 3x + = (∗) + (x − 3) + x2 − + 27 − x + x3 − ww w k2 p i  ⇔  ne t Bài 11 Điều kiện x ≥ Nhận thấy có chênh lệch (căn bậc hai bậc ba) nên ta thường sử dụng cách nhân liên hợp Không khó khăn nhẩm nghiệm x = 3 x2 − + x2 − + + x3 − x +3 Ta chứng minh: 3 ⇔ (x − 1)2 x + x + > Điều với x > Tiếp theo ta chứng minh: x + 3x + x3 − 2 > ⇔ x + 3x − > x − 5+ ⇔ x + 3x − > x3 − ⇔ x2 + x + (x − 3)2 + 5x > Điều Như ta chứng minh được: x +3      2 + x3 − x +3 ⇒ +1− x2 − + x2 − + x + 3x + + x3 − Từ suy (∗) vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình x = Bài 12 ĐK: [1; +∞) ∪ −∞; −1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia-copski ta có: V T ≤ *)Dấu ’=’ xảy ⇔ x = −1 Mặt khác: 5x − x > 0∀x ∈ [1; +∞) ∪ −∞; Do đó: 5x − x + x + ≥ x + 5x − x −1 5x − x (x + 2) 2 2 ⇔VP ≥ 5x − x (x + 2)  x = −1 *)Dấu’=’ xảy ⇔  Vậy nghiệm phương trình cho x = −1 x= VP = Bài 13 Cách : Xét f (x) = x − 2x + + − x − − 2x [2; + ∝) 2x − Có: f (x) = 3 (x − 1)2 + − x −2 −2 = 2x − − 3 (x − 1)2 + (x − 1)2 + 4 2 − x −2 x PT ⇔ 4 15 + 3x + − 3x = 15 + (x − 2) + − (x − 2) ⇒ f (t) ≥ với t ∈ [−15; −3] f (t ) ≤ với t ∈ [−3; 9] u = 3x Đặt : v = x − P T ⇔ f (u) = f (v) Với x ∈ [−1; 3] → u, v ∈ [−3; 9] Với x ∈ [−5; −1] → u, v ∈ [−15; −3] ⇒ P T ⇔ u = v ⇔ 3x = x − ⇔ x = −1 1 − 4 ( 15 + t )3 ( − t )3 ne t Xét hàm số: f (t ) = 15 + t + − t đoạn [−15; 9] có: f (t ) = Cách 2: Điều kiện : −5 ≤ x ≤ Đặt : a = (x + 5); b = (3 − x); c = 11 − x; d = x + 13 Ta có : a +b = c +d    a + b4 = c + d    a, b, c, d ≥ Lúc : a + b = c + d ⇔ (a + b)4 − 2ab 2a + 3ab + 2b = (c + d )4 − 2cd 2c + 3cd + 2d ⇒ ab 2(a + b)2 − ab = cd 2(a + b)2 − cd (Do a + b = c + d ) (*) ⇒ (ab − cd ) 2(a + b)2 − (ab + cd ) = Mà : (a + b)2 ≥ 4ab ≥ ab ; (a + b)2 = (c + d )2 ≥ 4ab ≥ ab ∀a, b, c, d ≥ Nên từ (*) suy : ab = cd a = b = (không xảy ra) Thay trở lại ta có phương trình : ww w k2 p i 4 (x + 5) (3 − x) = (11 − x) (x + 13) ⇔ −5 ≤ x ≤ 8x + 16x + = ⇔ x = −1 Thử lại ta thấy x = −1 nghiệm phương trình cho ! ... 2 + x3 − x +3 ⇒ +1− x2 − + x2 − + x + 3x + + x3 − Từ suy (∗) vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình x = Bài 12 ĐK: [1; +∞) ∪ −∞; −1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia-copski... đương:     (x − x − 1)   x x− +1 x − x 1− −1 x   =0  1± 1 [*] Với : x x − + − x − − = (vô nghiệm ≤ x < 0, x ≥ 1) x x 1 Vì : −1 ≤ x < x x − − − + − < x ≥ x x− − x x x [*] Với : x − x −