SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 LONG AN CẤP TỈNH VÒNG ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN NGÀY THI : 10/11/2011 THỜI GIAN : 180 phút (không kể phát đề ) Bài (4điểm) a) Giải phương trình: x + 3x x2 + =1 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + ≥ a+b+c b) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: 2 + 2 b +c c +a a +b Bài (5 điểm)  x1 =  xn + ( n ∈ N * ) Cho dãy số thực ( xn ) với  x =  n +1 xn +  * * Xét dãy số thực ( un ) với un = x2 n −1 ( n ∈ N ) ( ) với = x2 n ( n ∈ N ) a) Chứng minh dãy số ( un ) , ( ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ b) Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Bài (5 điểm) G, H , O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp a) Cho tam giác ABC cóuuur uuur Gọi K điểm cho HK = 3HG Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ∆KBC , ∆KCA, ∆KAB Chứng minh: G1 A, G2 B, G3C đồng quy G1 A = G2 B = G3C b) Trong mặt phẳng cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R điểm M tùy ý.Tìm vị trí M để MA + MB + MC + MD + ME ngắn Bài (3điểm) Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z cho: x 2012 + 2009 y 2012 = 2011 + 2012 z 2010 Bài (3 điểm) Trên mặt phẳng cho 2011 điểm cho với ba điểm số điểm ta tìm hai điểm để đoạn thẳng tạo thành có độ dài bé 1.Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa không 1006 điểm cho HẾT (Thí sinh không sử dụng tàiliệu-Giám thị không giải thích thêm) Họ tên thí sinh……………………………… Số báo danh………………… Giám thị (ký,ghi rõ họ tên) Giám thị (ký,ghi rõ họ tên)