1 Lí chọn đề tài Phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Toán học, tích phân có nhiều ứng dụng rộng rãi diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, … Nó tảng ứng dụng rộng rãi xác suất, thống kê, vật lí, học, … Trong chương trình toán THPT phép tính tích phân giới thiệu chương trình lớp 12 Nó phần quan trọng chiếm nhiều thời lượng phân phối chương trình Đặc biệt hơn, có mặt đề thi đại học, cao đẳng môn toán Thực tế có nhiều học sinh gặp khó khăn đối mặt với toán tính tích phân Nguyên nhân chủ yếu em chưa có phương pháp giải hợp lí tập tính tích phân đa dạng, phong phú Với lí chọn đề tài: “MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA CÁC BÀI TẬP” Trong phần nội dung bên xin giới thiệu số tập đặc trưng, phương pháp với hoạt động phân tích giảng dạy giúp cho em học sinh có tảng kiến thức để hoàn thành tốt toán tính tích phân bất định Qua giúp em có kĩ tính toán, phân tích, lập luận phát huy tính sáng tạo để giải toán khó Mặc dù cố gắng đề tài nhiều thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô, bạn đọc để đề tài hoàn thiện 2.Mục đích nghiên cứu Đưa phương pháp dạy học giải toán tích phân cách tối ưu giúp học sinh vận dụng tốt lí thuyết vào làm tập Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục đề tài gồm chương: Chương 1: Hệ thống lí thuyết Chương 2: Một số hoạt động dạy học nguyên hàm qua tập 2.1 Một số toán sử dụng định nghĩa, bảng nguyên hàm 2.2 Một số toán sử dụng phương pháp đổi biến số 2.3 Một số toán sử dụng phương pháp tích phân phần 2.4 Một số toán giải nhiều phương pháp 2.5 Tính tích phân tổng hợp nhiều phương pháp Chương I – HỆ THỐNG LÍ THUYẾT Nguyên hàm 1.1 Khái niệm nguyên hàm Khái niệm nguyên hàm có liên quan chặt chẽ tới khái niệm đạo hàm Trước nêu định nghĩa nguyên hàm cần làm cho học sinh hiểu rõ vấn đề đặt cách đặt toán cụ thể Bài toán mở đầu: Vận tốc viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng thời điểm t v(t) = 160 – 9,8t (m/s) Tính quãng đường viên đạn kể từ bán lên thời điểm t (xem t0 = 0) Gọi s(t) quãng đường viên đạn sau bắn t giây Ta biết v(t) = s’(t) Do ta cần tìm hàm số s = s(t) thỏa mãn điều kiện: s’(t) = 160 – 9,8t Nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật dẫn tới toán sau: Cho hàm số f xác định K, K khoảng, đoạn khoảng Hãy tìm hàm số F cho F’(x) = f(x) với x ∈ K Sau trình giúp học sinh hình thành vấn đề ta vào định nghĩa Định nghĩa: Cho hàm số f xác định K, hàm số F gọi nguyên hàm f K F’(x) = f(x) ∀ x ∈ K Chú ý: Trong trường hợp K = [a; b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu là: lim+ x →a F(x) − F(a) F(x) − F(b) = f (b) lim− = f (b) x →b x−a x−b Ví dụ: x3 1) Hàm số F(x) = nguyên hàm hàm số f(x) = x R x3 ( )' = x ∀ x ∈ R 2) Hàm số F(x) = tanx nguyên hàm hàm số f(x) = khoảng cos x π π π π ∀ x ∈ ( − ; ) (− ; ) (t anx)' = 2 cos x 2 Định lí: Giả sử hàm số F nguyên hàm hàm số f K Khi đó: a) Với số C, hàm số y = F(x) + C nguyên hàm hàm f K b) Với nguyên hàm G hàm f K tồn số C cho G(x) = F(x) + C ∀ x ∈ K 1.2 Nguyên hàm số hàm số thường gặp Bài toán tìm nguyên hàm toán ngược với toán tìm đạo hàm Việc tìm nguyên hàm số hàm số thường gặp thường đưa tìm nguyên hàm hàm số đơn giản Sau bảng tính nguyên hàm hàm số thường gặp 1) ∫ 0dx = C xα + 2) ∫ x dx = +C α +1 3) ∫ dx = ln x + C x ∫ dx = ∫1dx = x + C (α ≠ −1) 4) Với k ≠ a) ∫ sin kxdx = − cos kx +C k b) ∫ cos kxdx = ekx c) ∫ e dx = +C k 5) a) ∫ dx = tan x + C cos x b) ∫ dx = − cot x + C sin x sin kx +C k ax d) ∫ a dx = + C (0 < a ≠ 1) ln a kx x 1.3 Một số tính chất nguyên hàm Nếu f, g hai hàm liên tục K a) ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx b) Với số thực k ≠ ta có: ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx Một số phương pháp tìm nguyên hàm Dựa vào tính chất bảng nguyên hàm hàm số ta tìm nguyên hàm nhiều hàm số Tuy vậy, có nhiều hàm số chưa tìm nguyên hàm cách Cần giới thiệu cho học sinh số phương pháp tính nguyên hàm hiệu qua 2.1 Phương pháp xác định nguyên hàm Một số toán dùng đến định nghĩa phép phân tích để tìm nguyên hàm hàm số Định nghĩa: Giả sử y = f(x) liên tục khoảng (a; b), hàm số y = F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x) F′(x) = f(x), ∀x∈(a;b) u u 'v − uv' Vì (uv)’ = u’v + uv’, ( )' = nên ta biến đổi vế phải để tìm v v2 nguyên hàm hàm số vê trái.(sau lấy vi phân hai vế) Cũng sử dụng tính chất không đổi sau dấu vi phân hàm siêu việt để phân tích dex = exdx Sử dụng biến đổi bản: − ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c ⇔ F′ ( x ) = f ( x ) ⇔ dF ( x ) = f ( x ) dx − Nếu f(x) hàm số có nguyên hàm thì: ( ∫ f ( x ) dx ) ′ = f ( x ) ; d ( ∫ f (x)dx ) = f (x)dx − Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫ d(F(x)) = F(x) + C 2.2 Phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lí: Định lí 2: a) Nếu ∫ f (x)dx = F(x) + C u = ϕ(x) hàm số có đạo hàm ∫ f (u)du = F(u) + C b) Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = ϕ(t) ϕ(t) với đạo hàm [ϕ '(t)] hàm số liên tục ta ∫ f (x) = ∫ f[ϕ(t)]ϕ '(t)dt Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm: I = ∫ f (x)dx Quy trình: Bước 1: Chọn x = ϕ(t) , ϕ(t) hàm số ta chọn cho thích hợp Bước 2: lấy vi phân dx = ϕ '(t) dt Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Tính I = ∫ g(t)dt Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn π π   x = a sin t ( − ≤ t ≤ )   x = a cos t (0 ≤ t ≤ π) a2 − x2  a x = sin t  a  x =  cos t x2 − a2 π π (t ∈ [− ; ] \ {0}) 2 π ( t ∈ [0; π] \ { }) π π   x = a ta n t ( − ≤ t ≤ )   x = a cot t (0 ≤ t ≤ π) a2 + x2 a+x a−x ; a−x a+x x = acos2t (x − a)(b − x) x = a + (b – a)sin2t Ví dụ: Tính nguyên hàm: I = ∫ (1 − x )3 dx Giải: Đặt x = sint; − π π ≤t≤ 2 ⇒ dx = cos tdt; dx (1 − x )3 ⇒ I = ∫ (tdt) = tan t + C = = cos tdt dt = = d(tan t) cos3 t cos t x − x2 +C Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng Tính I = ∫ f (x)dx Quy trình: Bước 1: Chọn t = ψ (x) , ψ(x) hàm số chọn cho phù hợp Bước 2: Xác định vi phân dt = ψ '(x)dx Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Tính I = ∫ g(t)dt Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Hàm số phân thức Cách chọn T mẫu số Hàm số f (x, ϕ(x)) t = ϕ(x) Hàm số f (x) = a sin x + bcos x csin x + d cos x + e Hàm số f (x) = (x + a)(x + b) Ví dụ: Tính I = ∫ t = tan x (cosx x ≠ 0) t = x + a + x + b (x + a > 0; x + b > 0)   t = − x − a + − x − b (x + a < 0; x + b < 0) x2 dx 1− x Giải: Đặt t = − x ⇒ x = − t dx = − 2tdt  ⇒  x2 (1 − t ) dx = ( − 2t)dt = − 2(t − 2t + 1)dt  1− x  Khi đó: = − 2( t − t + t) + C 2 = − (3t − 10t + 15)t + C = − [3(1 − x) − 10(1 − x) + 15)] − x + C 15 15 I = − 2∫ (t − 2t + 1)dt =− (3x + 4x + 8) − x + C 15 2.3 Phương pháp tích phân phần Định lí 3: Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: ∫ u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫ u '(x)v(x)dx Bài toán: Tính tích phân bất định I = ∫ f (x)dx Quy trình: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng: I = ∫ f (x)dx = ∫ f1 (x).f (x)dx u = f1 (x) du = ⇒ ? Bước 2: Đặt  dv = f (x)dx v =   Bước 3: Tính I = uv − ∫ vdu Ví dụ: Tính tích phân bất định I = ∫ x ln(x + x + x2 + dx Giải: Ta có: I = ∫ ln(x + x + 1) x x +1 dx 1+ x  u = ln(x + x + 1)  x2 +  du = = dx = ⇒ Đặt  x x + x +1 dv =  x +1   v = x + x2 + Khi đó: I = x + 1.ln(x + x + 1) − ∫ dx = x + 1.ln(x + x + 1) − x + C Ngoài hai phương pháp để tìm nguyên hàm hàm số phải dùng nhiều phương pháp hỗ trợ, linh hoạt tính toán, phân tích Sau tìm hiểu sơ số phương pháp phụ có nhiều ứng dụng việc giải toán tìm nguyên hàm 2.4 Một số phương pháp khác 2.4.1 Phương pháp dùng nguyên hàm phụ Ý tưởng chủ đạo phương pháp xác định nguyên hàm f(x) kĩ thuật dùng nguyên hàm phụ tìm kiếm hàm số g(x) cho nguyên hàm hàm số f (x) ± g(x) dễ xác định so với hàm số f(x), từ suy nguyên hàm F(x) hàm số f(x) Quy trình: Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f (x) ± g(x) tức là: F(x) + G(x) = A(x) + C1  F(x) − G(x) = B(x) + C (I) Bước 3: Từ hệ (I), ta nhận được: F(x) = [A(x) + B(x)] + C họ nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ: Tính tích phân bất định: I = ∫ Giải: Chọn hàm số phụ g(x) = sinx dx = ∫ f (x)dx sinx − cos x cosx sinx − cos x Gọi F(x), G(x) nguyên hàm hàm số f(x), g(x) Ta có: f (x) + g(x) = sinx + cosx sinx − cos x sinx + cosx d(sinx − cosx) dx = ∫ = ln sinx − cos x + C1 sinx − cos x sinx − cos x sinx − cosx f (x) − g(x) = = ⇒ F(x) − G(x) = ∫ dx = x + C sinx − cos x ⇒ F(x) + G(x) = ∫ Ta có hệ: F(x) + G(x) = ln sinx − cos x + C1  + C2 F(x) − G(x) = x 10 Giáo viên nhận xét: Qua ví dụ ta thấy, nhiều hàm số mà đạo hàm có tính đối xứng, không đổi phải dùng tích phân luân hồi, (sử dụng tích phân phần sau phân tích) x Ví dụ 4: Tính I = ∫ e + sinx dx + cos x Giáo viên: – Hãy xét xem hàm số có đặc điểm gì? Đối chiếu với bảng dấu hiệu đưa cách đặt hợp lí Học sinh: Hàm số tích hàm siêu việt hàm lượng giác, hai hàm có tính chất đặc biệt đạo hàm nên ta dùng tích phân luân hồi – Hãy áp dụng ví dụ để hoàn thành ví dụ Lời giải: + cos x + sin x + sinx   du = u =  + cos x ⇒  (1 + cos x) Khi ta có Đặt  dv = e x dx v = ex   I = ex = ex + sinx + cos x + sin x − ∫ ex dx + cos x (1 + cos x) + sinx ex sinx −∫ dx − ∫ e x dx + cos x (1 + cos x) (1 + cos x) 44 43 44 4 43 I = ex J + sinx − I − J (1) + cos x e x sin xdx Xét J = ∫ (1 + cos x) u = e x du = e x dx   ⇒ Đặt  sinx − d(1 + cos x) dv = dx v = = ∫ (1 + cos x) + cos x   (1 + cos x)   36 ex ex ex ⇒J= −∫ dx = − I (2) + cos x + cos x + cos x Thay (2) vào (1) ta có:  ex  + sin x ex x + sin x I=e −I− − I÷+ C = e − +C + cos x + cos x + cos x + cos x   x Giáo viên nhận xét: Ở toán sau dùng tích phân luân hồi, ta biến đổi tích phân để triệt tiêu tích phân lại Mỗi loại hàm số có cách biến đổi phân tích nhau, em nhớ dạng tổng quát hàm số phương pháp tích phân phần để vận dụng vào toán cho hợp lí Giáo viên thêm tập rèn luyện cho học sinh: I = ∫ x sin x cos xdx I = ∫ x ln I = ∫ x (ln x) dx 1+ x dx 1− x I ∫ e 2x sin xdx I = ∫ cos (ln x)dx I = ∫ x 2 I = ∫ e x I = ∫ a + x dx + sinx dx + cos x x + 2x x +1 dx Qua biết hai phương pháp giải chủ yếu gặp toán tính tích phân Còn nhiều cách khác để tính toán có đặc thù riêng Chính biết nhìn nhận, phân tích đề cẩn thận toán giải nhiều cách khác 2.4 Một số toán giải nhiều phương pháp Ở phần xin giới thiệu số dạng toán điển hình giải nhiều cách khác Tuy nhiên em học sinh nên chọn nhanh nhất, hiệu x3 dx Ví dụ 1: Tính tích phân bất định sau: I = ∫ ( x − 1)10 37 Giáo viên yêu cầu học sinh giải toán phương pháp tích phân phần Học sinh: Lời giải u = x du = 3x dx   Đặt  dx ⇒  dv = v = −   ( x − 1)10 9( x − 1)   x3 x2 + ∫ dx Khi đó: I = − 9( x − 1) ( x − 1) u = x du = xdx x   dx ⇒ Xem I1 = ∫ Đặt: dx  v = − ( x − 1) dv = ( x − 1)  8( x − 1)   x2 x2 xdx dx = − + Khi đó: I1 = ∫ ∫ ( x − 1) 8( x − 1) ( x − 1) x dx Đặt: Xem I1 = ∫ ( x − 1) u = x du = dx   dv = dx ⇒ v = −   ( x − 1) 7( x − 1)   Khi đó: I2 = ∫ x x dx x dx = − + = − − + C ∫ ( x − 1) 7( x − 1) 7 ( x − 1) 7( x − 1) 42( x − 1) Vậy: I = − x3 x2 x − − − + C 9( x − 1) 24( x − 1) 84( x − 1) 504( x − 1) – Với phương pháp tích phân phần ta phải tính tích phân phần lần? Học sinh: Ta phải tích phân phần lần 38 – Như vậy, toán việc sử dụng phương pháp tích phân phần phức tạp nhiều thời gian Vậy phương pháp có cách khác tính nhanh đơn giản hay không? Học sinh: Ta sử dụng phương pháp đổi biến số – Yêu cầu học sinh giải phương pháp đổi biến số ? Học sinh: Lời giải:  dt = dx Đặt: t = x – ⇒  x = t + Khi đó, ta có: I=∫ x3 (t + 1)3 t + 3t + 3t + dx = dt = dt ∫ t10 ∫ (x − 1)10 t10 3  3 1 = ∫  + + + 10 ÷dt = − − − − + C t t t  6t 7t 8t 9t t 3 =− − − − +C 6(x − 1) 7(x − 1) 8(x − 1) 9(x − 1)9 – Ngoài hai cách giải có cách khác để giải toán không ? Nếu ta phân tích: x3 = + 3(x – 1) + 3(x – 1)2 + (x – 1)3 I = ?  3  dx + + + Học sinh: I = ∫  10  ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − )   – Yêu cầu học sinh giải toán theo cách phân tích Học sinh: Lời giải Ta phân tích (theo công thức Taylor): x3 = + 3(x – 1) + 3(x – 1)2 + (x – 1)3 Khi đó, ta có:  3  dx I = ∫  + + + 10  ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − )   39 =− 3 − − − + C 6( x − 1) 7( x − 1) 8( x − 1)8 9( x − 1) Qua toán ta thấy rằng, toán có cách giải mà có nhiều cách giải khác Với toán ta lựa chọn cách giải cho ngắn gọn, nhanh để giải, ví dụ toán ta nên sử dụng phương pháp đổi biến số hay phương pháp phân tích Sau ta xét thêm số ví dụ khác: Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: I = ∫ dx x + x3 Giáo viên đặt câu hỏi: – Với toán ta giải cách nào? Học sinh: Định hướng số cách giải – Gợi ý đưa số cách điển hình Một số cách giải Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Phân tích: = x2 + – x2 Suy ra: 1 x2 +1 − x2 1 = = = − x5 + x3 x (x + 1) x (x + 1) x x(x + 1) = x2 +1 − x2 1 x − = − + x x(x + 1) x x x +1 Khi đó: x  1  1 I = ∫ − + ÷dx = − − ln x + ln x + + C x x +1 2x x Giáo viên: Ngoài cách phân tích ta phân tích: = x + – x4 = x4 + (1 – x2)(1 + x2) Yêu cầu học sinh giải cách phân tích Học sinh: Ta có: = x4 + – x4 = x4 + (1 – x2)(1 + x2) Suy ra: x + (1 + x )(1 − x ) x − x2 x = = + = + − 3 2 x +x x (x + 1) x +1 x x x +1 x 40 x 1 1  − ÷dx = − + ln x + − ln x + C Khi đó: I = ∫  + x +1 x  2x x Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích phương pháp đổi biến số Phân tích: I = ∫ dx 1 =∫ dx x +x x x(x + 1)  x=   t Đặt t = ⇒  x dx = − dt  t2 t3 t dt = − ∫ dt Khi đó: I = − ∫ t 1   t +1  + 1÷ t2  t2  Phân tích: t3 = t(t2 + 1) – t, suy ra:  t(t + 1) − t t  t2 I=−∫ dt = − ∫  t − ÷dt = − + ln t + + C t +1 t + 1 2  =− 1 + x2 + ln + C 2x 2 x2 Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đổi biến số Ta có: I = ∫ dx xdx = x (x + 1) ∫ x (x + 1) Đặt: t = x2 + suy ra: I=∫ dt = xdx Khi đó: dt  1 1 = ∫ − + dt 2 t(t − 1)  (t − 1) t −1 t  1 t  1 + x2 = − + ln + C = − + ln + C 2  t −1 t −1 ÷ 2x x  Cách 4: Đổi biến số dạng x = ϕ(t) Đặt: x = tant ⇒ dx = (1 + tan t)dt Khi đó: 41 cos3t (1 − sin t)cos t I = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt tan t sin t sin t   = ∫ − − ln sin t + C ÷d(sin t) = − sin t sin t 2sin t   Ta có: x = tan t ⇒ + x = + tan t ⇒ + x = cos t x2 ⇒ cos t = ⇒ sin t = + x2 x +1 Do đó: I = − 1 + x2 + ln + C 2x 2 x2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau: I = ∫ cos x cos2xdx – Giáo viên yêu cầu học sinh định hướng số cách giải? Học sinh suy nghĩ định hướng số cách giải Lời giải: Cách 1: Phương pháp tích phân phần du = − sin 2xdx u = cos x  ⇒ Đặt:  sin 2x v = dv = cos2xdx  Khi đó: 1 1 − cos4x cos x sin 2x + ∫ sin 2xdx = cos x sin 2x + ∫ dx 2 2 1 1  = cos x sin 2x + ∫ (1 − cos4x)dx = cos x sin 2x +  x − sin 4x ÷ 4  1 = sin 2x + x + sin 4x + C 4 16 I= Cách 2: Sử dụng tích phân tích liên kết (nguyên hàm phụ) Tích phân liên kết I J = ∫ sin x cos 2xdx 42 ∫ ( cos x + sin x ) cos2xdx = ∫ cos2xdx = Ta có: I + J = I−J= sin 2x + C1 (1) ∫ ( cos x − s in x ) cos2xdx 2 = ∫ cos 2xdx = ∫ + cos 4x x sin 4x dx = + + C2 (2) 2 Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: I= sin 2x x sin 4x + + + C 4 16 Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích Ta có: + cos2x cos2xdx = ∫ cos2x + cos 2x dx 2 1 sin 4x   1 =  ∫ cos2xdx + ∫ ( + cos4x ) dx ÷ =  x + sin 2x ÷ + C 2   4 ( I=∫ ) Nếu biết vận dụng linh hoạt phép biến đổi phương pháp học giải toán tính tích phân bất định theo nhiều cách khác Các em học sinh chọn cách làm mà ưa thích Ấy mà toán học lại vô phong phú, có toán giải nhiều phương pháp (cách) có không toán phải phối hợp nhiều phương pháp lại giải Ở phần tới tìm hiểu số toán đỉnh cao phần toán tìm nguyên hàm 2.5 Tính tích phân tổng hợp nhiều phương pháp Ví dụ 1: Tính tích phân bất định I = ∫ e 3x − dx Giáo viên nêu câu hỏi: − Hàm số thường sử dụng phương pháp gì? Có thể dùng phương pháp tích phân phần không? − Nếu đặt 3x − = t toán trở thành nào? 43 − Yêu cầu học sinh đề xuất cách giải: Học sinh: +) Đây hàm số siêu việt thường sử dụng tích phân phần để tính Chưa thể áp dụng u(x) = 3x − hàm dấu +) Nếu đặt 3x − = t d 3x − = dt ⇔ dx = dt , toán trở tính I = ∫ e t tdt +) Đến dùng phương pháp tích phân phần để giải: Lời giải: I = ∫e 3x − dx Đặt t = 3x − ⇒ t = 3x − ⇒ dt = d(3x − 9) ⇒ 2tdt = 3dx ⇔ dx = ⇒ I = ∫e 3x − dx = 2 tdt ∫ te dt t u = t du = dt ⇒ Đặt   t t Khi ta có: dv = e dt  v =e I= 2 t t  =  te t − e t  + C =  te − e dt ∫  3  3 3 ( ) 3x − + e 3x − +C  Giáo viên nhận xét: Những toán hàm số siêu việt, lượng giác thường sử dụng phương pháp tích phân phần Tuy nhiên cần nhìn nhận cách tổng thể tính chất hàm số để có cách giải phù hợp Ví dụ 2: Tính tích phân bất định I = ∫ x ln x + 1dx Giáo viên đưa hệ thống câu hỏi mở: 44 – Ở tính tích phân phần có không? Học sinh: không – Nếu dùng phương pháp đặt ẩn phụ nào, tính không? Học sinh: Bài toán đưa dạng ∫ P(x)ln xdx , áp dụng tích phân phần để tính tiếp – Áp dụng ví dụ phối hợp hai phương pháp để làm tập Học sinh: Lời giải: I = ∫ x ln x + 1dx Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 3t 2dt = 2xdx ⇒ xdx = t dt Khi I = ∫ t ln tdt  du = dt  lnt = u t ⇒ Đặt  t dt = dv  v = t  3  t ln t t2  t3 t3 I=∫  − ∫ dt  = ln t − + C 2 3  x2 + x2 + = ln x + − +C Những toán cần phối hợp nhiều phương pháp để giải thường toán khó Không phải toán định hướng trước phương pháp Với phương pháp học với say mê toán học : “Giải toán khó” (t anx) dx Ví dụ 3: Tính I = ∫ (cos x)3 45 Giáo viên: Ở toán em vận dụng công thức lượng giác, phân tích đa thức f(x) thành tổng đa thức nhỏ để dễ dàng cho việc tính toán Lời giải: sin x cos x sin x I=∫ dx = ∫ dsin x cos x cos x (1 − sin x) Đặt u = sinx ta được: u4 (u + u ) − (u − 1) − I=∫ du = ∫ du (1 − u ) (u − 1) 1+ 1 u du − =∫ du − ∫ du ∫ (u − 1) (u − 1) (u − ) 44 43 44 43 I2 I3 44 2u4 43 I1 Ta có: 1 d(u − ) u u I1 = ∫ du = =− + C1 3 (u − ) (u − ) 2(u − ) u u u 1+ 1  1  I2 = ∫ du = ∫  − ÷ du (u − 1)  u − u + 1   1   = ∫ − − − ÷du  ÷  ( u − 1) u −  u − u +  ( u + 1) ÷     d(u − 1) d(u +1)  1 = ∫ − − −  ÷du   ( u − 1) ∫ ( u + 1) ∫  ( u − 1) ( u + 1) ÷     −1 3  =  + + −  + C2  ( u − 1) 2 ( u + 1) 2(u − 1) 2(u + 1)  46 1  1  I3 = ∫ du = −  ÷ du 16 ∫  u − u +  (u − 1)    1  1 = ∫ + − + +  du  ÷ 16  (u − 1) (u + 1) u −  (u − 1) (u + 1)  (u − 1) (u + 1)  =  1 −1 1 − + +  ÷ 16  3(u − 1)3 3(u + 1)3 (u − 1) (u + 1)   1 u −1  −  + − ln ÷ + C3 32  (u − 1) (u + 1) u +1  ⇒ I = I1 − I − I3 u2 =− − C1 − 2(u − 1)  −1 3  + + −   + C2  ( u − 1) 2 ( u + 1) 2(u − 1) 2(u + 1)   −1 1  − + +  ÷ 16  3(u − 1)3 3(u + 1)3 (u − 1) (u + 1)  5 1 u −1  +  + − ln ÷ − C3 32  (u − 1) (u + 1) u +1  − u2 1 1 1  I=− + + − −  + ÷ 2 3 2(u − 1) 48(u − 1) 48(u + 1) 8(u + 1) 32  u − u +  + u −1 ln +C 32 u + Thay u = sinx vào ta nguyên hàm cần tìm 47 Qua ví dụ ta thấy có nhiều toán mà hàm số có tính chất đặc thù riêng biệt (không tuân theo quy tắc cả) Chúng ta cần nhìn nhận, biến đổi, phối hợp nhiều phương pháp kết cần tìm Tương tự toán mời em học sinh bạn đọc giải thử toán I = ∫x dx cách nhanh nhất, ngắn gọn Hãy bắt tay vào hoàn +1 thành tập để tìm hiểu thêm vẻ đẹp toán tích phân Bài tập tương tự dx x +1 1) ∫ (sin 3x) (cos 2x)3 dx 2) ∫ 3) ∫ sin xdx 4) ∫ x ln(x + 1)dx 5) ∫ cos ln x dx x 6) ∫ I n = 48 dx x +1 n KẾT LUẬN Đề tài hệ thống lại đầy đủ lí thuyết phần “Nguyên Hàm” chương trình trung học phổ thông Dựa tảng lí thuyết đưa phương pháp giải toán hoạt động dạy học nhằm giúp em học sinh nắm vững kiến thức phần nguyên hàm Qua đó, em vận dụng để giải nhiều tập từ đơn giản đến phức tạp kì thi Tuy phương pháp giải toán hoạt động dạy học đề tài mang tính chủ quan cá nhân, với kinh nghiệm non giáo sinh vừa qua tập Nhưng mong đề tài giúp ích nhiều cho em học sinh việc trang bị kiến thức để em tự tin bước vào kì thi Cũng mong giúp ích cho nhiều bạn đọc muốn tìm hiểu sâu toán học, đặc biệt phần nguyên hàm Cuối xin gửi lời cảm ơn tới cô giáo, Th.S Dương Thị Xuân Thìn nhiệt tình giúp đỡ, hướng dẫn hoàn thành đề tài 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Phương pháp dạy học môn toán (1994) – Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), NXB Giáo Dục 2) Giải tích 12 (2008) – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) NXB Giáo Dục 3) Phương pháp giải toán tích phân (2006) – Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc, NXB Hà Nội 4) Giải toán tích phân nhiều cách – Nguyễn Thành Long 5) Bài giảng tích phân (2008) – Phạm Kim Chung, trường THPT Đặng Thúc Hứa 6) Chuyên Đề Tích Phân – Trần Phương 7) Internet (www.laisac.page.tl, http://ebooktoan.com, http://violet.vn ) 50 [...]... các phương pháp được học để làm bài tập là một hoạt động quan trọng Học sinh nhận biết được bài tập, đưa ra các phương pháp giải phù hợp chính là thành công hay nói đúng hơn là việc dạy học phần nguyên hàm đạt được mục tiêu đề ra Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán chúng tôi xin đưa ra một số hoạt động dạy học giải bài tập trong phần tích phân bất định 11 Chương II – MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC... bản và linh hoạt trong việc biến đổi các hàm số Tổng hợp, hệ thống lại lí thuyết nguyên hàm là một trong những hoạt động quan trọng của dạy học nguyên hàm Nó giúp học sinh nắm bắt cơ sở lí thuyết để vận dụng vào làm bài tập Tính tích phân bất định (nguyên hàm) là một trong những phần quan trọng của chương trình toán 12 ở Trung Học Phổ Thông, nó có hệ thống bài tập rất đa dạng, phong phú Giúp học sinh... Chương II – MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA CÁC BÀI TẬP Lượng bài tập cũng như số dạng toán trong chủ đề tích phân là rất lớn Tuy nhiên trong khuôn khổ phạm vi đề tài, chúng tôi xin đưa ra một số dạng bài tập cơ bản thường gặp 2.1 Một số bài toán sử dụng định nghĩa, bảng nguyên hàm cơ bản * Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa Ví dụ 1: Xác định họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x2 + 3x + 2)ex Giáo... (x) ÷ ÷ 2 4 − x  Vậy họ nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = x 4 − x + C Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số có dạng f(x) = u’v + uv’ thì ta làm như sau: Bước 1: Xét hàm số: F(x) = u.v Ta thấy F’(x) = u’v + uv’ Bước 2: Vậy F(x) = u.v + C là họ nguyên hàm của hàm số f(x) Chú ý: Trong một số bài toán thì ta có thể biến đổi hàm số f(x) thành một trong hai dạng trên,...  1 ∫ cos 2 x dx = Giáo viên đưa ra một số bài tập tương tự: Bài 1 Xác định họ nguyên hàm của các hàm số sau: π a) f (x) = 2cos(x + )e − x ; 4 16 − x + tan x + C (x − 1)e x b) f (x) = x2 Bài 2 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 a) f(x) = 2x + 1 3 x2 ; b) f(x) = 3cosx – 3x – 1; c) f(x) = cot2 t; d) f(x) = tan4 t 2.2 Các bài toán sử dụng phương pháp đổi biến số 3 Ví dụ 1 Tính tích phân bất định... Không phải bài toán nào ta cũng có thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm cơ bản được, muốn sử dụng được thì ta phải trải qua một hoặc một số bước biến đổi, phân tích Bây giờ ta sẽ xét thêm một số ví dụ sau: Ví dụ 5: Tính nguyên hàm của hàm số sau: a) f ( x ) = 1 ; sin 2 x cos 2 x b) f(x) = tan2 x Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở: a) – Với hàm số này thì ta chưa thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm được,... fi(x) có nguyên hàm i =1 trong bảng các nguyên hàm cơ bản và ai là các hằng số n n i =1 i =1 Bước 2: Tính: ∫ f (x)dx = ∫ ∑ a ifi (x)dx = ∑ a i ∫ f i (x)dx 3 2 Ví dụ: Tính tích phân bất định I = ∫ (x − 2) dx Giải: x7 I = ∫ (x − 2) dx = ∫ (x − 4x + 4)dx = − x 4 + 4x + C 7 3 2 6 3 Việc biến đổi, phân tích các hàm số trong bài toán tìm nguyên hàm là rất quan trọng, cần thiết Học sinh cần thông thạo các công... phải bài toán nào cũng dễ dàng đưa được về 13 dạng như trên Ngoài phương pháp tính bằng định nghĩa như trên thì ta còn có thể sử dụng bảng nguyên hàm để giải một số bài toán tìm nguyên hàm * Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm 1  2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau: I = ∫  x − 3x + ÷dx x  Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở: – Yêu cầu học sinh nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản ? Học. .. dạng: t = ϕ( x ) và đưa ra một số dấu hiệu, giáo viên đưa ra một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp một cách thành thạo hơn 18 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: I = ∫ x2 dx 1− x Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh: x2 thuộc dạng nào trong những dạng trên và ta sẽ sử 1− x – Ở đây, hàm số dụng phương pháp đổi biến số như thế nào ? Học sinh: Hàm số có dạng: f (x, ϕ(x)) ... Nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản – Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính I = ? Học sinh: Lời giải: 1 1 3 3 2  2 Ta có: I = ∫  x − 3x + ÷dx = x − x + ln x + C x 3 2  Ví dụ 4 Tính nguyên hàm của hàm số sau: f ( x ) = x+ 3 x +1 x Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở: – Với hàm số f(x) như vậy thì ta có thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm cơ bản hay chưa ? Học sinh: Chưa – xm = ?; xn Sử dụng các tính chất ... lấy vi phân hai vế) Cũng sử dụng tính chất không đổi sau dấu vi phân hàm siêu việt để phân tích dex = exdx Sử dụng biến đổi bản: − ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c ⇔ F′ ( x ) = f ( x ) ⇔ dF ( x ) =