Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh số không phương CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Trong chương trình Toán lớp 6, em học toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác đặc biệt giới thiệu số phương, số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) Liên quan đến số phương, em học số chuyên đề như: - Chứng minh số số phương - Chứng minh số không số phương - Tìm ẩn để biểu thức số phương - Số phương toán chia hết Chuyên đề đề cấp đến “Chứng minh số không số phương” Thông qua chuyên đề này, em học sinh củng cố kiến thức số phương, vận dụng cách linh hoạt việc giải toán Chuyên đề dành cho em học sinh lớp học nâng cao, em học sinh luyện thi học sinh giỏi, em học sinh ôn thi vào trường chuyên, lớp chọn ChuTieuThichHocToan hi vọng qua chuyên đề toán tài liệu làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho em I Nhắc lại lý thuyết số phương Định nghĩa: Số phương bình phương số tự nhiên Ví dụ: 32 = 9;152 = 225 -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh số không phương Các số 9; 225 bình phương số tự nhiên Tính chất 1) Số phương tận : 0; 1; 4; 5; 6; tận 2; 3;7; 2) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3) Số phương có hai dạng 4n 4n + Không có số phương có dạng 4n + 4n + (với n số tự nhiên) 4) Số phương có dạng 3n 3n + 1.Không có số phương có dạng 3n + (với n số tự nhiên) 5) Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6) Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Về việc chứng minh tính chất trên: Các em học sinh tự chứng minh để rèn luyện thêm, củng cố kiến thức Các chứng minh đơn giản, dùng phương pháp phản chứng để chứng minh -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh số không phương II Áp dụng giải toán chứng minh số không số phương Nhìn chữ số tận Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Từ em giải toán kiểu sau : Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 + 20012 số phương Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n số phương Chú ý : Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p Bài toán : Chứng minh số 1234567890 số phương Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 số phương Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 không số phương Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số số phương -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh số không phương Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số số phương Dùng tính chất số dư Chẳng hạn em gặp toán sau : Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phương Chắc chắn em dễ bị “choáng” Vậy toán ta phải nghĩ tới điều ? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” toán Thế ta nói điều số ? Chắc chắn số chia cho phải dư Từ ta có lời giải Lời giải : Vì số phương chia cho có số dư mà (coi tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho số phương Tương tự em tự giải toán : Bài toán : Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 số phương Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không số phương Bây em theo dõi toán sau để nghĩ tới “tình huống” Bài toán : Chứng minh số : -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh số không phương n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không số phương Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, em thấy số dư phép chia 1, không “bắt chước” cách giải toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận em thấy chữ số tận n nên không làm “tương tự” toán ; Số dư phép chia n cho dễ thấy nhất, Một số phương chia cho cho số dư ? Các em tự chứng minh kết : số dư Như em giải xong toán “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp” Các em thấy : Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k không số phương Từ em xét toán sau : Bài toán : Chứng minh số 4014025 không số phương Nhận xét : Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế tất cách làm trước không vận dụng Các em thấy lời giải theo hướng khác Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không số phương Bài toán : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không số phương với số tự nhiên n khác Nhận xét : Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số phương (đây toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải Lời giải : Ta có : A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh số không phương + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A không số phương Các em rèn luyện cách thử giải toán sau : Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số phương Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2 Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không số phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số số từ đến 1001 cho hai mảnh ghi số giống Chứng minh : Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương Bài toán 13 : Chứng minh : Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp số phương Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 không số phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục () Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh số không phương lúc số mảnh bìa số phương Cậu ta có thực mong muốn không ? III Kết luận Như em rèn luyện số phương pháp tư để áp dụng vào giải toán chứng minh số không số phương ChuTieuThichHocToan hi vọng qua chuyên đề này, em tự rút cho học bổ ích, thêm say mê môn Toán tiếp tục cố gắng để đạt mục tiêu học tập Chúc em sức khỏe, học tập tốt đạt ước mơ mình Đây tài liệu soạn ChuTieuThichHocToan Đây tài liệu chia sẻ miễn phí, không mang mục đích lợi nhuận Đề nghị giữ nguyên chia sẻ cho người khác Mọi thắc mắc xin liên hệ: ChuTieu (0987 702 775) -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) ... cho 16 Về việc chứng minh tính chất trên: Các em học sinh tự chứng minh để rèn luyện thêm, củng cố kiến thức Các chứng minh đơn giản, dùng phương pháp phản chứng để chứng minh ... Chứng minh : Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương Bài toán 13 : Chứng minh : Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp số phương Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho Bài toán 14 : Chứng minh. .. Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số số phương -ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các chuyên đề môn Toán – Chuyên đề chứng minh