Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác II- Các dạng toán sử dụng phơng pháp diện tích đa giác Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: Cho tam giác ABC, A = 90 , AB = cm, AC = cm, đờng cao AH Tính AH Giải: SC = AB + AC = 5(cm) SABC= AB.AC = 6(cm2) Lại có SABC= AH.BC AH= 2 S ABC BC = 2,4 cm Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh 3cm, hai đờng chéo AC=6cm, BD=5cm.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh đối diện? Giải: Khoảng cách từ đỉnh A đến hai cạnh BC CD Kẻ AH vuông góc với CD(H thuộc CD) SABCD= AC.BD= 15cm Lại có: SABCD= AH.DC AH= S ABC CD = 3,75cm Dạng 2: Tính tỉ số đoạn thẳng Bài 1: Cho a//b, a lấy B C, b lấy D E, cho góc ADB góc AEC 90 Giả sử CE= 2, DB=3, DB=4, EA=5.Tính Giải: a//b khoảng cách từ D E đến a nhau) AB = 21 AC AB AC S ADB AB = (chiều cao AC S AEC 25 Bài 2: Trên cạnh AC AB tam giác ABC lấy B C1 tơng ứng.Gọi giao điểm BB1 CC1 Hãy tính BC1 CB1 OB biết =m =n AC1 AC1 AB1 Giải: Nối A với O, kẻ BI AH CC1 BO S BOC = OB1 S B1OC S AOC S B1OC = AB1 + B1C AB1 AC = =1 + =1+ B1C B1C B1C h BOC AOC có chung OC nên S BOC S AOC BO S BOC S BOC S AOC = = =m.( 1+ ) OB1 S B1OC S AOC S B1OC h = BC1 BI BI , mà = =m AH AH AC1 Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học Bài 1: Chứng minh định lý Talet tam giác: Cho tam giác ABC, DE//BC thì: AD AE = AB AC Giải: Nối B với C; C với D ta có: AD S ADE = (2 tam giác chung đờng cao) (1) AB SABE AD S ADE = (2 tam giác chung đờng cao) (2) AC S ACD SBEC=SDBC (chung đáy BC, hai đờng cao nhau) SABC SBEC = SABC - SDBC SABC = SACD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AD AE = AB AC Bài 2: Chứng minh tính chất đờng phân giác Trong tam giác ABC, AD đờng phân giác thì: DB AB = DC AC DB S ABD = ( chung đờng cao) (1) DC S ADC AD đờng phân giác DH=DI AB S ABD = (2) (Vì hai đờng cao kẽ từ D nhau) AC S ADC DB AB Từ (1) (2) suy = DC AC Bài 3: Cho ABC cântại A, M thuộc BC Kẽ MH MK lần lợt vuông góc với AB, AC(H C thuộc AB AC).BI đờng cao ABC Chứng Giải: minh MH+MK=BI Giải: S ABM = MH.AB MH = Tơng tự ta có: MK = S ABM AB S ACM AC 2( S ABM + S ACM ) MH+ MK = (Vì AB = AC) AC S ABC MH+MK = = BI AC Bài 4: (Định lý Xêra)Cho ABC, lấy điểm tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC, CD A1, B1, C1.Chứng minh: Giải: BC1 AC1 = S ACD S ABD ; BC1 C1 A = S BCD ; AB1 S AC D B1C = S ABD S BC D Nhân vế theo vế đẳng thức ta có đpcm AB1 CA1 BC1 B1C A1 B C1 A =1 Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Bài 5: Cho ABC, lấy điểm tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC, CD A1, B1, C1.Chứng minh: OB1 BB1 OA1 + AA1 + OC1 CC1 =1 Giải: Đặt S = SABC, S1=SOBC, S2= SOAC, S3 = SOAB OA1 AA1 S OBA1 = S AB A1 = S OCA1 S ACA1 OB1 Tơng tự ta có: OB1 Do BB1 + = OA1 AA1 S2 ; = S OBC S ABC OC1 BB1 S CC1 OA1 OC1 S1 S AA1 + CC1 = S + S = + = S1 S S3 S S3 S =1 Bài Cho hình bình hành ABCD Các điểm M,N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN = CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC Giải: Kẻ DH KA, DI KC, ta có: DH.AN = SADN (1) DI.CM = SCDM (2) Lại có SADN = SABCD SCDM = SABCD SADM = SCDM (3) Từ (1), (2) (3) suy DH.AN = DI.CM Do AN = CM suy DH = DI suy KD phân giác góc AKC Dạng 4: Chứng minh BĐT hình học Bài 1: Cho tam giác ABC (AC >AB), đờng cao BI D điểm nằm B C Gọi BH CK theo thứ tự đờng vuông góc kẻ từ B C đến đờng thẳng AD Chứng minh rằng: BH + Ck > BI S ABC (1) AC 2S BH = ABD AD 2S CK = ACD AD 2( S ABD + S ACD ) Giải: Ta có : BI = BH + CK = AD = S ABC AD (2) Lại có AD < AC (3) (Ta dễ dàng chứng minh đợc điều xét trờng hợp góc BAC) Từ (1), (2) (3) suy BH + Ck > BI Bài 2: Gọi ha, hb, hc ba đờng cao tam giác chứng minh 1 < + hb hc Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Giải: Gọi diện tích tam giác S, ba cạnh ứng với đờng cao ha, hb, hc a, b, c ta có: a= 2S 2S 2S ; b= ; c= hb hc a < b + c ( BĐT tam giác) suy 1 2S 2S 2S < + suy < + hb hc hb hc Bai 3: Trong tam giác ABC ta lấy M, ký hiệu khoảng cách từ M tới đỉnh A Tam giác Ra, khoảng cách tới cạnh CA AB d b dc Chứng minh rằng: a.Ra c dc+ b.db Giải: Vẻ BK CL vuông góc với AM ( K L thuộc AM) Đặt BK = a1, CL = a2 ta có: a1+a2 a Suy 1 1 aRa a Ra + a1 Ra = S ACM + S ABM = bd b + cd c suy đpcm 2 2 Bài 4: Cho tam giác ABC, M nằm tam giác Các đờng thẳng AM, BM, CM cắt cạnh tam giác tơng ứng điểm A1, B1, C1 Chứng minh AM BM CM A1 M B1 M C1 M Giải: Đặt a = SMBC, b = SMAC, c = SMAB ta có: 1+ S AM + A1 M AA1 AM a+b+c a+b = = = ABC = = 1+ A1 M A1 M A1 M S MBC a a AM b + c = suy (1) A1 M a BM c+a CM a+b = = Chứng minh tơng tự ta có (2) B1 M b C1 M c Ta biết với số dơng a, b c ta có (a+b)2 4ab (b+c)2 4bc (c+a)2 4ac Suy (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Từ (1) (2) suy đpcm ... có: a= 2S 2S 2S ; b= ; c= hb hc a < b + c ( BĐT tam giác) suy 1 2S 2S 2S < + suy < + hb hc hb hc Bai 3: Trong tam giác ABC ta lấy M, ký hiệu khoảng cách từ M tới đỉnh A Tam giác Ra, khoảng cách