Đề cương ơn tập Tốn Hiền Biên soạn: Tống Văn A/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH : I/ Kiến thức :  ax + by = c( D1 ) * Với hệ phương trình :  ta có số  a ' x + b ' y = c '( D ) nghiệm : Số nghiệm Nghiệm Vị trí đồ thị D1 cắt D2 Vơ nghiệm D1 // D2 Vơ số nghiệm D1 ≡ D2 ĐK hệ số a b ≠ a' b' a b c = ≠ a' b' c' a b c = = a' b' c' II/ Các dạng tập : Dạng : Giải hệ phương trình (PP cộng ) * Phương pháp cộng : - Biến đổi hệ pt dạng có hệ số ẩn đối - Cộng (trừ) vế pt => PT bậc I ẩn - Giải PT ẩn vừa tìm tìm giá trị ẩn lại  x + y = 6(1) 4 x + y = 12(3) ⇔ 1)   x − y = 3(2)  x − y = 9(4) Cộng vế (3) (4) ta : 7x = 21 => x = Thay x = vào (1) => + 3y = => y = Vậy ( x = 3; y = 0) nghiệm hệ PT * Phương pháp : - Từ PT hệ biểu thị x theo y (hoặc y theo x) - Thay x (hoặc y) vào PT lại => PT bậc ẩn số - Giải PT ẩn vừa tìm tìm giá trị ẩn lại 7 x − y = 1(1) 2)  3 x + y = 6(2) Từ (2) => y = – 3x (3) Thế y = – 3x vào phương trình (1) ta : 7x – 2.(6 – 3x) = => 13x = 13 => x = Thay x = vào (3) => y = – = Vậy ( x = 1; y = 3) nghiệm hệ phương trình Ơn tập Học kì II Dạng : Tìm tham số để hệ PT thoả đk đề  x + my = 1) Cho hệ phương trình:   mx + y = −10 Với giá trị m hệ phương trình : - Vơ nghiệm - Vơ số nghiệm Giải : −5 ♣ Với m = hệ (*) có nghiệm (x =5; y= ♣ Với m ≠ ta có : - Để hệ phương trình (*) vơ nghiệm : m = ≠ m −10  m2 =  m = ±2 ⇔ ⇔ m = (thoả)   m ≠ −2  −10m ≠ 20 Vậy m = hệ phương trình vơ nghiệm - Để hệ phương trình (*) có vơ số nghiệm : m = = m −10  m2 =  m = ±2 ⇔ ⇔ m = −2 (thoả)   m = −2  −10m = 20 Vậy m = - hệ phương trình có vơ số nghiệm 2) Xác định hệ số a; b để hệ phương trình :  x + by = −4 (I) có nghiệm (x = 1; y = -2)   bx − ay = −5 Giải : Thay x = 1; y = -2 vào hệ (I) ta :  − 2b = −4  −2b = −6  b=3 ⇔ ⇔  b + 2a = −5  a + b = −5  a + = −5  b=3 ⇔ Vậy a = -4 ; b = hệ có nghiệm (1;-2)  a = −4 III/ Bài tập tự giải : 1) Giải hệ phương trình : 1 1 x + y = 7 x − y = 10 10 x − y =  a)  b)  c)  3 x + y = 5 x + y = 10 + =  x y  x + y =1 2) Cho hệ PT :   mx + y = m a) Với m = giải hệ PT Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền Biên soạn: Tống Văn b) Tìm m để hệ PT có nghiệm nhất, có VSN B/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : I/ Kiến thức : 1).Cơng thức nghiệm & cơng thức nghiệm thu gọn Với phương trình : ax2 + bx + c = ( a ≠ ) ta có : Cơng thức nghiện thu b Cơng thức nghiệm gọn (b chẳn; b’= ) 2 ∆ = b − 4ac ∆ ' = b ' − ac - ∆ < : PTVN - ∆ ' < : PTVN - ∆ = : PT có n0 kép - ∆ ' = : PT có n0 kép −b −b ' x1 = x2 = x1 = x2 = 2a a - ∆ > : PT có n - ∆ ' > : PT có n0 −b ± ∆ −b '± ∆ ' x1 ; x2 = x1 ; x2 = 2a a * Ghi nhớ : Các trường hợp đặc biệt ☺Nếu a + b + c = => PT có hai nghiệm : c x1 = 1; x2 = a ☺Nếu a – b + c = => PT có hai nghiệm : −c x1 = −1; x2 = a 2) Hệ thức Viét : * Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠ ) tổng tích hai −b c ; x1.x2 = nghiệm : x1 + x2 = a a II/ Các dạng tập : ♣ Dạng : Giải phương trình - Tìm ĐKXĐ phương trình (nếu có) - Biến đổi dạng PT bậc ẩn số - Giải PT cơng thức nghiệm - Nhận nghiệm trả lời 1) 4x2 – 11x + = (a = 4; b = – 11; c = 7) * Cách : Sử dụng cơng thức nghiệm ∆ = b − 4ac = (−11) − 4.4.7 = > ⇒ ∆ = Vì ∆ > nên phương trình có nghiệm : −b + ∆ 11 + −b − ∆ 11 − x1 = = = ; x2 = = =1 2a 2a * Cách : Trường hợp đặc biệt Vì a + b + c = + (-11) + = Nên phương trình có nghiệm : Ơn tập Học kì II 2x − = (*) - TXĐ : x ≠ ±1 x −1 x +1 2x 1.( x − 1) 2.( x + 1).( x − 1) − = (*) ⇔ x − ( x + 1).( x − 1) 1.( x + 1).( x − 1) 2) ⇔ 2x − x + = 2x2 − ⇔ 2x2 − x − = Vì a – b + c = – (– 1) – = Nên phương trình có nghiệm : −c x1 = −1; x2 = = a 3) 3x4 – 5x2 – = (**) Đặt X = x2 ( X ≥ 0) (**) ⇔ X − X − = −1 ⇔ X1 = (nhận) X2 = (loại) Với X = => x2 = x = ± ♣ Dạng : Phương trình có chứa tham số ☺ Loại : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước - Tính ∆ theo tham số m - Biện luận ∆ theo ĐK đề ; VD : Cho PT : x2 – 4x + 2m – = Tìm m để phương trình : - Vơ nghiệm - Có nghiệm kép - Có nghiệm phân biệt Giải : Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m – ⇒ ∆ ' = (−2) − 1.(2m + 1) = − m * Để phương trình vơ nghiệm ∆ < ⇒ − m < ⇔ −2 m < − ⇔ m > * Để phương trình có nghiệm kép ∆ = ⇒ − 2m = ⇔ −2m = −3 ⇔ m = * Để PT có nghiệm phân biệt ∆ > ⇒ − 2m > ⇔ −2m > −3 ⇔ m < (Lưu ý : Để PT có nghiệm ∆ ≥ ) Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền c x1 = 1; x2 = = a Biên soạn: Tống Văn ☺Loại : Tìm tham số m để phương trình có nghiệm x = a cho trước : - Thay x = a vào PT cho => PT ẩn m - Giải PT ẩn m vừa tìm 2 b) Khi x1 − x2 = 10 ⇔ ( x1 − x2 ) = 100 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 100 ⇔ 22 − 4(−m2 − 4) = 100 ⇔ + 4m2 + 16 = 100 VD : Cho PT (m – 1)x – 2m x – 3(1 + m) = a) Với giá trị m PT có nghiệm x = - ? b) Khi tìm nghiệm lại PT Giải : a) Vì x = -1 nghiệm phương trình, đó: ⇒ (m − 1).(−1) − 2m (−1) − 3.(1 + m) = ⇔ m = 20 ⇔ m = ±2 Vậy m = ±2 PT có nghiệm x1 − x2 = 10 * Ghi nhớ : Một số hệ thức x1; x2 thường gặp *x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇔ m − + 2m − − 3m = * ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇔ m − m − = ⇔ m1 = −1; m2 = Vậy m1 = - 1; m2 = phương trình có nghiệm x = -1 b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình −c 3(1 + m) = Vì PT có nghiệm x1 = - => x2 = a m −1 + Với m = => x2 = + Với m = -1 => x2 = Vậy : Khi m = nghiệm lại PT x2 = Và m = -1 nghiệm lại PT x2 = *x12 − x22 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) ☺Loại : Tìm tham số m để phương trình có n m n0 thoả ĐK cho trước α x1 + β x2 = δ … : - Tìm ĐK m để PT có nghiệm - Sử dụng Viét để tính S P n0 theo m n m - Biến đổi biểu thức α x1 + β x2 = δ dạng S; P => PT hệ PT ẩn tham số m *x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) * 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 III/ Bài tập tự giải : Dạng : Giải phương trình sau : 1) x − 10 x + 21 = 2) x − 19 x − 22 = 3) (2 x − 3) = 11x − 19 x x + = 4) x +1 x −1 x + x + 21 26 − = 5) x−2 x+2 6) x − 13 x + 36 = 2 VD : Cho PT : x – 2x – m – = Tìm m cho phương trình có nghiệm x1; x2 thoả : 2 a) x1 + x2 = 20 b) x1 − x2 = 10 Giải : Vì a.c < nên phương trình ln có nghiệm với m Theo hệ thức Viét ta có : S = x1 + x2 = P = x1.x2 = − m − 2 a) Khi x1 + x2 = 20 Ơn tập Học kì II 1 1   7)  x + ÷ − 4,5  x + ÷+ = x x   Dạng : Tìm tham số m thoả ĐK đề 1) Cho phương trình : mx2 + 2x + = a) Với m = -3 giải phương trình b) Tìm m để phương trình có : - Nghiệm kép - Vơ nghiệm - Hai nghiệm phân biệt 2) Cho phương trình : 2x2 – (m + 4)x + m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Khi tìm nghiệm lại phương trình 3) Cho phương trình : x2 + 3x + m = a) Với m = -4 giải phương trình Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 20 Biên soạn: Tống Văn b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1; x2 2 thoả điều kiện x1 + x2 = 34 ⇔ 22 − 2(−m − 4) = 20 ⇔ m = ⇔ m = ±2 2 Vậy m = ±2 PT có nghiệm thoả x1 + x2 = 20 C/ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ : I/ Kiến thức : 1) Điểm A(xA; yA) & đồ thị (C) hàm số y = (x): - Nếu f(xA) = yA điểm A thuộc đồ thị (C) - Nếu f(xA) ≠ yA điểm A khơng thuộc đồ thị (C) 2) Sự tương giao hai đồ thị : Với (C) & (L) theo thứ tự đồ thị hai hàm số : y = f(x) y = g(x) Khi ta có : * Phương trình hồnh độ giao điểm (C) & (L) : f(x) = g(x) (1) - Nếu (1) vơ nghiệm => (C) & (L) k./có điểm chung - Nếu (1) có n0 kép => (C) & (L) tiếp xúc - Nếu (1) có 1n0 n0 => (C) & (L) có điểm chung II/ Các dạng tập : ♣ Dạng : Vẽ đồ thị - Đồ thị h/s y = ax + b có dạng đường thẳng, nên vẽ ta cần tìm điểm thuộc đồ thị - Đồ thị h/số y = ax2 có dạng đường cong parabol đối xứng qua Oy, nên vẽ ta cân tìm khoảng điểm thuộc đồ thị VD : Cho hàm số y = - x + y = 2x2 a) Hãy Vẽ đồ thị h/số lên mặt phẳng Oxy b) Dựa vào đồ thị tìm hồnh độ giao điểm kiểm tra lại PP đại số Giải : - Xác định toạ độ điểm thuộc đồ thị : x y=-x+1 x -1 y = 2x - Vẽ đồ thị : -½ ½ 0 ½ ½ y = 2x2 x b) Hai đồ thị có hồnh độ giao điểm x1 = -1 Ơn tập Học kì II Dạng : Xác định hàm số VD1 : Cho hàm số : y = ax2 Xác định hàm số biết đồ thị (C) qua điểm A( -1;2) Giải Thay toạ độ A(-1; 2) thuộc đồ thị (C) vào hàm số Ta : = a.( -1) => a = - Vậy y = -2x2 hàm số cần tìm VD2 : Cho Parabol (P) : y = x2 a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đường thẳng (D) : y = 2x + m tiếp xúc với (P) Giải : a) - Xác định toạ độ điểm thuộc đồ thị : x -2 -1 y = ½x2 ½ ½ - Vẽ đồ thị : y= x x b) Tacó PT hồnh độ giao điểm (P) & (D) : x = x + m ⇔ x − x − 2m = (1) Để (P) (D) tiếp xúc (1) có nghiệm kép ⇒ ∆ ' = (−2) − 1.(−2m) = ⇒ + 2m = ⇔ m = −2 Vậy m = -2 đồ thị (P) (D) tiếp xúc III/ Bài tập tự giải : 1) Cho hai hàm số : - (D) : y = – 4x + - (P) : y = – x2 a) Vẽ đồ thị (D) (P) lên mp toạ độ b) Dựa vào đồ thị xác định toạ độ giao điểm (D) (P), kiểm tra lại phương pháp đại số Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền x2 = ½ Thật : Ta có PT hồnh độ giao điểm h/số là: x2 = − x + ⇔ x2 + x −1 = ⇔ x1 = −1; x2 = Biên soạn: Tống Văn 2) Cho hàm số (P) : y = ax2 ( a ≠ ) a) Xác định hàm số (P) Biết đồ thị qua điểm A(2; - 2) b) Lập phương trình đường thẳng (D) Biết đồ thị song song với đường thẳng y = 2x tiếp xúc với (P) PHẦN ; HÌNH HỌC PHẲNG A/ KIẾN THỨC : I) HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG : Cạnh kề Cạnh đối α Huyền Hoàn thành hệ thức lượng tam giác vuông sau : 1) AB2 = BH.BC ; AC2 = HC.BC 2) AH2 = BH.HC 3) AB AC = BC.AH 1 = + 4) 2 AH AB AC 2 Hoàn thành đònh nghóa tỉ số lương giác góc nhọn sau : D K sinα = cosα = H H D K tgα = cot gα = K D Một số tính chất tỉ số lượng giác : * Nếu α β hai góc phụ : sinα = cos β cosα = sin β tgα = cotg β cot gα = tg β Các hệ thức cạnh góc * b = a.sin B = a.cos C b = c.tgB = c.cot gC * c = a.SinC = a cosB c = b tgC = b cotgB II) ĐƯỜNG TRÒN : 1) Quan hệ đường kính dây : AB ⊥ CD I ⇔ IC = ID ( CD < AB = 2R ) 3) Tiếp tuyến : Ơn tập Học kì II 2) Quan hệ dây k/cách từ tâm đến dây : - AB = CD  OH = OK - AB > CD  OH < OK 4) Tính chất hai tiếp tuyến cắt Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền Biên soạn: Tống Văn MA; MB T.tuyến  MA = MB ¶ ¶ =>  M = M  µ ¶  O1 = O2 a ttuyến  a ⊥ OA A Vò trí tương đối đường thẳng đường tròn Đường thẳng đường tròn cắt Số điểm chung Hệ thức d & R dR (OH = d) 6.Vò trí tương đối hai đường tròn 1) Hai đường tròn cắt : OO’ trung trực AB 2) Hai đường tròn tiếp xúc : Số điểm chung Hệ thức OO’ với R & r R – r < OO’ < R + r OO’ = R + r OO’ = R – r > Ba điểm O; A; O’ thẳng hàng Ơn tập Học kì II Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền 3) Hai đường tròn không giao : Biên soạn: Tống Văn OO’ > R + r OO’ < R – r OO’ = 0 Ngoài Đựng Đồng tâm III/ GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN : Góc tâm : Góc nội tiếp ·AOB = sd »AB ·AMB = sd »AB Góc tạo tiếp tuyến dây cung Góc có đỉnh bên ngồi đường tròn : · BAx = sd »AB · » − sd »AC ) BMD = ( sd BD Góc có đỉnh bên đường tròn : ( ·AID = sd »AD + sd BC » ) Tứ giác nội tiếp : * ĐN : Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp : ABCD tứ giác nội tiếp ⇔ A; B; C ; D ∈ (O) Ơn tập Học kì II µA + C µ = 1800 => ABCD nội tiếp ·ADB = 900 ; ·ACB = 900 * Tính chất : ABCD nội tiếp Một số tính chất góc với đường tròn : µA + C µ = 1800 µ +D µ = 1800 B => A;B;C;D thuộc đ.tròn đ.kính AB => ABCD nội tiếp đ.tròn đ.kính AB · µ ; xAD · · xAD =C + DAB = 1800 · µ = 1800 ⇒ DAB +C => ABCD nội tiếp Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền Một số hệ thức thường gặp : IA.IC = IB.ID ∆ (do Biên soạn: Tống Văn 10 Một số hệ thức thường gặp : MA2 = MB.MC ∆ ∆ ∆ ABI DCI) MA.MB = MD.MC (do ∆ MAD MBA MAC) AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2 ∆ MCB) 11 Độ dài đường tròn & cung tròn : * Chu vi đường tròn : C = 2Π R = d R * Độ dài cung AB có số đo n0 : l »AB = (do π R.n 180 12 Diện tích hình tròn & hình quạt tròn : * Diện tích hình tròn : S = π R * Diện tích hình quạt cung AB có số đo n0 : Squạt = π R n l.R = 3600 B/ BÀI TẬP : Bài : Cho đường tròn (O) , kẻ hai đường kính AOB, COD vng góc Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác B D ), dây CM cắt AB N, tiếp tuyến đường tròn M cắt AB K, cắt CD F a) CMR : Tứ giác ONMD nội tiếp b) CM : MK2 = KA.KB · · c) So sánh : DNM & DMF Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC , điểm A thuộc nửa đường tròn, H hình chiếu A BC Vẽ phía với A BC nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự HB; HC chúng cắt AB, AC theo thứ tự D, E a) Tứ giác ADHE hình ? b) CMR : Tứ giác BDEC nội tiếp c) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn biết HB = 10cm; HC = 40cm Bài : Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, cắt DE H cắt DC K Ơn tập Học kì II Bài : Cho ∆ ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt tia Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền a) CMR : Tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính góc CHK c) CM : KH.KB = KC.KD Biên soạn: Tống Văn AC tia AB D E Chưng minh : a) BD2 = AD.CD b) Tứ giác BCDE nội tiếp c) BC // DE PHẦN BA : ĐỀ THAM KHẢO (PHẦN BÀI TẬP) ĐỀ : A/ LÝ THUYẾT : HS chọn hai đề B/ BÀI TỐN : (Bắt buộc) 8đ Bài : Giải hệ phương trình sau : 7 x − y =  3 x + y = Bài : Cho hai hàm số : (D) : y = x + Và (C) : y = x a) Vẽ đồ thị (D) (C) lên mp Oxy b) Dựa vào đồ thị xác định toạ độ giao điểm (D) (C) Hãy kiểm tra lại phương pháp đại số Bài : Cho ∆ nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) hai đường cao AH; BK cắt I a) CMR : CHIK nội tiếp b) Vẽ đường kính AOD (O) Tứ giác BICD hình ? Vì ? · · c) Biết BAC = 600 Tính số đo BIC =? ĐỀ : A/ LÝ THUYẾT : HS chọn hai đề B/ BÀI TỐN : (Bắt buộc) 8đ Bài : Vẽ đồ thị hàm số y = − x Bài : Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + (m2 – 20 ) = a) Với m = giải phương trình Ơn tập Học kì II ĐỀ : A/ LÝ THUYẾT : HS chọn hai đề B/ BÀI TỐN : (Bắt buộc) 8đ Bài : Giải phương trình x4 – 8x2 + = Bài : Cho hai hàm số : (D) : y = x – Và (C) : y = − x a) Vẽ đồ thị (D) (C) lên mp Oxy b) Xác định hệ số a;b hàm số y = ax + b có đồ thị (D’) song song với đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (C) Bài : Cho tam giác ABC vng A, cạnh AC lấy điểm M vẽ đường tròn đường kính MC Gọi D; E giao điểm BM ; AD với đường tròn (M khác D) Chứng minh : a) Tứ giác ABCD nội tiếp b) AD.AE = AM.AC c) Gọi K giao điểm BA CD; F BC với đường tròn đường kính MC Chứng minh : Ba điểm K; M; F thẳng hàng Đề : A/ LÝ THUYẾT : HS chọn hai đề B/ BÀI TỐN : (Bắt buộc) 8đ Bài 1: Giải phương trình hệ phương trình sau : a) x2 – 29x + 100 = Trang : Đề cương ơn tập Tốn Hiền b) Tìm m để phương trình có nghiệp kép Bài : Cho (O;R) điểm M nằm ngồi đường tròn Từ M kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (O) A B a) CMR : Tứ giác AMBO nội tiếp b) Vẽ cát tuyến MCD với (O) Chứng minh : MA.MB = MC.MD c) Với OM = 2R Tính diện tích hình tạo hai tiếp tuyến MA; MB với cung nhỏ AB (O;R) Ơn tập Học kì II Biên soạn: Tống Văn 5 x + y = 17 b)   9x − y = Bài : Cho phương trình x2 – 11x + 30 = Khơng giải phương trình, tính x1 + x2 ; x1x2 2 x1 + x2 Bài : Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, cắt DE H cắt DC K a) CMR : Tứ giác CKHE nội tiếp b) Tính góc CHK c) CM : AC // EK Trang : 10 ... x2 = Biên soạn: Tống Văn 2) Cho hàm số (P) : y = ax2 ( a ≠ ) a) Xác định hàm số (P) Biết đồ thị qua điểm A(2; - 2) b) Lập phương trình đường thẳng (D) Biết đồ thị song song với đường thẳng y =... x2 III/ Bài tập tự giải : Dạng : Giải phương trình sau : 1) x − 10 x + 21 = 2) x − 19 x − 22 = 3) (2 x − 3) = 11x − 19 x x + = 4) x +1 x −1 x + x + 21 26 − = 5) x−2 x+2 6) x − 13 x + 36 = 2 VD... : Tứ giác BDEC nội tiếp c) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn biết HB = 10cm; HC = 40cm Bài : Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, cắt DE H cắt DC