Bài Tập Chương :Giới hạn-Liên tục Tìm giới hạn : 1) a) lim 2) a) lim x→2 x2 − x + 2x + x − 3x + x →∞ ( x + 4)(6 − x ) x2 +1 −1 c) lim x →0 3) ( x + 2)( x − 1) x →1 ( x + 1)( x − 3) b) lim a) lim x →0 x + 16 − sin mx tgnx ⎞ ⎛ − b) lim⎜ ⎟ x →1 − x − x3 ⎠ ⎝ m d) lim n x −1 x →1 b) lim x →0 x −1 cos mx − cos nx x2 c) lim ⎛ 1 ⎞ ⎟ − d) lim⎜⎜ x →0 sin x tgx ⎟⎠ ⎝ 4) ⎞ ⎛π a) lim ⎜ − x ⎟tgx π x→ ⎝ ⎠ b) lim sin 5) a) lim ( x + x + − x + x ) b) lim 6) ⎛ x +1⎞ a) lim⎜ ⎟ x →∞ x − ⎠ ⎝ ⎛ 3x + ⎞ b) lim⎜ ⎟ x →∞ x − ⎠ ⎝ + sin x − cos x x →0 − sin x − cos x x →±∞ x c) lim(1 + sin x) x x →0 7) Xét tính liên tục hàm số : ⎧ x −1 ⎪ a) f(x) = ⎨ x − x ≠ x = ⎪⎩1 x = ⎧ x −1 x ≠ ⎪⎪ b) f(x) = ⎨ x − x = ⎪3 x = ⎪⎩ ⎧ ⎪ x sin x ≠ c) f(x) = ⎨ x = x ⎪⎩ x = x→a x → +∞ x − a πx tg 2a (x 3 + x2 −1 − x d) lim x − x x →0 2x ( a≠ 0) ) 8) Tìm điểm gián đoạn : a) f(x) = x2 − x2 +1 b) f(x) = 2x + x−3 ⎧ sin x x ≠ ⎪ d)f(x) = ⎨ x ⎪⎩ x = c) f(x) = xtg3x 9) Xét tính liên tục hàm số : ⎧ e x x < a) f(x) = ⎨ ⎩ x x ≥ R ⎧ e x x < R b) f(x) = ⎨ ⎩a + x x ≥ 10) Tìm a để hàm số sau liên tục R : ⎧ x2 − 5x + x ≠ ⎪ a) f(x) = ⎨ x − ⎪a x = ⎩ ⎧ x + x ≤ b) f(x) = ⎨ ⎩ a − x x > ⎧1 − cos4x x ≠ ⎪ c) f(x) = ⎨ x ⎪⎩a x = 11) Xét tính liên tục hàm số : ⎧1 x ≠ ⎪ − f(x) = ⎨ x sin x ⎪⎩ a x =0 x = 12) Xét tính liên tục hàm số sau R : ⎧ ⎪ sin x ⎪ f(x) = ⎨ ⎪ 2x ⎪2 − π ⎩ x ≤ x > π π 13) Chứng minh phương trình x3 – x - = có nghiệm thực VI PHÂN Tính đạo hàm : a) y = x + x +3 x c) y = − x 2 a) y = sin x c) y = e b) y = 1 + +3 x x x d) y = x + x2 +1 b) y = earctgx e2x d) y = ln x cos x a) y = ln( x + + x ) b) y = ln(arcsin5x) c) y = log3(x2-sinx) d) y = ln sin x a) y = sin3(4x+3) b) y =cos2(cosx) c) y = cos(cos(cosx)) d) y = ln3(sin(1+x2)) a) y = xx b) y = x cos x a) y = (sin x) tgx b) y = ( c) y =(x-1)3(x-2)5(x-3)7 x d) y = x e sin x x + x2 ) x −1 ⎧ x = a cos t a) ⎨ ⎩ y = b sin t ⎧ x = arcsin t b) ⎨ ⎩y = 1− t ⎧ x = ln(1 + t ) c) ⎨ ⎩ y = t − arctgt ⎧ x = t + 3t + d) ⎨ x =1 ⎩ y = 3t + 5t + Tính đạo hàm cấp n : a) y = x b) y = ln(1+x) c) y = cosx Chứng minh y = exsinx y’’ – 2y’ + 2y = 10 Chứng minh y = acos(lnx) + bsin(lnx) x2y’’ + xy’ + y = 11 Chứng minh arcsinx + arccosx = π 12 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y = − x + + x giao điểm đường cong với trục tung 13 Tìm điểm Mo cung AB đường cong y = 2x-x2 tiếp tên song song với dây cung AB với A(1,1) , B(3,-3) 14 Dùng vi phân để tính gần : a) (0,998)20 b) 1,001 c) tg 44o10’ d) 0,995 15 Tìm giới hạn : x2 −1 a) lim( ) x →1 ln x e x − cos x b) lim( ) x →0 x sin x ln(1 − x ) c) lim x →0 sin x d) lim(e + x) x x x →0 16.Tìm khoảng tăng ,giảm cực trị hàm số : a) y = (1-x)(x+2)2 c) y = x ln x b) y = -x3 + 3x2 - 5x + d) y = ln( x + 1) 17 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : x a) y = 1− x2 c) y = − x2 x3 b) y = x−4 d) y = x ln x TÍCH PHÂN I-Tính tích phân bất định sau: a ∫ xdx x4 + b ∫ x dx x2 + a ∫ x −1 dx x + x +1 b ∫ 3x + dx x + 4x − a ∫ x x + 1dx dx x ln x a ∫ b ∫ a ∫ e + 1dx 2x a ∫ sin xdx a ∫ dx + cos x a ∫ x sin xdx a ∫ xdx ex xdx b ∫ x2 +1 dx x + ln x dx b ∫ x e +1 b ∫ sin xdx b ∫ dx sin x + cos x cos x c ∫ x3 − x + dx x2 − x3 − x2 + x + dx dx d ∫ x − 2x + x +x c ∫ x dx c ∫ 1− x6 dx c ∫ cos x.e sin x dx e dx c ∫ e 2x −1 dx c ∫ cos x cos xdx c dx x − x4 d ∫ ∫ sin d ∫ xdx x4 +1 e x dx + e2x d ∫ x5 x dx d ∫ tg xdx dx dx d ∫ x + cos x cos x b ∫ xarctgxdx c ∫ sin(ln x)dx b ∫ x sin x cos sxdx c arcsin x dx x2 ∫ d ∫ d ∫ ln xdx d ∫ ln x dx x3 II-Tính tích phân xác định sau: 1 a ∫ x−4 dx x +2 e b sin(ln x) ∫1 x dx c dx ∫0 x + 4x + π d ∫ cos xdx π a ∫ x2 x3 + dx xdx b ∫ x + 3x + c ∫π tgxdx − e2 d dx ∫ x ln x e π a dx ∫0 + cos x b ln dx ∫1 x + 2x − c arctgx ∫0 + x dx ln π a ∫ e x cos xdx π b ∫ arcsin xdx c ∫ x 3e x dx ∫ d d dx ex +1 x sin x dx x ∫ cos III-Tính tích phân suy rộng: +∞ a ∫ cos xdx +∞ a ∫ e dx 2x +∞ +∞ dx c ∫ 2 x + x−2 dx b ∫ 1+ x +∞ d e dx b ∫ x dx c ∫ x e −1 dx ∫ x ln d ∫x x dx −1 IV-Ứng dụng tích phân xác định : Tính diện tích giới hạn đường : a y = cosx trục Ox với ≤ x ≤ π b y = – x2 y = x c y = x2 x = y2 d y = 2x , y = x =0 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay miền phẳng giới hạn đường cong sau : π a y = tgx , y = x = quanh trục ox b x + ( y − 2) ≤ 2 quanh trục ox Bài Tập Phương trình Vi phân PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP : • PTVP biến số phân ly: 1) xdx + ydy = 2) x2(y + 1) dx + (x3 - 1) (y - 1)dy = 3) xy’+ y = 4) y’cosx = ; y (3) = y ; y (0) = ln y 5) ln (cosy) dx + xtgydy = 6) yy ' + ey = ; y (1) = x 7) y’ = ex-y 8) y’ = x – y ; y (-3) = - (1 + x3) dy - x2ydx = ; y(1) = • PTVP đẳng cấp : 9/ (x + 2xy) dx + xydy = y y y’ + x = ysin x x 10/ xsin ĐS : Cx = e 11/ xy + y = (2x + xy) y’ 12/ xy’ln y y = x + y ln x x x -C=0 x+ y ĐS : ln|x+y| + cos y x y ĐS : y = Cxe - x ĐS : ln|Cx| = y x ⎡ y ⎤ ⎢ln x − 1⎥ ⎦ ⎣ • PTVP tuyến tính : 13) y’ + xy = arcsinx + x 1− x2 ⎡1 ⎤ ĐS : y = − x ⎢ (arcsin x) − − x + K ⎥ ⎣2 ⎦ 14) xy’ – y = x2 cosx 15) (1+x2) y’ + y = arctgx 16) y’cos2x + y = tgx ; y(o) = ĐS : y = tgx – + e-tgx • PTVP Bernouilli : y x 17) y’ + = x2y4 ĐS : y = x ln y y2 = 18) y’ – x −1 x −1 ĐS : y = PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP : 1) y’’ -4y’ +3y = 2) y’’ -2y’ + y = 3) y’’ +y’ +2y = 4) y’’ – 3y’- 4y = e -x (x-2) 5) y’’- 4y’ = e2x ( x2 + x+1) 6) y’’ + 3y’ = x2-1 7) y’’ - 4y’+ 4y = e2xx2 8) y’’ – 2y’ = 2cos2x BÀI TẬP ƠN THI 1) y’ + sin(x+2y) = sin (x-2y) 2) y = lny ; y (2) = y' 3) y’ = - x2 + y x y ⎛ y⎞ 4) y’ = + + ⎜ ⎟ x ⎝x⎠ ; y (1) = 5) y’cosx + y = - sinx ; y (0) = 6) y’ - y x = cos2 x.tg sin x 7) y’’ +y’ -6y = xe2x 8) y’’ +y’ = sin2x 9) y’’ – 2y’ + y = +x x −1 K−x K x3 ... : π a y = tgx , y = x = quanh trục ox b x + ( y − 2) ≤ 2 quanh trục ox Bài Tập Phương trình Vi phân PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP : • PTVP biến số phân ly: 1) xdx + ydy = 2) x2(y + 1) dx + (x3 - 1)... CẤP : 1) y’’ -4y’ +3y = 2) y’’ -2y’ + y = 3) y’’ +y’ +2y = 4) y’’ – 3y’- 4y = e -x (x-2) 5) y’’- 4y’ = e2x ( x2 + x+1) 6) y’’ + 3y’ = x2-1 7) y’’ - 4y’+ 4y = e2xx2 8) y’’ – 2y’ = 2cos2x BÀI TẬP... ; y (1) = x 7) y’ = ex-y 8) y’ = x – y ; y (-3) = - (1 + x3) dy - x2ydx = ; y(1) = • PTVP đẳng cấp : 9/ (x + 2xy) dx + xydy = y y y’ + x = ysin x x 10/ xsin ĐS : Cx = e 11/ xy + y = (2x + xy)