BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ MÃ SỐ: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đa tạp khả vi 1.1.1 Định nghĩa .3 1.1.2 Chú ý .3 1.1.3 Ví dụ 1.1.3 Định nghĩa .6 1.1.4 Mệnh đề (xem [3]) 1.1.5 Định nghĩa .8 1.1.6 Nhận xét 1.1.7 Định nghĩa 10 1.1.8 Mệnh đề (xem [3]) 10 1.1.9 Định nghĩa 10 1.1.10 Mệnh đề (xem [3]) .11 1.1.11 Nhận xét (xem [3]) 11 1.1.12 Định lý (xem [5]) .12 1.2 Liên thông tuyến tính .12 1.2.1 Định nghĩa 12 1.2.2 Ví dụ 12 1.2.3 Mệnh đề (xem [7]) .13 .14 1.2.4 Mệnh đề (xem [3]) 14 1.2.5 Định lý (xem [5]) 14 1.2.6 Mệnh đề (xem [3]) .15 Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE 17 2.1 Nhóm Lie 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Ví dụ 17 2.1.3 Nhận xét 18 2.1.4 Định nghĩa 19 2.1.5 Mệnh đề (xem [4]) .19 2.1.6 Định nghĩa 20 2.1.7 Nhận xét 20 2.1.8 Định nghĩa 20 2.1.9 Mệnh đề (xem [4]) 21 2.1.10 Mệnh đề .22 2.2 Trường vectơ bất biến trái nhóm Lie 23 2.2.1 Định nghĩa 23 2.2.2 Ví dụ 23 2.2.3 Mệnh đề (xem [6]) 24 2.2.4 Mệnh đề (xem [1]) .24 2.2.5 Mệnh đề .25 2.2.6 Mệnh đề (xem [3]) .26 2.2.7 Nhận xét 26 2.2.8 Ví dụ 27 2.3 Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính nhóm Lie .27 2.3.1 Định nghĩa 27 2.3.3 Mệnh đề .29 2.3.4 Hệ 30 2.3.5 Định lý (xem [7]) 30 2.3.6 Bổ đề 31 2.3.7 Mệnh đề 32 2.3.8 Ví dụ 33 LỜI NÓI ĐẦU Nhóm Lie đối tượng toán học đại, kết hợp ngành giải tích, hình học đại số Do đó, nhóm Lie có nhiều ứng dụng toán học, vật lý ngành khoa học kỹ thuật Lý thuyết nhóm Lie trình bày nhiều tài liệu tham khảo (chẳng hạn [4], [6],…) nhà toán học nước Trong luận văn này, trình bày số khái niệm tính chất nhóm Lie Luận văn mang tên: Một số tính chất hình học nhóm Lie Luận văn trình bày hai chương: Chương 1: Kiến thức sở Trong chương này, trình bày số tính chất cấu trúc khả vi, trường vectơ tiếp xúc liên thông tuyến tính đa tạp Chương xem phần sở cho việc trình bày chương Chương chia thành mục: 1.1 Đa tạp khả vi 1.2 Liên thông tuyến tính Chương 2: Một số tính chất hình học nhóm Lie Chương nội dung luận văn Trong chương này, trình bày số tính chất nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái nhóm Lie, đạo hàm liên thông tuyến tính nhóm Lie nhóm Lie tác động đa tạp Chương trình bày mục: 2.1 Nhóm Lie 2.2 Trường vectơ bất biến trái nhóm Lie 2.3 Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính nhóm Lie Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 khoa Toán, trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với hướng dẫn tận tình thầy Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo môn Hình học – Tôpô, thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau đại học Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Tân Kỳ 3, bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trình bày số kiến thức sở đa tạp khả vi, bao gồm định nghĩa ví dụ đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, trường vectơ đa tạp số tính chất liên thông tuyến tính đa tạp khả vi 1.1 Đa tạp khả vi Trong suốt luận văn này, ta giả thiết M không gian tôpô Hausdoff với sở đếm Như ta biết (xem [3]), đồ M ( hệ tọa độ địa phương M) cặp (U , ϕ ) ; U tập mở M ϕ phép đồng phôi từ U → V ; V tập mở ¡ n • Hai đồ (U1 , ϕ1 ) (U , ϕ2 ) M gọi phù hợp ánh xạ ϕ2ϕ1−1 vi phôi ( trường hợp U1 ∩ U = ∅ , ta quy ước (U1 , ϕ1 ) (U , ϕ2 ) phù hợp) • Một họ đồ { (U α , ϕα ) } α ∈I gọi alat M hai đồ họ phù hợp UUα = α ∈I M 1.1.1 Định nghĩa + Một atlat cực đại M gọi cấu trúc khả vi M + M gọi đa tạp khả vi n-chiều M trang bị cấu trúc khả vi 1.1.2 Chú ý + Một atlat cực đại M atlat không bị chứa atlat + Hai atlat M gọi phù hợp đồ atlat phù hợp với đồ atlat Rõ ràng hợp hai atlat phù hợp atlat M Do theo nguyên lý cực đại M tồn cấu trúc khả vi + Từ tính chất phù hợp đồ atlat nên thực hành cần cấu trúc khả vi M, ta thường atlat có số đồ + Trên M ta trang bị cấu trúc khả vi khác để tạo thành đa tạp khả vi khác 1.1.3 Ví dụ 2 Ta xét M = S = { A( x, y, z ) ⊂ ¡ ( x + y + z = 1} Khi S đa tạp khả vi 2-chiều với cấu trúc khả vi sau đây: U1 = {A( x, y, z ) ∈ S | z > 0} U = {A( x, y, z ) ∈ S | z <   V1 = {A '( x, y ) ∈ ¡ | x + y < V2 = {A '( x, y ) ∈ ¡ | x + y <  ; ϕ1 : U1 → V1 ϕ : U → V2  A( x, y, z ) a A '( x, y )  A( x, y, z ) a A '( x, y )   U = {A( x, y, z ) ∈ S | y > 0}  V3 = {A '( x, z ) ∈ ¡ | x + z < 1} ;  ϕ3 : U → V3  A( x, y, z ) a A '( x, z )  U = {A( x, y, z ) ∈ S | y < 0}  V4 = {A '( x, z ) ∈ ¡ | x + z < 1}  ϕ : U → V4  A( x, y, z ) a A '( x, z )  U = {A( x, y , z ) ∈ S | x > 0}  V5 = {A '( y, z ) ∈ ¡ | y + z < 1}  ; ϕ5 : U → V5  A( x, y , z ) a A '( y, z )  U = {A( x, y, z ) ∈ S | x < 0}  V6 = {A '( y , z ) ∈ ¡ | y + z < 1}  ϕ6 : U → V6  A( x, y, z ) a A '( y, z )  Thật vậy: +) ( U1 , ϕ1 ) đồ S • Giả sử A( x1 , y1 , − x12 − y12 ) ; B ( x2 , y2 , − x22 − y22 ) ∈ U1 ϕ1 ( A) = ϕ1 ( B) : x = x ϕ1 ( x1 , y1 , − x12 − y12 ) = ϕ2 ( x2 , y2 , − x22 − y22 ) ⇒  ⇒ A ≡ B  y1 = y2 • Với ( x, y ) ∈ V1 ϕ1 ( X ) = ϕ1 ( x, y, − x − y ) = ( x, y ) ta (2) có (1) X ( x, y, − x − y ) ∈ V1 Từ (1) (2) ta suy ϕ1 song ánh • ϕ1 phép chiếu từ U1 lên V1 nên ϕ1 ánh xạ liên tục (3) • Ta có ϕ1−1 : V1 → U1 , ( x, y ) a ( x, y, − x − y ) liên tục hàm tọa độ liên tục (4) Từ (3) (4) ta thấy ϕ1 phép đồng phôi từ U1 → V1 , ( U1 , ϕ1 ) đồ S Chứng minh tương tự ta có ( U i ,Vi ) đồ S , ∀i = 2, +) ( U1 , ϕ1 ) ( U , ϕ3 ) phù hợp • Thật vậy, ta ( U1 , ϕ1 ) ( U , ϕ3 ) đồ S Ta đặt { } W = U1 ∩ U = A( x, y, z ) ∈ S | z > 0, y > ≠ ∅ { } { } W1 = ϕ1 (W) = A′( x, y ) ∈ ¡ | x + y < 1, y > W3 = ϕ3 (W) = A′( x, y ) ∈ ¡ | x + z < 1, z > ϕ13 = ϕ3 o ϕ1−1 : W1 → W3 , ( x, y ) a ϕ13 ( x, y ) ϕ13 ( x, y ) = (ϕ3 o ϕ1−1 )( x, y ) = ϕ3 (ϕ1−1 ( x, y )) = ϕ3 ( x, y, − x − y ) = ( x, − x − y ) Ta nhận thấy ϕ13 song ánh • Ta đặt ϕ13 = ( f1 , f ) cho f1 : W1 → ¡ , ( x, y ) a x f : W3 → ¡ , ( x, y ) a − x2 − y • Vì f1 , f khả vi nên ϕ13 khả vi • Ta có 21 • Gx = { gx g ∈G} Gx gọi quỹ đạo x Ví dụ: Ta lấy G = Gl(n, R ), M = R n ϕ: G × M → M; ( A, x) a A.x Khi ϕ ánh xạ khả vi n n • ϕA: R → R , x a Ax; ϕA vi phôi (vì ϕA phép biến đổi tuyến tính có ma trận A; mà |A| ≠ 0) • Ta lấy A =I, I ma trận đơn vị Khi Ix = x; ∀x∈M • A(Bx) = (A.B)(x) (vì phép nhân ma trận có tính chất kết hợp) Như vậy, Gl(n, R ) tác động lên Rn 2.1.9 Mệnh đề (xem [4]) Giả sử G tác động lên M Khi Sx nhóm đóng G Chứng minh: • Trước hết ta chứng minh Sx nhóm G + Với g1 , g ∈S x ⇒ g1.g ( x ) = g1 ( g ( x)) = g1 ( x) = x ⇒ g1 g ∈S x + e( x) = x ⇒ e∈S x Ta tiếp tục chứng minh Sx đóng G Thật vậy, ta đặt H = G \ S x , ta cần chứng minh H mở G Ta lấy g ∈ H ⇒ g ∉S x ⇒ g ( x) ≠ x ⇒ g ( x)∈M \ {x} Do M T2 - không gian nên {x} đóng M Do M \ {x} mở M Ta đặt U = M \{x} Như U tập mở M chứa g(x) Do ϕ ánh xạ khả vi từ G × M vào M (theo định nghĩa 2.9) nên tồn hai tập mở V W tương ứng g x cho ϕ(V W ) ⊂ U 22 ⇒ V W ⊂ U ⇒ V ⊂H ⇒ H mở ⇒ Sx đóng  2.1.10 Mệnh đề Nếu G tác động lên M, tập N = {h ∈ G | ϕ h = id M } = {h ∈ G | h ×x = x với ∀x ∈ M } ước chuẩn đóng G Chứng minh: + Trước hết ta chứng minh N ước chuẩn G Thật vậy: Ta nhận thấy ex = x; ∀x ∈ M ⇒ e ∈ N Ta xét: h ∈ N , g ∈ G, ta có: ghg−1(x) = g(h(g−1(x))) = g(g−1(x)) = (g.g−1)(x) = ex = x; ∀x ∈ M −1 ⇒ ghg ∈ N Vậy N ước chuẩn G + Bây ta chứng minh N đóng Ta xét g ∈ G \ N ⇒ ϕ g ≠ id M ⇒ ∃y ∈ M , g y ≠ y Do M T2-không gian, nên {y} đóng M Do U = M \{y} mở M Như U lân cận mở chứa g ( y ) Do ϕ ánh xạ khả vi từ G × M → M , nên có lân cận mở V g lân cận mở W y, cho ϕ (V , W) ⊂ U Như vậy: ∀h ∈ V , ϕh ( y ) = h ×y ∈ U ⇒ h ×y ≠ y (vì U = M \{y} ) 23 ⇒ h ∉ N ⇒ V ⊂ G \ N ⇒ G \ N mở G ⇒ N đóng G W 2.2 Trường vectơ bất biến trái nhóm Lie 2.2.1 Định nghĩa Cho G nhóm Lie Khi trường vectơ X ∈ B(G) gọi trường vectơ bất biến trái G nếu: ( ) ( La )* X = X ; ∀a ∈ G ; (nghĩa ( La )* p )( X p ) = X ap ; ∀a ∈ G 2.2.2 Ví dụ • G = Rn, với a ∈ Rn; đó: La : R n → R n p a a + p; ∀p ∈ R n với p(x1, , xn) a(a1, , an) La(p) = (a1 + x1, , an + xn) Ta có Jacôbi La p là:   J La | p :=   ; ∀a ∈ R n     Khi  x1 ( p)  ( La )* p X p = J L  M   a p   xn ( p)  Nếu X(X1, , Xn) trường vectơ bất biến trái Rn với ∀a ∈ ¡ n , ta có:  X (a + p )     X ( p)    =    M  M       X n (a + p)     X n ( p)  24  X (a + p ) = X ( p)  M ;   X (a + p ) = X ( p ) n  n ⇒ ⇒ X1, , Xn hàm ⇒ X trường vectơ song song Rn • Ngược lại, trường vectơ song song Rn trường vectơ bất biến trái Như vậy, X trường vectơ bất biến trái Rn X trường vectơ song song Rn 2.2.3 Mệnh đề (xem [6]) Ta ký hiệu G = {X | X trường vectơ bất biến trái G} Khi G đại số Lie trường số thực Chứng minh: • Giả sử X, Y ∈ G Ta có: La* ( X + Y ) = La* X + La*Y = X + Y ⇒ X + Y ∈ G • La* (λX ) = λLa* X = λ X ; ∀λ∈ X ⇒ λX ∈ G • La* [X , Y ] = [La* X , La*Y ] = [X , Y ] ⇒ [X, Y] ∈ G  Đại số Lie G gọi đại số Lie nhóm Lie G Bây ta ý tới đẳng cấu Lie ϕ từ nhóm Lie G vào nhóm Lie G’ Giả sử e đơn vị G e’ đơn vị G’ Ta có mệnh đề sau: 2.2.4 Mệnh đề (xem [1]) Cho X, X’ tương ứng hai trường vectơ bất biến trái G G’ (ϕ* )e X e = X 'e ' Khi ϕ * X = X’ 25 Chứng minh: Ta có: (ϕ * )aXa = (ϕ * )a((La * )eXe) = ((ϕ * )a o (La * )e)Xe = (ϕ o La) * e (Xe) = (Lϕ(a) o ϕ) * e (Xe), (do nhận xét 2.1.7) = (Lϕ(a)) * ϕ( e ) (ϕ * ) e Xe) (do ϕ (e) = e ' ) = (Lϕ(a)) * e’ (X’e’), = X’ϕ(a) ; ∀a ∈ G ⇒ ϕ * X = X’  2.2.5 Mệnh đề Giả sử ϕ đẳng cấu Lie từ G → G ' Khi đó: ϕ * đẳng cấu Lie từ G → G’ Chứng minh: • Do ϕ đẳng cấu Lie từ G → G ' nên ϕ * có ánh xạ ngược (ϕ−1) * Vậy ϕ * song ánh • Giả sử X ∈ G ϕ(a) = a với a ∈ G , ta có: (La) * (ϕ * X) = (La’ o ϕ) * X = (Lϕ(a) o ϕ) * X = (ϕ o La) * X = ϕ * ((La) * X) = ϕ* X Do ϕ * X ∈ G’ • ∀X, Y ∈ G; ta có: ϕ * (X + Y) = ϕ * X + ϕ * Y ∈ G’ ϕ * (λX) = λϕ(X) ∈ G’; ∀λ ∈ R 26 ϕ * [X, Y] = [ϕ * X, ϕ * Y] ∈ G’ 2.2.6 Mệnh đề (xem [3]) Giả sử ánh xạ ϕ: G → TeG; X a X e (với e đơn vị G) Khi ϕ đẳng cấu tuyến tính Chứng minh: • Ta chứng minh ϕ đồng cấu: ∀X, Y ∈ G ∀α, β ∈ R, ta có: ϕ(αX + β Y ) = (αX + β Y )e = αX e + β Ye = αϕ( X ) + βϕ(Y ) Vậy ϕ ánh xạ tuyến tính • Bây ta chứng minh ϕ song ánh: - Với ∀X, Y ∈ G giả sử ϕ(X) = ϕ(Y), ta suy Xe = Ye Mặt khác, ∀a ∈ G ta có: Xa = La * Xe = La * Ye = Ya Do Xa = Ya, ∀a ∈ G Vậy X = Y - Với ∀v ∈ TeG Ta xét trường vectơ X G xác định Xe = v; Xa = La * Xe; ∀a ∈ G Khi X ∈ G Thật vậy, với b ∈ G; (Lb) * a Xa = (Lb) *a (La) *e Xe = (Lba) *e Xe = Xba ⇒ (Lb) * X = X; ∀b ∈ G Do X ∈ G Hơn ϕ(X) = v Từ ta có ϕ toàn ánh  2.2.7 Nhận xét Từ mệnh đề trên, ta nhận thấy rằng: 1) dimG = dimTeG = dimG = n 2) Để mô tả đại số Lie G G ta thường mô tả không gian TeG 27 2.2.8 Ví dụ G = Gl(n, R ) = { A(aij ) | A | ≠ 0} G nhóm Lie với phép nhân ma trận đơn vị 1  e=I =  0  • Giả sử ρ(t ) = I + A(t ); ( ρ(0) = I ) , A(t ) ∈ Gl(n, R ); ∀t ∈ J ( J khoảng mở ¡ ) Khi đó: d ρ(t ) dA(t ) = = A '(t0 ) ∈ M n ( R) dt t =0 dt t =0 • Ngược lại, với X ∈ Mn(R), ta xét đường cong x(t) = I + t.X, với t đủ nhỏ (và | tX | < 1) Khi x(t ) ∈ Gl(n, R ); ∀t Và ta có: dx(t ) = X dt t =0 Vậy ta có đại số Lie nhóm Lie Gl(n, R ) G= Mn(R) 2.3 Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính nhóm Lie Trong mục này, ta giả thiết ∇ liên thông tuyến tính đại số Lie G B(G), G tương ứng tập hợp trường vectơ, tập hợp trường vectơ bất biến trái G 2.3.1 Định nghĩa Giả sử ∇ liên thông tuyến tính G Đạo hàm Lie ∇ theo trường vectơ X ∈ B(G), ký hiệu LX∇ xác định sau: ( LX ∇)(Y , Z ) = [X , ∇Y Z ] − ∇[X , Y ]Z − ∇Y [X , Z ]; ∀Y, Z ∈ B(G) 28 2.3.2 Ví dụ G = R2, X(x, xy), Y(1, x), Z(y, 1), ∇ = D Tính LXD(Y, Z) Giải: Áp dụng công thức ∇ = D, ∇xY = DxY, [X, Y] = DxY− DYX DXY = (X[Y1], X[Y2]) ta có: LXD(Y, Z) = [X, DYZ] − D[X, Y]Z − DY[X, Z] đó:  ∂y ∂y ∂1 ∂1  • DY Z = (Y [ y ], Y [1]) = 1 + x ;1 + x ÷ = ( x, 0) ∂y ∂x ∂y   ∂x ⇒ [ X , DY Z ] = DX ( DY Z ) − D( DY Z ) X , với:  ∂y ∂x ∂0 ∂0  • DX ( DY Z ) = ( X [ x], X [0]) =  x + xy , x + xy ÷ = ( x, 0) ∂y ∂x ∂y   ∂x  ∂x ∂x ∂xy ∂xy  + • D( DY Z ) X = ( DY Z [ x ], DY Z [ xy ]) =  x + , x ÷ = ( x, xy ) ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y   ⇒ [X, DYZ] = (0, −xy) (1)  ∂1 ∂1 ∂x ∂x  DX Y = ( X [1], X [ x]) =  x + xy , x + xy ÷ = (0, x) ∂y ∂x ∂y   ∂x •  ∂x ∂x ∂ ( xy ) ∂ ( xy )  + x = (1, y+x ) • DY X = (Y [ x ], Y [ xy ]) = 1 + x , ÷ ∂y ∂x ∂y   ∂x ⇒ [ X ,Y ] = (−1, x − y − x ) ⇒ D[ X , Y ]Z = ([ X ,Y ][ y ], [ X ,Y ][1])  ∂y ∂y ∂1 ∂1  =  −1 + ( x − y − x ) ; −1 + ( x − y − x ) ÷ ∂x ∂y ∂x ∂y   29 = ( x − y − x , 0) (2)  ∂y ∂y ∂1 ∂1  DX Z = ( X [ y ], X [1]) =  x + xy ; x + xy ÷ = ( xy, 0) ∂y ∂x ∂y   ∂x •  ∂x ∂ x ∂ ( xy ) ∂ ( xy )  DZ Z = ( Z [ x], Z [ xy ]) =  y + , y + = ( y, y + x) ÷ ∂y ∂x ∂y   ∂x ⇒ [ X , Z ] = ( xy − y, − x − y ) ⇒ DY [ X , Z ] = Y [ xy − y ], Y [− x − y ]  ∂ ( xy − y ) ∂ ( xy − y ) ∂ ( − x − y ) ∂(− x − y )  = 1 + x ; + x ÷ ∂ x ∂ y ∂ x ∂y   = ( y + x − x; − 1− xy ) (3) Từ (1), (2) (3) , ta có: ( LX D)(Y , Z ) = (0, xy +1) 2.3.3 Mệnh đề a) Với ∀α, β ∈ R X,Y ∈ B(G) LαX + βY ∇ = αLX ∇ +β LY ∇ b) Giả sử ϕ vi phôi từ G → G Khi đó: ( ) ( ) ϕ* ( LX ∇) ( ϕ*−1 (Y% ), ϕ*−1 ( Z% ) ) = Lϕ* X (ϕ*∇) (Y% , Z% ); Y% , Z% ∈ B(G) Chứng minh: a) ( LαX + βY ∇)( Z , H ) = [α X +βY , ∇ Z H ] −∇[ αX + βY , Z ] H −∇ Z [αX +β Y , H ] = α[ X , ∇ Z H ] + β[Y , ∇ Z H ] −α∇[ X , Z ] H −β∇[Y , Z ] H −α∇ Z [ X , H ] −β∇ Z [Y , H ] = α ( [ X , ∇ Z H ] −∇[ X , Z ] H −∇ Z [ X , H ]) + β ( [Y , ∇ Z H ] −∇[Y , Z ] H −∇ Z [Y , H ]) = ( αLX ∇ + β LY ∇ ) ( Z , H ) 30 b) Như ta biết, §/n (ϕ*∇)Y% Z% = (ϕ*∇)ϕ*Y (ϕ*Z ) = ϕ* (∇Y Z ) Y% = ϕ*Y , Z% = ϕ*Z với: ϕ ( G → G; p a p' ϕ * : B(G) → B(G) X a X% ) Khi ta có: Lϕ* X (ϕ*∇)(Y% , Z% ) = [ϕ* X , ϕ*∇(Y% , Z% )] − (ϕ*∇)[ ϕ* X , Y% ] Z% − (ϕ*∇)Y% [ϕ* X , Z% ] = [ ϕ* X , ϕ* (∇Y Z )] − (ϕ*∇)[ ϕ* X , ϕ*Y ] Z% − (ϕ*∇)Y% [ϕ* X , ϕ* Z ] = ϕ*[ X , ∇Y Z )] − (ϕ*∇)ϕ* [X ,Y ] ϕ*Z − (ϕ*∇)ϕ*Y (ϕ*[ X , Z ]) = ϕ*[ X , ∇Y Z ] −ϕ* (∇[ X ,Y ]Z ) −ϕ* (∇Y [ X , Z ]) = ϕ* ([ X , ∇Y Z ] −∇[ X , Y ] Z −∇Y [ X , Z ]) = ϕ* (( LX ∇)(Y , Z )) ( )) ( = ϕ* LX ∇ ϕ*−1 (Y% ), ϕ*−1 ( Z% ) , ∀Y% , Z% ⇒ Lϕ* X (ϕ*∇) = ϕ* ( LX ∇)  2.3.4 Hệ Giả sử X bất biến trái G Khi LX o La* = La* o LX ; ∀a ∈ G Thật vậy, ta áp dụng mệnh đề cho ϕ = La, ta có: ( ) L( La )* X ( La * ∇) = LX ( La ) * ∇ = ( La ) * ( LX ∇) Trong trường hợp này, ta nói La* giao hoán với LX 2.3.5 Định lý (xem [7]) Ánh xạ LX∇: B(G) × B(G) → B(G), (Y, Z) a ánh xạ song tuyến tính Để chứng minh định lý trên, ta cần bổ đề sau: LX∇(Y, Z); 31 2.3.6 Bổ đề Với ∀X , Z ∈ B(G), ta có: [X, ϕZ] = X[ϕ].Z + ϕ[X, Z]; ∀ϕ ∈ F(G) Chứng minh: ∀ f ∈ F(G), ta có: [ X , ϕZ ]( f ) = X ( (ϕ.Z )( f ) ) − (ϕZ ) ( X ( f ) ) = X ( ϕ.Z ( f ) ) − ϕ.Z ( X ( f ) ) = X [ϕ].Z ( f ) + ϕ X ( Z ( f ) ) − ϕ.Z ( X ( f ) ) = X [ϕ].Z ( f ) + ϕ ( X ( Z ( f ) ) ) − Z ( X ( f ) ) = [ X [ϕ].Z + ϕ.[ X , Z ]] ( f ) [ X , ϕZ ] = X [ϕ].Z + ϕ[ X , Z ] ⇒  Ta trở lại chứng minh Định lý 2.3.5 Trước hết, ta chứng minh LX∇ tuyến tính biến Y • ( LX ∇)(Y1 + Y2 , Z ) = [ X , ∇Y1 + Y2 Z ] − ∇[ X ,Y1 + Y2 ]Z − ∇Y1 + Y2 [ X , Z ] = [ X , ∇Y1 Z +∇Y2 Z ] −∇[ X ,Y1 ]Z −∇[ X ,Y2 ]Z −∇Y1 [ X , Z ] −∇Y2 [ X , Z ] = [X,∇Y Z ] + [X , ∇Y Z ] − ∇[X ,Y ] Z − ∇[X ,Y ] Z − ∇Y [X,Z] − ∇Y [X , Z ] 2 = ([ X , ∇ Y1 Z ] − ∇ [ X , Y1 ]Z − ∇ Y1 [ X , Z ]) + ([ X , ∇ Y2 Z ] − ∇ [ X , Y2 ]Z − ∇ Y2 [ X , Z ]) = ( LX ∇)(Y1 , Z ) + ( LX ∇)(Y2 , Z ) • LX ∇(ϕY , Z ) = [X , ∇ϕY Z ] − ∇[X ,ϕY ] Z − ∇ϕY [X , Z ] = [X , ϕ∇Y Z ] − ∇ X [ϕ ]×Y +ϕ [X,Y] Z − ϕ ×∇Y [X , Z ] , (theo bổ đề 2.3.6) = X [ϕ].∇Y Z + ϕ[ X , ∇Y Z ] −∇ X [ ϕ ].Y Z −∇ ϕ[ X , Y ]Z −ϕ∇Y [ X , Z ] = X [ϕ].∇Y Z + ϕ[ X , ∇Y Z ] − X [ϕ].∇Y Z −ϕ.∇[ X , Y ] Z −ϕ.∇Y [ X , Z ] = ϕ([ X , ∇Y Z ] −∇[ X , Y ]Z −∇Y [ X , Z ]) = ϕ.LX ∇ (Y , Z ) 32 Ta tiếp tục chứng minh LX∇ tuyến tính với biến Z • ( LX ∇ )(Y , Z1 + Z ) = [ X , ∇ Y ( Z1 + Z )] − ∇ [ X ,Y ] ( Z1 + Z ) − ∇ Y [ X , Z1 + Z ] = [ X , ∇Y Z1 +∇Y Z ] −∇[ X , Y ] Z1 −∇[ X , Y ]Z −∇Y [ X , Z1 ] −∇Y [ X , Z ] = [ X , ∇ Y Z1 ] + [ X , ∇ Y Z ] − ∇ [ X ,Y ]Z1 − ∇ [ X , Y ]Z − ∇ Y [ X , Z1 ] − ∇ Y [ X , Z ] = ([ X , ∇ Y Z1 ] − ∇ [ X , Y ]Z1 − ∇ Y [ X , Z1 ]) + ([ X , ∇ Y Z ] − ∇ [ X , Y ]Z − ∇ Y [ X , Z ]) = ( LX ∇)(Y , Z1 ) + ( LX ∇)(Y , Z ) • ( LX ∇)(Y , ϕZ ) = [ X , ∇Y (ϕZ )] −∇[ X ,Y ] (ϕZ ) −∇Y ( X , ϕZ ) = [ X , Y [ϕ].Z + ϕ∇Y Z ] − [ X ,Y ][ϕ].Z − ϕ∇[ X , Y ]Z −∇Y ( X [ϕ].Z + ϕ[ X , Z ]) = XY [ϕ].Z + Y [ϕ].[ X , Z ] + X [ϕ].∇Y Z + ϕ[ X , ∇Y Z ] − −[ X , Y ][ϕ].Z −ϕ∇[ X , Y ]Z − YX [ϕ].Z − X [ϕ]∇Y Z − − Y [ϕ].[ X , Z ] −ϕ∇ Y [ X , Z ] = ϕ([ X , ∇Y Z −∇[ X , Y ]Z −∇Y [ X , Z ]) + ( XY [ϕ].Z − YX [ϕ].Z − [ X , Y ][ϕ].Z ) = ϕ( LX ∇)(Y , Z )  2.3.7 Mệnh đề Giả sử G = Rn, ∇ = D X trường vectơ bất biến trái Rn Khi LXD = Chứng minh: ( LX D) (Y , Z ) = [ X , DY Z ] − D[ X , Y ]Z − DY [ X , Z ] = DX ( DY Z ) − DDY Z X − DDX Y − DY Z Z − DY ( DX Z − DZ X ) Do X bất biến trái G = Rn, nên X = (a1, , an), ∈ R (theo ví dụ 2.12) nên ta có: ( LX D) (Y , Z ) = DX DY Z − DDX Y Z − DY ( DX Z ) (1) Mặt khác, ta có: R ( X , Y , Z ) = 0; ∀X, Y, Z ∈ B(Rn) ( Độ cong Rn ) 33 ⇒ DXDYZ − DYDXZ = D[X, Y]Z (2) Từ (1) (2) ta suy ra: (LXD) (Y, Z) = D[X, Y]Z − D D Y Z X = DDXY−DYX Z − DDXY Z = DDXY Z − DDXY Z = 2.3.8 Ví dụ Cho G = R2, ∇ = D, X = (1, 2), Y(Y, 1), Z(0, x) Khi ta có: (LXD) (Y, Z) = [X, DYZ] − D[X, Y]Z − DY[X, Z] • ⇒ DY Z = (Y [0], Y [ x]) = (0, y ∂x ∂x +1 ) = (0, y) ∂x ∂y [X, DYZ] = DX(DYZ) − DDYZ X = DX(DYZ) = (X[0], X[y]) = (0, ∂y ∂y + ) = (0, 2) ∂x ∂y (1) • [X, Y] = DXY − DYX = DXY = (X[y], X[1]) = (1 ⇒ ∂y ∂y + , 0) = (2, 0) ∂x ∂y D[ X , Y ] Z = ([ X , Y ][0],[ X , Y ][ x]) = (0, ∂x ∂x + ) = (0, 2) ∂x ∂y (2) • [X, Y] = D X Z − DZX = DXZ = (X[0], X[x]) = (0, ⇒ ∂x ∂x + ) = (0, 1) ∂x ∂y DY[X, Z] = (0, 0) Từ (1), (2), (3), ta suy (LXD) (Y, Z) = (3) 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày kiện sau đây: Trình bày cách hệ thống chi tiết: a Một số định nghĩa, ví dụ tính chất đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, trường vectơ đa tạp số tính chất liên thông tuyến tính đa tạp khả vi b Một số định nghĩa tính chất nhóm Lie, trường vectơ bất biến trái đạo hàm Lie liên thông tuyến tính nhóm Lie; Một số tính chất nhóm Lie Phát biểu chứng minh tính chất ước chuẩn đóng ¥ (mệnh đề 2.1.10) Phát biểu chứng minh tính chất đẳng cấu ϕ* (mệnh đề 2.2.5) Phát biểu chứng minh tính giao hoán ϕ* LX (mệnh đề 2.3.3.b) Phát biểu chứng minh tính chất đạo hàm Lie D ¡ n (mệnh đề 2.3.7) Trong thời gian tới, tiếp tục khảo sát tính chất đạo hàm Lie độ cong độ xoắn nhóm Lie 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, Bài giảng lớp cao học, Đại học Vinh [2] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, Nhà xuất Giáo dục [6] Trần Văn Thắng (2011), Nhóm Lie trường vectơ bất biến trái nhóm Lie, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh: [7] A Ya Sultanov (2010), Derivations of Linear Algebras and Lienear Connection, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3 [...]... xét này, ta thấy rằng một nhóm Lie G là một không gian thuần nhất 19 2.1.4 Định nghĩa Một tập con H ⊂ G được gọi là nhóm Lie con của G nếu thỏa mãn: 1) H là nhóm con của G 2) H là một đa tạp con của G Ví dụ: G = R 3 là một nhóm Lie với phép cộng thông thường H = { ( x, y, o)∈ R 3 x, y∈ R} Khi đó H là một nhóm Lie con của G Thật vậy: 3 • H là nhóm con với phép cộng thông thường của G = R 3 • H là đa... Khi đó G là một đại số Lie trên trường số thực Chứng minh: • Giả sử X, Y ∈ G Ta có: La* ( X + Y ) = La* X + La*Y = X + Y ⇒ X + Y ∈ G • La* (λX ) = λLa* X = λ X ; ∀λ∈ X ⇒ λX ∈ G • La* [X , Y ] = [La* X , La*Y ] = [X , Y ] ⇒ [X, Y] ∈ G  Đại số Lie G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G Bây giờ ta chú ý tới đẳng cấu Lie ϕ từ nhóm Lie G vào nhóm Lie G’ Giả sử e là đơn vị của G và e’ là đơn vị của G’ Ta... dx(t ) = X dt t =0 Vậy ta có đại số Lie của nhóm Lie Gl(n, R ) là G= Mn(R) 2.3 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie Trong mục này, ta luôn giả thiết ∇ là một liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và B(G), G tương ứng là tập hợp các trường vectơ, tập hợp trường vectơ bất biến trái trên G 2.3.1 Định nghĩa Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên G Đạo hàm Lie của ∇ theo trường vectơ X ∈ B(G),... nếu G là một nhóm Lie liên thông thì G không có một nhóm Lie con thực sự mở trong G 2.1.6 Định nghĩa Cho G và G’ là hai nhóm Lie và f là một ánh xạ từ G và G’ f được gọi là đồng cấu Lie nếu f khả vi và f đồng cấu nhóm Một đồng cấu Lie f : G → G ' được gọi là đẳng cấu Lie nếu f song ánh 2.1.7 Nhận xét + Với mỗi a∈G thì các ánh xạ ada, La, Ra là các đẳng cấu Lie + Ta ký hiệu D = {f | f đẳng cấu Lie: G... 2.1 Nhóm Lie 2.1.1 Định nghĩa Một tập hợp G ≠ φ được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn ba điều kiện sau đây: i) G là một đa tạp khả vi với hệ bản đồ { ( U α , ϕα ) } α∈ I ii) G là một nhóm với phép toán nhân: ϕ: G × G → G ; (a, b) a a.b iii) Các phép toán ϕ và ψ : G → G ; a a a −1 là các ánh xạ khả vi 2.1.2 Ví dụ a) Giả sử G = R n , với phép toán cộng thông thường Khi đó R n là một nhóm • R n là một. .. = {f | f đẳng cấu Lie: G → G } Khi đó D là một nhóm với phép toán hợp thành các đẳng cấu Lie + Giả sử ϕ là đẳng cấu Lie từ G vào G’ Khi đó: ϕ o La = Lϕ( a ) o ϕ; ∀a∈G Thật vậy, ta có: (ϕ o La )( x) = ϕ(a.x) = ϕ(a).ϕ( x) = ( Lϕ( a ) o ϕ)( x); ∀x∈G ⇒ ϕ o La = Lϕ( a ) o ϕ Bây giờ ta xét sự tác động của nhóm Lie lên đa tạp M 2.1.8 Định nghĩa Ta nói một nhóm Lie G tác động lên M nếu có ánh xạ ϕ : G × M... sở của Ta có: B (Uα ) và X i ( p ) = 0, ∀i = 1, n 16   n  n  Y ÷( p ) =  ∑ X i ∇ Ei Y ÷( p ) = ∑ X i ( p) ∇ Ei Y ( p ) = 0 i =1 ∑ X i Ei ÷  i =1   i=1  ( ∇ X Y ) ( p) =  ∇ n ( ) Mặt khác, nếu X ( p) = X% ( p) , thì ( X − X% ) ( p ) = 0 Khi đó, ( ∇ X − X% Y ) ( p) = ( ∇ X Y ) ( p) − ( ∇ X% Y ) ( p) = 0 ⇒ ( ∇ X Y ) ( p) = ( ∇ X% Y ) ( p) 17 Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE. .. Y ∈ B( M ) Tích Lie của X , Y là một trường vectơ tiếp xúc trên M được kí hiệu [ X , Y ] và được xác định: [ X ,Y ] ( f ) = X (Y ( f )) − Y ( X ( f ); ∀f ∈ ℑ( M ) 1.1.8 Mệnh đề (xem [3]) a) [ X , Y ] = − [ Y , X ] ; (tính phản xứng của tích Lie) b) [ X , Y ] , Z  + [ Y , Z ] , X  + [ Z , X ] , Y  = 0; ∀X , Y , Z ∈ B( M ) ; (hệ thức Jacôbi của tích Lie) Chứng minh: Tính chất a) được suy... = X [ ϕ ] Y + ϕ ( DX Y ) T T T T = X [ ϕ ] Y + ϕ∇ X Y 1.2.3 Mệnh đề (xem [7]) Cho ∇ là liên thông tuyến tính trên M và ánh xạ song tuyến tính : S : B ( M ) × B ( M ) → B( M ) Khi đó ∇ = ∇ + S cũng là một liên thông tuyến tính trên M ~ Chứng minh: Ta kiểm tra 4 tiên đề của một liên thông tuyến tính đối với ∇ Thật vậy, với mọi X , Y , Z ∈ B( M ) , ta có: : •) ∇ X ( Y + Z ) = ( ∇ + S ) X (Y + Z ) =... 0) • Ta lấy A =I, I là ma trận đơn vị Khi đó Ix = x; ∀x∈M • A(Bx) = (A.B)(x) (vì phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp) Như vậy, Gl(n, R ) tác động lên Rn 2.1.9 Mệnh đề (xem [4]) Giả sử G tác động lên M Khi đó Sx là nhóm con đóng của G Chứng minh: • Trước hết ta chứng minh Sx là nhóm con của G + Với g1 , g 2 ∈S x ⇒ g1.g 2 ( x ) = g1 ( g 2 ( x)) = g1 ( x) = x ⇒ g1 g 2 ∈S x + e( x) = x ⇒ e∈S x ... [X , Y ] = [La* X , La*Y ] = [X , Y ] [X, Y] G i s Lie G c gi l i s Lie ca nhúm Lie G Bõy gi ta chỳ ý ti ng cu Lie t nhúm Lie G vo nhúm Lie G Gi s e l n v ca G v e l n v ca G Ta cú mnh sau:... G l mt nhúm Lie liờn thụng thỡ G khụng cú mt nhúm Lie thc s m G 2.1.6 nh ngha Cho G v G l hai nhúm Lie v f l mt ỏnh x t G v G f c gi l ng cu Lie nu f kh vi v f ng cu nhúm Mt ng cu Lie f : G G... tớnh trờn nhúm Lie v nhúm Lie tỏc ng trờn a Chng c trỡnh by mc: 2.1 Nhúm Lie 2.2 Trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie 2.3 o hm Lie ca liờn thụng tuyn tớnh trờn nhúm Lie Lun c hon thnh vo thỏng