www.mathvn.com ´ NG CHI’ CAO HOC, Kh´ ˆ THI CHU - `E D oa 13 ´ ´ch `m Chuyˆ en ng` anh TOAN, Mˆ on thi : Gia’i tı -D`ˆ e sˆ o´ : 01 Th` o i gian l` am b` ai: 150 ph´ ut a’n v` a (Aα )α∈I ⊂ L(X, Y ) ong gian d¯i.nh chuˆ Cˆ au I Cho X, Y la` hai khˆ a` ng sup Aα = +∞ Ky ´ hiˆe.u Cn = {x ∈ X| sup Aα x < n}, n ∈ N Biˆe´t r˘ α∈I α∈I ◦ Cn = ∅, v´o.i mo.i n ∈ N Ch´ u.ng minh r˘a` ng ˜ y cho v´ Gia’ su’ An ∈ L(X, Y ) la` mˆo.t da ´ An x → 0, n → o.i mo.i x ∈ X ta co ´ suy d¯u o c An → khˆ +∞ T` ong? Ta.i sao? u d¯ˆay co Cˆ au II K´ y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆ a’n c´ ac h` am sˆ o´ liˆen tu.c trˆen ong gian d¯i.nh chuˆ [0, 1] v´ o i chuˆa’n “max” ´ c d¯a th´ u.c p(x) xa ´ bˆ a.c ≤ n Ky ´ hiˆe.u P la` tˆa.p tˆa´t ca’ ca ´ c d¯i.nh trˆen [0, 1] co u ng minh r˘a` ng P la` mˆo.t tˆa.p d¯´ Ch´ ong C[0,1] ong th´ u.c ac d¯.inh bo’.i cˆ X´et to´ an tu’ tuyˆe´n t´ınh A : X → X x´ t x → Ax, (Ax)(t) = x(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C[0,1] a mˆ o.t ph´ep ` ∀α ∈ (0, 1) th`ı I + αA l` Ch´ u.ng minh A l`a mˆo.t to´an tu’ compact va u X lˆen X (I l` oi tuyˆe´n t´ınh t` d¯`ˆ ong phˆ a´ anh xa d¯`ˆ ong nhˆ a´t) To´ an tu’ I + A c´o pha’i l` a to´an tu’ compact khˆong? a’n ong gian d¯i.nh chuˆ Cˆ au III Cho X l`a mˆo.t khˆ `an cu’a hı`nh cˆ `au d¯´o ng B (x0 , r) la `au mo’ u.ng minh r˘a` ng phˆ Ch´ ` hı`nh cˆ B(x0 , r) `on ta.i y ∈ N cho d(x, N ) = Cho f ∈ X ∗ , N = Ker f va` x ∈ X \ N Gia’ su’ tˆ `on ta.i x0 ∈ X, x0 = cho f = |f (x0 )| u ng minh r˘a` ng tˆ x − y Ch´ Cˆ au IV Cho H l`a khˆong gian Hilbert trˆen tru.` o.ng K va` A ∈ L(H) `a ng A la` mˆo.t toa Ch´ u.ng minh r˘ o.i mo.i (xn )n ⊂ ´ n tu’ compact va` chı’ khi, v´ w w H, (yn )n ⊂ H, nˆe´u xn → x va` yn → y thı` Axn , yn → Ax, y n → +∞ Gia’ su’ A = A∗ va` λ ∈ K khˆong pha’i la ` mˆ o.t gia ´ tri riˆeng cu’a A Ch´ u.ng minh r˘ a` ng R(A − λI) tru` mˆa.t kh˘ a´p no.i H ˜ ng gia’ su’ r˘a` ng A = A∗ va` thˆem Am la o.i m la Cu ` mˆo.t ` mˆ o.t toa ´ n tu’ compact v´ ˜ ng la ` mˆ o.t toa ´ n tu’ compact u ng minh r˘ a` ng A cu sˆ o´ nguyˆen du o ng na`o d¯´o Ch´ ————————————————————————————– Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` ong d¯u.o c liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` nhu.ng khˆ trao d¯ˆ o’i, tha’o luˆa.n v´o i 22 www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ´ ` Chuyˆ en ng` anh TOAN, ICH HAM K.14 Mˆ on thi : GIA - `ˆ e sˆ o´ : Th` o.i gian l` D am b` ai: 150 ph´ ut ´ c `m liˆen tu.c trˆen d¯oa.n a’n ca ` khˆ ong gian d¯.inh chuˆ Cˆ au I Ky ´ hiˆe.u X = C[0,2] la a’n “max” o i chuˆ [0, 2] v´ -˘ D a.t f : X → R xa u.ng ´ c d¯.inh bo’.i cˆ ong th´ u.c f (x) = x(t)dt − x(t)dt Ch´ ` ˜ y tı´nh f minh r˘ a ng f ∈ X ∗ va ` ´ c d¯i.nh bo’.i X x → Ax, d¯´o (Ax)(t) = Xe ´ t toa ´ n tu’ A ∈ L(X) xa t ´ n tu’ compact ` mˆ o.t toa u.ng minh A la o.i mo.i t ∈ [0, 2] Ch´ x(τ )dτ + tx(1), v´ -˘ ` ` toa ´ n tu’ d¯`ˆ o.i I = idX la a.t v = I − A v´ D ong nhˆ a´t Ch´ u.ng minh r˘ a ng nˆe´u E la ` tˆ a.p −1 ` tˆ a.p compact X compact X thı` v (E) ∩ BX (0, 1) la ˜ y (xn )n ⊂ K cho o.i p ≥ 1, k´ Cˆ au II V´ y hiˆe.u p l` a khˆ ong gian Banach ca ´ c da ∞ n=1 |xn |p < +∞ Ky ´ hiˆe.u ei = (0, , 0, , 0, ) ∈ (i) p , i = 1, 2, ` ong gian p Kiˆe’m tra r˘ a ng {en | n = 1, 2, } la ` mˆ o.t co so’ Schauder cu’a khˆ ˜ y sˆ ´ hiˆe.u Π = {x = (xn )n ∈ p | |xn | ≤ o´ du.o.ng Ky ` mˆ o.t da Gia’ su’ (cn )n la ∞ ` ` chı’ ` tˆ a.p compact va a ng Π la cn , n = 1, 2, } Ch´ u.ng minh r˘ cpn < +∞ n=1 Cˆ au III Ky ´ hiˆe.u H l` a mˆ o.t khˆ ong gian Hilbert `eu kiˆe.n ˜ y tho’a d¯iˆ ` mˆ o.t da Gia’ su’ (An )n ⊂ L(H) la ∀x, y ∈ H : sup | An x, y | < +∞ n∈N Ch´ u.ng minh sup An < +∞ n∈N Cho a ∈ H, a = va ` d¯˘ a.t A = {a} ⊥ ` ng v´ Ch´ u.ng minh r˘ a ´ o.i mo.i x ∈ H, ta co d(x, A) := inf { x − u } = u∈A | x, a | a Cho A ∈ L(H) Ch´ u.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗ ` toa ´ n tu’ compact Ch´ u.ng minh Bˆ ay gi` o ta gia’ thiˆe´t A ∈ L(H) cho A∗ A la ` ng A cu ˜ ng la r˘ a ` toa ´ n tu’ compact ————————————————————————————– Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` ong d¯u.o c trao liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` nhu.ng khˆ d¯ˆ o’i, tha’o luˆ a.n v´ o.i 23 www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ` ´ ICH HAM on thi : GIA Ca ´ c chuyˆ en ng` anh TOAN, K.15 Mˆ - `ˆ am b` ai: 150 ph´ ut o i gian l` o´ : Th` e sˆ D o.ng K Cˆ au I Cho (X, · ) la ` mˆ o.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n trˆen tru.` ` ng X la ˜ y (yn )n ⊂ X a ` mˆ o.t khˆ ong gian Banach va ` chı’ mo.i da u.ng minh r˘ Ch´ ∞ `eu kiˆe.n yn ≤ 2−n thı` chuˆ thoa’ d¯iˆ o˜i yn hˆ o.i tu n=1 a’n kha ` mˆ o.t chuˆ ´ c trˆen X cho ` · la Gia’ su’ (X, · ) la ` khˆ ong gian Banach va ˜ ng la (X, · ) cu ` Banach va ong tu o ng d¯u.o.ng v´ ` chuˆ a’n · , · khˆ u.ng o.i Ch´ ` ng ´anh xa d¯`ˆ ong liˆen tu.c ong nhˆ a´t id: (X, · ) → (X, · ) khˆ minh r˘ a ˜ y X a’n va ` (xn )n la ong gian d¯i.nh chuˆ ` mˆ o.t khˆ Cˆ au II K´ y hiˆe.u X la ` mˆ o.t da w ∗ ` ng ` (fn )n ⊂ X cho fn → f n → ∞ Ch´ u.ng minh r˘ a Cho xn → x va fn (xn ) → f (x) n → ∞ ◦ Gia’ su’ f (xn ) → 0, (n → ∞) v´ o.i mo.i f ∈ M d¯o ` M = ∅ Ch´ u.ng ´ M ⊂ X ∗ va w ` ng xn → minh r˘ a ` mˆ o.t co so’ Schauder cu’a khˆ ong gian Banach (X, · ) Cˆ au III Gia’ su’ {en | n ∈ N} la ∞ ˜en x = ηi ei V´ o.i mo.i x ∈ X ta co ´ biˆe’u diˆ n i=1 ` ng a ηi ei Ch´ u.ng minh r˘ -˘ D a.t x = sup n∈N i=1 o.i chuˆ a’n na `y tu.o.ng d¯u.o.ng v´ · la ` mˆ o.t chuˆ a’n trˆen X va ` chuˆ a’n · Ky ´ hiˆe.u Pn : (X, · ) → (X, · ) la ` ´anh xa xa ´ c d¯i.nh bo’.i Pn x = Pn ( ∞ n ηi ei ) = i=1 ` ng Pn ∈ L(X) a u.ng minh r˘ Ch´ ηi ei i=1 o.ng K Cˆ au IV Cho H l` a khˆ ong gian Hilbert trˆen tru.` u.ng o.i t` ` khˆ ong gian d¯o ´ ng H va ` chu ´ ng tru c giao v´ Gia’ su’ U, V, W la ` ng tˆ ˜ ng la ` mˆ o.t khˆ ´ ng ong gian d¯o d¯ˆ oi mˆ o.t Ch´ u ng minh r˘ a o’ng U + V + W cu H ` ng (ImA∗ )⊥ = KerA Cho A ∈ L(H) Ch´ u.ng minh r˘ a a’n va ` A ∈ L(X) ong gian d¯i.nh chuˆ Cˆ au V Cho X la ` mˆ o.t khˆ Gia’ su’ e1 , e2 la ` vecto riˆeng u ´ ng v´ o i gia ´ tri riˆeng kha ´ c cu’a A Ch´ u.ng minh ` d¯ˆ o.c lˆ a.p tuyˆe´n tı´nh {e1 , e2 } la Bˆ ay gi` o cho A la ` toa ´ n tu’ compact va ` λ = la ` mˆ o.t sˆ o´ Gia’ su’ inf { Ax−λx } = x∈X, x =1 ` ng λ la ` mˆ o.t gia ´ tri riˆeng cu’a A a Ch´ u.ng minh r˘ ————————————————————————————– ong d¯u.o c trao d¯ˆ o’i, am b` nhu.ng khˆ liˆe.u d¯ˆe’ l` Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` tha’o luˆ a.n v´ o i 24 ...www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ´ ` Chuyˆ en ng` anh TOAN, ICH HAM K.14 Mˆ on thi : GIA - `ˆ e sˆ o´ : Th` o.i gian l` D am b` ai:... am b` nhu.ng khˆ d¯ˆ o’i, tha’o luˆ a.n v´ o.i 23 www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ` ´ ICH HAM on thi : GIA Ca ´ c chuyˆ en ng` anh TOAN, K.15 Mˆ - `ˆ am b` ai: 150... A ∈ L(H) Ch´ u.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗ ` toa ´ n tu’ compact Ch´ u.ng minh Bˆ ay gi` o ta gia’ thi e´t A ∈ L(H) cho A∗ A la ` ng A cu ˜ ng la r˘ a ` toa ´ n tu’ compact ————————————————————————————–