ĐẠI H Ọ C VINH T R U N G TÂM THÔNG TIN-THƯVIỆN NGUYỄN DUY TIẾN (Chủ biên) ĐẶNG HÙNG THẮNG 519.2 NT 5622(2)c/ 05 GT.005745 CÁC Mộ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ÚNG DUNG PHẢN l i QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG COG Hà Nội NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI NGUYỄN DUY TIẾN (chủ biên) ĐẶNG HÙNG THẮNG C Á C MO HÌNH XÁC SU AT VÀ ÚNG DỤNG PHẦN li: QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG (In lần thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI L Ờ I NÓI ĐÂU Xác suất Thống kê lĩnh vực toán ứng dụng, đòi hồi sờ t o n học sâu sắc Ngày mô hình xác suất đ ã thực ứng dụng rộng rãi khoa học t ự nhiên khoa học xã hội Tuy nhiên, V i ệ t Nam có r ấ t tài liệu mô hình xác suất v ứng dụng chúng Đó lý v i ế t giáo trình N h ằ m phục vụ độc giớ nhiều lĩnh vực khác (toán học, v ậ t lý, học, sinh học, khoa học trái đ ấ t , kinh t ế , y học, nông nghiệp, v.v ) nên giáo trình viết theo tinh thần: xác lý thuyết t i mức độ định, nhiều ví dụ ứng dụng cụ t h ể thường gặp thực tế t n g đ ố i dễ hiểu Giáo trình C c m ô h ì n h x c suất v ứng dung GS.TSKH Nguyễn Duy T i ế n chủ biên bao gồm: Phần ì X í c h Markov v ứng dụng , GS.TSKH Nguyễn Duy T i ế n viết Phần l i Q u t r ì n h dừng v ứng d ụ n g , PGS.TSKH Đặng Hùng Thắng viết Phần III G i ả i t í c h n g ẫ u n h i ê n , GS.TSKH Nguyễn Duy T i ế n v i ế t Các t h n h viên B ộ môn Xác suất Thống kê, Khoa Toán - Cư T i n học, Đ H K H T N - ĐHQGHN đ ã nhiều n ă m giớng dạy trình ngẫu nhiên v tích lũy nhiều kinh nghiệm đ ể v i ế t giáo trình d i dạng mô hình ứng dụng phục vụ cho đông đớo bạn đọc Tuy nhiên, đ â y không phới giáo trình sơ cấp Vì đ ể đ t hiệu quớ cao, bạn đọc cần phới có kiến thức toán cuớ hai n ă m đ ầ u đ i học đặc biệt phới có kiến thức xác suất cổ đ i ể n (chằng hạn Đào H ữ u H [1], Đặng Hùng Thắng [2], Nguyễn V i ế t P h ú , Nguyễn Duy T i ế n [3]) Chúng hy vọng giáo trình có ích cho nhiều bạn đọc, phục ^ vụ tốt cho ứng dụng, giảng dạy nghiên cứu Chắc chắn giáo trình nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý bảo bạn đọc Chúng xin chân thành cám ơn Cuối xin cám ơn Ban Giám hiệu ĐHKHTN ĐHQGHN, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất Thống kê ĐHKHTN - ĐHQGHN Nhà Xuất Bản ĐHQGHN động viên, cổ vũ tận tình giúp đ biên soạn giáo trình Hà Nội mùa thu năm 1999 C c t c giả MỤC LỤC Phần l i : Q U Á T R Ì N H D Ừ N G V À Ứ N G D Ụ N G Lời nói đầu M đầu Chương 1.1 Quá trình cấp Quá trình cấp l i 1.1.1 Định nghiã l i 1.1.2 Hàm trung bình hàm t ự tương quan 13 1.1.3 L/2 - liên tục 15 1.2 Phép tính vi tích phân cho trình cấp 17 1.2.1 L a - k h vi 17 1.2.2 L - 19 khả tích 1.2.3 Khai triển Karunen - Loève 28 1.3 Độ đo ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên 31 1.3.1 Độ đo ngẫu nhiên 31 1.3.2 Tích phân độ đo ngẫu nhiên 33 Bài tập 42 Chương 2.1 2.1.1 Quá trình dừng Các khái niệm Định nghía tính chất 47 47 2.1.2 Các ví dụ 49 2.1.3 Biểu diễn phổ 2.2 Biến đ ổ i tuyến tính trình dừng 2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên dự báo 52 61 74 trình dừng 2.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 74 2.3.2 Dự báo trình dừng 82 2.4 Tính chất ergodic 89 Bài tập 107 Vài nét lịch sử 113 Tài liệu tham khảo 119 M Ở ĐÂU (ũ, F, P) , đó: Xét không gian xác suất cớ sờ ũ khô ng gian mẫu gồm t ấ t cá kết cục xảv phép thử ngẫu nhiên M ỗ i kết cục gọi điểm mẫu WỄÍÌ biến cố sơ cấp Người ta gọi íĩ khô ng gian biến cố sơ cấp T cr-đại số (ơ-trường) biến cố Tức T tợp họ thoà mãn điều kiện sau ũ +) +) A với A € ĩ +) P(fi) = l , +) A ,A , co P({jA n=l Ai n Aj = (ỉ ^ ì) £T , oo n )= ^P(A ) n n=l Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên X ánh xạ X : ũ —>• R cho {I H r YuMLKoe, 1986 3ada.HU no "Hayna", Mocnea, C/TaiỊHOHapHLie 328 TY CnyHaỉÍHue PỈ3,naHHe BTopoe, H # a T e j i b C T B O "Hayica", MocKBa, 272 T r IIpoiỊeccu, NHA xufif BÂN ĐỌI HỌC QUỐC Gìn HA NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: (04) 7547936; (04) 9718312 Fax: (04) 9714899 Email: nxb@vnu.edu.vn • Chịu trách nhiệm xuất • • bản: Quốc BẢO Giám đốc: PHÙNG Tổng biên tập: PHẠM THÀNH H U t t G Chịu trách nhiệm nội dung: H ộ i đồng nghiệm thu giáo t r ì n h Đ i học Quốc gia Hà N ộ i Người nhận xét: - GS TS NGUYÊN VÀN H Ữ U TS PHẠM P H Ú TRIÊM Biên Trình tập: bày bìa: PHẠM P H Ú TRIÊM NGỌC A N H CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN li - QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG Mã SỐ: 1K - Đ H 0 In 1000 cuốn, khổ 16 X 24 xưỏng in Tổng cục Công nghiệp Quốc phòng S ố xuất bản: 20/1577/XB-QLXB, ngày 16/9/2005 S ố trích ngang: 185 KH/XB In xong n p lưu chiểu quý IV năm 2005 [...]... f(t)dZ(t) s và gọi đó là tích phân ngẫu nhiên của / đối với độ đo ngẫu nhiên trực giao z Tính chất tuyến tính, đằng cự của ì được phát biểu lại thành các tính chất sau đây của tích phân ngẫu nhiên Đinh lý 9 (i) Tích phân ngẫu nhiên có các tính chất sau: Tuyến tính: với các hằng số Ị[ah(t)+Pf (t)}dZ(t) a, ọ = a j h(t)dZ(t)+(3 2 s s (ii) (iii) J 2 Bây giờ gi sử f f ( t ) d Z ( t ) = n X(t) khi và chỉ khi... tục 2 d r(s Suy từ định lý 3 và sự kiện: nếu Chứng minh t) Q— tồn t ạ i và liên tục thì tồn t ạ i giới hạn lim h-¥ũ [r(t + h,s hk + k ) - r ( t + h, s) - Như vậy, nếu X(t) r(t, s + k) + r(t, s)} • là quá trình Li - khả vi thì Li - đạo hàm x'(t) của quá trình ấy lại là một quá trình cấp 2 mới Từ chứng minh của các định lý trên ta suy ra các công thức tính hàm trung bình và hàm t ự tương quan của X'(t)... Y(t) là L 2 - khả vi và Y'(t) = X(t) (Công thức Newton - Leibnitz) x(t) là L% - khả vi liên tục (tức x'(t) là L2 - liên tục) trên thì b Ị x'{t)dt = X{b)-X{a) ã Bạn đọc tự chứng minh bằng cách xem X(t) là một hàm xác định trên [a, bị lấy giá trị trong không gian Hilbert I/2(íì, T, P) Chú ý Nếu X(t) là Li - khả tích thì không nhất thiết hàm chọn -Xo, (í) là khả tích Riemann với xác suất Ì Tuy nhiên,... Hàm tự tương = - m(s)m(í) nên t a có V a r X ( í ) = r(t, í ) quan r(s,t) là đối xứng và xác định không âm, tức là (i) (ii) r ( a , t ) = r(t,sị VneN, , Vs.teT V í i Í 2 , - , * n e T , V 6 i Ò 2 , , f c „ € R thì > n > n 535^6*6^,^) > 0 i=i j = i C h ứ n g minh T í n h chất đ ố i xứng là hiển nhiên 14 T a chứng minh ( l i ) Ta có TI 0 < n Vaxị^biXặi)) =Cov[^6 X(í ),5^6 X(í ) i i=l TI u i Tí... Tuy nhiên, nếu hàm chọn Xựjj)(t) là khả tích Riemann với xác suất Ì thì tích phân 6 / = Ị X(t)dt có thể hiểu như là tích phân dọc theo mỗi quỹ đạo U) a b Nói cách khác, đại lư ng ngẫu nhiên / = Ị X(t)dt ã 6 công thức I{ui) =J X(U)){t)dt Thật vậy: có thể tính theo 21 -SAM = ^ X ( t ư ) ( s i ) ( t t 1 - íi) hội tụ + i=0 tới ì (LƠ) v ớ i xác suất Ì 6 M ặ t khác l.i.m5A(w) = |A|->0 ỊX{t)dt a b = Ị x(t)dt... Ị X(t)dtị , r(s,t)dsdt d a tụ 6 = Ị ã b Covị J X(s)ds, và hàm và b a J [a, bị hợp đó ta có các công thức sau JX(t)dtị Var khả tích trên nếu [a, bị [a, b] X [a, bị b E là Z/2 - khả tích trên d = J Ị á c c b , r{s,t)dsđt , [c,d] C [a, bị b Covịx(s),JX(t)dtị = Jr(s,t)dt ã ã 6 Chứng Diều minh kiện cần: G i ả sử tích p h â n 1 = Ị X(t)dt a n tồn t i và ^2m(si)(u i + i=0 ho c h A của [a,b] — ti) là m ộ t... triển bình Giả m(t) ngẫu nhiên và dãy hàm không ngẫu nhiên sử X(t),t e và hàm tự tuông {z } quan không tương n { = m{A nA ) 1 ,VA ,A eA 2 1 2 là dãy các t ậ p đôi một r ờ i nhau thuộc oo A thì oo n=l n=l... giới hạn l.i.m5(A) = ì , • lAI-To thì ta nói X(t) là L2 - khả tích và viết 6 = J X{t)dt 20 Tích phân này có một số tính chất như tích phân thông thường Chằng hạn: 6 Định lý 5 (i) Nếu X(t) > 0 , Ví € [0,6] Ị thì > 0 X{t)dt ã c (ii) Ị b X{t)dt + Ị a b X{t)dt = Ị c X{t)dt 6 (iii) , (a ... THẮNG C Á C MO HÌNH XÁC SU AT VÀ ÚNG DỤNG PHẦN li: QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG (In lần thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI L Ờ I NÓI ĐÂU Xác suất Thống kê lĩnh vực toán ứng dụng, đòi hồi... sờ t o n học sâu sắc Ngày mô hình xác suất đ ã thực ứng dụng rộng rãi khoa học t ự nhiên khoa học xã hội Tuy nhiên, V i ệ t Nam có r ấ t tài liệu mô hình xác suất v ứng dụng chúng Đó lý v i ế t... ế n chủ biên bao gồm: Phần ì X í c h Markov v ứng dụng , GS.TSKH Nguyễn Duy T i ế n viết Phần l i Q u t r ì n h dừng v ứng d ụ n g , PGS.TSKH Đặng Hùng Thắng viết Phần III G i ả i t í c h n g