ĐẠI H Ọ C V I N H THƯ V I Ệ N 516.220 76 PRA(l)/94 DT 002494 v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VẼ HĨNH HOC PHANG NHÀ XUẤT BẢN HÁI PHÒNG TẬP v.v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VÈ HÌNH HỌC PHANG • (GỒM TẬP) TẬP ĩ Người dịch: H O À N G ĐỨC C H Í N H NGUYỄN ĐẺ Hiệu đinh: P.T.S N G U Y Ễ N V I Ệ T H Ả I Dùng cho học sinh lóp chuyên, cnợn Là tài liệu tham khảo cho thày giáo sinh viên khoa toán bậc Cao đẳng Oại học Có nhiều dê thi chọn lọc quõc gia quốc tẽ NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHONG 1994 LỜI (Trích NÓI lời tác ĐẦU già) Tập tập dùng cho học sinh cấp va 3, giáo viên phổ thông, cho giáo viên dạy lớp chuyên, chọn, cho sinh viên trường đại học cao đáng sư phạm cho tất yêu thích hình học sơ cấp Trong tập tập gôm nhiêu tập có nội dung phương pháp giải dễ hiểu, độc đáo, cao mức độ bình thường cùa chương trình hình học phổ thông, đáy có nhiêu toán dùng để thi học sinh giỉi cấp mức độ thời gian khác nhau, nhiêu toán tài liệu thi bôi dương học sinh giỉi cấp cùa nhiêu nước giới Tập tài liệu %ôm tập, mồi tập cỉ khoảng 600 Sai tập Nó không coi tập tư liệu tập hình học sơ cốp, mà cám nang đê tự bôi dưỡng, nâng cao thêm vê hình học Dê giúp bạn đọc sứ dụng cách dễ dàng, nhanh chóng tìm tập ức đê tài quan tăm, sách chia làm 29 chương mồi chương gôm từ đến 10 mục Cơ số đề chia lờ dựa rối nôi dung tập dựa (lào phương pháp để giòi tập hỉnh học- Trong mục toán đưoc xếp từ đơn giản đến phức tạp Mồi c hương bổi đàu bòng tóm tát số kiến thức lý thuyết nám vững tít' giai toán l số toán mó đón • lò toán đơn giản thìtờny hay SỪ dụng đê giải toàn khác phức tạp Salt chứâhi có su tạp đi' bạn đọc tự giải lời giai (f'â\ đủ tọp chương v.v Praxolov LỜI NGƯỜI DỊCH Bằng kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy thân, chúng tòi cho Bài tập hình học phăng cua tác giả V V Praxolov Ì tập tài liệu qui che đối tượng nêu lời nói đầu, cho giáo viên học sinh chuyên chọn phổ thông Đây tập sách khống "kho" tư liệu vê tập hình học phăng phàn loại sáp xếp có khoa học trình bày sáng, rõ ràng nên coi sổ tay hình học sơ cấp để tra cứu, tham khảo đoi với giáo viên, để tự học, tự nâng cao học sinh vê tất mặt: kiến thức, nội dung, dạng phương pháp giải Nó cho cá giáo viên phổ thòng dạy lớp thường, sinh viên đại học cao đẳng sư phạm dù ng để học tập, để bói dương cao, tự thấy đa dạng, phong phú vê thể loại, đẹp qua lời giải toán hình, giúp gân gũi uàyẽu mến hình học Cuốn sách gom 1318 toán cùa 29 chương có số phần (một số chương, số đê mục) tư liệu tí đê cập tài liệu có cho đối tượng phổ thông nước ta, như: vecto, biến hớnh, tọa độ, phương pháp qui nạp hình học, nguyên tắc Diricle, phương pháp cực hạn, chia, cái, phủ, tổ hợp, trò chơi, vè áp dụng phép chiếu, biến đổi afin, biến đổi xạ ánh, phép nghịch đảo, điểm bất biến, sử dụng tô màu, tinh chẵn lẻ để giải toán hình Tập sách coi nguồn bổ sung thiết kịp thời giúp việc dạy học hình học ỏ phổ thông tốt Phương pháp trình bày, xếp cùa sách khoa học, hoàn chớnh, dễ sử dụng tính hiệu cao Người dịch cố gắng thể ý tưởng đó, nhitng khả có hạn nôn không tránh khói thiếu sót Rất mong ý kiến bảo cùa độc giả Thư góp ý xin gửi phòng PTTH sà Giáo dục - Dào tạo Hải Phòng Chương I T A M GIÁC ĐÒNG DẠNG C Á C K I Ế N T H Ứ C C BÀN Tam giác A B C đ ô n g dạng v i tam giác A i B i C i ( k í h i ệ u A A B C _ AA1B1C1) k h i va chi thỏa mãn m ộ t đ i ề u k i ệ n tương đ n g sau : a) A B BC : C A = A1B1 : B i d : C1A1 b) AB : B e = A1B1 : B i C i c) A B C = A1B1C1 A B C = A1B1C1 BÁC = BiAid Nêu đường thẳng song song cắt k h ỏ i góc đ i n h A tam giác AB1C1 AB2C2, t h ì c c tam g i c đ ó d õ n g dạng A B i : A B = A C i : AC2 (các đ i ế m B i B2 nằm t r ê n cạnh cùa góc, C i C2 nằm t r ê n cạnh kia) Đường trung binh tam giác đoạn thẳng n ố i trung đ i ể m hai cạnh Đoạn thẳng đ ó song song v i cạnh t h ứ ba nửa đ ộ dài Đường trung bình h ì n h thang đoạn thẳng nối trung điểm cạnh bên hình thang Đoạn thẳng đ ó song song với đáy nửa tổng độ dài chúng T i sô d i ệ n tích tam giác đỏng dạng bịnh p h n g t i số đông dạng, tức b ì n h phuong t i số đ ộ dài cạnh t n g ứ n g Đ i ê u đ ó đ ợ c ổóiy ra, chẳng h n , t c ô n g t h ú c SABC = A B A C sinA Da gịắc A i A A n đ ợ c g ọ i đ n g d n g v i đ a g i c B1B2 B A A : A A : : A n A i = B1B2: B2B3: : B n B i góc thuộc đinh A i , , A n tương ứng góc thuộc đ i n h Bi, ,Bn T i sỗ đ n g c h é o t n g ứng đa giác đ ô n g dạng t i sỗ đ ô n g dạng; dối với đ a giác đồng dạng ngoại t i ế p t h ì t i sỗ b n k í n h cùa đường tròn n ộ i l i ế p t i số đồng dạng CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU Chứng minh đường trùng tuyến tam giác đông quy điểm bị chia điểm theo ti số : Ì tính từ đinh Trên cạnh BC cùa A Aốc lấy điếm A i sáo cho B Ấ i : ẤiC = : Hỏi dường trung tuyển CCi chia đoạn thắng A A i theo l i số ? Trong tam giác nhọn ABC kẻ đường cao ÁAi BBi Chứng minh AiC : BiC = AC : Be Đuơng phân giác AD Á ABC cắt đuờng tròn ngoại tiếp tậi điểm p Chứng minh A ABP _ A BDP Trong A ABC nội tiếp mộtiiình vuông cho cạnh hình vuông nằm cạnh Be, hai đinh lại hình vuông nằm cạnh AB AC Tính cạnh hình vuông, nêu biết độ dài cạnh Be đường cao hạ xuongflc §1 dè đoạn thẳng nằm đường thẳng song song 1.1 Các đáy hình thang a b a) Tính độ dài đoạn thắng định dugng chéo dường trung bình b) Tính độ dài đoạn thắng định cạnh bên hình thang trôn đường thắng qua giao điếm đường chéo song song với cádacy 1.2 Chứng minh trung điểm cạnh tứ giác đinh hình binh hành Đối với tứ giác hình bình hành hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ? 1.3 Các điếm A i Bi chia cạnh Be AC theo t i sỗ B A I : A i C = = : p A B i : BiC = Ì : q H ỏ i đoạn thắng A A i bị chia đoạn thắng BBi theo ti sỗ ? ' Ì 1.4 Trên cạnh A D hình bình hành ABCD lấy điếm p cho ÁP = - AD; < n Q giao điếm đường thắng AC BP Chứng minh AQ = —-— AC n + Ì 1.5 Một đường chéo tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính đường tròn Chứng minh hình chiêu cạnh đỗi lên đường chéo 1.6 Các đ i ể m A B dinh đuờiỊg tròn tâm o cung có số 60° T r ê n cung d ó láy điểm M Chứng minh đường thẳng qua trung đ i ề m đoạn thẳng M Ạ OB vuông góc v i đường thẳng qua trụng đ i ể m đoạn thẳng M B vá O A 1.7 Trong hình chữ nhật A B C D đ i ể m M (rung điểm cạnh A D , N trung điểm cạnh BC T r ê n phần kéo dài cùa đoạn thẳng CD vè phía D lây m ộ i diêm p K i hiồu giao điểm đường than? PM A C Q Chứng minh r ằ n g Q N M = MNP (hình 1) 1.8 Các đường kính A B CD t ương t r ò n s vuông góc với Dây cung E A cài đường kính C D điểm K, dây cung EC r ắ t dường k í n h A B t i điểm L Chứng minh CK : K D = : A L : L B = : § T ỉ s ố c c c n h c ù a tam giác đồng dạng 1.9 B E đường phân giác góc B Hình Ì A A B C (hay đường phân giác góc B) v i E đ i ể m t r ê n đường thẳng A C Chứng minh A B : BC = A E : EC 1.10 Các đường chéo tứ giác A B C D cắt t i đ i ể m o Chứng minh A O B O = C D D O chi k h i BC I I A D 1.11 Đ i ể m H trực t â m A A B C ; A i , B i , Ci c h â n đường cao A A i , B B i , C C i Chứng minh A H A i H = B H B i H = C H C i H 1.12 Các đ i ể m M K nằm t r ê n cạnh A B BC Á A B C ; đoạn thẳng A K C M cắt t i đ i ể m p B i ế t đoạn thẳng A K C M bị chia b i đ i ể m p theo t i số 2:1 tính từ đ i n h Chứng minh A K C M đường trung tuyên tam giác 1.13 X u ố n g cạnh BO C D h ì n h b ì n h h n h A B C D (hay xuống c c p h ầ n k é o d i c h ú n g ) hạ đ n g v u ô n g góc A M A N Chứng minh À M A N _ ầ ABC 1.14 Qua m ộ t điếm p t r ê n cạnh A C A A B C ké đường thẳng song song v i đường trung tuyển A K C L , cắt cạnh BC A B t i đ i ể m E F t n g ứng Chứng minh c c đ u n g trung tuyên A K v a C L chia đoạn thẳng E F t h n h ba phần 1.15 G i ả sử hai cạnh hai góc m ộ i tam giác hai cạnh hai góc (am giác khác Có thể két luận tam giác đ ó dược H a y không ? 1.16 G i ả sử B trung đ i ể m đoan thẳng A C Các đ i ể m D E nằm ve phía so với dường thẳng A C A D B = E B C , D A B = B C E Chứng minh BDE = A D B 1.17 T r ê n đường phân giác góc vuông lẩy diêm p Qua n ó kẻ (luông Ihẳng bát kì định cạnh góc đoạn thẳng dài a b Chứng minh dại lượng - + khôni! phừ thuộc vào đường thẳng a b 1.18 G i ả sử ra, I"b, Te bán kính dường tròn bàng t i ế p A A B C , tiếp xúc với cạnh Be, CA, A B t a n e ứng, r bán kính đường tròn nội t i ế p , s p diện lích nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh : a) S = ( p - a ) r a 1 1 b) — + — + — = r r r a b c - r 1-19 T r ê n cạnh BC lam niác đêu A B C n h đường kính vê phía dựng nửa dường tròn, t r ẽ n (ló lay đ i ể m K L chia nửa đường tròn t h n h cung Chứng minh rang đuừng thẳng A K A L chia đoạn thẳng BC t h n h phân 1.20 Đ i ế m o tâm (lường tròn n ộ i t i ế p A A B C T i ê n cạnh A C BC chọn đ i ể m M K tương ứng cho B K A B = B O A M A B = A O Chứng minh đ i ể m M , o K thẳng hàng 2 1.21 Đ ộ dài hai cạnh tam giác 10 15 Chứng minh độ dài đường p h â n giác góc chung k h ô n g l n 12 1.22 Chứng minh giao đ i ể m đường chéo, giao đ i ể m phân k é o dài cạnh bên trung đ i ế m đáy hình thang bát kì nằm đường thẳng 1.23 Trong hình thang giao đ i ể m đường chéo nằm cách đêu đường thẳng chứa cạnh bên Chứng minh h ì n h thang cân 1.24 Đường thẳng Ì cắt cạnh A B A D hình b ì n h h n h A R C D t i đ i ể m E F tương ứng G i ả sử G giao đ i ể m đường thẳng Ì v i đường chéo ™ • K * AB A D _ AC A C Chứng minh rang — H = —— AE AF AG 10 1.25 G i ả sử AC dường c h é o lởn him hình bình hành A B C D T (liếm c xuống p h â n kéo dài cạnh A B A D hạ dường vuông góc C E va CF C h ứ n g minh A B A E + A D A F = A C L.26 Đoạn thẳng B E chia A A B C (hành hai tam giác dồng dạng, đòn lí thời l i sô đồng dạng Vĩ Tính góc A ABC * § T ỉ s ố diện tích tam giác đồng dạng 1.27 Qua điềm đ ó nằm tam giác kỏ ba dường thẳng soniĩ sontí với cạnh Các (luông thẳng chia tam giác thành sáu p h â n ironn sò ứỏ có ba lam giác với diện tích Si, S , Sĩ Tính diện tích lam giác cho 1.28 T r ê n cạnh A C A A B C lây đ i ế m E Qua đ i Ị m E kỏ (luông t a D E song son^ với cạnh BC duờne thắm; E F sòm; song với cạnh A B ( D E lít đ i Ị m t r ê n cạnh) Chứnc m i n h S I J D E F = V S A D E - S[=FC 1.29 Qua điỊm nằm tam giác cho trước kẻ ba (luông thẳng song song với cạnh Các duờne thẳng chia tam giác Ihành sáu phân số cố ba hình bình hành với diện tích S i ' Sì, Sỉ' Tính diện tích tam giác 1.30 T r ê n cạnh h ì n h vuóntỊ A B C D diện tích s lây đ i Ị m K, E M , H (K n e n A B , V A ' ) tho A K = BE = C M = D H = - A B T í n h d i ệ n tích tứ giác uiới hạn duủnẹ thằne A E , B M , C H D K § Các tùm giác phụ bang 1.31 Cạnh góc vuông Be tam giác vuông ABC (góc c vuông) bị chia d i ố m D E thành ba phần CTúrniỉ minh nêu BC = 3AC, tổng góc A E C , A D C A B C 90° 1.32 Đ i ế m •' ỉa truno điỊm cạnh A B cùa hình vuông A B C D , diêm L chia dirừng c h é o AC ihco t i sỏ A L : L C = 3:1 Chứng minh góc K.LD vuông 1.33 Các tam tỊiác vuông cân A B C CDE vói c t đinh góc vuông B D cho trước mặt phẳnỏ có dinh churl!" c (dnng thời chiêu quay t A B đ ẽ n BC từ C D đ e n D E n h nhau) C h n g minh pinn vị trí trung đ i Ị m đoạn thẳng A E k h ô n g phụ thuộc vào vị trí diêm c 1.34 a) Trên cạnh BC CD hình vuông A B C D dựng phía lam giác đêu BCK D C L Chứng minh A A K L đêu b) T r ê n t n h BC CD t ủ a h ì n h bình hành A B C D dựng vệ phía lam giác- (lêu BCK D C L Chứng minh A A K L đêu li 1.35 Bên hình vuông ; A B C D P B A = P A B = ° Chứng minh lẩy A C P D đêu điểm p cho 1.36 Trên cạnh góc vuông C A C B tam giác vuông cân A B C lẫy điểm D E tương ứng cho C D = CÊ Phần kéo dài đường vuông góc hạ từ điểm D c xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyên AB tương ứng điểm K L Chứng minh KL = LB 1.37 Bôn A A B C lẫy điểm p cho P A C = P B C Từ điểm p xuống cạnh Be C A hạ đường vuông góc PM vá P K tương ứng G i ả sử D trung điểm cạnh AB Chứng minh D K = DM §5 Áp dụng tính chựt góc nội tiếp đ ể chúng minh tam giác đồng dạng 1.38 Trên đoạn thẳng A B đường kính dựng nửa dường tròn Đường thẳng Ì tiếp xúc với nửa đường tròn điểm c Từ điểm A B xuống dường thẳng Ì hạ đường vuông góc A M BN Giả sử D hình chiếu điểm c lên A B Chứng minh ràng C E T = A M B N 1.39 Cho hai đường tròn cắt điểm A D A B C D tiếp tuyên đường tròn thứ nhựt thứ hai (B c điểm đường tròn)j _ AC _ C D Chứng minh rang —— = BD AB u k 1.40 Cho hình bình hành A B C D với góc đinh A nhọn Trên tia A B C B đặt c c đ i ể m H K t n g ứng cho C H = Be A K = A B Chứng minh rằng: a) D H = D K b) A D K H _ A ABK 1.41 Trên cung Be dường tròn ngoại tiếp quanh tam giác A B C lẫy điểm p bựt kì Các đoạn thẳng ÁP B C cắt Q Chứng minh Ị PQ _ Ị Ị PB PC 1.42 A B đường kính đường tròn S i , A tâm đường tròn S2 Các đường tròn cắt điểm c D Qua điểm B kẻ đường thẳng cắt đường tròn S2 diêm M nằm đường tròn S i , đường tròn Si - điểm N Chóng minh rằng^MN = CN.ND 12 Ị, hA'B'C Các cạnh À A B C nằm c c đường trung trực đường thẳng DA', O B ' , o e D ế chứng minh ta dựng tam giác cần dựng, sử dụng kết l ú a 1.50 b) nêu B1A1C = B A i d , A j B i C = AB1C1 va A i Q B = A C j B i Khi đ ó điềm A i , B i , C i chân tác đường cao tam giác ABC 14.46 Già sử A A B C dựng G i ả sử o tâm đường tròn ngoại t i ế p , M trung đ i ể m cạnh |\B, H chân đường cao hạ từ đinh c (h.142) Đ i ế m Q trung đ i ế m : ủ a c u n g A B , d o đ ó O Q _L A B Từ đ ó suy cách dựng sau : Trước h é t dựa vào đ i ể m cho la dựng đường tròn s ngoại t i ế p \ P Q R Đ i ể m c giao đ i ể m lường thẳng ké qua đ i ể m p song |song v i OQ, đường tròn s Đ i ể m IM giao đ i ế m đường thẳng ỈOQ RC Đ n g thẳng A B qua ídiểm M v u ô n g góc v i OQ Hình ỉ42 14.47 G i ả sử A A B C dựng được, A i , B i , C i tương ứng tâm đường tròn bàng t i ế p t i ẽ p xúc với cạnh BC, C A , A B Các đường thẳng B i Ai CCi đường p h â n giác nhởng góc kê bù nhau, nên c h ú n g vuông góc v i T n g tự B B i Ì A i C i A A i Ì B i C i T suy cách dựng sau : Trong A A i B i C i kẻ đường cao Chân c t đường cao đ i n h cùa tam giác cần tìm D è chứng m i n h điêu ta càn sử dụng két 1.50 a) 14.48 Cách thứ nhất: G i ả sử À A B C dựng G ọ i C i trung đ i ế m cạnh A B , K giao đ i ế m đường thẳng C i O H M (h.143) Bởi vi O C i Ì AB, n ê n O Q / / C H , tức tam giác C H M C i K M đ ô n g dạng v i v i t i sỗ „ QM Ì đồng dạng — — = - Me T đ ó suy cách dựng sau : T r ê n tia H M dựng đ i ể m O i cho H Ơ I : H M = 275 = : Sau từ điểm H hạ đường vuông góc H C i xuống đuờng thẳng O O i Điểm c vị tự với điểm C i qua phép vị tự tâm M ti số —2 Các điểm A B giao điểm đường thẳng HCi với đường tròn tâm o bán kính oe Cách thứhai: G i ả s H i trực tâm A A B C Theo 10.1, OM : M H i = Ì : điểm M nằm đoạn thẳng O H i Do ta dựng điểm H i Sau kẻ đường thắng H H i dựng đường vuông góc Ì với dường thẳng điểm H Hạ từ điểm o đường ù / A \ v c H Hình 143 vuông góc xuống đường thẳng Ì, ta nhứn điểm C i (là trung điểm đoạn A B ) Trên tia C i M dựng điểm c cho C C i : M C i =3:1 Các điểm A B giao điểm đường thẳng Ì với đường tròn tâm o bán kính oe 14.49 G i ả sử ta dựng điểm M N G i ả sử K đỉếm đoạn thẳng MN, mà M K = A M Khi N K = C N , MN = A M + C N Các tam giác A M K K'CN cân, suy M A K = M K A = K A C v N K C = K C N = K C A Do K giao điểm đường phân giác A A B C T Ù suy cách dựng sau : Dựng diêm giao đường phân giác A A B C dựng qua đuờng thẳng Ì song song với cạnh A C Điểm M N giao điếm đường thẳng ì với cạnh A B B C 14.50 Giả sử ta dựng điểm X Y cạnh AB Be AABC, cho A X = B Y X Y // A C Kè Y Y i // A B Y i C i // Be (các điểm Yi, C i nằm cạnh A C , A B ) Khi Y i Y = A X = B Y , tức B Y Y i C i hình thoi B Y Ì đường phân giác góc B T dó suy cách dựng sau : K ẻ đuờng phân giác B Y i , sau kè đường thẳng Y i Y song song với cạnh A B ( Y nằm cạnh B C ) T dễ dàng dựng dược điểm X cạnh A B 14.51 G i ả sửa < b G i ả sử A A B C dựngđuỵc Lẩy cạnh A C điểm D cho A B D = B Á C Khi B D C = B Á C va C B D = B Á C - B Á C = BÁC, 276 tức C D = CB = a Trong tam g i c A B C D ta b i ế t t ấ t cạnh : C D = CB = a D B = A D = b - a Sau dựng đuợc A B C D , ta kẻ tia B A k h ô n g cắt đoạn C D cho D B A = — D B Ơ Đ i n h A cân tìm giao đ i ếm tia đ ó v i đường thẳng C D 14.52 G i ả sử đ i ể m B ' nằm t r ê n đường thẳng Ì qua đinh B song song với cạnh A C C c cạnh tam giác A B C A B ' C chắn t r ê n đường song song v i cạnh A C đoạn t h ẳ n g Do hình chữ nhầt P'R'Q'S' PQRS nội t i ế p A B ' C A B C t n g ứng nhau, nêu đ i ể m R, Q, R \ Q ' nằm t r ê n m ộ t đường thẳng Lấy đ i ể m B t r ê n đường thẳng Ì cho B ' A C = ° Trong A A B ' C h ì n h chữ nhầt P'Q'R'S' v i dường c h é o P'Q' có độ dài cho trước d ễ d n g dựng nội t i ế p (vì P' = A ) Kẻ đường Hình 144 thẳng R ' Q / A C ta dựng đ i n h R Q h ì n h chữ nhầt cân dựng (h.144) 14.53 G i ả sử A A B C dựng G i ả sử K L đ i ế m , t i đường tròn b n g t i ế p góc A A A B C t i ẽ p xúc v i phần k é o dài cạnh A B A C rương ứng B i A X = A L = p, n ê n ta có t h ể dựng đường t r ò n bàng t i ế p đó, c ò n l i ta chi cân dựng đường t i ế p tuyên v i dường tròn b n g tiế p từ đ i ể m M cho 14.54 Ta dựng đ i ể m K cạnh A C cho A X = B C — A B G i ả sử đ i ể m D nằm t r ê n cạnh A C Đẳng thức A D + B D + A B = BC tương đ n g v i đẳng thức A D + B D = A X Đ ố i v i đ i ể m D nằm t r ê n đoạn thẳng A K , đẳng thức sau có t h è v i ế t l i d i dạng A D + B D = A D + D K , đ ố i v i đ i ếm D k h ô n g nằm t r ê n đ o n A K , viế t l i d i dạng A D + B D = A D — D K Trong trường hợp đầu suy B D = D K , trường hợp t h ứ hai k h ô n g t h ể xảy Do đ ó đ i ế m D giao đ i ể m đường trung trực đoạn B K đoạn thẳng A C 277 14.55 G i ả sử A A B C dựng Ta ké đường kính C D dường tròn ngoại tiễp.Giả sử o tâm đường tròn ngoại tiếp, L giao điểm đường phân giác A K kéo dài với đường tròn ngoại tiẽp (h.145) Bởi A B C - A C B = 9Ơ\_nên A C D = A C B DA = A B Mà B L = L C Suy AO ì ràng 9Ơ° Từ suy c.-';ch dựng sau : Dựng đường tròn s tâm o bán kính cho Trên đường tròn s lấy điếm A Dựng điếm L đường tròn s cho ADL = ° Trên cạnh AL dựng đoạn A K độ dài đường phân giác Hình 145 cho Qua điểm K kẻ đường thững Ì vuông góc với O L Các giao điểm đường thững ] với đường tròn s đinh B c tam giác A B C cần dựng 14.56 G i ả sử khoảng cách giụa hai đường thững song song cho a T a cần phải dựng qua điếm A B đường thững song song cho khoảng cách chúng a Dựng đuờnít tròn bán kính A B lấy đirừn',' tròn điểm c cho A C a (có hai điểm c vậy) M ộ i ( ình hình thoi cần dựng năm đường thững A C Sau qua điểm B dựng đuòng thững song song với đường thững A C 14.57 G i ả sử tứ giác A B C D dựng G ọ i trung điểm cạnh A B , B e C D , D A tương ứng p, Q, R , s ; trung điểm đường chéo A C B D K L Trong AKSL ta biẽt 278 Hình 146 Ì Ì KS = - CD , L S = - A B góc K S L góc cạnh A B CD Sau k h i 2 dựng A K S L , ta dựng A K R L , VÌ b i ế t tất cạnh Sau đ ó ta dựng t h ê m vào tam giác K S L K R L để hình bình h n h K S L O K R L P ~ C c đ i n h A, B, c, D đ i n h h ì n h b ì n h hành PLSA, Q L P B , R L Q C , S K R D (h.146) 14.58 H t đinh B D đường vuông góc B B i D D i xuống đường c h é o AC K h ô n g tính tổng quát ta giả sử D D i > B B i Dựng đường thẳng có đ ộ dài a = D D i — B B i kứ đường thẳng song song với đường thẳng A C , cách A C khoảng a Đường thẳng cắt cạnh C D đ i ế m E R õ ED ràng SAED = — CD BBi SACD = SACD = SABC • Do đ ó đường trung tuyển DDi A A E C nằm t r ê n đường thẳng dựng 14.59 G i ả sử p, Q, R trung điổm cạnh A B , BC, CD tứ giác lôi A B C D K ứ đ n g trung t r ự c l i h c c đ o n t h ẳ n g PQ Q R B i A B = B C = C D , n ê n c c đ i n h B c n ằ m t r ê n đường thẳng l i 12 B Q = Q C T đ ó suy c c h dựng sau : K ứ qua c c đ n g trung trực h h đoạn thẳng PQ QR Sau đ ó qua điểm Q dựng đoạn thẳng có đàu mút nằm đ n g thẳng l i Ì2 nhận đ i ể m Q làm trung đ i ể m (xem b i 7.13) 14.60 G ọ i trung điểm cạnh đáy A D BC L N , trung đ i ể m đường trung bình E F M (h.147) C c đ i ể m L , o, N n ằ m t r ê n c ù n g m ộ t đ n g thẳng ( b i 1.22) R õ r n g M nằm t r ê n đường thẳng đ ó T đ ó suy cách dựng sau : K ứ qua điểm K đường thẳng Ì v u ô n g góc v i đường thẳng OK Cạnh đáy A D nằm đường thẳng Đ i ể m L giao điểm đường thẳng Ì đường thẳng O M Đ i ể m N đ ố i xứng với đ i ể m L qua H*nh JJJ 279 đ i ể m M Qua đ i ế m o kẻ đường thẳng song sone với đường thẳng E N F N Các giao đ i ể m đuờng thẳng đ ó với đui ng thẳng Ì đ i n h A D h ì n h thang Các đ i n h B c đ ố i xứng với đỉnh A D qua đ i ể m E F tương ứng 14.61 G i ả sử ta dựng tứ giác A B C D với độ dài cạnh cho trước đường trung bình KP cho trước ( K p trung đ i ể m của.các cạnh A B CD)/ G i ả sử A i B i điểm đ ố i xứng vói đ i ế m A B qua đ i ể m p Tam giác A i BC ta dựng được, ta b i ế t c c c n h c ù a n ó : Be, C A I = A D B A I = 2KP Dựng thêm vào A A i B C để dược h ì n h bình h n h A i E B C Bây g i ta có t h ể đựng điểm D , ta biết C D E D = BA Sử d ằ n g đẳng thức D A = A i c, ta dựng đ i ể m A 14.62 a) G i ả sử ta dựng h ì n h vuông PQRS cho đ i ể m A , B, c, D cho trước tương ứng nam cạnh PQ, QR, RS, SP Dựng đ n g tròn Si S2 dường kính A B CD tương ứng G ọ i giao đ i ể m đường c h é o QS v i đường tròn đ ó tương ứng M N B i A Q M = B Q M = 45° , n ê n M trung đ i ể m cung A B (cung k h ô n g chứa đ i ể m Q ) T n g tự đ i ế m N trung đ i ể m cung CD (cung không chứa đ i ể m S) T suy cách dựng sau : Dựng dường t r ò n Si S2 đường k í n h A B C D tuông ứng Sau dựng M trung đ i ể m cung A B , nằm phía với đoạn thẳng CD so v i đường thẳng A B , đ i ể m N trung đ i ể m cung C D , nằm phía v i đoạn thẳng A B so với đường thẳng CD Các đ i n h Q s giao đ i ể m đường thẳng M N v i đường tròn Si S2 tương ứng, đ i n h p R giao đ i ể m đường thẳng A Q DS, BQ cs tương ứng b) G i ả sử ta dựng hình chữ nhật PQRS cho đ i ế m A , B, c, D cho trước tương ứng nằm cạnh PQ, QR, RS, SP PQ : Q R = a, a t i số cho trước G i ả sử F giao đ i ể m đường thẳng kẻ qua đ i ể m D vuông góc với đường thẳng A C , vè đường thẳng QR K h i D F : A C = a T suy cách dựng sau : T đ i ế m D kẻ tia vuông góc với đoạn thẳng A C đặt đoạn D F = a A C Cạnh QR nằm đường thẳng BF Các bước dựng t i ễ p theo d ẻ d n g suy 14.63 Đường t r ò n định cạnh góc đoạn thẳng k h i chi tâm n ó nằm t r ê n đường p h â n giác góc Do đ ó tâm đường t r ò n cân dựng giao đ i ể m đường trung trực đ o n thẳng A B đường p h â n giác góc cho 280 14.64 Giả sử ta dựng đuợc đường tròn S'tiep xúc với đường tròn s điểm A tiếp xúc với đường thẳng Ì cho trước điểm B Gọi p 0'là tâm đường (tròn s S'(h,148) Rõ ràng điểm o , O' A nằm đường thẳng O'B = O'A Do ta cần dựng điểm O' đường thẳng OA cho OA' = O'B, B te chân đường vuông góc hạ từ điềm O'xuong đường thẳng Ta dựng sau : Hạ Hình J 48 a, Bởi 19.19° = 361, ta dựng góc 361°, mà góc trùng với góc 1° 14.69 Nếu cho góc 7°, ta có thè dựng góc 8.7° = 56° Rõ ràng ta dựng góc 60° Do dó ta dựng góc 60° — 56° = 4° Chia đôi góc 4° ta góc 2°, chia đôi lần ta nhận góc 1° 14.70 Ta dựng iân lượt sau : Chấn mẩu giẫy điểm o chấn phép vị tự tâm o với tỉ sỗ vị tự k đủ nhỏ để ảnh giao điểm đường thẳng cho qua phép vị tự điểm nằm mẩu giẫy Khi ta dựng đường phân giác góc hai đường thẳng ảnh hai/ đường thẳng cho Sau phép vị tự tâm o ti số - ta dựng phần k đường phân giác càn dựng 14.71 Rõ ràng ta dựng mạng lưới gồm hình vuông với cạnh không lớn lắm, chẳng hạn với cạnh Ì em (h.150) Các điểm cho rơi vào hai hình vuông mạng lưới Ta xác định tấa độ (vị trí) điểm hình vuông 282 Sau đ ó ta dựng m ộ i mạng luới gồm hình vuông nhỏ (khoảng — mạng lưới t h ứ nhất), mạng lưới ta xác định hai đ i ể m t u ô n g ứng hình vuông t u ô n g ứng v i tọa đ ộ n h hai đ i ể m ban đâu Khoảng c c h hai đ i ể m m i 20 em, nên ta có t h ể nối trực t i p chúng với thước kẻ Đoạn thẳng vừa dựng cắt cạnh hình vuông mạng lưới t h ứ hai t i NÕ đ i ể m Dựng đ i ể m tương ứng v i giao đ i ể m đ ó t r ê n mạng lưới t h ứ R õ ràng lúc ta dùng thuớc kẻ nối giao đ i ể m l i để đuợc đoạn thẳng cân dựng Hình 150 283 MỤC L Ụ C Lời nói đầu Lời người dịch Chuông Ì : Tam giác đồng dạng (71 bài) Các kiên thức Những toán mở đầu §1 Các đoạn thẳng nằm giũa đuờngthẳng song song (8 bài) §2 Ti sỗ cạnh tam giác đông dạng (18 bài) §3 Ti sỗ diện tích tam giác đông dạng (4 bài) §4 Các tam giác phụ (07 bài) §5 Áp dụng tính chất góc nội tiẽp (8 bài) §6 Tam giác tạo chân đường cao (7 bài) §7 Các hình đòng dạng (7 bài) Các toán tự giải (12 bài) Lời giải 8 11 11 12 13 14 15 16 Chuông : Góc nội tiếp (64 bài) Các kiến thức Các toán mở đầu §1 Các góc chận cung (9 bài) §2 Sỗ góc hai dây cung (4 bài) §3 Góc t iếp t uyến dây cung (3 bài) §4 Mỗi liên hệ giũa số đo góc với độ dài dây cung độ dài cung (3 bài) §5 Tứ giác ABCD nội tiếp, nêu BAD + BCD = 180° (4 bài) §6 Trong tứ giác nội tiếp ABCD, ABD = ACD (8 bài) §7 Đường phận giác góc nội tiẽp chia đôi cung (4 bài) §8 Áp dụng góc nội tiếp để chứng minh dường thẳng quy t i đ i ể m (3 bài) 284 34 35 35 36 37 37 37 38 38 39 §9 Tứ giác nội tiếp với đường chéo vuông góc (6 bài) §10 Ba đường tròn cắt (3 bài) §11 Các toán khác (7 bài) Các toán tự giải (10 bài) Lời giải 39 40 40 41 42 !hutmg í Đường tròn (33 bài) Các kiên thức Các toán mở đàu §1 Tiếp tuyến đường tròn (2 bài) §2 Tích độ dài đoạn thẳng dây cung (hay cát tuyến) diêm cho trước (3 bài) §3 Các đường tròn tiếp xúc với (4 bài) §4 Góc đường tròn cắt (2 bài) §5 Sử dụng tính chát đồng quy đuờng cao tam giác (3 bài) §6 Diển tích hình cong (3 bài) §7 Trục đẳng phương (10 bài) Các toán tự giải (6 bài) Lời giải 57 • 58 58 59 59 59 60 60 61 62 63 'hương : Diển tích (56 bài) Các kiên thức Các toán mở đâu §1 Diển tích tam giác nhận chia tam giác đường trung tuyến (2 bài) §2 Các tam giác phụ tương dương (4 bài) §3 Tính diển tích (6 bài) §4 Dùng diển tích để giải toán (10 bài) §5 Các diển tích tạo thành cáp số cộng(2.bài) §6 Diển tích tam giác nhận chia tứ giác đường chéo (4 bài) §7 Diển tích tam giác nhận chia tứ giác điểm (2 bài) 72 72 73 73 73 74 75 76 77 285 §8 D i ệ n tích tứ giác v i đ i n h nằm cạnh (các đường 77 c h é o ) tứ giác (7 bài) §9 Các đường thẳng đuờng tròn chia h ì n h t h n h phân t u ô n g 78 ứng (7 bài) §10 Các công thức tính d i ệ n tích tứ giác ( Ì bài) 78 § 1 P h é p cắt hình (2 bài) 79 C c toán tự giải (9 bài) 79 L ò i giải 80 Chuông : Vecto (44 bài) C c k i ế n thức 97 C c toán m đ ầ u 98 § Các vecto t r ê n cạnh đa giác (4 bài) 98 §2 Tích vô hướng Các hệ thức (7 bài) 99 § Tích vô hướng Các bất đẳng thức (3 bài) 99 §4 Tích vô huớng Các toáạ k h c (4 bài) 100 §5 Tổng vecto (4 bài) 100 §6 C c bất đẳng thức (3 bài) loi §7 P h n g p h p trung b ì n h hóa (7 bài) loi §8 Tích có hướng hai vecto (5 bài) 102 C c toán t ự giải (7 bài) 103 L i giải 104 Chuông : Phép tịnh tiến (17 bài) C c k i ế n thức 117 C c toán m đàu 117 § Ì D ù n g p h é p tịnh t i ễ n để giải toán (6 bài) 117 §2 D.ựng hình (5 bài) 118 § T ể p hợp đ i ế m (quỹ tích) (2 bài) 119 C c toán tự giải (4 bài) 119 L i giải 119 Chuông : Phép đối xúng qua tâm (22 bài) C c kiên t h ú c 286 129 Các toán mờ đàu §1 Dùng phép đối xứng qua tâm đế giải toán (6 bài) §2 Tính chất phép đối xứng qua tâm (4 bài) §3 Dùng phép đối xứng qua tâm đề giải toán dựng hình (8 bài) Các toán tự giải (4 bài) Lời giải 130 130 131 131 132 133 Chương : Phép đối xứng qua trục (34 bài) Các kiến thức Các toán mở đâu §1 Dùng phép đối xứng trục để giải toán (5 bài) §2 Phép đối xứng trục với toán dựng hình (5 bài) §3 Dựng hình Các cạnh tam giác đối xứng qua đường phân giác (3 bài) 139 139 140 140 141 §4 Tích phép đối xứng (3 bài) 141 §5 Tính chất phép đỗi xứng trục đối xứng (6 bài) 141 §6 Các toán sử dụng tính chất tích phép đối xứng (4 bài) 142 §7 Các toán cực trị (3 bài) 142 Các toán tự giải (5 bài) 143 Lời giải 143 Chuông : Phép quay (43 bài) Các kiên thức 153 Các toán mở đầu 154 §1 Phép quy 90° (6 bài) 154 §2 Phép quay 60° (12 bài) 155 §3 Phép quy theo góc (6 bài) 156 §4 Tích phép quay 90° (6 bài) 156 §5 Tích phép quay 60° (3 bài) 157 §6 Tích phép quay (3 bài) 157 Các toán tự giải (7 bài) 158 Lời giải 159 287 Chuông lo : Phép vị tự phép vị tư quay (41 bài) Các kiên thức Các toán mở đâu §1 Các đa giác vị tự với (8 bài) §2 Các đường tròn vị tự với (9 bài) §3 Dựng hình tập hợp điếm (5 bài) §4 Tích phép vị tụ (3 bài) §5 Phép vị tự quay (3 bài) §6 Tâm phép vị tự quay (6 bài) Các toán tự giải Lòi giá i 170 170 171 172 173 173 174 174 174 175 Chương l i : Tam giác (59 bài) Các kiến thức Các toán mở đâu §1 Đường tròn nội tiẽp đường tròn ngoại tiẽp(7 bài) §2 Tam giác vuông (6 bài) §3 Tam giác (8 bài) §4 Định lí Xeva ( l i bài) §5 Định lí Meneìauýt (7 bài) §6 Tam giác nguyên (2 bài) §7 Các toán khác (8 bài) Các toán tự giải (10 bài) Lời giải 187 188 188 189 189 190 191 192 193 194 195 Chuvng 12 : Đa giác (48 bài) Các kiến thức Các toán mớ đâu §1 Tứ giác nội tiẽp tứ giác ngoại tiễp (7 bài) §2 Tứ giác (8 bài) §3 Lục giác (4 bài) §4 hệ thức luợng đa giác đêu (6 bài) §5 Đa giác đêu (7 bài) §6 Đa giác nội tiếp đa giác ngoại tiếp (5 bài) 288 216 216 217 217 218 219 219 220 5}7 GÙ ỉ)a ' li loi I' M M lư Kit (6 bài) • I ỊM;II I ^ hài) ì Mi.il 220 221 222 [Ihutmịỉ 13 : r p h p r c đ i ể m có t í n h t l i ấ t cho trước (34 hài) Các k i ế n thức 240 Các toán m đầu 241 § T ậ p hợp đ i ể m đường thẳng (3 bài) 241 §2 Tập h(jp điểm đường tròn (hoặc cung tròn) (5 bài) 241 §3 P h n g p h p tập hợp đ i ể m (4 bài) 242 §4 Các tam giác p h ự đ ò n g dạng (4 bài) 242 §5 G ó c n ộ i t i ế p (3 bài) 243 §6 P h é p vị tự (3 bài) 243 §7 T i m tập hợp đ i ế m (4 bài) 243 Các toán tự giải (giải bài) 243 Lời giải 244 Chương 14 : Dựng h ì n h (86 bài) Các k i ê n thức CƯ 254 Các toán m đàu 255 § P h n g p h p tập hợp đ i ể m (7 bài) 255 §2 G ó c n ộ i t i ế p (7 bài) 255 §3 Tam giác đ ô n g dạng p h é p vị tự (6 bài) 256 §4 P h é p dời h ì n h (5 bai) 256 §5 D n g tròn A p o l o n i u ý t (4 bài) 257 §6 D ự n g tám giác theo yếu tố (Ì Ì bài) 257 §7 D ự n g tam liiác theo đ i ể m cho trước (8 bài) 257 §8 Tam giác (7 hài) 258 §9 T ứ giác (7 bài) 259 §10 D ự n g đường tròn (5 bài) 259 § 1 C c toán d 260 ìg h ì n h khác (4 bài) Các b i toán tự giải (15 bài) 260 L i giải 261 2.N9 [...]... thêm các giao điểm A, D u D2 của các dường thẳng K L và M N , K M và OiA, LN và O Ỉ A tương ứng (h .19 ) Do O i A M + NAỌ2 = 9 0 ° , nên các tam giác vuông Oi M A và ANO2 đông dạng, AO2 1 1 K M , AOi ,| I L N T sự song song của các , f đường thang đố ta được ADi D1O1 = O2P1 và D2O2 _ O2P2 P1O1 các tứ giác A K O i M và O2NAL ta được = AD2 ADi D1O1 A A T sự đông dạng của P2O1 D2O2 O2P1 O2P2 AD2 P1O1... Chứng minh rằne n ế u A 1 B 1 I I A B v à B 1 C 1 1 I BC, thì A 1 C 1 1 1 A C § 7 Các h ì n h đồng dạng 1. 53 Trona tam giác nội t i ẽ p ưưừng tròn bán kinh r Các liêp tuyên cùa duửnu tròn đó sonc sontỉ với cúc cạnh của tam giác cai khỏi nó ba lam lỉiác nín') Giả sử r i , TI, n là bán kính các (lườm; tròn nội tiếp troniỉ các lam I l i a c đó Chưn!? minh rằng r i + TI + Tì = r 1. 54 Cho A A B C Dắnc... nhọn A B C lây các đ i ế m C i , A i , B i lương ứ n g C h ứ n g m i n h r ằ n g n ê u B 1 A 1 C = B A ị C i , A 1 B 1 C = A B 1 C 1 v à A i C i B = A C 1 B 1 ,thì c á c đ i ể m A i , B i C i là c h á n c á c đ ư ờ n g cao của tam g i á c ABC 1. 51 T r o n £ tam giác nhọn A B C kỏ các dường cao A A i , B B i và C C i Chửng minh rằng A C Q - A A ] B i 1. 52 Trong tam giác nhọn A B C kè các dưưg nau)... 1. 61 Các duụni; chéo của một hình tham: vuòniỊ góc với nhau Chứng minh rằng tích đ ộ đài t á c đáy của hình Ihanií bằm: tổnu các tích dụ dài các đoạn t h ẳ n ẹ của m ộ i dường chéo và độ dài các đoạn thẳng cùi! (lươnlĩ chéo kia, nhận được khi chia các dường c h é o bởi liiao đ i ế m của c h ú n c 1. 62 Các cạnh của hình vuône bằne 1 ọ ja làm của nỏ kở mội dườni! thẳnn Tính tổng bình phucmj! khoảng cách... hợp của bài toán CD < a + b Cách thứ hai Rõ ràng CD AD sin A sin- p _ 2ab Do đó CD = ——— a + b c ... A A B C _ AA1B1C1) k h i va chi thỏa mãn m ộ t đ i ề u k i ệ n tương đ n g sau : a) A B BC : C A = A1B1 : B i d : C1A1 b) AB : B e = A1B1 : B i C i c) A B C = A1B1C1 A B C = A1B1C1 BÁC = BiAid... AO2 1 K M , AOi ,| I L N T song song , f đường thang đố ta ADi D1O1 = O2P1 D2O2 _ O2P2 P1O1 tứ giác A K O i M O2NAL ta = AD2 ADi D1O1 A A T đông dạng P2O1 D2O2 O2P1 O2P2 AD2 P1O1 P2O1 =... cho Bài tập hình học phăng cua tác giả V V Praxolov Ì tập tài liệu qui che đối tượng nêu lời nói đầu, cho giáo viên học sinh chuyên chọn phổ thông Đây tập sách khống "kho" tư liệu vê tập hình học