- „x — v v PRAXOLOV CÁC BÀI TỐN VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHỊNG Chịu trách nhiệm xuất : LÊ HUY TỦY Biên tập sửa in : HỒNG ĐỨC CHÍNH NGUYỄN ĐẾ Vẽ bìa: HƯƠNG L A N In 3050 khổ 14,5 X 20,5 in t i Xí nghiệp in Bắc Thái Sắp chữ điện tử : Bộ mơn.Tin học Trường Đại học H n g hải Giấy phép xuất bân số 30 TK/HP Cục xuất cấp ngày 15 - Ì - 1994 In xong nộp lưu chiêu t h n g - 1994 LỜI NĨI ĐẦU (Trích lời tác giả) Cuốn sách phân tiếp tục trực tiếp phan Ì, tói xin lưu ý số điểm khác Các chương phân Ì gơm tốn có nội dung truyền thống, tức đê cộp tới vấn đè cổ truyền hình hỏc phăng Ba chương đâu phan thuộc loại Các chương lại cùa phán 2, trừ hai chương cuối mang dáng đáp tốn thi hỏc sinh giỏi cửa lớp chun, số có nhiêu dùng để thi luyện thi hỏc sinh giỏi năm khác Điêu khơng có nghĩa phần phức tạp phần Nhiêu tốn đơn giản so với phim Ì giúp hỏc sinh làm tốn tự tin hơn, hứng thú Hai chương cuối đê cập tới phép nghịch đảo phép biến đổi xạ ảnh, mang nhiêu tinh chất lý thuyết so với chương khác Do càn nghiên cứu chúng cách có hệ thống Nếu sử dụng phép nghịch đảo thường đề xuất luyện hỏc sinh chun, thỉ phép biến đổi xạ ảnh có thê nót hồn tồn xa lạ đối vói hỏc sinh phổ thòng, kể khối chun Tuy nh iên, tính độc đáo mục đích giúp bạn đỏc thấy đủ vẻ đẹp phong phú hình hỏc, chúng tòi đưa vào để bạn tham khảo thèm v.v Praxolov ì LỜI NGƯỜI Bằng ccuốn ccác Bài đối cchọn kinh nghiệm tập hỉnh tượng phố thực tiễn học phăng nêu thơng dạy tác giả lời nói Đây giảng đâu, tập DỊCH v.v sách thăn, Praxolov tơi cho Ì tập tài liệu cho giáo khơng chúng viên qui học sinh "kho" cho chun tư liệu ểế tặộp hỉnh học phăng phẫn loại sáp xếp có khoa h ÌC trình bbày dắc tra cứu, sÈinh đđại tham cân khinh, sách tíìinh cẫân kiến gơm, có cho đối pháp cắt, phủ, chẵn qui tổ hợp, biến asin, đổi kịp nạp thời tốn giúp trình bày, pháp dễễ sử dểng tính hiệu quảcao đóó, khả có hạn kiiiến bảo độc Đờào tạo Hải Thư dạy ngun phương Tập nên góp diêm sách khống ý xin viên cao, tự minh tốn tài biến hỉnh, tọa độ, phương sách pháp hạn, biến sứ dểng tơ màu, coi lờ nguồn bơ sung tốt thơng khoa sức cốgắng tránh khỏi vê phòng cực chiếu, phép bất biên, học ỏ phổ phân vecto, số đê cập đãhết gửi sinh có vê áp dểng đào, dịch học giải nâng và học hình Người với tác Dỉricle, cấp pháp qua lời giải ta, như: học sơ cao đói lớp thường, đẹp hoe nước nghịch dạy loại, tư liệu sáp xếp Phương giả hỉnh việc thơng tự nâng 29 chương phép dạng hỉnh tốn học, trò chơi, vê thể thơng hỉnh sổ tay hình tự học, dung, phổ mến phổ xạ ảnh, lẻ để giải thiết u để để học tập, để bơi dưỡng phú số đẽ mểc) nội viên dùng 1318 tượng viên, thức, phong gũi coi với giáo sư phạm gân số chương, cho giáo cáácphương đỡổi đối cải đa dạng, giúp Cuốn chhia, nên khảo học va cao đẳng thhăy liặệu rõ ràng vê tất mặt: ÌWĨ (tìmột sáng, học, thiếu PTTH hồn chỉnh, thể kiện ý sót mong Rất sở Giáo tưởng ý dểc - Phòng Ồ" Chưorng 15 I CÁC B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C H Ì N H H Ọ C CÁC K I Ế N T H Ứ C C BẢN Trong chương sử dụng kí hiệu yếu tố tam giác sau : a, b, c - đ ộ dài cạnh BC, CA, A B ; a, ậ,y - số đo góc đinh A ^ B , C; ma, mt>, m - độ dài đường trung tun kẻ từ đinh A, B, C; c ha, hh, he - độ dài đường cao hạ từ dinh À, B, C; la, lb, le - độ dài đường phân giác kẻ tù đinh A , B, C; r R - bán kính dường tròn nội tiếp ngoại tiếp N ê u A, B, c đ i ể m bát kì, A B < A C + CB, đẳng thức xảy c h ú điếm c nằm t r ê n đoạn thẳng A B (bất đẳng thức tam giác) Đường trung tuyến tam giác nhặ nửa tổng cạnh xuất phát từ đ i n h với : ma < - (b + c) (bài 15.1) Nêu đa giác lơi nằm da giác l ặ i khác, thi chu vi đa giác ngồi khcơnii nhặ chu vi đa giác (bài 15.6) v Tổng độ dài dường chéo tứ giác lõi lớn tổng độ dài h cạnh đ ố i nhtau bát kì (bài 15.17) Đ ố i diện với cạnh l n tam giác góc lớn (bài 15.91) Đ ộ dài đoạn thẳng nằm đa giác lõi khơng t h ế lớn cạnh lớn nhảẫt, đường c h é o lớn (bài 15.105) K h i giải số tốn chương phải biết vận dụng bát đẳrng thức đ i số Các kiên thức vê bất đẳng thức chứng minh xem phần "Phụ lục cho chương 15", nhưng.cần lưu ý r ằ n g ch únng chi cân dế giải tốn phức tạp, đổ giải tốn đon g i ả n c h i cầân bất đầm; thức Vab < - (a + b) hệ q CÁC B À I TỐN M Ở ĐẦU Chứng minh ^ d i ệ n tích tam giác A B C khơng lớn - A B B c 2 Nếu a < b + c, b < a + c, c < a + b a, b, c dương, t ò n mỏỏt tam giác có đỏ dài cạnh a, b, c Đ i ể m B nằm đường tròn đường kính A C chi A B C > 90 GĨC ngồi tam giác l n góc khơng kề với M i đường chéo tứ giác nhỏ hcAi nửa chu vi D i ệ n tích tứ giác A B C D khơng vượt q - ( A B BC + A D D C ) Bán kính hai dường tròn R r, khoảng cách giũa tâm chtnng d Điêu kiện cần đủ để hai đường tròn cắt IR — r | < đ < R r r §1 Đường trung tuyến tam giác i r - r a + b - c 15.1 Trong m ọ i tam giác _ a + b < m < —•— c 2 15.2 Trong tam giác tổng đỏ đài đường trung tun lớn 3/4 chu vvi, nhỏ chu v i 15.3 Cho đường tròn bán kính Ì n điểm A i , A n mặt phang K h i dó tiêèn đường tròn chọn dưưc đ i ế m M để M A I + + M A n — n 15.4 Cho đ i ể m A i , An khơng nằm mỏt đường thẳng Giảssử hai điếm phân biệt p o thỏa mãn tính chất A i P + ,+AnP = A i Q + - + + A Q = s, A i K + + A n K < s v i đ i ể m K n (Ì) Dể tiết kiệm chồ rư tốn sau ta bỏ cụm từ "Chứng minh rằng" Niu ìậậy bại tốn cho dạng dinh lí dìu phải chứng minh 15.5 T r ê n b n đ ể 50 đơng h ò chạy xác Sẽ có lúc đ ó tổng k t h o ả n g c c t tâm hàn đen dâu kim phủi lớn tổng khoảng cách từ tâm bàn (Ken c c t â m đồng hơ §22 C h u vi c ủ a đa giác ngồi lớn chu vi đa giác 15.6 a) K h i chuyển từ da giác khơníi lõi sang bao lơi chu vi giảm (EBao l i đa giác da giát l i nhỏ nhát chứa ; xem trang ) b) N ê u m ộ t đa giác lơi nằm bên đa giác l i khác, chu vi đa gi lác n g o i k h n g nhỏ chu vi cùa đa giác 15.7 N ê u o đ i ế m nằm tam giác A B C chu vi p P/2 < A O + BO + + -CO < p 15.8 N ê u t r ê n cạnh đáy A D hình thang A B C D tìm điểm E đố cho chu vi i tam giác A B E , BCE CDE BC = AD/2 §33 C c t o n đại s ố dựa vào bất dẳng thức tam giác 15.9 Đ i ê u k i ệ n cần (lù để sẳ a, b, c đ ộ dài cạnh tam giác l i a = V + z, b = z + X, c = x + y, đ ó X, V, z c c s ố dương 2 15.10 N ê u a, b, c đ ộ dài cạnh cùa m ộ t tam giác, a + b + c < < 2(ab + be + ca) 15.11 C h ó a , b, c sỏ dương Nếu với số tự nhiên n từ đoạn thẳng có) đ ộ dài a , h , c"' dựng dược tam giác số cho có hai sõi n n 15.12 Nêu a, b, c độ dài cạnh tam giác,, a(b-c) + b (c - a ) 2 3 + c(a - b ) + 4abc > a + b + c 15.13 Ta gọi " h ệ số khơng cân" tam giác với cáccạnha < b < c số nhỏ trcong sơ b/a c/b H ỏ i "hệ số khơng cân" k có thổ lẫy giá trị n h thê ? 15.14 Biẽt từ đoan thẳng bãi ki sơ năm đoạn thẳng cho trước đ ề u có) thể dựng tam giác K h i đ ó tát tam giác dựng đnợc có nhát m i ệ t tam giác nhọn 15.15 Nêu a, b, c đ ộ dài cạnh cùa tam giác, (a + b - c) (a - b + c) ( - a + b + c) < abc 15.16 Nếu a, b, c đ ộ dài cạnh tam giác, 2 a b (a - b) + b c (b - c) + c a ( c - a) > §4.Tểng độ dài đường chéo tứ giác lồi lớn tổng dài c ủ a c c c i n h Ì đối 15.17 N ế u A B C D t ứ g i c l i , t h ì A B + C D < A C + B D 15.18 N ế u A B C D tứ g i c l i có A B + B D < A C + CD, A B < AC 15.19 M ộ t tứ giác l i đặt tứ giác lơi khác Tổng độ dài đ u x n g ị chéo cùa tứ giác ngồi nhỏ lân so với tổng độ dài đ n g c h é o ì tứ giác khơng ? Còn 1,99 lần ? 15.20 Trên mặt phang cho n > đ i ể m , số khơng có ba đ i ế m n o t h i n g s hàng Trong số đường ễp khúc k h é p kín qua điểm cho, đưừníỊ k h ne ì tự cằt có độ dài nhỏ 15.21 M ộ t đa giác lõi có tất đường chéo có t h ể có bao n h i ê u J cạnh ? 15.22 Trên mặt phang cho n đ i ế m đỏ n điếm xanh, số đ ó k h n g c ó ba Ì điềm thẳng hàng K h i ln có t h ế kỏ n đoạn thẳng v i đ â u k h c ; màu khơng cằt §5 Các tốn khác dựa vào bất đẳng thức tam giác 15.23 Đ ộ dài hai cạnh tam giác 3,14 0,67 T í n h đ ộ dài c n h Ì t h ứ ba, biết số ngun 15.24 Tổng độ dài đường c h é o ngũ giác l i lớn chu v i , n h n g nhỏ^ hai lân chu v i 15.25 Đ ộ (lài cạnh tam giác khơng đêu có thè ba phân tử liên tiếp) cấp số nhân dược hay khơng ? Có thè nói cơng bội cáp số ? 15.26 Nêu độ (lài cạnh mội tam giác thỏa mãn bát đẳng thức a + b c độ dài cạnh n h ỏ 2 > 5c ,, 15.27 Nêu hai đường cao tam giác 12 20, dường cao t h ứ ba Ì nhỏ 30 15.28 Cho ba hình tròn khơng cằt có tâm thẳng hàng Nếu có một! đường tròn tiẽp xúc v i tất ba hình đó, bán kính l n bán kính Ì hình tròn số cho 15.29 Cho đ i ể m C i , A i , B i nằm cạnh A B , BC, C A tam giác; A B C cho BAI = ẢBC, C B i = ẲCA, A C Ì = ẲAB, 1/2 < Ả < Nếm gọi p p chu vi tam giác A B C A B C (2 A - 1)P < p < Ắp 10 15.3(l.'Trong ngũ giác l i ln chọn dược ba đường chéo đế từ có thuế d ự n g dược mót tam giác §6S D i ệ n tích tam giác khơng lớn nửa tích độ dài hai cạnh 15.31 Trong tam giác có diện tích Ì cạnh a < b < c, b > V ĩ 15.32 N ê u E, F, G, Hí trung đ i ể m cạnh AB, Be, CD, DA tứ giác A B C D , t h ì S A B C D £ E G H F < — ( A B + C D ) ( A D + BC) 15.33 N ế u chu v i tứ giác lõi bằntĩ 4, d i ệ n tích khơng vượt qi 15.34 Nêu M đ i ể m n ằ m t r o n g tam g i c A R C có d i ệ n tích s, S S < A M B e + BM.AC + CM.AB 15.35 Nêu đường tròn bán kính R nội tiếp mội ùa giác có diện tích s chiứa t â m đuừng tròn, mơi cạnh lẫy đ i ể m chu vi đa giẩác l ụ i có đinh đ i ể m lấy k h n g nhụ 2S/R 15.36 G ọ i o đ i ể m nằm tứ giác lơi A B C D diện tích s thụa mãn hệ thức ACO + B O + C O + D = 2S, A B C D hình vng o tâm 2 2 §77 Các bất đẳng thức vói diện tích 15.37 Tơn hay khơng tam giác có hai đường cao lớn I m , diện tícch nhụ l e m ? 15.38 Nêu cạnh tam giác k h n g lớn Ì, diện tích khơng l ỡ m ì 5.39 Trên cạnh A B A C tam giác A B C lây điếm M N cho A I M = CN A N = B M Khi diện tích tứ giác B M N C lớn gấp ba lân d ụ ệ n tích tam giác A M N 15.40 Nêu cạnh B e , CA, A B cùa tam giác A B C lấy điểm A i , B i , O i tương ứng, tam giác A B i C i , A l B C i , A i B i C có tam giác có diệện tích khơng vượt q p h â n tư d i ệ n tích tam giác A B C 15.41 G ọ i s, S i , S tương ứng diện tích tam giác A B C , A B C , A 2 B C có A B s ;>4 = A i Bi + A B , AC = A i d + A2C2, Be = B1C1 + B2C2, VS1S2 li 15.42 Cho A B C D tứ giác lõi diện tích s Nêu góc A B C D b ằ i n g (CH , góc A D BC bằngỊ3 , A B C D s i n « + A Ọ B C sin/? < 2S < A B C D + A D B C 15.43 Nêu tất cạnh cùa đa giác lơi xê dịch phía n g o i muội khoảng h, diện tích tăng lượng Ph -+ 7T'h , p chu vi đa giác 15.44 Nế u hình vng cắt t h n h hình chữ nhật tổrag d i i ẽ n tích hình tròn ngoại tiế p quanh hình chữ nhật khơng nhỏ dtíện t ích hình tròn ngoại t i ế p quanh hình vng ban đởu 15.45 N ê u tất c c đ n g p h â n giác tam giác n h ỏ Ì, thù diiệ n t í c h nỏ n h ỏ h n : a) 1; b) 1/V3 15.46 Tống diện tích tam giác tạo cặp cạnh kề đ n g chéo lương ứng cùa ngũ giác lõi lớn d i ệ n tích cùa ngũ giác 15.47 Nế u hai hình chữ nhật xế p cho biên c h ú n g cắt đ i ể m , diện tích phởn chung c h ú n g lớn nứa diện Ì ích (Của hình chữ nhật 15.48 a) Trong lục giác lơi d i ệ n tích s ln tìm đường c h é o cai tam giác có d i ệ n tích khơng lớn han S/6 b) Trong bát tam giác l i d i ệ n tích s ln tìm đường c h é o cắn tam giác có d i ệ n tích khơng lớn S/8 §8 Diện tích Một hình nằm hình khác 15.49 Bên tronii hình vng cạnh Ì cho n đ i ể m Trong số tam giác có d i n h diêm hay đinh hình vng ln có tam giác có d i ệ n t í c h khơng vượt q l/2(n + 1) 15.50 Bên o n c hình vng cạnh Ì cho n đ i ể m , số khơng có ba đ i ể m thẳng hàng K h i ln tìm tam giác có đinh đ i ế m đ ó có diện tích k h n g vượt q 1/n—2 15.51 Nêu đa giác d i ệ n tích B nội t i ế p đường tròn diện tích A ngoại tiếp quanh đường tròn d i ệ n tích c 2B < A + c 15.52 Trong hình tròn bán kính Ì đặt hai tam giác có diện tích lớn Ì, hai tam giác phải cắt 12 d n g thẳng có t h ể dựng dược giao dường thẳng suy rộng cho, mà v i dây khơng phải sử dụng p h é p đựng khác, đ ù n g thước kẻ la cố l ặ p l i tổng bước dựng cho đèn hét R õ ràng điểm đựng dược m ỗ i bước p h é p dựng (kể bước cuối cùng) đêu ảnh đ i ế m dựng tổng bước t u n g ứng p h é p dựng cụ 29.58 a) G i ả sử A đ i ế m cho, B điểm khác t r ê n đ n g tròn s cho, o giao điểm dường thẳng l i ế p xú c vói đường t r ò n t i điểm A B X é t p h é p biên đ ổ i xạ ảnh biên đường tròn cho thành đ n g tròn s\ (liêm o t h n h điếm xa vơ tận (xem 29.39) dó đ i ể m A B t h n h đau cùa đường kính A ' B ' đường tròn s\ Khi dường thẳng Ì t i ế p xú c với dường iron s điểm A biên t h n h liuổng thẳng r t i ế p xú c v i S' t i A ' , íức t h n h dường vng góc với đường kính A ' B ' A \ Theo 29.54 d n g thẳng r có Ihé dụng dược chi thước kẻ thơng qua điểm A ' , B ' dường tròn s\ Suy ra, theo 29.57 đường thằng Ì dựng chi t h i n k ké t h n g qua điểm A , B đường tròn s Cách dựng có t h ế tiên hành sau Giả sử P[ ?2 đ i ế m bát kì, Cj D i giao điểm đường tròn với đường thẳng PiA PjB, Q i giao đ i ể m A D , BCi (i = 1,2), o giao diêm cùa P i Q i P2Q2 K h i d ó O A t i ế p tun càn dựng b) Lây điếm o bơn đường tròn cho xét p h é p biên đ ổ i xạ ảnh biên dường tròn cho t h n h nó, điếm o t h n h t â m N h theo 29.57 ta đua tốn vê dạng : "cho đường tròn với t â m o đ i ế m A nằm ngồi dường tròn Chi d ù n g thước kẻ dựng qua điểm A t i ẽ p tun với dường t r ò n " N h n g tổ 29.56 suy nêu cho dường tròn v i lâm n ó , lãi tốn dựng dược thưức kó compa, đêu có t h í dựnc chi bằnu thước ké Cuối lưu ý tiẽp điểm giao đ i ề m dưổng t r ò n cho đuửng tròn đường kính OA 29.59 Kè qua o đường thẳng m xét phốp biến đ ổ i xạ ảnh n o đỏ b i ê n đ i ể m o thành đ i ế m xa vơ tận, dòng t h i chọn p h é p biến hình đ ó cho dường thẳng bị loại trổ k h n g t r ù n g với đường thẳng Ì m G i ả sử Ì đ i ế m xa vơ lận đường thẳng Ì, A \ B \ c\ p \ F, r, m' ả n h đ i ế m A , B, c, p, ì dường thẳng Ì m tinmg ứng Đira vào dường thẳng Ì l'các tọa đ ộ với góc diêm o F tương ứng Kí hiệu giao đ i ế m d n g thẳng I r M , tâm chiêu N K h i NO // r N I ' //1 G i ả sử X 306 điểm đường thẳng Ì, X' ảnh cùa l'(h.237) Bởi vỉ AOXN - A l ' N X ' , nên ox _ I'N „ , _ O N I'N —— = -—tức I X = — — — v ON rx* ox Do đó, nêu hướng dương trục tọa độ nêu hướng tia OM I ' M , x' = -.trong X A = ON.I'N, X x'là tọa độ điểm X X' tương ứng đường thẳng I p Suy ra, nêu a', b \ c\ p'là tọa độ điểm A, Hình 237 B, c, p đường thẳng F, p' = - (a' + b' + c'), tức P'là tâm khối điểm A', B \ c Bởi đường thẳng Ì' m' song song, nên, dựa vào điểm À', B \ Cvà đường thẳng m', theo 29.52 ta dựng điểm p \ Dể làm viỞc trước hết ta dựng điểm M ' trung điểm đoạn thẳng A'B', sau chia đoạn thẳng M ' C theo ti sỗ Ì : Suy ra, theo 29.57, dựa vào điếm A, B, c dường thẳng m, ta dựng điếm p Ở ta chi viỞc ịặp lại bước dựng nêu coi đường thẳng m Ì song song ' 29.60 Giả sử ta tìm dược cách dựng cần thiết, tức nêu chu trình mà thực hiỞn bước dựng theo chu trình ln nhận trung điểm đoạn thắniỉ cho trước Ta thực hiỞn phép dựng xét phép biến đổi xạ ảnh giữ ngun đàu đoạn thẳng cho, trung điếm biến thành diêm khác Phép hiên hình chọn cho dường thẳng bị loại trừ khơng di qua bát điổm nhận qua bước dựng Ta thực hiỞn lại mội lăn tn theo chu trình nêu, mụi bước, ta gặp từ "lẫy điểm (đường thằng) bát kì", ta lẫy ảnh điếm (đường thẳng) mà lẫy thực hiỞn cách dựng thứ nhất, Bởi qua phép biên dổi xạ ánh dường thẳng biến thành dường thẳng, giao diêm đường thẳng thành giao điểm cát đường thắn?, hom theo cách chon phép biên đối xạ ảnh giao điểm ln luồn hữu hạn, nên mối bước cách dựng thứ hai ta nhận ảnh 307 kết cách dựng t h ứ nhất, cuối ta nhận k h n g phải trunc du m đoạn thẳng, mà ảnh Ta mâu Nhận xét Thực chất ta chứng minh mệnh đê sau : nêu tơn t i p h é p biên đ ổ i xạ ảnh biên hình A i , A n t h n h chinh nó, hình B khơniỉ biên t h n h nó, chi dựa vào hình A i , A n k h n g t h ể dựng dược hình B chi bờng thước ké 29.61 Bài tốn suyra trực t i ế p từ nhận xét k h i giải từ 29.37.a Phụ lục CÁC BÀI TỐN T ự G I Ả I Chứng minh rờng tâm o đường t r ò n n ộ i t i ế p A A B C chia đường phân A , A O _ b + c giác A A i theo t i sỗ —-— = —•— OAI a Trong hình thang A B C D n ộ i t i ế p d n g t r ò n t i ế p xú c với c n h ' b ê n A B C D t i đ i ế m K L Chứng minh r ă n g A X K B = C L L D Trong A A B C ké đường p h â n giác A A i B B | Chứng minh rờng khoảng cách từ điểm M đoạn thẳng A i B i đ e n đ n g thẳng A B bờng tổng khoảng cách từ M đ ế n đường thẳng A C Be T r ê n phàn kéo dấi dây cung K L đ n g tròn tâm o lay m ộ i đ i ể m A l kẻ tiếp tuyến ÁP A Q , M truníỊ đ i ế m đoạn thẳng PQ Chứng minh rờng M K O = MLQ a) Các dườnu c h é o A C BE ngũ giác đ ề u A B C D E cắt t i K Chứng minh rờng (Iuừng tròn ngoại tiếp ACKE l i ế p xú c v i dường thẳng Be b) G i ả sử a độ dài cạnh ngũ giác đ ê u , d độ dài dirừng c h é o Chứng minh rờng d = a +ad Chứng minh rờng đường tròn di qua đ i n h B Ccủa A A B C v tâm đường tròn n ộ i t i ẽ p nó, định đường thẳng A B A C dây cung bờng 308 Đường t r ò n Si ticp xúc với cạnh góc A B C điểm A C; dường tròn S2 t i ế p xúc với đ n g thẳng A C t i c qua đ i ế m B Hai đường tròn dó cắt t i đ i ể m M Chứng minh đường thẳng A M chia đơi đoạn thẳng BC Hai đường t r ò n cắt t i đ i ế m A B; M N tiếp tuyến chung chúng Chứni> minh đường thẳng A B chia đơi đoạn thẳnụ M N Hai đường t r ò n v i !âm O i Oa cắt t i điếm A B Qua đ i ể m A kỏ dương thẳng cắt hai dường t r ò n t i đ i ể m M i M2 Chứng minh rằng: BO?Mi = BO2M2 10 Ba đường t r ò n (ừng đơi t i ế p xúc ngồi với t i điểm A , B c Chứnii minh đường t r ò n ngoại t i ế p tam giác A B C vng góc với tát cá ba đường t r ò n 11 Cho đường t r ò n s đưìTne thẳng Ì k h n ? có đ i ể m chung T điếm p chuyển động theo dường thẳng Ì kẻ t i ẽ p tun P A v PB t i đường tròn s Chứng minh tất cá dây cung A B có đ i ế m chung 12 Chứng m i n h đ i ệ n tích tứ giác có đ n g c h é o k h n g v u n g góc bằng: - | a + c - b — d | tity> , a, b, c d độ dài cạnh liên t i ế p , B e , A A l > B B ] 309 18 Các điểm M N nằm cạnh AB BC tam giác đêu ABC, cho MN // AC Giả sử E trung điếm đoạn thẳng A N , D tâm A B M N Tính góc ACDE 19 Giả sử M N trung điếm cạnh CD DE lục giác ABCDEF p giao điểm đoạn thẳng A M BN a) Tính góc đường thẳng AM BN b) Chứng minh SABP = SMDNP 20 Trơn cạnh A B , B C , C A cùa A A B C lẫy cạc điểm p, Q , R tng ứng Chứng minh tam giác với đinh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APR, BQP, CQR đòng dạng với tam giác ABC 21 Cho hai đường tròn khơng đồng tâm Si S2 Chứng minh tồn (lúng hai phép vị tự quay với góc quay 90° biên Si thành S2 22 Trong AABC kậ đường phân giác A A i , B B i , co nêu Ầ = 12ơ°,thì BiÂiCi = 90° Chứng minh 23 Trong AABC góc A 120° Chứng minh từ đoạn thẳng dài a, b, b +c lập tam giác 24 Trên cạnh AABC dựng phía ngồi tam giác cân đồng dạng AiBC, ABiC ABCi (các cạnh AABC đáy chúng) Chứng minh đường thẳng A A i , BBi CCi đồng quỵ điểm 25 Chứng minh tổng bình phương độ dài hình chiêu cạnh tam giác đêu cạnh Ì lên đường thẳng bát kì 1,5 26 Bên AABC láy điểm o cho BAO : CAO =ACO : Beo = CBO : ABO Chứng minh o (âm đường tròn nội tiẽp tam giác dó 27 Các đuờng cao tam giác nhọn ABC cắt điểm H Chứng minh A H = Be cígA 28 Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm X đến đinh đa giác nhổ nhất, nêu X tâm 29 Chứng minh da giác đêu 30 cạnh đường chéo A9A28 đồng quy điểm A0A12, Ai A14 30 Diêm X nằm đường tròn ngoại tiễp n-giác đêu A i An Chứng minh XA? + +XAẨ = 6nR , R bán kính đường tròn ngoại tiễp 310 31 Trong lục giác lòi A B C D E F cạnh AB, CD E F song song với đường chéo CF, EB AD tương ứng Chứng minh diện tích tam giác A C E BDF 32 Cho tứ giác lơi ABCD Biẽt đường tròn đường kính AB CD tiẽp xúc với cạnh CD AB lương ứng Chứng minh BC AD 33 Chứng minh góc n° với lì số ngun khơng chia hết cho chia thành n phần thước kẻ compa 34 Góc A tứ giác ABCD khơng nhỏ hom 90°; F trung điếm cạnh BC Chúng minh 2FA < CD + BD 35 Chứng minh tam giác c (a +b)sin - 36 Giả sử a, ậ, Y góc tam giác Chứng minh + COS COS a + COS / ? + Y ^ -• 37 Đỗ dài đường cao hạ từ đinh góc vng c tam giác vng ABC h Chừng minh c + h a + b 38 Giả sứ la, lb, le tà đỗ dài đường phân giác tam giác, p nửa chu vi Chứng minh : a) la + lb 2 + lc s p b) la + lb + le £ Vĩ p 39 Giả sử M N trung điểm cạnh Be CD tứ giác lơi ABCD Chứng minh S A B C D < 4S.AMN 40 Phàn kéo dài đường phân giát AABC cắt đường tròn ngoại tiếp điếm Ai, Bi, C\ Chúm; minh SABC^S S A I B I Q 41 Giả sử a, p, Y góc tam giác Chứng minh : 2 a) cos a + cos /? + cos y + 2cosa cos/? cosy =1 • b) ctgerctg/ft + ctg/ĩ ctgy + ctgy ctga = l c) sin2a + sin lệ + sin2y = sinasin/S siny 42 Chứng minh mỗt đa giác lơi khơng thể phủ hai đa giác đơng dạng với với ti sỗ đơng.dạng k, < k < 43 Hãy cắt hình vng thành tam giác nhọn 311 44 Hai tứ giác khơng lồi chia mặt phàng làm nhiêu nhát phàn? 45 Hây ghép hình chữ nhật x qn đ m i n Ì X cho khơng cò đường khớp (xem hài 25.11) 46 Hãy vẽ đường eăp khúc k h é p kín gơm mắt tự cắt mắt lân 47 T r ê n mặt phang cho 100 đ i ể m , khơng có ba điểm thẳng hàng Xét tát tam giác với đinh điểm C h ú m ; minh sấ có khơng q 70% tam giác nhọn 48 Tơn hay k h n e hữu hạn điếm, mà đ ấ i với m ỗ i đ i ể m sấ có 1986 diêm cách khống Ì? 49 Cho n-giác lòi khơng có hai cạnh song song C h ú m ; minh tơn lại khơng n-2 cách chọn khác ba cạnh cho kéo dài chúm; tạo thành tam giác bao da giác cho 50 Hãy xếp mặt phảng điếm cho điểm sấ đinh cùa tam giác cân 51 Chứng minh lum giác đêu cắt t h n h phân từ ghép lại thành hai tam giác dồim dạng với tam giác ban đâu 52 Chứng minh với m ọ i sơ tự nhiên n > hình vng ln có t h ể cắt t h n h n hình vng 53 T r ê n mặt phang cho n điếm Ta đánh dâu tát trung đ i ế m đoạn thẳng với đâu diêm H ỏ i sơ điểm mặt phang bị đ n h dâu có thổ bao nhiêu? 54 Tơn hay khơng mội ngũ giác lơi khơng có hai cạnh song song đề nhữniỉ lấn gỗ có dạng ncũ giác t ấ I hè phủ kín lượt bè mặt mội hình vng lớn tùy ý hay khòm:? (các lãm gỗ có thề phủ q giới hạn cùa hình vng) 55 Chứnt; minh A A B C nhọn chi hên cạnh BC, CA va A B lay đ i ể m A i , B i Gi cho A A i = B B i - CCị 56 T r ê n mặt phầnu kỏ dường thẳng Chứng minh tất giao diêm chúng nằm vè phía dơi với sổ dường thẳng Bài khơng cho dường thẳng ? 57 jChứng minh l o điềm mặt p h ẳ r u đêu có thấ chia t h n h nhóm cho khơng có đường thắng có thổ chia nhóm tách khỏi nhóm Mĩ 58 Kỏ qua tâm o tam giác đêu ABC,mót đường thẳng cắt cạnh hay phân kéo dài chúng điếm A i , B i , Q Chứng minh số nghịch đảo O A ) , O B i , O C i tồng hai sơ 59 T r ê n mặt phăng kè n đường thắng, sơ dó khơng có hai d ò n g thẳng n o song song khơng có ba (lnti thẳng nao đòng quy Chứng minh chúng sê tạo - ( n — 3n + 2) đa giác (tức hình bị chặn) 60 T r ê n mại phang cho sỏ đường thẳng số điểm Chứntỉ m i n h ln tìm dưọc điếm khơrm trùng với điểm cho có khoảng cách từ đỏ đen điểm dã cho lớn khống a -h l đỏ đen (Iườnií thắng cho CÁC BÀI TỐN KHĨ Cho hình bình hành A B C D Đường tròn bàng t i ế p À A B D t i ế p xúc với phân kéo dài cạnh A D A B l i điếm M N Chứnẹ minh rằns giao j irune tun tủa A A B C cắt dường tròn ngoại l i ế p ưiốm A i , B i C i ; M la t r ọ n " tâm tam giác Chứng minh : M A + MB + Me < M A I + M B i +MC| T r ê n cạnh A B BC CD cùa tứ giác l i A B C D lấy đ i ế m K, L M G i ả sứ p giao điếm (ln tỉ thẳng BD L M , giao điếm dường thẳng A C K L Chứng minh giao diêm đường thẳntĩ M Q KP nằm t r ê n cạnh A D Cho SŨ đoạn thẳng song song, cho với đoạn thẳng sơ 'iu đ ó ln tìm dược đ n g t h ẳ n g cắt c h ú n g Chứng minh tòn dường thẳng cắt tẫt đoạn thẳng đ ó G i ả sử M'là ảnh cùa đa giác l i M qua p h é p vị tự t i số — Chứng m i n h tồn t i p h é p tịnh t i ế n đưa M ' vào M a) Chứng minh b ê n n-giác tơi v i n > luồn tìm m ộ t d i ê m k h n g thuộc tam giác n o v i đ i n h t i đ i n h cạnh cùa đa giác đ ã cho b) Chứng minh b ê n đa giác lơi cạnh ln tìm d i ê m khơng thuộc tứ giác n o v i đ i n h t i 4.đinh cạnh cểa da giác dã cho 10 Có thè tơ t r ê n mặt phẳng 1985 diêm màu đ ỏ 1985 đ i ể m màu xanh cho m ọ i đường thẳng qua hai đ i ể m khác màu l i chứa t h ê m m ộ i điểm bị t hay k h n g ? ( G i ả t h i ẽ t đ i ể m bị tơ đơi khác khơng nằm t r ê n đường thẳng) 11 M ộ t tam giác đ ê u bị cắt t h n h số hữu hạn tam giác Chứng m i n h có tam giác nhận có tát góc khơng vượt q 120° 12 Mặt phảng (lược chia t h n h phần n đường thẳng, số k h n g có đường thẳng d ò n g quy k h n g có đường thẳng song song C h ứ n g minh số p h â n có a) Khơng q n — g i c b) K h n g q n (n — 1)— giác c) V i n > có k h n g q h ì n h bị giới hạn n mắt mà sỗ k h n g chi có đoạn thẳng, mà có cá tia 13 Trong A A B C kẻ dường p h â n giác B E đường cao A H Chứng m i n h A E B - ° , C H E = 45° 14 H ỏ i cắt 2n —giác đ ê u t h n h nhát hình bình h n h ? 314 MỤC L Ụ C Lời nói đầu Lời người dịch Chng 15 : Các bất đẳng thức hình học (154 bài) Các k i ế n thức bán C t tốn m đàu § Đường trung tuyến tam giác (5 b i ) §2 Chu vi đa giác ngồi lớn chu'vi đa giác (3 bài) §3 Các tốn đ i số dựa vào bát đắng thức tam giác (8 b i ) §4 Tổng đ ộ dài dường c h é o tứ giác lõi l n tổng đ ộ dài cạnh đ ố i (6 bài) §5 C c tốn khác dựa vào bất đẳng thức tam giác (8 b i ) 10 10 §6 D i ệ n tích tam giác k h n g lán nửa d i ệ n tích đ ộ dài hai cạnh cùa (6 bài) 11 §7 Các bát đẳng thức với d i ệ n tích (12 b i ) l i §8 D i ệ n tích M ộ t hình nằm h ì n h k h c (9 bài) 12 §9 Các bất đẳng thức vê đường trung tuyến tam giác (4 bài) 13 §10 Các bất dẳng thức vê đường cao tam giác (5 bài) 13 § 1 Các bát đẳng thức vê góc lam giác (12 bài) 14 §12 Các bất đẳng thức tam giác vng (3 bài) 14 §13 Các bất đẳng thức liên hệ u l tam giác (6 bài) §14 Các bát dẳng thức vè d i ệ n tích tam giác (3 bài) §15 Đ i d i ệ n với cạnh lớn góc l n hem (6 bài) 15 15 16 §16 Các bát đẳng thức khác tam giác (8 bài) 16 §17 Đoạn thẳng nằm tam giác n h ỏ h n cạnh l n (5 bài) 17 §18 Đường vng góc ngắn đường xiên, đoạn thẳng ngắn đường gấp khúc (4 bài) 17 §19 Các bát đẳng thức với góc (7 bài) 18 315 §20 Đirờniỉ t»ẫp khúc hình vng (4 bài) ' 18 §21 Một hình nằm hình khác (4 bài) 19 §22 Phương pháp chiêu (3 bài) 19 §23 Các bất đắng thức khác (lo bài) 19 Các tốn tự giải (13 bài) 20 Lời ciải 21 Chutmg 16 : Các tốn cực trị (44 bài) Các kiên thức cư 71 Các tốn mở dầu 71 §1 Tam giác (14 bài) 72 §2 G ó c (3 bài) 73 §3 T ứ giác (6 bài) 73 §4 Các tốn khác (lo bài) 74 §5 Các tính chất cực trị đa giác (4 hài) 75 Các tốn tự giải (7 bài) 75 Lời giải 76 Chutmg 17 Các có nội dung tính t o n (58 bài) Các tốn mở đâu 92 §1 Định lí cosin (7 bài) 92 §2 Định lí sin (5 bài) 93 §3 Tính góc (9 bài) 94 §4 Tính độ dài cạnh đoạn thẳng (4 bài) 94 §5 H ổ thức u tố tam giác (7 bài) 95 §6 H ổ thức tam giác (4 bài) 96 §7 Tốn lổng hợp (6 bài) 96 §8 Các tốn khác (7 bài) 97 Các tốn tự giải (9 bài) QS Lời giải 116 Chiitmg 18 Khối tâm (20 bài) Các kiên thức §1 Các tính chát cư hàn khối tâm (3 bài) §2 Định lí vê nh'' m điếm (9 hài) §3 M m c n qn tính (4 bài) §4 Các lồn khác (4 bài) L i giải Chương 19 Ngun tấc cực trị (27 hài) Các kiên thức §1 Góc lán nhát nhỏ (6 bài) §2 Khống cách lớn nhỏ nhai (5 bài) §3 Dõi xứníỊ (3 bài) §4 H ệ thõng điếm đoạn thẳng (3 bài) §5 Bao lõi dưởnt; thẳng tựa (6 bài) §6 Các tốn khác Lời giải Chutmg 20 Nfjii}ên rác Diricie (25 bài) Các kiến thức ca §1 Sò hưu hạn điếm, đường thắng ( l i bài) §2 Góc đ dài (8 bài) §3 Diện tích (6 bài) Lởi giải Chinmu 21 Hình lồi hình khơng lồi (25 bài) Các kiên thức ca §1 Đa giác lồi (6 bài) §2 Định lí Kem (2 bài) §3 Bài tốn đẳng chu (7 bài) §4 Đa giác khơng lơi ( i n bài) • L i giải Chng 22 Tính chia hết Các bất biến Sự tơ màu (31 bài) Các kiên thức 168 §1 Tính chẵn lẻ (7 bài) 168 §2 Sự chia hết (2 bài) 170 §3 Sử dụng hai màu tơ để giải tốn (8 bài) 170 §4 Sử dụng sơ màu lơ đè giải tốn (3 bài) 171 §5 Các bát biên (5 bài) 172 §6 Các tốn tơ màu (6 bài) 172 L i giải 173 Chương 23 Mạng lurri n g u y ê n ( l i bài) Các kiên thức 185 §1 Đa giức với đinh điểm ngun (6 bài) 185 §2 Các tốn khác (5 bài) 186 Lời giải 186 C h u n g 24 C ắ t chia (41 bài) Các kiến thức 193 §1 Đẳng hợp ( l í ) bài) 193 §2 Cắt thành phân có tính chất đậc biệt (13 bài) 194 §3 S ỗ mánh cắt (ft bài) 195 §4 Tính chất c ú i mảnh nhận cắt (4 bài) 196 §5 Chia hình Ihành đoạn thẳng (4 bài) 196 §6, Các tốn khác (4 bài) 196 Lời giải 197 Chng 25 Phù (14 bài) Các kiên thức ' 213 §1 Phủ đoạn thẳng (2 bài) 213 §2 Phu đa giác (3 bài) 213 318 §3 G h é p q u â n đ m i n m ả n h g ỗ (6 b i ) 214 §4 Các p h é p phủ k h c (3 bài) 215 L i giải 215 Chng H ệ điểm, đoạn thẳng đường tròn (12 bài) §1 H ệ đ i ế m (6 bài) §2 H ệ đoạn (hẩng đường t r ò n 221 (6 b i ) L i giải 222 222 Chng 27 Các vấn dề khác Quy nạp, trương h ì n h , điếm bất biến, phàn ví dụ (13 bài) Các kiên thức 227 § Quy nạp h ì n h học (3 bài) 228 §2 Sử dụng trương h ì n h (2 bài) 228 §3 Các đ i ế m bất b i ế n (2 b i ) 228 §4 Các phản ví dụ (6 b i ) 229 L i giải 229 Chng 23 Thép nghịch đảo (56 bài) Các kiên thức CƯ 234 §1 Các t í n h chất p h é p nghịch đảo (4 b i ) 236 §2 Á p dụng p h é p nghịch đảo (7 bài) 236 §3 Dựng (lng tròn (4 bài) 238 §4 P h é p vị l ự p h é p nghịch (lảo (5 bài) 238 §5 Chuỗi dường tròn (2 bài) 240 §6 Khoảng cách hai đ i m qua p h é p nghịch đ o (7 bài) 240 §7 T i ẽ p tuyến t i đường tròn (3 bài) 241 §8 T ứ giác nội-ngoại l i ế p (4 bài) 241 §9 Da giác nội ticp (2 bài) 242 §10 D ự n g hình compa (6 bài) 242 319 Các ontự giải (12 bặt) Lùi giải L"htnmg 2>.:k t h i ế t diện c i r í c P h é p b i ế n đ ổ i t u y ế n t í n h v p l é p h i ế n đổi x ả n h (61 b i ) §1 Các hétđiện c n i c ( b i ) §2 Phe? lỗi đ ổ i tun tính ( l i bài) §3 Sử dỊỊj )hép hiên đổi tuyển tính để giải tốn (6 bài) §4 Phê) lõi đ ổ i xạ ảnh (10 bài) §5 Sứ cMg i i ẽ n đ ổ i xạ ảnh đổ giải tốn (lo bài) §6 Dựrg ìrh chi thước kẻ (7 bài) §7 Sử ứịỉg itắp biên đổi xặ ảnh để giải tốn dựng hình ch dùighrớc kẻ (3 bài) §8 KhởiỊttể dựng đư c chi đùng thước kẻ (2 bài) Lời giải Phụ lục: 'ÁI tốn tự giải (60 bài) Các tan khó (Ĩ4 bàit [...]... dài các đoạn thẳng là ai < a2 < a3 < 34 < as Nếu tái củ cá te lam giác có the dựng được từ các đoạn thăng dó không nhọn, thì a3 > ai" + ai : U4 > a2 +• -di và H5 > a 3 + ỈM Do đỏ as > a 3 + a i > ( a i + à: ) + (a2 -H+a3 ) ^ 2ai + 3a2 N h ư n g a r + 32 > 2aia2, nên 2ai + 3a2 > ai + 2aia2 + a2 = - Ca Ì + a2) Ta được as > (ai + •ái)" mâu thuân với bat đang thức tam giác 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5.15 Cách... Các bất đẳng thức về các góc của tam giác 15.67 a ì s i n ị < a/2Vbc 2 ; b) t g £ < a/2ha 2 1 15.68 2R * ~ r sin — (Ì - sin — ) 2 2 15.69 coscr + cos/? + cosy < 3 /2 15.70 3r/R < cos a + cos/3 + cosy < 3 /2 15.71 s i n ậ s i n Ệ s i n Z < 1/8 2 2 2 15. 72 a) a + b + c < 3 V J R ; b) sina + sin/? + s i n / < 3 V3 /2 15.73 a) s i n Ẹ + s i n ặ + s i n ! < 3 /2; 2 2 2 b) c o s £ + cosỂ + cosZ < 3V3 /2 2 2. .. đẳng thức này xảy ra khi 2 và AO = BO Tương tự 2 S B O C < - (BO + 2 cò ), 2 2 2 2 2 2 S C O D ^ - (CO + DO ), 2 SDOA s - (DO + AO ) Cộng các bất đẳng thức 2 2 này Lại ta được 2S = 2( SAOB + S B O C + SCOD + SDOA) s A O + B O + C 0 + + D 0 , và đẳng thức xảy ra chi khi AO = BO = c o = DO và AOB = BÓC = = COD = DOA = 90° , tức khi ABCD là hình vuông và o là tâm của nó 2 2 2 2 15.37 Khône tôn tại Giả... — , 2 24 X + Z x + y ,, b = —•—, c = — — , tức là cân phải chứng minh xyz< 2 2 2 2 2 2 2 ... đ ợ c 2 2 2 mi = 2b + 2c - a 2 Tương 4mi = 2a + c - b , m ễ = 2a + b - c Suy ( m + mb =3(a + b + c ) > a + b + c + 2( ab + be +ca) = (a + b + c) a 2 2 2 lự + m b) Bởi a = 2R sina, b = 2Rsin/3,... nhọn, a3 > ai" + : U4 > a2 +• -di H5 > a + ỈM Do đỏ as > a + a i > ( a i + à: ) + (a2 -H+a3 ) ^ 2ai + 3a2 N h n g a r + 32 > 2aia2, nên 2ai + 3a2 > + 2aia2 + a2 = - Ca Ì + a2) Ta as > (ai + •ái)"... giản ước, ta diUTỢC 2 2 2 2 X y + y z + z X > X y z + y xz + z xy 2 „ Banc cách cộng bat đăni> thức X XV < Ì - X 2y 2 Ì (y + z ); y xz < — y 2 z xy < - z ( x 2 (X 2s + z ) 2 + y ) , ta điêu phải