Chuyên đề: Phương trình vô tỉ PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Giải phương trình sau: 1) x2 − 4x + = x + 2) x − 2x + = − x 3) ( x − 3) x − = x − 4) 3x − x + = x − 5) x − 3x + − − x = 6) 8) − 1− x = − x 9) 7) 3x − 3x − = 16) x + + x + = x + 11 x + − − x = 2x − y − 14 − 12 − y = 18) x + 3x + + x + x + = x + x + 20) x2 + − x2 − = 10) 13) 11) 14) 17) x +1 + x + + x + = x − − 3x − − x − = 3x − x + = x − x + + x − = 5x 12) 15) x −1 − x − = x − x + − − x = − 2x 3x + x + 16 + x + x = x + x + 19) 21) x +1 = x + − 3x + x + − x + x + = PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng Bài Giải phương trình sau: 1) ( x + 1)( x + 4) = x + x + 28 ) A.B + A.B + C = 7) 2) x + 10 x + = − x − x ( x − 3) + 3x − 22 = x − 3x + 3) x( x + 5) = 23 x + x − − 5) − (4 − x)(2 + x) = x − x − 12 6) (4 + x)(6 − x) = x − x − 12 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1 + x)(3 − x) = x − x + + m b) − x + x + ( − x )( x + 1) = m − 4) x − x + = x − x + Bài Cho phương trình: − x + x + (3 − x)( x + 1) = m − a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x +1 Bài Cho phương trình: (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) (Đ3) =m x−3 a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: A ± B ± Bài Giải phương trình sau: x − x2 = x + 1− x a) (QGHN-HVNH’00) + ( A± B x = 2x + +4 2x (Đ36) b) c) (AN’01) x + + x − + 49 x + x − 42 = 181 − 14 x e) x + ) +C = x + + x + = 3x + 2 x + 5x + - g) (TN- KA, B ‘01) x + z − + z + + ( z − 1)( z + 3) = − z i) x+4 + x−4 = x + x − 16 − d) x = 2x + −7 2x x − + x − = x − + 3x − x + (KTQS‘01) + x + − x − (1 + x )( − x ) = a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình: + x + − x − ( + x )( − x ) = m (Đ59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a để PT sau có nghiệm: + x + − x − ( + x )( − x ) = a Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ĐK cần đủ) b) Tìm a để phương trình cho vô nghiệm? h) PHAN ANH Chuyên đề: Phương trình vô tỉ Dạng 3: Một số dạng khác ( 1) 9( x + 1) = ( 3x + ) − 3x + ( 4) 10 x + = x − x + x ) 2) x − x + = − ) 5) x4 + x2 +1 x − x2 −1 + x + x2 −1 = 3) 6) x − = x + 3x − 6x 12 x 12 x − − 24 =0 x−2 x−2 x−2 35 12 3x 1− x + x 3x = − ⇔ = −1 8) 2 2 1− x − x x −1 1− x 1− x 4x x x +1 = 2x + 10) 11) −2 = (Đ141) x +1 x 1− + 2x Dạng 4: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu 1) ( x − 1) x + = x + x + 2) 2(1 − x ) x + x − = x − x − 3) x + x + 12 x + = 36 7) x + = ( 4) + x − 2x = 4x − − 2x + 7) 2x + x −1 1 − 1− −3 x − = x x x ) 5) + x − = x + − x + − x 6) sin x + sin x + sin x + cos x =   2 x+ y + cos( x + y )  = 13 + cos ( x + y ) 8) 3 x − x sin   PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1) 2) 3) 4) 8) x + x + 15 = x + + x + − x2 + 7x + 5) = x (ĐHDL ĐĐ’01) ( x + 1) + 3n ( x − 1) + 2n x − = (với n ∈ N; n ≥ 2) x+2 6) ( x + 2)( x − 1) − x + = − ( x + 6)( x − 1) + x + x2 − x − − x − + = x + x + 10 x + 21 = x + + x + − n 7) x − x − − ( x − 1) x + x − x = (1) (HVKT QS - 2001) PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC (ĐHSPHN2’00) x( x − 1) + x ( x + 2) = x 2 x − 2002 x + 2001 + x − 2003x + 2002 = x − 2004 x + 2003 x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) x ( x − 1) + x ( x − 2) = x( x + 3) 8) x − 3x + + x − x + = x − 5x + 4 x( x − − x( x + 2) = x x − 3x + + x − x + ≥ x − x + x + 3x + + x + x + = x + x + (Đ8) (BKHN- 2001) PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x − x + − x − 10 x + 50 = x + − x −1 + x + − x −1 = x + x −1 + x − x −1 = x+3 x + + 2x − + x − − 2x − = 2 x + x −1 − x − x −1 = x − 2x + = − x x + 15 − x − + x + − x − = (HVCNBC’01) x − 4x − + x + 4x − = PHAN ANH (Đ24) x + = x + + Chuyên đề: Phương trình vô tỉ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Giải phương trình sau: 1) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) 21 + x + 21 − x 21 = x 21 + x − 21 − x 4) 5) 2) x( x − 1) − x( x + 2) = x 7− x −3 x −5 = 6− x 7− x +3 x −5 6) 2x + − 2x −1 = x 3) x − 3x + + x − 4x + = x − 5x + 7) x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 8) x − x + − x − = x − x − − x − 3x + 9) x − 2003 x + 2002 + x − 2004 x + 2003 = x − 2005 x + 2004 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: 1) x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 2) 3) x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + 5) x − x + 12 = − x − 12 x + 13 8) − x + + x = − 2x + 2x + + 2x − 2x 10) x − x + = x − x + + 3x − x 6) x − x + 15 = x − x + 18 x − x + 11 4) x − x + 3,5 = (x 11) − x + 2)( x − x + 5) 2( − x + x ) = − x + x x − x + + x − = 7) 9) x − + − x = x − x + 11 (Đ11) x − + 10 − x = x − 12 x + 52 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại ( 34 − x ) x + − ( x + 1) 34 − x = 30 1) − x = − x − (ĐHTCKTHN - 2001) 17) 34 − x − x + 2) − x + x − + x − x = 18) + − x ( − x ) − (1 + x ) = + 3) x + x + − x + x = (ĐHDL HP’01) [ 4) 5) 6) 7) 8) 9) − x + x −1 = x − 3x + + x − 3x + = 3 x + 34 − x − = (Đ12) x + 97 − x = 14 + x + 12 − x = ( x + 8) + ( x − 8) + x − 64 = 10) x + 17 − x + x 17 − x = 1 + =2 11) x 2− x 12) + x + − x = 65 13) x + = x − + 1 14) + x + − x = 2 15) + tgx + − tgx = 16) 24 + x + 12 − x = PHAN ANH ] − x2 19) + x + x + − x − x = 20) 21) ( 3x + 1) + ( 3x − 1) + x − = ( − x ) + ( + x ) − ( − x )( + x ) = 3 22) x + x + + + x − x + = x + + 23) sin x + cos x = 24) sin x + − sin x + sin x − sin x = 25) 1 − cos x + + cos 2x = 2 26) 27) 28) 29) 10 + sin x − cos x − = 17 + x − 17 − x = (DL Hùng vương- 2001) x − + = − x (CĐ mẫu giáo TW1- 2001) x + x − + x + 8x − = (Đ142) = 30 30) x + x + − x − x + = ( ) 31) x 35 − x x + 35 − x 32) 3x + 5x + − 3x + 5x + = 33) x + 5x + − 2 x + x − = 34) 47 − 2x + 35 + 2x = Chuyên đề: Phương trình vô tỉ Dạng 2: Đưa phương trình cho hệ đối xứng loại hai 1) x + = 23 x − 2) x + = 33 3x − 3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4) x − = x + 5) − x + = − x 6) x + − x = 7) − + x = x 4x + , x > (ĐHAN-D) 9) − + x = x 10) x − = ( x − 3) + 28 11) x + + x = 12) x − 33 3x + = 13) x + + x = 14) + + x = x 8) 7x + 7x = PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM Các bước:  Tìm tập xác định phương trình  Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) biểu thức  Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính đồng biến(nbiến) hàm số để kết luận nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: x + + x + + x + = (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = x + + x + + x + Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) + + ( x + 2)   3 > ; ∀ x ≠ − , − , − 2 (2 x + 3) 1 2 3      ,−1 ∪  − 1,−  ∪  − ,+∞  2      Suy hàm số f(x) đồng biến tập M=  − ∞,−  ∪  − Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( − ) = 3; f (− ) = −3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞ − f’(x)  − -1  +∞  F(x) +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = ⇔ x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: 1) ( Từ 2, ta có tập ( 3) ( x + 1) 2000 + ( x + 1) + 1999 ) + x(2000 + ) x + 1999 = 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ( ) m 1+ x2 − 1− x2 + = 1− x4 + 1+ x2 − 1− x2 PHAN ANH ) 2 2) ( x + 1)  + ( x + 1) +  + 3x + x + = x + + x + = 2x + + 2x 4) x + + x + 19 = y + + y + 19 Chuyên đề: Phương trình vô tỉ 6) (ĐH.A’08) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x + 24 − x + − x = m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ Ví dụ Giải phương trình sau: x + (1 − x ) = x − x (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với ≤ t ≤ π (A) Khi phương trình (1) trở thành: cos t + (1 − cos t ) = cos t 2(1 − cos t ) (3) Với t ∈ (A), ta có: (3) ⇔ cos t + sin t = cos t sin t ⇔ ( cos t + sin t )(1 − sin t cos t ) = cos t sin t ( 4) Đặt X = cost + sint (5), X ≤ (B)⇒ X2 = + 2sint.cost ⇒ sint.cost = X −1 Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:  X −1 X −1   X 1 − = ⇔ X − X = X −1 ⇔ X + X − 3X − =    ( ) ( ) X = ⇔ X − X + 2X +1 = ⇔  ⇔  X + 2 X + = ( )( ) Ta thấy có nghiệm X = X =  X = − −1   X = − + X = - + thoả mãn điều kiện (B) + Với X = , thay vào (5) ta được: π π π  π  π sin t + cos t = ⇔ sin  t +  = ⇔ sin t +  = ⇔ t + = + k 2π ⇔ t = + k 2π , k ∈ Z 4  4  4 Vì t ∈ (A) nên ta có t = + Với X = - π π Thay vào (*) ta được: x = cos = (thoả mãn tập xác định D) 4 + 1, thay vào (5) ta được:  π  π  − +1 sin t + cos t = − + (**) ⇔ sin  t +  = − + ⇔ sin  t +  = 4 4   Khi đó, ta có: 2  − + 1   π   π  = ± 1− − 2 = ± 2 −1 ⇒ cos t +  = ± − sin  t +   = ± −  4  2      ⇔ cos t cos π π 2 −1 − sin t.sin = ± ⇔ ( cos t − sin t ) = ± 2 − ⇔ cos t − sin t = ± 2 − 1(6) 4 2 Từ (**) (6) suy cost = PHAN ANH 2 −1  π cos t +  = ±  4 − +1± 2 −1 − +1± 2 −1 Thay vào (5), ta x = 2 Chuyên đề: Phương trình vô tỉ Nhưng có nghiệm x = − + − 2 − thoả mãn tập xác định D Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = Bài tập tương tự 3) x = − + − 2 − 2 2) x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) 1) x − x = − x (HVQHQT- 2001) + 2x − x = − 2x 2 4) + − x Một số tập tham khảo: Giải phương trình sau: x−2 = x−4 1) + x = − x + 8) 2x − 2) 25 − x = x − 9) 3x + − x + = [ (1 − x ) − (1 + x ) ]=2 + − x2 15) − x − − x = − − x 16) 5x − − 3x − − x − = 1− x4 − x2 = x −1 3) + 2x − x = x − 10) 11 − x − x − = 17) 4) x −1 = x2 −1 11) + x − = − 16 − x 18) 6) x − 2x + = − x 13) x + − x + 14 = x − 20) − x − = 13 − x 12 − x + + x = 7) x + x − = x − 14) − x + x + − x = − x 21) x − + x − = x − Giải phương trình sau: 1) x − = x − x + 12 + x 9) x + ( x + 1)(2 − x) = + x 2) ( x + 5)(2 − x) = x + x 10) 3) x − x − x + = x + 11) (4 x − 1) x + = 2( x + x ) + 4) ( x + 1)( x + 4) − x + x + = 12) x + x + = ( x + 3) x + 5) x + + − x = + ( x + 3)(6 − x) 13) 2( x − 1) x + = x + x − 6) + x − x = 3( x + − x ) 14) x − 3x + + x + x + = 7) 15) x + + x + x + x + = x + 3x + 19 1) x +3 = x −3 x + + x + + 16 = x + 2 x + x + 3 Giải phương trình sau: (ẩn phụ → hệ) 2) x + x + + x + x + = x + x + 13 − x2 + x + + x2 + x = 3) x + + 10 − x = Giải phương trình sau (Đánh giá) 4) 3x − x + 15 + 3x − x + = 1) x − x + + x − = 3) x − + − x = x − x + 18 2) − x + 23 − x = 4) x + x + − x + − x = Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x − + − x − ( x − 1)(3 − x) = m 2) x + + − x = a 4) ( x + 2)(4 − x ) + x = x − m Tìm m để phương trình có nghiệm 1) − x + x + = m 4) x + − x = m 2) x + − x = m 5) − x + 23 − x = m 3) x − + x − + − x + − x = m 6) x + x + − x + − x = m Giải phương trình, hệ phương trình: a) − x + x − = x − 12 x + 38 b) − x + x − = x − 12 x + 14 c) x + x + 2004 = 2004  x + + y =  x + + y = 2x 1 d)  e)  f) + + =2  x + y = 1+ x 2x  x + y + = PHAN ANH ... (HVCNBC’01) x − 4x − + x + 4x − = PHAN ANH (Đ24) x + = x + + Chuyên đề: Phương trình vô tỉ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Giải phương trình sau: 1) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) 21 + x + 21 − x... Chuyên đề: Phương trình vô tỉ 6) (ĐH.A’08) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x + 24 − x + − x = m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ Ví dụ Giải phương trình sau: x +... −1 Thay vào (5), ta x = 2 Chuyên đề: Phương trình vô tỉ Nhưng có nghiệm x = − + − 2 − thoả mãn tập xác định D Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = Bài tập tương tự 3) x = − + − 2 − 2 2)