PHÒNG GIÁO DỤC THÁI THỤY ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN : TOÁN (Thời gian làm : 120 phút) Bài (2 điểm) Không dùng máy tính, tính :  2  2  2 a) A = 6. − ÷+ 12. − ÷ + 18. − ÷ ;  3  3  3 b) B = (18.124 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + + + … + 5896) Bài (2 điểm) Cho a, b, c số Hãy thu gọn đơn thức sau xác định bậc chúng :  2 a) M = − (a − 1)x y z  ;   2 n −1 b) N = (ab xy z )(− b cx z 7− n ) Bài (2 điểm) Tìm số nguyên x để Q = nhận giá trị số tự nhiên x−5 Bài (2 điểm) Cho a, b, c, d khác thoả mãn điều kiện : 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b 2c d a+ b b+ c c+ d d+ a + + + Hãy tính : P = c+ d d+ a a+ b b+ c Bài (2 điểm) Chứng minh giá trị biểu thức f(x) = ax + bx + c (a, b, c số nguyên) chia hết cho 2007 với x nguyên hệ số a, b, c chia hết cho 2007 Bài (8 điểm) Cho góc vuông xOy Các điểm A, B thuộc tia Ox Oy Trên tia đối tia Ox lấy điểm E, tia Oy lấy điểm F cho OE = OB OF = OA Chứng minh AB = EF AF // BE Gọi M, N trung điểm AB EF a) Chứng minh : OM = ON ; b) So sánh ∆EON ∆BOM ; c) ∆MON tam giác ? Vì ? Học sinh : …………………………………………………………Số báo danh : ………… Trường THCS : ……………………………………………………………………………… Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (2 điểm)  2  2  2    2  2  a) A =  − ÷+ 12  − ÷ + 18  − ÷ =  − ÷1 +  − ÷+  − ÷   3  3  3          4 = − 1 − + ÷= − 4.1 = − ;  3 72 + 4 +49.436.2 44 +43.5310.6) 4 43 : (11+44 + 44 4+45869) 43 b) B = (18.124 M N M = 18(124 + 436 + 5310) = 18.5870 ; Tổng N có (5869 – 1) : + = 1957 số hạng nên N = ⇒ B= M:N = (1 + 5869).1957 5870.1957 = 2 2.18.5870 36 = 1957.5870 1957 Bài (2 điểm) −1  a) M =  (a − 1)x y z  = − (a − 1) 5.x y 20 z10 32 2  - Nếu a = M = ⇒ M bậc - Nếu a ≠ bậc M 45 b) N = (ab xy z n−1 )(− b3cx z 7− n ) = − ab5c.x y 2z - Nếu ba số a, b, c ⇒ N = ⇒ N bậc - Nếu a, b, c ≠ ⇒ Bậc N 13 Bài (2 điểm) Q= nhận giá trị nguyên x−5 ⇔ M( x − 5) ⇔ Q số tự nhiên Từ : x − ∈ { ± ; ± ; ± 9} x−5 >0⇒ x − ∈ { ; ; 9} x − = ⇒ x = ⇒ x = 36 ; x − = ⇒ x = ⇒ x = 64 ; x − = ⇒ x = 14 ⇒ x = 196 Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình Thử lại, giá trị thoả mãn Vậy Q nhận giá trị nguyên với x ∈ {36 ; 64 ; 196} Bài (2 điểm) 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = Ta có: a b c d 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d − 1= − 1= − 1= −1 ⇔ a b c d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a + b+ c+ d = = = ⇔ (1) a b c d − Nếu a + b + c + d ≠ từ (1) suy a = b = c = d Do : P = + + + = ; − Nếu a + b + c + d = ⇒ (a + b) = −(c + d) (b + c) = −(a + d) Do : P = −1 − − − = −4 Bài (2 điểm) Vì f(x) M2007 ∀x nên ta có: f(0) = c M2007, : f (1) = a + b + c M2007 f (1) + f (- 1) = 2(a + c) M2007 ⇒   f (- 1) = a - b + c M2007 f (1) − f (- 1) = 2b M2007 a M2007 (do c M2007) a + c M2007 ⇒ (do M2007) ⇒  b M2007 b M2007 Vậy a ⋮ 2007 , b ⋮ 2007, c ⋮ 2007.) Bài (8 điểm) * Chứng minh AB = EF Xét ∆OAB ∆OFE có: OA = OF (giả thiết) · · AOB = FOE = 900 OB = OE (giả thiết) ⇒ ∆OAB = ∆OFE (c.g.c) Suy AB = EF * Chứng minh AF // BE · · ∆OAF ∆OBE vuông cân tại O nên OBE = OFA = 450 Hai góc ở vị trí so le nên AF // BE Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình a, b) Vì AB = EF (chứng minh trên) nên AB : = EF : hay BM = EN Xét ∆OMB ∆ONE có: OA = OF (giả thiết) µ1= E µ (vì ∆OAB = ∆OFE) B BM = EN (chứng minh trên) ⇒ ∆OMB = ∆ONE (c.g.c) Do OM = ON c) Vì OM = ON (chứng minh trên) nên ∆OMN cân tại O Chú ý: Điều kiện đề bài nêu chưa chặt che Nếu OA = OB M, O, N thẳng hàng, không tồn tại ∆OMN Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình ... f(x) M2007 ∀x nên ta có: f(0) = c M20 07, : f (1) = a + b + c M2007 f (1) + f (- 1) = 2(a + c) M2007 ⇒   f (- 1) = a - b + c M2007 f (1) − f (- 1) = 2b M2007 a M2007 (do c M2007) a + c M2007... M2007 ⇒ (do M2007) ⇒  b M2007 b M2007 Vậy a ⋮ 2007 , b ⋮ 20 07, c ⋮ 2007. ) Bài (8 điểm) * Chứng minh AB = EF Xét ∆OAB ∆OFE có: OA = OF (giả thi t) · · AOB = FOE = 900 OB = OE (giả thi t) ⇒ ∆OAB... Sưu tầm giới thi u: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình a, b) Vì AB = EF (chứng minh trên) nên AB : = EF : hay BM = EN Xét ∆OMB ∆ONE có: OA = OF (giả thi t) µ1=