Đề thi thử đại học năm 2010 TRNG THPT NINH CHU Môn toán - Khối A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Đề 64 Phần A : Dành cho tất thi sinh Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x 3x2 + m 2) Biện luận theo m số nghiệm phơng trình : x x = x Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phơng trình : (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx log x + y = 3log8 ( x y + 2) 2) Gii h phng trỡnh: x2 + y + x2 y2 = Câu III(1,0 điểm ) Tính tích phân : ( x + 4)dx x +1 + x + Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Câu V (1,0 điểm ) Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 2-x + 2-y +2-z = 1.Chứng minh : 4x 4y 4z + + x + y + z y + z+ x z + x + y x + 2y + 2z Phần B ( Thí sinh đợc làm hai phần ( phần phần 2) Phần ( Dành cho học sinh học theo chơng trình chuẩn ) Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC vi A(1; -2), ng cao CH : x y + = , phõn giỏc BN : x + y + = Tỡm to cỏc nh B,C v tớnh din tớch tam giỏc ABC 2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng : x y2 z x y z +1 d1 : ; d2 : = = = = 12 a) Chứng minh d1 d2 song song Viết phơng trình mặt phẳng ( P) qua d1 d2 b)Cho điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đờng thẳng d1 cho IA +IB đạt giá trị nhỏ Cõu VII.a (1 im): Gii phng trỡnh sau trờn s phc C: z z + z2 + z +1 = Phần ( Dành cho học sinh học chơng trình nâng cao ) Cõu VI.b (1.0 im) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đờng thẳng d1 : x y = d : x + y = Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng : x y z D1 : = = , 1 x = 2t D2 : y = z = t a) Chứng minh D1 chéo D2 v viết phơng trình đờng vuông góc chung D1 D2 b) Viết phơng trình mặt cầu có đờng kính đoạn vuông góc chung D1 D2 2004 2008 + C2009 + C2009 + + C2009 + C2009 CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tớnh tng: S = C2009 .Hết H v tờn SBD Giám thị coi thi không giải thích thêm P N Cõu I a) im Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = x 3x + Tp xỏc nh: Hm s cú xỏc nh D = R 0,25 x = S bin thiờn: y' = 3x x Ta cú y' = x = yCD = y ( ) = 2; yCT = y ( ) = Bng bin thiờn: x 0,25 0,25 0 + y' + + + y th: Hc sinh t v hỡnh b) 0,25 m Bin lun s nghim ca phng trỡnh x x = x theo tham s m m 0,25 2 Ta cú x x = x ( x x ) x = m,x Do ú s nghim ca phng trỡnh bng s giao im ca y = ( x x ) x ,( C' ) v ng thng y = m,x f ( x ) x > Vỡ y = ( x x ) x = f ( x ) x < nờn ( C' ) bao gm: + Gi nguyờn th (C) bờn phi ng thng x = + Ly i xng th (C) bờn trỏi ng thng x = qua Ox Hc sinh t v hỡnh Da vo th ta cú: + m < : Phng trỡnh vụ nghim; + m = : Phng trỡnh cú nghim kộp; + < m < : Phng trỡnh cú nghim phõn bit; + m : Phng trỡnh cú nghim phõn bit 2) Đồ thị hàm số y = ( x x 2) x , với x có dạng nh hình vẽ : 1- -2 Câu II : 1)(2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx (2cosx-1)(sinx+cosx)=0 (1) cos x = (2) sin x + cos x = (1) cos x = x = + k 2 (2) tan x = x = + k (k Z) m 0,25 0,25 0,25 1+ y=m 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vy nghim phng trỡnh x = + k , x = + k (k Z) , iu kin: x+y>0, x-y>0 log x + y = 3log8 (2 + x y ) x+ y = 2+ x y 2 2 x2 + y2 + x2 y2 = x + y + x y = 0,25đ u v = (u > v) u + v = uv + u = x + y u + v2 + t: ta cú h: u + v + v = x y uv = uv = 2 u + v = uv + (1) (u + v) 2uv + Th (1) vo (2) ta cú: uv = (2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ uv + uv + uv = uv + uv + = (3 + uv ) uv = uv = u = 4, v = (vỡ u>v) T ú ta cú: x =2; y =2.(T/m) Kt hp (1) ta cú: u + v = KL: Vy nghim ca h l: (x; y)=(2; 2) Câu III 1) Tính tích phân I = ( x + 4)dx x +1 + x + 0.25đ Đặt t = x + t = x + (1) 2tdt = dx ; (1) x = t Khi x=-1 t = ; Khi x=3 t = 2 2 (t + 3).2tdt 20t + 12 20t + 12 2 Ta có I = I= ( 2t ) dt + dt dt = ( t 6t ) + 2 t + t + t + t + 3t + t + 0 0.5đ 0.25đ 28 =-8+ dt dt = - + 28ln2 ln3 t + t + 0 Câu IV : S H N M D A Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD BC AB B C có BM đ BC BM Tứ giác BCMN hình thang vuông Ta có : ờng cao 0,25đ BC SA a a Ta có SA = AB tan600 = a , MN SM MN =2 = = AD Suy MN = 2a 4a BM = 3 SA 2a a 3 Diện tích hình thang BCMN : 0,25đ 4a 2a + ữ 2a 10a BC + MN BM = = S = ữ 2 ữ 3 Hạ AH BM Ta có SH BM BC (SAB) BC SH Vậy SH 0,25đ ( BCNM) 0,25đ SH đờng cao khối chóp SBCNM AB AM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = = SB MS ã Vậy BM phân giác góc SBA SBH = 30 SH = SB.sin300 = a 10 3a3 SH ( dtBCNM ) = 27 -x -y Câu V Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : + +2-z = Chứng minh : Gọi V thể tích chóp SBCNM ta có V = 4x 4y 4z + + x + y+ z y + z+ x z + x + y x + 2y + 2z Đặt 2x = a , 2y =b , 2z = c Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc 2 Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : a + b + c a + b + c ( *) a + bc b + ca c + ab ( *) a3 b3 c3 a+b+c + + a2 + abc b + abc c + abc 3 a b c3 a+b+c + + (a + b)(a + c) ( b + c)( b + a) (c + a)(c + b) a3 a+b a+c Ta có + + a (a + b)(a + c) 8 ( 1) 0,25đ ( Bất đẳng thức Cô si) b3 b+c b+a + + b ( 2) (b + c)(b + a) 8 c c+a c+b + + c ( 3) (c + a)(c + b) 8 Cộng vế với vế bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh Tơng tự Phần B (Thí sinh đợc làm phần I phần II) Phần I (Danh cho thí sinh học chơng trình chuẩn) Chng trỡnh Chun Cõu Ph Ni dung A n CõuV 1(1 + Do AB CH nờn AB: x + y + = H ,0) N Ia x + y + = Gii h: ta cú (x; y)=(-4; 3) (1,0) x + y +1 = Do ú: AB BN = B (4;3) + Ly A i xng A qua BN thỡ A ' BC - Phng trỡnh ng thng (d) qua A v B Vuụng gúc vi BN l (d): x y = Gi I = (d ) BN Gii h: x + y + = Suy ra: I(-1; 3) A '(3; 4) x 2y = 0,25đ 0,25đ 0,25đ im 0,25đ C 0,25đ 0,25đ x + y + 25 = x y +1 = + Phng trỡnh BC: x + y + 25 = Gii h: 0,25đ 13 Suy ra: C ( ; ) 4 450 d ( A; BC ) = 7.1 + 1(2) + 25 = , + 12 1 450 45 = Suy ra: S ABC = d ( A; BC ).BC = 2 4 ur 1) Véc tơ phơng hai đờng thẳng lần lợt là: u1 (4; - 6; - 8) uu r u2 ( - 6; 9; 12) ur uu r +) u1 u2 phơng +) M( 2; 0; - 1) d1; M( 2; 0; - 1) d2 + BC = (4 + 13 / 4) + (3 + / 4) = Câu VIIA Vậy d1 // d2 r *) Véc tơ pháp tuyến mp (P) n = ( 5; - 22; 19) (P):uu5x 22y + 19z + = u r 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 Gọi A1 điểm đối xứng A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB A1B IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi A1, I, B thẳng hàng I giao điểm A1B d Do AB // d1 nên I trung điểm A1B 0,25đ 0,25đ 0,25đ 36 33 15 *) Gọi H hình chiếu A lên d1 Tìm đợc H ; ; ữ 29 29 29 A đối xứng với A qua H nên A 43 95 28 ; ; ữ 29 29 29 65 21 43 ; I trung điểm AB suy I ; ữ 29 58 29 0,25đ A d1 Cõu CõuVIIa (1,0) Ni dung B H I A1 im Cõu VII.a (1 im): Gii phng trỡnh sau trờn s phc C: z2 z z + + z +1 = (1) Nhận xét z=0 không nghiệm phơng trình (1) z 1 ) ( z ) + = (2) z z 1 Đặt t=z- Khi t = z + z + = t + z z z Phơng trình (2) có dạng : t2-t+ = (3) = = = 9i 2 + 3i 3i PT (3) có nghiệm t= ,t= 2 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta đợc : ( z + 0.25đ 0.25đ + 3i 1 + 3i ta có z = z (1 + 3i ) z = (4) z Có = (1 + 3i ) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i) (1 + 3i ) + (3 + i ) (1 + 3i ) (3 + i ) i PT(4) có nghiệm : z= = + i ,z= = 4 3i 1 3i Với t= ta có z = z (1 3i ) z = (4) z Có = (1 3i ) + 16 = 6i = 6i + i = (3 i ) (1 3i ) + (3 i ) (1 3i ) (3 i ) i PT(4) có nghiệm : z= = i ,z= = 4 i i Vậy PT cho có nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 Với t= 0.25đ 0.25đ Phần II Câu VIb 1) Ta có: d d = I Toạ độ I nghiệm hệ: x y = x = / Vậy I ; 2 x + y = y = / Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M trung điểm cạnh AD M = d Ox Suy M( 3; 0) 0,25đ Ta có: AB = IM = + = 2 S ABCD 12 = =2 AB Vì I M thuộc đờng thẳng d1 d AD Đờng thẳng AD qua M ( 3; 0) vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT: Theo giả thiết: S ABCD = AB.AD = 12 AD = 1(x 3) + 1(y 0) = x + y = Lại có: MA = MD = x + y = Toạ độ A, D nghiệm hệ PT: ( x 3) + y = y = x + y = x + y = x 2 2 x = ( x 3) + y = ( x 3) + (3 x) = x = x = Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) y = y = x = x I x A = = Do I ; trung điểm AC suy ra: C 2 y C = y I y A = = Tơng tự I trung điểm BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Cõu CõuVIb (1,0) Phn 2.a) Ni dung ur Các véc tơ phơng D1 D2 lần lợt u1 ( 1; - 1; 2) uu r u2 ( - 2; 0; 1) Có M( 2; 1; 0) D1; N( 2; 3; 0) D2 ur uu r uuuu r Xét u1 ; u2 MN = - 10 Vậy D1 chéo D2 Gọi A(2 + t; t; 2t) D1 B(2 2t; 3; t) D2 uuurur AB.u1 = t = r uu r uuu AB.u2 = t ' = A ; ; ữ; B (2; 3; 0) 3 Đờng thẳng qua hai điểm A, B đờng vuông góc chung D1 D2 x = + t Ta có : y = + 5t z = 2t PT mặt cầu nhận đoạn AB đờng kính có dạng: 2 11 13 x ữ +y ữ +z+ 3ữ = 0,25đ 0,25đ 0,25đ im 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ CõuVIIb (1,0) 2009 + iC2009 + + i 2009C2009 Ta cú: (1 + i )2009 = C2009 2006 2008 C2009 C2009 + C2009 C2009 + C2009 + C2009 + 2007 2009 (C2009 C2009 + C2009 C2009 + C2009 + C2009 )i 2 2006 2008 A = C2009 C2009 + C2009 C2009 + C2009 + C2009 0,25đ Thy: S = ( A + B) , vi 0,25đ 2006 2008 B = C2009 + C2009 + C2009 + C2009 + C2009 + C2009 + Ta cú: (1 + i) 2009 = (1 + i)[(1 + i) ]1004 = (1 + i).21004 = 21004 + 21004 i ng nht thc ta cú A chớnh l phn thc ca (1 + i) 2009 nờn A = 21004 2009 + xC2009 + x 2C2009 + + x 2009C2009 + Ta cú: (1 + x) 2009 = C2009 2008 2009 + C2009 + + C2009 = C2009 + C2009 + + C2009 Cho x=-1 ta cú: C2009 Cho x=1 ta cú: 2008 2009 (C2009 + C2009 + + C2009 ) + (C2009 + C2009 + + C2009 ) = 22009 Suy ra: B = 22008 + T ú ta cú: S = 21003 + 22007 0,25đ 0,25đ