Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) 1) 3x 8) x2 + 2) 2x 9) x2 3) 4) 5) 6) 7) 7x 14 2x x x 3x + 11) 2x 5x + 12) 7x + x +3 7x 2x x 10) 13) 14) Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đa thừa số vào dấu a) ; b) x (với x > 0); x Bài 2: Thực phép tính x 5x + x + 3x 5x 6x + x + c) x ; d) (x 5) x ; 25 x e) x x2 a) ( 28 14 + 7) ì + 8; d) + + 5; b) ( + 10)( 0,4); e) 11 + 11 c) (15 50 + 200 450): 10; f) +7 3; h) 26 + 15 26 15 3 g) 20 + 14 + 20 14 ; Bài 3: Thực phép tính 216 a) ( )ì b) c) + 15 + 10 Bài 4: Thực phép tính 14 15 + ): a) (4 + 15 )( 10 6) 15 (3 5) + + (3 + 5) b) c) 3+ e) 6,5 + 12 + 6,5 12 + 4+ + d) Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: 1 a) 24 + + 24 + b) 5+2 52 + 5+ Bài 6: Rút gọn biểu thức: c) +1 3 +1 3+ 5 + 3+ d) a) + 13 + 48 c) b) + + 48 10 + 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a) a b +b a ab : a b , với a > 0, b > a b a + a a a , với a > a b) + a + a a a + 2a a ; a4 d) 5a (1 4a + 4a ) 2a c) 3x + 6xy + 3y 2 e) x y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A = x 3x y + 2y, x = ;y = 9+4 b) B = x + 12x với x = 4( + 1) 4( 1) ; ( )( ) c) C = x + y , biết x + x + y + y + = 3; d) D = 16 2x + x + 2x + x , biết 16 2x + x 2x + x = e) E = x + y + y + x , biết xy + (1 + x )(1 + y ) = a Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán x Bài 1: Cho biểu thức P = x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P a2 + a 2a + a + Bài 2: Xét biểu thức A = a a +1 a a) Rút gọn A b) Biết a > 1, so sánh A với A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A 1 x + Bài 3: Cho biểu thức C = x 2 x + x a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị C với x = c) Tính giá trị x để Bài 4: Cho biểu thức M = a) Rút gọn M C= a + a b a b2 a 2 b : 2 a a b a = b c) Tìm điều kiện a, b để M < x x + (1 x) Bài 5: Xét biểu thức P = x x + x + a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lơn P x x + x +1 Bài 6: Xét biểu thức Q = x x +6 x x a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên xy x y3 x y + xy : Bài 7: Xét biểu thức H = x y x y x+ y a) Rút gọn H b) Chứng minh H c) So sánh H với H b) Tính giá trị M ( ) a a : Bài 8: Xét biểu thức A = + a a a + a a a + a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị A a = 2009 2008 Bài 9: Xét biểu thức M = 3x + 9x x +1 x + x+ x x + x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên 15 x 11 x 2 x + + Bài 10: Xét biểu thức P = x + x x x +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P = 2 c) So sánh P với Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai Bài 1: Giải phơng trình 1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x 7,5 = ; 5) x 4x + = ; 6) x2 2x = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 2( - 1)x - = Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 11x + = ; 2) 5x2 17x + 12 = ; 3) x2 (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 2(1 + )x + + = 5) 3x2 19x 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 11x + 30 = ; 9) x2 12x + 27 = ; 10) x2 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm 1) x2 2(m - 1)x m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x (2m 3)x + m 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x 4m 12 = ; 5) x2 (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 2x (m 1)(m 3) = ; 7) x2 2mx m2 = ; 8) (m + 1)x2 2(2m 1)x + m = 9) ax + (ab + 1)x + b = Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiệm phân biết: 1 + + = (ẩn x) xa xb xc c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phơng trình bậc hai: (a + b)2x2 (a b)(a2 b2)x 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh pt bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chứng minh pt có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau): 2b b + c x+ =0 b+c c+a 2c c + a bx x+ =0 c+a a+b 2a a + b cx x+ =0 a+b b+c ax (1) (2) (3) với a, b, c số dơng cho trớc Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = Biết a 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 3x = Tính: 2 A = x1 + x ; C= 1 + ; x1 x 3 E = x1 + x ; B = x1 x ; D = ( 3x1 + x )( 3x + x1 ); F = x1 + x 1 x1 x2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức sau: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm 3 A = 2x1 3x1 x + 2x 3x1x ; x x1 x x B= + + + ; x x + x1 x + x x 2 3x + 5x1x + 3x C= 2 4x1x + 4x1 x Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng trình thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p q q p b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm 1 10 72 10 + Bài 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với m b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + 1 y = x + x2 x1 Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = Hãy tính giá trị biểu thức sau: A = ( 3x1 2x )( 3x 2x1 ) ; B= x1 x + ; x x1 C = x1 x2 ; D= x1 + x + + x1 x2 Bài 6: Cho phơng trình 2x2 4x 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phơng trình thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 x2 ; y2 = 2x2 x1 Bài 7: Cho phơng trình 2x2 3x = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y = x + a) y = x + 2 x1 y1 = x2 b) x2 y = x Bài 8: Cho phơng trình x2 + x = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x y1 + y = x + x a) ; y y + = 3x + 3x y y y + y = x + x 2 b) y + y 2 + 5x + 5x = Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham số, a 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 + y = 1 1 + + = x1 + x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m 1)x m = (ẩn x) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phơng trình có nghiệm a) Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m = - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình: (a 3)x2 2(a 1)x + a = Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: 4x 2( 2m 1) x a) Cho phơng trình: + m2 m = 2 x + 2x + x +1 Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Cho phơng trình: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phơng trình có nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 x2 = - 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 2(m + 1)x + m = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 (m 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m 1)x2 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 d) x (2m + 1)x + m + = ; 3x1x2 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) x2 + 2mx 3m = ; 2x1 3x2 = b) x2 4mx + 4m2 m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m = ; 2x1 + x2 + = d) x2 (3m 1)x + 2m2 m = ; x1 = x22 e) x + (2m 8)x + 8m = ; x1 = x2 2 f) x 4x + m + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 (2m 1)x + m = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Ch phơng trình bậc hai: x2 mx + m = Tìm m để phơng trình có hai 2x1x + nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức R = đạt giá trị lớn x1 + x + 2(1 + x1x ) Tìm giá trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phơng trình: ax + bx + c = (a 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số Bài 1: a) Cho phơng trình x2 (2m 3)x + m2 3m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn < x1 < x2 < b) Cho phơng trình 2x2 + (2m 1)x + m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - < x1 < x2 < Bài 2: Cho f(x) = x2 2(m + 2)x + 6m + a) Chứng minh phơng trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m 1)x (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 - x2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm pt bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1: a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x2 2(m + 2)x + 2(m 1) = Khi phơng trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phơng trình: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 (m 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m x1 x + = c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x x1 2 Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x 2(m + 1)x + m = a) Giải biện luận phơng trình theo m b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 x2| Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m 2)x + m = Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 3(x1 + x2) + = Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phơng trình kia: Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (1) ax2 + bx + c = (2) hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau: i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ phơng trình: ax + bx + c = (*) 2 a' k x + b' kx + c' = Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (a 0) (3) ax2 + bx + c = (a 0) (4) Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau: i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: ( 3) < ( ) < Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: (3) (4) S(3) = S(4) P = P (4) (3) Chú ý: Bằng cách đặt y = x hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau: bx + ay = c b' x + a' y = c' Để giải tiếp toán, ta làm nh sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2 - Kiểm tra lại kết Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 (3m + 2)x + 12 = 4x2 (9m 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x = 0; 6x2 + (7m 1)x 19 = b) 2x2 + mx = 0; mx2 x + = c) x mx + 2m + = 0; mx2 (2m + 1)x = Bài 3: Xét phơng trình sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 4: Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = (1) x2 mx + 10m = (2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1) Bài 5: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng Bài 6: Cho hai phơng trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho phơng trình: x2 5x + k = (1) x2 7x + 2k = (2) Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài 2: Từ điểm C đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đ ờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đờng tròn (O) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O) Bài 4: Cho đờng tròn (O) (O) tiếp xúc C AC BC đờng kính (O) (O), DE tiếp tuyến chung (D (O), E (O)) AD cắt BE M a) Tam giác MAB tam giác gì? b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung (O) (O) c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB OO Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bài 1: Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So sánh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành d) Đờng thẳng d qua N vuông góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chứng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học Bài 1: Cho đờng tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chứng minh MA2 = MC.MD b) Chứng minh MB.BD = BC.MD c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Gọi R1, R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động AB Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E a) Chứng minh CE = AC + BE b) Chứng minh AC.BE = R2 c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vuông góc M AB HA FA = + Chứng minh rằng: HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động nửa đờng tròn Bài 3: Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các 1 = + đờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng: PQ PB PC Bài 4: Cho góc vuông xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức: 1 + = a) 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích Bài 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B (O); C (O)) a) Chứng minh góc OOB 600 b) Tính độ dài BC c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) a) Chứng ming EC = MN b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 3: Từ điểm A bên đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng tròn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính bán kính đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) Chứng minh AOM vuông O b) OM cắt đờng tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh ACM đồng dạng với AEC c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Toán quỹ tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng tròn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O) Bài 2: Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d Bài 3: Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học không gian Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD Biết AB = cm; AC = cm AC = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có diện tích mặt chéo ACCA 25 cm2 Tính thể tích diện tích toàn phần hình lập phơng Bài 3: Cho hình hộp nhật ABCDABCD Biết AB = 15 cm, AC = 20 cm góc AAC 600 Tính thể tích diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCABC Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AAB 300 Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6: a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích toán phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 11: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện tích xung quanh Bài 12: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón Bài 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2 Tính thể tích hình cầu đ đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :1994-1995 2a + Bài 1: Cho biểu thức P = 3 a + a3 . a a + a + + a a a) Rút gọn P b) Xét dấu biểu thức P a Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau lại ngợc từ B A Thời gian xuôi thời gian ngợc 1h20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc 5km/h vận tốc riêng ca nô xuôi ngợc Bài 3: Cho tam gíac ABC cân A, A1/6 Bài2: Cho phơng trình x2-2(m+2)x+m+1=0 (ẩn x) a) Giải phơng trình m = - b) Tìm GT m để phơng trình có hai nghiệm tráI dấu c) Gọi x1,x2 hai nghiệm phơng trình Tìm GT m để x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m2 Bài 3: Cho tam giác ABC(AB>AC ; BAC >900) I,K thứ tự trung điểm AB,AC Các đờng tròn đờng kính AB,AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E, tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F a) Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp c) Chứng minh ba đờng thẳng AD,BF,CE đồng quy d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH,DE Bài4: Xét hai phơng trình bậc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = Tìm hệ thức a,b,c điều kiện cần đủ để hai phơng trinhg có nghiệm chung đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :1996-1997 Bài 1: Cho biểu thức A = x +1 : x x x + x x x x 1) Rút gọn A 2) Với GT x A đạt GTNN tìm GTNN Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một ngời xe máy t A đến B cách 120km với vận tốc dự định trớc Sau đợc 1/3 quáng đờng AB ngời tăng vận tốc lên 10km/h quãng đờng lại Tìm vận tốc dự định thời gian lăn bánh đờng,biết ngời đến B sớm dự định 24phút Bài3: Cho đờng tròn (O) bán kính R dây BC cố định Gọi A điểm cung nhỏ BC Lấy điểm M cung nhỏ AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA I cắt tia CM D 1) Chứng minh AMD=ABC MA tia phân giac góc BMD 2) Chứng minh A tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M 3) Tia DA cắt tia BC E cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai F, chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoai tiếp tam giác BEF 4) Chứng minh tích P=AE.AF không đổi M di động Tính P theo bán kính R ABC = Bài4: Cho hai bất phơng trình : 3mx -2m>x+1 (1) m-2x0 c) Tìm số m để có GT x thoả mãn P x = m x Bài 2(2 điểm): Giải toán cách lập phơng trình Một xe tải xe khởi hành từ A đến B.Xe tải với vận tốc 40km/h, xe với vận tốc 60km/h Saukhi xe đợc nửa đờng xe nghỉ 40 phút chạy tếp đến B; xe tải quãng đờng lại tăng vân tốc thêm 10km/h nhng đến B chậm xe nửa Hãy tính quãng đờng AB Bài 3(3,5 điểm): Cho đờng tròn (O) điểm A nằm đờng tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC cát tuyến AMN với đờng tròn( B,C,M,N thuộc đờng tròn; AM x + n Bài 2(2 điểm): Giải toán cách lập phơng trình Một ca nô chạy sông 8h, xuôi dòng 81 km ngợc dòng 105km Một lần khác chạy khúc sông ,ca nô chay 4h, xuôi dòng 54km ngợc dòng 42km Hãy tính vận tốc xuôi dòng ngợc dòng ca nô, biết vân tốc dòng nớc vận tốc riêng ca nô không đổi Bai3(3,5 điểm): Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R, dây MN vuông góc với dây AB I cho IA< IB Trên đoạn MI lấy điểm E( E khác M I).Tia AE cắt đờng tròn điểm thứ hai K a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp b) C/m tam giác AME,AKM đồng dạng AM2 =AE.AK c) C/m: AE.AK+BI.BA=4R2 d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội Năm học :2001-2002 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Ap dụng: Cho hai hàm số bậc y = 0,2x-7 y = 5-6x Hỏi hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến ,vì sao? Đề 2: Nêu dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đờng tròn B.Bài tập bắt buộc(8 điểm): Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = x x+2 x x : x + x + 1 x a) Rút gọn P b) Tìm GT x để P[...]... x 2 + 4x 6 = 0 x 4x + 10 x 2 48 x 4 h) 2 10 = 0 3 x 3 x c) x 2 x + 2 x 2 x + 3 = 0 x2 + x 5 3x e) + 2 +4=0 x x + x 5 ( ) 2 ( ) g) 3 2x 2 + 3x 1 5 2x 2 + 3x + 3 + 24 = 0 i) 2x 13x + =6 2x 2 5x + 3 2x 2 + x + 3 k) x 2 3x + 5 + x 2 = 3x + 7 Bài 3: a) 6x5 29x4 + 27x3 + 27x2 29x +6 = 0 b) 10x4 77x3 + 105 x2 77x + 10 = 0 c) (x 4,5)4 + (x 5,5)4 = 1 d) (x2 x +1)4 10x2(x2 x + 1)2 + 9x4 =... tập hợp nghiệm đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội Năm học :1998-1999 (c s ch n v o l p 10) A Lí thuyết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề 1: Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số Các đẳng thức sau đúng hay sai,vì sao? ( ) 3 x2 +1 5m 25 m 5 = 3; = 2 15 5m m 3 x +1 Đề 2: CMR: nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền... cách lập phơng trình Một ca nô chạy trên sông trong 8h, xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 105 km Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ,ca nô này chay trong 4h, xuôi dòng 54km và ngợc dòng 42km Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngợc dòng của ca nô, biết vân tốc dòng nớc và vận tốc riêng của ca nô không đổi Bai3(3,5 điểm): Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA< IB... động trên đờng tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK;Q là giao điểm của MF và BK Bài 5(0,5 điểm): Tìm GTNN của biểu thức P = (x-1)4+ (x-3)4+ 6(x-1)2(x-3)2 kì thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học: 2 010- 2011 Môn Toán (thi ngày 22/6/2 010) Bài 1(2,5 điểm): Cho P = x x +3 + 2 x x 3 3x + 9 ,x 0& x 9 x9 ... 2 đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :2006-2007 1 + Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = x x x : x + 1 x + x a) Rút gọn P b) Tính GT của P khi x=4 c) Tìm x để P = 13 3 Bài 2(2,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy.Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mớc 10% so với thảng thứ nhất Vì vậy hai tổ đã sản xuất đợc 101 0 chi... x 4 Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình Để hoàn thành một công việc , hai tổ phải làm trung trong 6h Sau 2h làm trung thì tổ hai bị điều đi làm việc khác , tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc Bài3: Cho đờng tròn (O;R) , đờng thẳng d không qua O cắt đờng tròn tại hai điểm phân biệt A,B Từ một điểm C trên d(C... vuông góc với BM Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I là trung điểm của CD a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn b) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì? c) Khi M di đồng trên d Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định d) Đờng thẳng qua C vuông... diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm Tính thể tích của hình chóp cụt đó Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp Bài 11: Một hình trụ có đờng cao bằng đờng kính đáy Biết... Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm 2 Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán về tìm... Bai3(3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A,đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB,AC lần lợt tại E và F 1) CMR: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật 2) C/m: AE.AB = AF.AC 3) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I Chứng minh I là trung điểm của BC 4) C/m nếu diện tích tam giac ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội ... điểm): Tìm GTNN biểu thức P = (x-1)4+ (x-3)4+ 6(x-1)2(x-3)2 kì thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học: 2 010- 2011 Môn Toán (thi ngày 22/6/2 010) Bài 1(2,5 điểm): Cho P = x x +3 + x x 3x + ,x 0& x ... m = 3; = 15 5m m x +1 Đề 2: CMR: cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông hai tam giác vuông đồng dạng B Bắt buộc(8 điểm): 2x + Bài1(2,5... chóp cụt Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính