TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin) Bài I (2 điểm) 1) Tính tổng sau: 16 36 2500     15 35 2499 2) Chứng minh p số nguyên tố lớn p2 1 chia hết cho 24 Bài II (3điểm) 1) Cho số thực x, y thỏa mãn:  x2   x   y2   y  Chứng minh x  y  2) Giải phương trình x  3x  2 x   x  Bài III (3 điểm) Cho điểm P tùy ý nằm đường tròn tâm O bán kính R Qua P kẻ hai dây cung tùy ý AC BD vuông góc với Gọi M trung điểm AB 1) Chứng minh PM vuông góc với CD 2) Chứng minh AC  BD  8R  4OP 3) Chứng minh AB  BC  CD  DA2 không phụ thuộc vào vị trí điểm P Bài IV (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x2  x  3y  Bài V (1điểm) Những điểm mặt phẳng tô ba màu.Chứng minh tìm hai điểm màu cách - Hết -(Giám thị không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2: TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ BÀI I HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN (Dành cho hệ chuyên Toán chuyên Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM Ý ĐIỂM 2,0 Tính tổng…(1,0 điểm) Ta có: 16 36 2500 1 1     (1  )  (1  )  (1  )   (1  ) 15 35 2499 15 35 2499 1 1     ) 1.3 3.5 5.7 49.51 1 1 1  25  (       ) 3 49 51 1 1300  25  (  )  51 51  25  ( 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh …(1,0 điểm) Ta có (p-1)p(p+1) 3 mà ( p,3 ) =1 nên (p-1)(p+1) 3 (1) 0,5 Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ, p-1 p+1 hai số chẵn liên tiếp Trong hai số chẵn liên tiếp, có số bội nên tích chúng chia 0,25 hết cho (2) Từ (1) (2) suy (p-1)(p+1) chia hết cho hai số nguyên tố 0,25 Vậy (p-1)(p+1) 24 II 3,0 Giải phương trình … (1,5 điểm)   x2   x   x2   x  y2   y   y2   y  x2   2x  Tương tự     y2   y  y2   y  0,5 y   y (1) x2   x   y2   y   x2   2x  Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta được: y   y (2) 0,5 x  2 y  x  y  0,5 Giải phương trình … (1,5 điểm) Điều kiện: Ta có : x x  x  2 x   x   x ( x  3)  2 x   x  Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 0,5 0,5 x  ( x  3)  x( x  3)  x( x  3) (2 x  1)   2 x  Suy x   x( x  3)  Dấu xảy 2 2x 1 x  x3  x    x 1 Vậy nghiệm phương trình x =1 0,5 0,25 III 3,0 Chứng minh PM vuông góc với CD ( điểm ) Kéo dài PM cắt DC H Vì M trung điểm AB nên ta có: MPB  MBP Mà M P B  D P H (đối đỉnh) Và MBP  ACD (góc nội tiếp chắn cung AD) Suy D P H  P C D B M A I P D H O J C 0,5 Từ DPH  PDC  PCD  PDC  900 Vậy PM  CD 0,5 Gọi I, J trung điểm AC BD Ta có : A C  A J  ( A O  O J )  R Tương tự BD  BI  4( BO  OI )  R  4OI 2 2  4O J 0,25 0,25 0,5 Mà ta có OI  OJ  OP Vậy AC  BD  8R  4OP Tìm giá trị…( điêm) 2 Ta có AB  BC  CD  DA2  2( AP  BP  CP  DP )  2( AC  BD  AP.PC  BP.DP ) Mặt khác IV 0,5 AP.PC  ( JA  JP )( JA  JP )  JA  JP  OA  OJ  JP  R  OP 2 2 2 Tương tự BP.PD  R  OP Vậy AB  BC  CD  DA2  8R Tìm số tự nhiên… (1 điểm) Ta có ( x  3)( x  1)  3y suy x  3; x  số lẻ liên tiếp Do ( x  3, x  1)  nên x   3m ; x   3n ; m  n; m  n  y V Ta có 3m   3n Nếu m = suy n = ta y = 1; x = x = Nếu m  1 n  ( x  3)  3; ( x  1)  mâu thuẫn với ( x  3, x  1)  Vậy (x; y) =(0;1) (x; y) = (4; 1) Chứng minh …(1điểm) Giả sử hai điểm cách sơn màu khác Xét tam giác ABC có cạnh Tất đỉnh tam giác tô màu khác Giả sử điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 Bởi A’B = A’C = 1, nên điểm A’có màu khác với màu B C , tức tô màu với điểm A Suy AA’= điểm A A’ tô màu Do tất điểm nằm đường tròn tâm A bán kính có màu Rõ ràng đường tròn tìm hai điểm có khoảng cách chúng (mâu thuẫn) Vậy tìm hai điểm màu có khoảng cách chúng Các ý chấm: 1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ cho điểm tối đa 2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn giám khảo chấm cho điểm theo số điểm quy định dành cho câu (hay ý) 3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 điểm nên không làm tròn điểm thi 0,25 0,25 0,25 ... Ta có: 16 36 2500 1 1     (1  )  (1  )  (1  )   (1  ) 15 35 2499 15 35 2499 1 1     ) 1. 3 3.5 5.7 49. 51 1 1 1  25  (       ) 3 49 51 1 13 00  25  (  )  51 51  25...TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ BÀI I HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2 015 – 2 016 Môn thi: TOÁN (Dành cho hệ chuyên Toán chuyên Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM Ý ĐIỂM 2,0 Tính tổng… (1, 0 điểm)... 25  ( 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh … (1, 0 điểm) Ta có (p -1 ) p(p +1) 3 mà ( p,3 ) =1 nên (p -1 ) (p +1) 3 (1) 0,5 Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ, p -1 p +1 hai số chẵn liên tiếp Trong hai số chẵn