1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Giá trị tuyệt đối trường định giá 1.2 Xây dựng trường số hữu tỉ p-adic 10 1.3 Xây dựng trường số phức -adic 13 CHƯƠNG CHUỖI LŨY THỪA P-ADIC 16 2.1 Chuỗi lũy thừa trường Acsimét .16 2.2 Chuỗi lũy thừa p-adic 17 2.3 Hàm Gamma 22 2.4 Đa giác Newton 24 2.5 Độ cao chuỗi lũy thừa 25 KẾT LUẬN .28 TÀI LIỆU THAM KHẢO .29 MỞ ĐẦU Mặc dù lý thuyết số p -adic xây dựng kỷ, giải tích p -adic phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập khoảng 70 năm trở lại Việc nghiên cứu khái niệm số p -adic bước ngoặt quan trọng, giúp nhà Toán học chứng minh nhiều toán mà trường số thực trường số phức chứng minh Chuỗi lũy thừa p -adic phần kiến thức quan trọng trường phi-Acsimét Mục đích luận văn tìm hiểu hệ thống lại số kết chuỗi lũy thừa p -adic Với mục đích đó, nội dung luận văn trình bày chương Chương Các kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm sở để phục vụ cho chương Chương Chuỗi lũy thừa p-adic Trong chương hệ thống lại khái niệm, tính chất chuỗi lũy thừa p -adic, so sánh tính chất hội tụ số chuỗi lũy thừa hai trường sở trường Acsimét trường phi Acsimét Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học thầy giáo GVC.TS Mai Văn Tư Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo tổ Đại số lý thuyết số Khoa Toán - trường Đại học Vinh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy, giáo phịng sau đại học – trường Đại học Vinh, ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, trung tâm DN-HN-GDTX Đức Thọ, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đở để tơi hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong cảm thơng, góp ý bảo quý thầy cô bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 08 năm 2013 Thái Phương CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Giá trị tuyệt đối trường định giá 1.1.1 Định nghĩa - Giả sử K trường, giá trị tuyệt đối υ K hàm số từ K vào ¡ ( kí hiệu υ ( x) = x υ , ∀x ∈ K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau a x υ ≥ 0, với x ∈ K x υ = x = b xy υ = x υ y υ với x, y ∈ K c x + y υ ≤ x υ + y υ , với x, y ∈ K - Một hàm giá trị tuyệt đối trường K gọi hàm giá trị tuyệt đối phi Acsimet thỏa mãn điều kiện: { } x + y υ ≤ max x υ , y υ , với x, y ∈ K - Giá trị tuyệt đối mà x = 1, với x ∈ K , x ≠ gọi giá trị tuyệt đối tầm thường 1.1.2 Chú ý - Khi làm việc với giá trị tuyệt đối ta viết x thay cho x υ nói giá trị tuyệt đối trường K - Giá trị tuyệt đối trường K xác định mêtric Khoảng cách hai điểm x, y ∈ K mêtric x − y Như giá trị tuyệt đối trường K xác định tôpô Bộ ( K ,υ ) gồm trường K giá trị tuyệt đối υ K gọi trường định giá 1.1.3 Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối trường K gọi phụ thuộc (còn gọi tương đương) chúng xác định tôpô K Trong trường hợp ngược lại, chúng gọi độc lập (còn gọi khơng tương đương) 1.1.4 Định lí Giả sử υ1 = υ2 = hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trường K Chúng phụ thuộc lẫn (hay tương đương) từ hệ thức λ x < suy x < Nếu chúng phụ thuộc tồn số thực λ > cho x = x với x ∈ K 1.1.5 Định lí Giả sử ( K , ) trường định giá với đơn vị e, điều kiện sau tương đương a phi Acsimét b { x ∈ K : x < 1} ∩ { x ∈ K : e − x < 1} = ∅ c Tập số tự nhiên ¥ bị chặn d ≤ Chứng minh Lược đồ chứng minh định lí a ⇒ b ⇒ c ⇒ d ⇒ a  x <  e − x < +) a ⇒ b Giả sử tồn x ∈ K cho  Từ giả thiết a ⇒ = e − x + x ≤ max { e − x , x } < Điều mâu thuẫn chứng tỏ { x ∈ K : x < 1} ∩ { x ∈ K : e − x < 1} = ∅ +) b ⇒ c Giả sử ¥ không bị chặn, tồn n ∈ ¥ bé cho ne > ⇒ < ne Khi e− Đặt x = ( n − 1) e = < ne ne  x < 1 , với e đơn vị K  Điều mâu thuẫn với giả thiết ne  e − x < Chứng tỏ ¥ tập bị chặn giá trị tuyệt đối cho +) c ⇒ d Hiển nhiên +) d ⇒ a Trước hết ta chứng tỏ n ≤ 1, ∀n ∈ ¥ Thật vậy, viết số tự nhiên n > s hệ đếm số có: n = a0 + a1 + ×××+ as , a j ∈ { 0,1} , as = s Suy n ≤ a0 + ×××+ as ≤ s + Trong bất đẳng thức thay n n k = b0 + b1 + ×××+ 2m , với b j ∈ { 0,1} , m < ( s + 1) k k k s + k = ( ) Khi ta nhận được: n ≤ m + ≤ ( s + 1) k Cho k → ∞ ⇒ n ≤ lim n →∞ Mặt khác ( x + y ) = x n + Cn1 x n −1 y + ×××+ Cnn −1 x1 y n −1 + y n n { Suy x + y ≤ max ( n + 1) x , ( n + 1) y n n n } ,cho n → ∞, ta có: x + y ≤ max { x , y } Nghĩa có a 1.1.6 Định lí ( Định lí xấp xỉ Actin-Oepơn) Giả sử K trường , , s giá trị tuyệt đối không tầm thường, đôi độc lập (hay không tương đương) K Nếu x1 , , xs phần tử thuộc K , ε > tồn phần tử x ∈ K cho: x − xi i < ε , với i = 1, 2, s 1.1.7 Kí hiệu ví dụ Giả sử p số nguyờn t v x Ô , x 0, x viết dạng x = ± p1α1 p2α ×××pkα k , p j , j = 1, 2, , k số nguyên tố, đôi khác α j số nguyên khác không Các số nguyên α j gọi số lũy thừa số nguyên tố p j có mặt phân tích số hữu tỷ x Kí hiệu ord p j x = α j , j = 1, 2, , k ord p x = p ≠ p j − ord Đặt x p = p px x ≠ Và p = Ví dụ Với p = ta có 2 = , 12 = , = Mệnh đề sau chứng tỏ p xác định giá trị tuyệt đối phi Acsimét trường số hu t Ô 1.1.8 Mnh Hm p xác định hàm giá trị tuyệt đối phi Acsimet, p số nguyên tố Chứng minh Hai tính chất đầu định nghĩa nghiệm cách dễ dàng Ta chứng minh tính chất cịn lại { x + y p ≤ max x p , y a b Thật vậy, x = , y = p } c , ta có: d  ad + bc  ord p ( x + y ) = ord p  ÷ = ord p ( ad + bc) − ord p (bd )  bd  ≥ { ord p (ad ),ord p (bc)} − ord p (bd ) = { ord p (ad ) − ord p (bd ), ord p (bc) − ord p (bd )} = { ord p a − ord p b, ord p c − ord p } = { ord p x, ord p y} (vì dễ thấy ord p (ab) = ord p a +ord p b ) Khi với x, y, x ≠ 0, y ≠ 0, x + y ≠ 0, có: x+ y p = p − ord p x ( x + y ) Người ta gọi p ≤p { } max − ord p x , − ord p y { = max x p , y p } giá trị tuyệt đối p -adic Trờn trng s hu t Ô , ngoi giỏ trị tuyệt đối tầm thường giá trị tuyệt đối thông thường = ∞ , họ giá trị tuyệt đối p -adic Vn t l trờn Ô cú tn giá trị tuyệt đối khác không? Định lí Ostrowski trả lời cho câu hỏi 1.1.9 Định lí (Ostrowski) Mọi giá trị tuyệt đối khác tầm thng trờn Ô u tng ng (hay ph thuc) vi giá trị tuyệt đối p -adic, p số nguyên tố p = ∞ Chứng minh Giả sử giá trị tuyệt đối trờn Ô , khỏc tm thng Khi ú tn ti x Ô : x > x xét hai khả xảy Khả năng1 Tồn số nguyên dương n mà n > Gọi n0 số nguyên dương bé cho n0 > ( n0 tồn tập số tự nhiên ¥ tập thứ tự tốt) Suy ra, tìm α α ∈ ¡ thỏa mãn n0 = n0 Chúng ta viết số tự nhiên n hệ đếm số n0 n = a0 + a1n0 + ×××+ as n0s , ≤ a j < n0 , as ≠ Khi n ≤ a0 + a1 n0 + ×××+ as n0 ≤ + n0α + ×××+ n0sα s s   ≤ n ∑  α ÷ ≤ n0sα c ≤ nα c  n0  sα (do n0s ≤ n) Trong bất đẳng thức trên, thay đổi n n N nhận N n ≤ c.n Nα , hay n ≤ N c.nα , N c = Bởi n ≤ nα c > nên Nlim →∞ ( 1) Mặt khác, theo cách biểu diễn n hệ đếm số n0 , có: n0s +1 ≥ n ≥ n0s s +1 s +1 s +1 Vì n0 = n0 − n + n ≤ n0 − n + n Từ n ≥ n0s +1 − n0s +1 − n ≥ n0α ( s +1) − (n0s +1 − n)α (do (1): n0s +1 − n ≤ (n0s +1 − n)α ) α ( s +1) ≥n α   1  1 − 1 − ÷  ≥ n0α ( s +1) c   n0   Trong bất đẳng thức cách thay n n N cho N → ∞, có: n ≥ nα ( 2) α Từ ( 1) ( ) suy n = n Trong trường hợp tương đương với ∞ Khả Giả sử n ≤ 1, với n ∈ N Ta ln tìm số tự nhiên bé n0 mà n0 < Rõ ràng n0 = p số nguyên tố Thực vậy, ngược lại n0 = p1 p2 ⇒ n0 = p1 p2 < ⇒ { p1 , p2 } < điều mâu thuẫn 10 Đặt ρ = p ⇒ < ρ < Nếu q số nguyên tố, q ≠ p giả sử q < , suy tồn 1 m, n số tự nhiên cho q m < , p n < Lại ( p, q ) = nên tồn u , v ∈ ¢ thỏa 2 mãn: up n + vq m = 1 2 n m n m n m Bởi vậy, = up + vq ≤ u p + v q ≤ p + q < + = ⇒ vô lý Vậy q số nguyên tố khác p q = Giả sử a số nguyên tố bất α α α kỳ a = ± p1 p2 ×××pk dạng phân tích tắc a ta có k 1 pi ≠ p, ∀i = 1, 2, , k a= α i  ρ pi = p a b ord x Gi s x Ô , x v x = , a, b ∈ ¢ Dễ thấy: x = ρ p Áp dụng Định lý 1.1.4 ta thu tương đương với p Định lý Ostrowski chứng minh 1.2 Xây dựng trường s hu t p-adic Ô p 1.2.1 Dóy c bn Giả sử p số nguyên tố cố định, dãy { xn } số hữu tỉ gọi dãy theo giá trị tuyệt đối p-adic p với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho với m, n > n0 ta có: xm − xn p r gọi bán kính hội tụ chuỗi ∞ ∑a X n =0 n n , an ∈ ¡ ∞ n +) Khoảng ( −r , r ) gọi miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ an X , an ∈ ¡ n =0 ∞ +) Nếu chuỗi lũy thừa ∑a X n =0 ∞ +) Nếu chuỗi lũy thừa ∑a X n =0 n , an ∈ ¡ hội tụ với x r = +∞ n , an ∈ ¡ phân kỳ với x ≠ r = n n 2.1.3 Cách tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa a) Định lí Abel Giả sử lim n →∞ là: an +1 an = ρ Khi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa 0  1 r= ρ  +∞ ρ = +∞ < ρ < +∞ ρ = ∞ ∑a X n =0 n n , an ∈ ¡ 17 b) Định lí Cauchy n a Giả sử lim n = ρ Khi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa là: n →∞ 0  1 r= ρ  +∞ ρ = +∞ < ρ < +∞ ρ = ∞ c) Cách tìm miền hộ tụ chuỗi lũy thừa ∑a X n =0 n n , an ∈ ¡ B1 ) Tìm bán kính hội tụ B2 ) Khoảng hội tụ chuỗi −r < x < r B3 ) Xét hội tụ chuỗi đầu mút khoảng hội tụ, x = r x = −r ∞ Từ suy miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑a X n =0 n n , an ∈ ¡ 2.1.4 Mệnh đề Đặt ρ = lim sup n an , ta có: i Nếu ρ = f ( z ) hội tụ z = ii Nếu ρ = +∞ f ( z ) hội tụ với z ∈ ¡ iii Nếu < ρ < +∞ an ρ n → f ( z ) hội tụ z ≤ ρ 2.2 Chuỗi lũy thừa p-adic Ta biết trường định giá K ( K = Z p , Q p , C p ) với giá trị tuyệt đối phi Acsimét Một dãy ( xn ) n ∈ K gọi dãy Côsi (Cauchy) ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ : xm − xn < ε với m, n > n0 18 Cũng trường hợp Acsimét (chuỗi lũy thừa ¡ ) Chúng ta định nghĩa bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa sau 2.2.1 Định nghĩa ∞ ∑a X Số thực dương r cho chuỗi n =0 n n , an ∈ K hội tụ với x : x p < r phân kì với x : x p > r gọi bán kính hội tụ chuỗi ∞ ∑a X n =0 n n , an ∈ K Và r r = 1/ n tính cơng thức: lim sup an p n →∞ Ta xét bán kính hội chuỗi lũy thừa hai trường hợp x p < r x p > r Nếu x p < r ta đặt x p = ( − ε ) r , ε số dương nhỏ tùy ý Khi ta có: an x n p ( = r an ) 1/ n n p (1− ε ) n Mặt khác an 1/ n p   > 1/  r − ε r ÷,   Suy n lim an x n n →∞ p     ( − ε ) r ÷  1− ε ÷ = lim  ≤ lim  n →∞    ÷ n →∞  1− ε  1 − ε ÷.r ÷     n  ÷ ÷ = ÷  Tương tự trường hợp x p > r Nhưng trường hợp an x n → / n → ∞ Do chuỗi ∞ ∑a X n =0 n n , an ∈ K phân kỳ trường hợp 19 Điều xảy x p = r Ta xét ví dụ sau 2.2.2 Các ví dụ ∞ (i) Xét chuỗi log ( + x ) = ∑ ( −1) n +1 xn / n (1) n =1 Bằng tính tốn cụ thể ta có bán kính hội tụ chuối (1) r = hai trường hợp trường định giá Acsimét phi Acsimét ∗ Trong trường hợp Acsimét (trường số thực) x =1  x = −1 Nếu x = r = ⇔  Tại x = chuỗi (1) trở thành chuỗi Laibnits nên hội tụ có điều kiện, cịn x = −1 chuỗi (1) trở thành ∞ ∑ −1/ n , chuỗi phân kì, suy chuỗi cho phân kì n =1 x = −1 Như miền hội tụ chuỗi ∞ ∑ ( −1) n +1 x n / n tất điểm thuộc nửa n =1 khoảng ( −1,1] ∗ Trường hợp phi Acsimét ord n n ≥ Suy chuỗi (1) phân kì x mà x p = Nếu x p = an x p = p p ∞ zn (ii) Xét chuỗi ∑ n =0 n! (2) Chuỗi (2) hội tụ với z ∈ C Tuy nhiên chuỗi lũy thừa p – adic (2) hội tụ { } −1/( p −1) miền z ∈ C p : z p < p ∞ (iii) Xét chuỗi hàm ∑p n2 zn n =0 (3) Rõ ràng chuỗi lũy thừa phức (3) phân kỳ điểm z ≠ Trong đó, chuỗi lũy thừa p – adic (3) lại hội tụ toàn mặt phẳng C p 20 ∞ (iv) Xét chuỗi lũy thừa ∑p −n2 zn (4) n=0 Dễ thấy chuỗi (4) phân kỳ điểm z ∈ C p \ { 0} chuỗi phức tương ứng lại hội tụ toàn mặt phẳng phức Nếu K vành ta kí hiệu K [ X ]  vành chuỗi lũy thừa biến X có hệ số K ∞ n Khi chuỗi lũy thừa có dạng f ( X ) = ∑ an X , an ∈ K, ta thường xét vành K n =0 vnh: Â p , Ô p , C p Ta kí hiệu: + X K [ X ]  d=ef { f ∈ K [ X ]  / a0 = 1} Gọi Da (r ) Da (r − ) đĩa (còn gọi hình cầu) đóng đĩa mở tâm a bán kính r { Da (r ) = x ∈ R / x − a p ≤ r def { } Da (r − ) = x ∈ R / x − a p < r def } − − Ta đặt D(r ) d=ef D0 (r ), D(r ) d=ef D0 (r ) 2.2.3 Mệnh đề Nếu f ( x) Â p Đ X ă thỡ f ( x) hội tụ D(1− ) Chứng minh ∞ ∗ − n Giả sử f ( x) = ∑ an X , an ∈ ¢ p , x ∈ D ( ) ⇒ x p < an p ≤ 1, ∀n ∈ ¥ n =0 n n Do an x p ≤ x p → n → ∞ Suy f ( x) hội tụ D(1− ) 2.2.4 Mệnh đề 21 ∞ n Nếu f ( x) = ∑ an X hội tụ D ( D đĩa đóng đĩa mở: D = D(r ) n =0 D = D(r − ) ) liên tục D Chứng minh Với x ∈ D , ta giả sử x '− x p < δ x p ≥ x′ p ≥ Khơng tính tổng qt ta giả sử x p > Ta có: f ( x) − f ( x ') p = ( = max an n p ∞ ∑( a x n n=0 n − an x 'n ) ≤ max an x n − an x 'n n p ( x − x ') ( x n −1 + x n −2 x '+ ×××+ x.x 'n −2 + x 'n−1 ) p p ) Lại n −1 x n −1 + x n− x '+ ×××+ x.x 'n − + x 'n−1 ≤ max x n −i x 'i −1 ≤ x p (vì x p ≥ x ' p ) p p 1≤i ≤ n Nên ta có ( f ( x) − f ( x ') p ≤ max x − x ' p an n ( δ Nếu ta đặt ε = x max an p n p ) n −1 p xp ) < xδ ( max an p n p ) xp x p , với ∀ε > 0, ∃δ = ( xp max an n p xp ) ε cho ∀x, x ' ∈ D mà x '− x p < δ ta có f ( x) − f ( x ') p < ε Vậy f ( x) liên tục D 2.2.5 Ký hiệu Xét chuỗi ∞ ∑ ( −1) n +1 x n / n , biết chuỗi hội tụ đĩa mở n =1 D(1− ) Ta gọi hàm log p ( + x ) , p số nguyên tố cho Hàm 22 log p ( + x ) có kí hiệu giống với hàm lôgarit học phổ thông xét ¡ £ Chúng ta gọi log p lôgarit p -adic log p ( + x ) : D(1− ) → K ∞ log p ( + x ) = ∑ (−1) n +1 x n / n n =1 2.3 Hàm Gamma 2.3.1 Định nghĩa ∞ s −1 − x Với s > hàm gamma hàm số xác định sau Γ( s ) = ∫ x e dx 2.3.2 Mệnh đề ∞ s −1 − x Hàm Γ( s ) = ∫ x e dx có tính chất sau (i) Γ(1) = (ii ).Γ( s + 1) = sΓ( s ), ∀s > (iii ) Γ( k + 1) = k !, ∀k = 1,2,3, Chứng minh ∞ −x u (i) Ta có Γ(1) = ∫ e dx = −e 0 =1 −∞ (ii) Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có kết (iii) Áp dụng (i) (ii) ta có Γ(k + 1) = k Γ( k ) = = k !Γ(1) = k ! 2.3.3 Mệnh đề * Γ p ( s + 1) − s , s ∈ ¢ p (i) = Γ p (s) −1, s ∈ p¢ p (ii ) Nếu s ∈ ¢ p Γ p ( s )Γ p (1 − s ) = ( −1) s , s = s0 + ps1 , với số nguyên s ∈ { 1,2, , p} ta có 23 (iii ) Cho s ∈ ¢ p m số nguyên dương không chia hết cho p Khi ta có: ∏ m −1 h=0 Γ p ( ( s + h) / m ) Γ p ( s )∏ h =1 Γ p ( h / m ) m −1 = m1− s ( m − ( p −1) ) s1 Chứng minh (i) Suy trực tiếp từ định nghĩa (ii ) Với s = ta có Γ p (1) = −1 theo định nghĩa Và Γ p (0) = −Γ p (1) = Suy ra: Γ p ( s )Γ p (1 − s ) = Γ p (1).Γ p (0) = −1 = (−1) s Bây giả sử đẳng thức với s = k , ta cần chứng minh đẳng thức với s = k + Áp dụng tính chất (i ) ta có * Γ p ( s + 1).Γ p (1 − ( s + 1)) − s / (−(− s )) = −1 , s ∈ ¢ p = Γ p ( s ).Γ p (1 − s ) , s ∈ p¢ p −1 / (−1) = Và điều cho ta thấy đẳng thức với s = k + (iii ) Ta đặt ∏ f ( s) = m −1 h =0 Γ p ( ( s + h) / m ) Γ p ( s )∏ h=1 Γ p ( h / m ) m −1 s g ( s ) = m1− s ( m − ( p −1) ) f g liên tục Với s = k = f (1) = g (1) = Bây ta tiến hành quy nạp k , ta có * f ( s + 1) Γ p ( s ).Γ p (( s / m) + 1) 1 / m , s ∈ ¢ p = = f ( s) Γ p ( s + 1).Γ p ( s / m) 1 , s ∈ p¢ p * Mặt khác, s ∈ ¢ p ( s + 1)0 = s0 + g ( s + 1) m1−( s +1) = 1− s = , với ( s + 1)0 = s0 + g (s) m m 24 2.4 Đa giác Newton 2.4.1 Khái niệm Giả sử n f ( x) = + ∑ x i ∈1 + X £ P [ X ] , i =1 đa thức bậc n với hệ số tự Xét điểm sau điểm mặt phẳng tọa độ thực: (0,0),(1, ord p a1 ), ,(i, ord p ), ,(n, ord p an ) ( Nếu = ta bỏ điểm ta coi điểm vơ tận nằm phía trục hồnh) Đa giác Newton f ( x ) định nghĩa bao lồi tập hợp điểm nghĩa đường thẳng cao nối (0,0) với (n, ord p an ) cho qua nằm tất điểm (i, ord p ) Bao lồi xây dựng cách lấy đường thẳng qua (0,0) quay quanh (0,0) ngược chiều kim đồng hồ gặp điểm (i1 , ord p ) Đoạn thẳng nối (0,0) với (i1 , ) đoạn thẳng đa giác Newton Sau quay đường thẳng quanh (i1 , ord p ) gặp (i1 , ord p ) ta đoạn 1 thẳng thứ đa giác Newton Tiếp tục quay đường thẳng quanh (i2 , ord p ) lặp lại trình gặp điểm (n, ord p an ) 2.4.2 Ví dụ f ( x) = + x + x + 3x Ô [ X ] Ta có: ord 3a2 = 0; ord 3a3 = −1; ord 3a4 = Do ta có đa giác Newton f ( x ) sau: 25 (4,1) (0,0) (3,-1) Các đỉnh đa giác Newton điểm (i j , ) Đoạn thẳng nối điểm (i, m) j (i ', m ') độ dốc là: (m '− m) / (i '− i) Độ dài dốc i '− i , độ dài hình chiếu đoạn thẳng tương ứng xuống trục hoành 2.5 Độ cao chuỗi lũy thừa 2.5.1 Định nghĩa Độ cao chuỗi lũy thừa ∑a z n n (1) ,tại v( z ) = t xác định hệ thức h(∑ , t ) = { v(an ) + nt} 0≤ n v( z0 )} Chứng minh (i) Như biết chương trước, chuỗi lũy thừa (1) hội tụ lim an z n p = n →∞ ⇔ lim p −{ v ( a ) + nt} = n n →∞ ⇔ lim { v(an ) + nt} = ∞ n →∞ (ii ) Theo mệnh đề (i) , chuỗi (1) hội tụ z0 nên lim { v(an ) + nv( z0 )} = ∞ n →∞ Khi đó: lim { [ v(an ) + nv( z )] − [ v(an ) + nv( z0 )]} n →∞ = lim { n [ v ( z ) − v ( z0 ) ] } = ∞ n →∞ 27 { v(an ) + nv( z )} = ∞ Chứng tỏ chuỗi hội tụ Với v( z ) > v( z0 ), lim n →∞ { } điểm thuộc miền z ∈ £ p : v ( z ) > v ( z0 ) 2.5.5 Chứng minh định lý Giả sử chuỗi lũy thừa (1) hội tụ đĩa Dr, theo bổ đề 2.5.4 ta nhận lim{v( an ) + nt} = ∞ n→∞ với z ∈ Dr Vì | z | p < r nên t = v( z ) > t0 , ∀z ∈ Dr chứng tỏ t0 = − log p r đường tiệm cận đa giác Newton Ngược lại, t0 = − log p r đường tiệm cận đa giác h(∑ , t ) , với t → t0 + ta có lim{v( an ) + nt} = ∞ n→∞ Sử dụng bổ đề khẳng định chuỗi (1) hội tụ đĩa Dr Định lý chứng minh 2.5.6 Nhận xét Bằng khái niệm độ cao miền hội tụ chuỗi lũy thừa p – adic cách nhanh chóng số trường hợp: ∞ (i) Xét chuỗi ∑p n2 z n (Ví dụ 2.2.2 (iii)) n =0 Chúng ta có v( an ) + nt = n + nt → ∞ n → ∞ với t Vì v( an ) + nt triệt tiêu t0 = −n , n → ∞ t0 → −∞ , tức r → ∞ Vậy chuỗi hội tụ toàn mặt phẳng C p (ii) Cho chuỗi lũy thừa ∞ ∑p − n2 z n (Ví dụ 2.2.2 (iv)) n =0 Chúng ta nhận v( an ) + nt = − n + nt triệt tiêu t0 = n n → ∞ , ta có t0 → ∞ nghĩa r → Vậy chuỗi phân kỳ điểm thuộc C p \ {0} 28 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày lại cách có hệ thống khái niệm giá trị tuyệt đối trường định giá, xây dựng trường số hữu tỷ p - adic Ô p v xõy dng trng s phc p - adic £ p Trình bày chứng minh định lý tính hội tụ chuỗi lũy thừa So sánh tính hội tụ chuỗi lũy thừa trường Acsimét trường phi Acsimét Tìm hiểu mối quan hệ giữ khái niệm độ cao chuỗi lũy thừa tính hội tụ Các kết tìm hiểu trình bày chi tiết định lý 1.1.5; 1.1.9 mệnh đề : 2.2.4; 2.3.2; 2.3.3; định lý 2.5.3; ví dụ 2.2.2 nhận xét 2.5.6 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự suy biến đường cong chỉnh hình tính hyperbolic Brody p-adic, luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [2] Mai Văn Tư (1995), Lý thuyết Nevanlinna - Cartan P - adic ứng dụng, luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [3] Mai văn Tư (2012), giảng Lý thuyết p-adic, Trường Đại học Vinh Tiếng anh [4] D.Chen end X Yang (2004), Hausdor measures of a class of Sierpinski carpets, Anal Theory Appl 20, 167-174 [5] HaHuyKhoai and MaiVanTu (1995), p-adic Nevanlinna Cartan theorem, Inter J Math Vol, No.5 [6] N.I Koblitz (1979), P-adic numbers, p-adic analysis and Zeta-function, Springer Verlag [7] S.Lang (1991), Number theory III, Encyclopedia of Mathematical Sciences Verlag [8] Z Zhou and J.Le (2006), Some Problems on Fractal Geometry and Dynamical Sytems, J Eng Math Xian, 761-766 30 ... giác Newton) chuỗi lũy thừa Điểm t = v( z ) đỉnh đa giác gọi điểm tới hạn chuỗi 26 lũy thừa Định lý sau nêu lên mối liên hệ tính hội tụ độ cao chuỗi lũy thừa 2.5.3 Định lý Chuỗi lũy thừa (1) hội... Brody p-adic, luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [2] Mai Văn Tư (1995), Lý thuyết Nevanlinna - Cartan P - adic ứng dụng, luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [3] Mai văn Tư (2012),... ∞ (iii) Xét chuỗi hàm ∑p n2 zn n =0 (3) Rõ ràng chuỗi lũy thừa phức (3) phân kỳ điểm z ≠ Trong đó, chuỗi lũy thừa p – adic (3) lại hội tụ toàn mặt phẳng C p 20 ∞ (iv) Xét chuỗi lũy thừa ∑p −n2