Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 094.673.6868 Lêi Giíi ThiƯu Mục lục MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Lời giới thiệu Phần thứ nhất: Kiến thức Phần thứ hai: Các tốn diện tích hình phẳng Phần thứ ba: Bài tập minh họa phương pháp Phần thứ tư: Bài tập tự luyện Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng Trang 14 54 Chúc em học sinh ôn tập thật tốt dành kết thật cao hai kỳ thi tới! Trong chương trình tốn 12 mà cụ thể phân mơn Giải tích em học sinh tiếp cận với tốn diện tích hình phẳng Chương III Trong học Sách giáo khoa đề cập đến số tốn diện tích hình phẳng Xong để giải toán mà biết áp dụng cơng thức thơi chưa đủ, với tốn tính diện tích hình phẳng em gặp tích phân hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối, mà việc tính tích phân khơng phải dễ dàng tất em học sinh Hơn nữa, thực tế năm gần kể từ Bộ giáo dục cải tiến phương thức đề theo hình thức chung câu hỏi phần tích phân nói chung hay ứng dụng tích phân nói riêng có xác suất xuất thường xuyên đề thi Tốt nghiệp THPT thi vào trường Đại học Với tất lý trên, với kinh nghiệm thân trực tiếp giảng dạy học sinh lớp 12 luyện thi Đại học Tôi mạnh dạn tổng hợp, phân loại viết giảng “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” để trao đổi với bạn đồng nghiệp làm tài liệu giúp em học sinh ôn luyện kỳ thi tốt nghiệp THPT thi vào trường Đại học Trong giảng đề xuất phương pháp để giải tốn diện tích hình phẳng, là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân, phương pháp đồ thị phương pháp giả định gần 20 tập để minh họa cho phương pháp Sau lời giải toán tác giả có nhận xét giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng sáng sủa nhất./ Thạch Thất, ngày 20 tháng 02 năm 2011 Tác giả Nguyễn Văn Dũng Trang 56 Bài toán diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Phần thứ 21 y = tanx, y = 0, x= 0, x = KIẾN THỨC CƠ BẢN S   f ( x)dx  F ( x) a b a  F (b)  F (a ) (Trong F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn tập K, với a, b  K) Các tính chất tích phân a 2.1)  f ( x)dx  a b 2.2)  b 2.3) b c c b b a a b 2.6) b - Hết - a b 2.5)  k f ( x)dx k  f ( x)dx a x2 chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính R = 2 thành hai phần Tính tỷ số diện tích chúng   f ( x)  g ( x)dx  f ( x)dx   g ( x)dx b a b 2.4)  Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2 + đường thẳng d: y = mx + 1) Tìm m để hình phẳng giới hạn (P) (d) có diện tích nhỏ 2) Gọi A(-1;1), B(2; 4) hai điểm (P), tìm điểm M cung AB để diện tích tam giác ABM lớn Bài 3: Parabol y   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a (P) M trục Oy a f ( x)dx    f ( x )dx a 094.673.6868 22 y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5, y = 23 Tìm hồnh độ điểm M parabol (P) y = x2 + cho diện tích hình phẳng giới hạn (P), tiếp tuyến Công thức Niutơn – Laibơnit b Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng (k  R ) a b b   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx a a a b 2.7) Nếu f(x)  đoạn [a; b]  f ( x)dx  a b 2.8) Nếu f(x)  đoạn [a; b]  f ( x)dx  a Trang Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 55 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Phần thứ tư BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau  y = cos2x, y = 0, x = 0, x  y = x3 + 3x2, trục hoành, x = - 2, x = -1 2x  , trục hoành, trục tung x 1  3x  y  , trục hoành, trục tung x 1 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng Một số phương pháp tính tích phân Ngoài phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân ta cịn dụng đến phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần 3.1 Phương pháp đổi biến số Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b], giả sử hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục đoạn [  ;  ] cho u(  ) = a, y  y = x2 – 3x + 2, y = x + 1, x = y    x , x2 + 3y = y = x2 + 1(P), trục Oy tiếp tuyến (P) điểm M(2; 5) y   x , y = 2(1 – x) y = x2, y  x 10 y = - x2 + 4x , y= x 11 y = ex, y = 2, x = 12 y = x2 – 4x + tiếp tuyến A(1; 2) B(4; 5) 13 y = 2x2 , y = x4 – 2x2, x  x2 14 y = x, y = 1, y  , x  0, y  15 16 17 18 19 20 y = x2 , y = 4x – 4, y = - 4x – y = |lnx|, y = y = sin|x|, y = |x| -  y2 – 2x = , x + y = y2 = 2x, x - 2y + = 0, y = 0, trục Ox y2 = 2x, 27y2 = 8(x – 1)3 094.673.6868  b u(  ) = b a  u(t)  b, ta có:  f ( x)dx   f u (t ).u ' (t )dt a  Chú ý: Một số dấu hiệu dùng phép đổi biến - Hàm lũy thừa u  (x)  đặt t = u(x) - Hàm mũ au(x)  đặt t = u(x) - Hàm phân thức  đặt t = mẫu số - Hàm chứa  đặt t = - Hàm chứa a  x2  đặt x = a.sint (a > 0, t  [-  /2;  /2] - Hàm chứa x2  a  đặt x = a/sint (a > 0, t  [0;  /2] - Hàm chứa x2  a  đặt x = a.tant (a > 0, t  (-  /2;  /2) 3.2 Phương pháp phần Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục b b b [a;b] thì:  u ( x ).v ' ( x).dx  u ( x).v( x)   v( x ).u ' ( x ).dx a a a b b b hay  u.dv  u.v   v du a a a Chú ý: Một số dấu hiệu dùng phép phần Trang 54 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868  Đặt u = P(x)  P( x) sin f ( x)dx  P( x ) cos f ( x)dx  P( x).e dx   P( x) ln f ( x)dx  Đặt u = P(x)   Đặt u = ln f(x) f ( x) Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Nhận xét sau lời giải: - Đây tập tương đối khó lí do: thứ tốn tính diện tích hình phẳng giả thiết toán chưa cụ thể, thứ hai lại toán cực trị Giá trị tuyệt đối tích phân chứa giá trị tuyệt đối 4.1 Giá trị tuyệt đối  f ( x ) f ( x)  f ( x)    f ( x) f ( x )  Hệ quả: (ý nghĩa hình học): a) Xét đồ thị (C) hàm số y = f(x) liên tục [a; b] - Nếu (C) nằm trục hồnh f(x)  với x  [a; b], đó, ta có: |f(x)| = f(x),  x  [a; b] - Nếu (C) nằm hồnh f(x)  với x  [a; b], đó, ta có: |f(x)| = - f(x),  x  [a; b] b) Xét đồ thị (C) hàm số y = f(x) đồ thị (D) hàm số y = g(x) liên tục đoạn [a; b] - Nếu (C) nằm (D) đoạn [a;b] f(x)  g(x) [a; b] Khi đó, ta có: |f(x) – g(x)| = f(x) – g(x) ,  x  [a; b] - Nếu (C) nằm (D) [a;b] f(x)  g(x) [a; b] Khi đó, ta có: |f(x) – g(x)| = g(x) – f(x),  x  [a; b] 4.2 Tích phân chứa giá trị tuyệt đối b Xét tích phân I   f ( x) dx a b a) Nếu f(x)   x  [a; b] I =  f ( x)dx  a b b) Nếu f(x)   x  [a; b] I = -  f ( x)dx  a c) Nếu f(x) đổi dấu đoạn [a; b], Trang Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 53 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Mặt khác ta có: Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 chẳng hạn f(x)   x  [a; c] f(x)   x  [c; b] 2 2 c b c b AB  (b  a )  (b  a )  (b  a)  (b  a )  b  a ta có: I   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x)dx   f ( x )dx Theo giả thiết AB =   b – a  (2) d) Nếu f(x) giữ nguyên dấu [a; b] ta có: a b  a  a  1 Vậy MaxS =     b 1 b  a   A(- 1; 1) B( 1; 1) c b Từ (1) (2)  S  a c b I   f ( x) dx = |  f ( x)dx | a a (Đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân) Câu 2: Gọi A(a; a2) , B(b; b2) ( với giả thiết a < b)  phương trình đường thẳng qua điểm A, B là: y = (b + a)x – ab, (d) Mặt khác ta có: (d) đia qua I(1; 3) nên ta có: = a + b – ab  a + b = + ab (*) Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: b S  a b  (b  a ) x x3    abx   (b  a) x  ab  x dx   a     ( a  b) b  ab  a   (b  a )   ab       b  a S (đvdt) (3) Từ (*), ta suy ra: (a + b) = ( + ab)2 2  (b – a) = + (ab + 1)  (b – a)  hay b – a  2 (4)  Từ (3) (4)  S  Vậy MinS = 8  ab   a  b   ab Đạt    ab  1    (d) : y = 2x +1 a  b  Trang 52 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Phần thứ hai CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Một số tốn Bài tốn 1: Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Xét hình phẳng D giới hạn đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b b Ta có: S   f ( x) dx a Chú ý: - Trong thực tế giả thiết toán khơng cho trước cận lấy tích phân (tức không cho x = a, x = b) - Cho dù giả thiết cho hay không cho cận lấy tích phân, việc ta phải làm tìm nghiệm PT f(x) = - Sau cần lập cơng thức tính diện tích D sử dụng phương pháp đề cập sau để tính diện tích Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 thẳng qua điểm A, B đạt giá trị lớn 2) Gọi d đường thẳng qua I(1; 3), tìm phương trình đường thẳng d cho diện tích hình phẳng giới hạn (P) d đạt giá trị nhỏ Nhận xét trước giải - Đây tốn cực trị diện tích hình phẳng, nên trước hết ta cần lập cơng thức tính diện tích S(tức thiết lập giả thiết liên quan đến S) - Với câu 1, trước hết ta cần giả thiết tọa độ A, B  lập phương trình đường thẳng qua điểm A, B  diện tích S - Với câu 2, thực chất việc xác định điểm A, B (P) với điều kiện I  AB , khác với câu xác định A, B với điều kiện AB = - Sau tính S, ta cần sử dụng phương pháp thích hợp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ S Câu 1: Gọi A(a; a2) , B(b; b2) ( với giả thiết a < b)  phương trình đường thẳng qua điểm A, B là: y = (b + a)x – ab, (d) Bài toán 2: Hình phẳng giới hạn hai đường cong Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: b S  a Trang Bài tốn diện tích hình phẳng b  (b  a ) x b  a 3 (1) x3   abx    (b  a) x  ab  x dx   a    Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 51 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 4x = (4 – x)3  (x – 2)(x2 – 10x + 32) =  x = Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Xét hình phẳng D giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b b Ta có: S   f ( x)  g ( x) dx a Chú ý: - Nếu giả thiết tốn ta thay g(x) = ta có tốn - Trong thực tế giả thiết tốn khơng cho trước cận lấy tích phân (tức khơng cho x = a, x = b) - Cho dù giả thiết có cho hay khơng cho cận lấy tích phân, việc ta phải làm tìm nghiệm phương trình f(x) – g(x) = - Sau cần cần lập cơng thức tính diện tích D sử dụng phương pháp đề cập sau để tính diện tích S Với x =  y2 =  y  2 Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm, từ hình vẽ ta có: S = S1+S2 = 2S1 2 2  y2   33 y3    4 y  dy 24y  y    152 4 12 15   Nhận xét sau lời giải 3: - Từ hình vẽ ta thấy phần hình phẳng cần tính diện tích có trục đối xứng trục hồnh nên ta viết S = S1 + S2, S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường x  - y2 , x   y , y = 0, y  2 Từ hình vẽ ta thấy đồ thị (d): x   y nằm đồ 2 S1   thị y2 (P): x  nên ta có:  y2    y  dy   Bài 16: Cho (P) y = x2 1) Gọi A, B điểm (P) cho AB = 2, tìm tọa độ A, B cho diện tích hình phẳng giới hạn (P) đường Trang 50 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn 3: Hình phẳng giới hạn đường cong tự cắt khép kín Với tốn giả thiết cho hình phẳng giới hạn , hay đường cong nhiều Khi để giải toán ta sử dụng phương pháp đồ thị để tìm lời giải, ta cần làm theo trật tự sau đây: - Bước 1: Vẽ đồ thị tất đường cho hệ trục tọa độ - Bước 2: Xác định phần hình phẳng cần tính diện tích - Bước 3: Tìm hồnh độ giao điểm đường cong - Bước 4: Chia nhỏ phần hình phẳng cần tính diện tích đường thẳng x = c ( x = c hồnh độ giao điểm đường cong tìm bước 3) - Bước 5: Lập cơng thức tính diện tích S Chú ý Tương tự (bằng cách coi x hàm, y biến) diện tích hình phẳng giới hạn đường x = f(y), x = g(y) hai đường thẳng y = c, y = d là: Bài toán diện tích hình phẳng Trang Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng d S   f ( y )  g ( y ) dy c (trong x = f(y), x = g(y) hai hàm liên tục đoạn [c; d]) Một số phương pháp tính diện tích hình phẳng Bạn đọc thân mến, chất việc tìm diện tích hình phẳng tính tích phân có dấu giá trị tuyệt đối, phần giới thiệu phương pháp tính tích phân chứa dấu gái trị tuyệt đối phương pháp tính diện tích hình phẳng Từ y  x  x  y  2 Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: 2 S  2  2 Xét tích phân S   f ( x) dx a Thì ta có: S =  b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a Chú ý: - Để lập bảng xét dấu biểu thức f(x) trên, trước tiên ta cần tìm nghiệm phương trình f(x) = thuộc đoạn [a; b] - Xét dấu trực tiếp biểu thức f(x) việc ta sử dụng bảng xét dấu (bảng xét dấu dựa định lý dấu đa thức ẩn x) y2  y  dy  2 b  y2 (P) y  4  x 3  x   y (d) Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: 4x = (4 – x)3  (x – 2)(x2 – 10x + 32) =  x = Với x =  y2 =  y  2  (P) (d) cắt điểm có tung độ y  2 Phương pháp 1: Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối Để xét dấu biểu thức f(x) đoạn [a; b] ta sử xét dấu trực tiếp gián tiếp cách giải BPT tương ứng Sau tách tích phân I thành tổng tích phân đoạn con, mà đoạn f(x) không đổi dấu Chẳng hạn ta có bảng xét dấu f(x) đoạn [a; b] sau x a   b f(x) + + 094.673.6868 2  y2  y  dy 2   y2  y3    y  dy   y  y    12     28  12 152   (đvdt) 15 Lời giải 2: (phương pháp giả định) 2 S  2 2 2  y2  y  dy  2  y2  y  dy 2   y2  y3    y  dy  2 y  y    12     152 15 Nhận xét sau lời giải 2: Sau giả định kết ta thu S = 152 > 0, nên điều 15 giả định Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) y2 Từ y  x  x  (P) y  4  x 3  x   y (d) Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: Trang Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 49 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Từ hình vẽ, ta gọi S diện tích cần tìm S = S1 + S2 , S1 diện tích phần hình phẳng giới hạn đường y   x , y = – x, x =1, x = 4; S2 diện tích phần hình phẳng giới hạn đường y   x , y    x , x = 4, x =   Ta có S1    x  (3  x) dx   19 (đvdt) (đvdt) 19 Vậy S = S1 + S2 =   (đvdt)  S2    x  (  x ) dx = Nhận xét sau lời giải 5: - Bằng việc coi x biến, y hàm ta giải xong toán phương pháp đồ thị, xong dài chưa sáng sủa - Tóm lại gặp tốn dạng ta nên sử dụng phương pháp đồ thị Bài 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  4  x 3 Nhận xét trước giải - Giả thiết toán cho hai hàm số y  x , y  4  x  (có bậc hai y, bậc x lẻ) nên ta coi x hàm y biến Tức từ giả thiết ta phải rút x theo y - Việc coi x hàm y biến khơng ảnh hưởng đến kết tốn diện tích hình phẳng - Ta giải tốn theo phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối giả định Lời giải 1: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngoài) Trang 48 Bài tốn diện tích hình phẳng Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 - Xét dấu gián tiếp thực việc xét dấu trực tiếp không thực (ví dụ với biểu thức f(x) = ex – e- x + ta dùng bảng để xét dấu) Khi ta giải Bất phương trình f(x) > (hoặc f(x) < 0) Phương pháp 2: Dùng đồ thị hàm số Trong phương pháp ta cần ghi nhớ kết sau Kết 1: Nếu y đoạn [a; b] đồ thị y = f(x) hàm số y = f(x) liên tục nằm trục hồnh ta có: a O b x b S   f ( x) dx a b =  f ( x)dx a Kết 2: Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) liên tục nằm trục hồnh ta có: y a b x O b S   f ( x) dx y = f(x) a b = -  f ( x)dx a Bài tốn diện tích hình phẳng Trang Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng Kết 3: Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) liên tục nằm đồ thị hàm số y = g(x) ta có: y 094.673.6868 y = f(x)  O x 1   f ( x)  g ( x) dx a Kết 4: Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) liên tục nằm đồ thị hàm số y = g(x) ta có: y y = g(x) b a O x y = f(x) b  g ( x)  f ( x) dx a Để thực theo phương pháp này, ta cần tiến hành theo bước sau:  Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số giả thiết hệ trục tọa độ  Bước 2: Xác định phần hình phẳng cần tính diện tích  Bước 3: Tìm hồnh độ giao điểm đường cong tự cắt  Bước 4: Chia nhỏ phần hình phẳng cần tính diện tích đường thẳng x = c (x = c hồnh độ giao điểm đường cong tìm bước 3)  Bước 5: Lập cơng thức tính diện tích S Trang 10 1  y3 y     y  y  dy      y   (đvdt) 1   1 b a 2 a b  S   f ( y)  g( y) dy    y  y  dy b S   f ( x)  g ( x) dx = 2 Lời giải 4: (phương pháp giả định) y = g(x) 094.673.6868  y3 y   y  y  dy      y     1  1 b a S   f ( x)  g ( x) dx = Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng Bài tốn diện tích hình phẳng ( Kết S > 0, chứng tỏ điều giả định đúng) Nhận xét sau giải - Đây toán đặc biệt mà ta coi y biến, x  lời giải gọn gàng sáng sủa - Một lời khuyên nhỏ gặp hàm số mà bậc y khác ta nên coi y biến x hàm - Tất nhiên ta coi x biến, y hàm được, lời giải khơng đẹp cách Lời giải 5: (coi x biến, y hàm) Nhận xét trước giải - Trước hết lưu ý rằng: y2 + x – =  y    x  giả thiết cho đường y  sử dụng phương pháp đồ thị - Hoành độ giao điểm ĐTHS y = – x y   x nghiệm phương trình: – x   x  x = - Hoành độ giao điểm ĐTHS y   x y    x nghiệm phương trình:  x    x  x = - Hoành độ giao điểm ĐTHS y = – x y    x nghiệm phương trình: – x    x  x = Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 47 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Phần thứ ba BÀI TẬP MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP Trong phần tập trung giới thiệu số tập diện tích hình phẳng, với đa dạng giả thiết toán giải phương pháp trình bày Tuy nhiên tùy thuộc vào tốn cụ thể ta có nhận xét lựa chọn phương pháp giải tối ưu Bài 1:( Ví dụ – SGK Giải tích 12- trang 115) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3, trục hoành hai đường thẳng x = - 1, x = Nhận xét trước giải - Giả thiết có đủ giả thiết tốn - Đây toán đề cập đến phần khảo sát thực tế, toán giải phương pháp xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối - Bây ta giải toán phương pháp nữa, là: phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ngoài, phương pháp đồ thị phương pháp giả định Lời giải 1: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi) Ta có x3 =  x =  [- 1; 2], hình phẳng có diện tích là: S   x dx   | x |dx   | x |dx x4 x4 17   x dx   x dx    4 (đvdt)  4 4 1 2  S = S1 + S2    x  dx  x  Nhận xét sau lời giải 1: - Sau tách tích phân ta nhận thấy biểu thức f(x) = x3 xác định dấu đoạn [- 1; 0] [0; 2], nên ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi 32   x2    dx  ln (đvdt) x  Nhận xét sau lời giải: - Từ hình vẽ ta thấy phần hình phẳng cần tính diện tích (được giới hạn đường tự cắt) phải chia nhỏ thành phần có diện tích tương ứng S1 S2, S1 phần hình phẳng giới hạn đường y  x2 , y  ,x= x , x = S2 phần hình phẳng x2 giới hạn đường y  , y  , x = 2, x = x 32 1 2 1 Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: Mới đầu nhìn tốn thấy khó, sau cụ thể giả thiết vẽ đồ thị hàm số, ta thấy toán thật đơn giản - Tương tự 10, 11, ta không nên sử dụng phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối phương pháp giả định để giải Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  , y | x | 5 - Nhận xét trước giải Trang 14 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 43 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 x2 , x = 0, x = S2 phần hình phẳng x2 giới hạn đường y  , y  , x = 2, x = x y  x2 , y  - - Mới đầu nhìn tốn thấy khó, sau cụ thể giả thiết vẽ đồ thị hàm số, ta thấy toán thật đơn giản Bài tập không nên sử dụng phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối phương pháp giả định Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Lời giải sai ta khơng tách tích phân mà đưa dấu giá trị tuyệt đối sau lập S, tức - 2 viết S   x dx   x 3dx , biểu thức f(x) = x3 chưa xác 1 1 định dấu đoạn [- 1; 2] Lời giải 2: (phương pháp đồ thị) Ta có x3 =  x =  [- 1; 2], Từ hình vẽ ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có S = S1 + S2 =   x dx   x dx = 1 17   (đvdt) 4 Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị x2 hàm số y  x , y  , y  , y  x x Nhận xét trước giải - Bài tập dạng toán ta nên sử dụng phương pháp đồ thị để giải Lời giải : (phương pháp đồ thị) - PT hoành độ giao điểm ĐTHS y  x y   x= 2 là:  x2 x x - PT hoành độ giao điểm ĐTHS y  x y  8 là:  x2 x x  x=2 - PT hoành độ giao điểm ĐTHS y  x2 y  là: x x2   x=2 x - PT hoành độ giao điểm ĐTHS y  x2   x= x Trang 42 x2 y  là: x Nhận xét sau lời giải 2: Phần hình phẳng cần tính có diện tích S tách thành tổng phần hình phẳng có diện tích S1 S2 Trong S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3, y = 0, x= -1, x = 0( phần nằm trục hồnh) S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3, y = 0, x= 0, x = 2( phần nằm trục hoành) Lời giải 3: (phương pháp giả định) Ta có x3 =  x =  [- 1; 2], hình phẳng có diện tích là: 2 1 1 1 17  4 (???) 4 32 Bài toán diện tích hình phẳng S   x dx   | x |dx   | x |dx   x 3dx   x 3dx Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 15 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Nhận xét sau lời giải trên: - Sau tách thành tích phân, ta tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt giả định tích phân mang dấu cộng (tức | x 1 |dx   x 3dx ) tích phân thứ hai 1 2 mang dấu trừ (tức là:  | x |dx    x 3dx ) - - 17 ( diện tích ln dương) Do ta cần thêm dấu trừ (-) vào sau tất dấu bằng(=) bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bây ta trình bày lại sau: 094.673.6868 - Hoành độ giao điểm ĐTHS y  x y  x2 nghiệm x2 phương trình:  x2  x = - Hoành độ giao điểm ĐTHS y  x y  nghiệm x phương trình: Nhưng điều giả định sai kết diện tích S = Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng  x2  x = x - Hoành độ giao điểm ĐTHS y  phương trình : x2 y  nghiệm x x2   x =4 x 0   S   x dx   | x |dx   | x |dx    x dx   x dx  1 1 0  1  4  x x 2         17 (đvdt)        1 0 3 Bài 2:(Bài 26 – SGK Giải tích 12 Nâng cao – trang 167) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 7 y = sinx + 1, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = Nhận xét trước giải - Giả thiết có đủ giả thiết toán - Bây ta giải tốn phương pháp nữa, là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ngoài, phương pháp đồ thị phương pháp giả định Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Trang 16 Bài tốn diện tích hình phẳng Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S = S1 + S2 2 4   x2   x2  x3 x3    ln | x |    ln    x  dx     dx   x  24  24  0 2 Nhận xét sau lời giải: - Từ hình vẽ ta thấy phần hình phẳng cần tính diện tích (được giới hạn đường tự cắt) phải chia nhỏ thành phần có diện tích tương ứng S1 S2, S1 phần hình phẳng giới hạn đường Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 41 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng    094.673.6868    x  x    x  2 dx   x  x   6 x  14  dx Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng  Ta có sinx + =  sinx = -  x = - + k2  (k  Z)  2 16 (đvdt)   x dx   x  x  16 dx  2 2 Nhận xét sau lời giải: - Qua tập ta thấy rằng, có tập tính diện tích hình phẳng thường giả thiết toán chưa cụ thể, nên trước lựa chọn phương pháp giải ta phải cụ thể hóa giả thiết tốn - Từ hình vẽ ta thấy phần hình phẳng cần tính diện tích (được giới hạn đường tự cắt) phải chia nhỏ thành phần có diện tích tương ứng S1 S2, S1 phần hình phẳng giới hạn đường y = x2 – 2x + 2, y = - 2x + 2, x = 0, x = S2 phần hình phẳng giới hạn đường y = x2 – 2x + 2, y = 6x -14, x = 2, x = - Mới đầu nhìn tốn thấy khó, sau cụ thể giả thiết vẽ đồ thị hàm số, ta thấy tốn thật đơn giản - Bài tập khơng nên sử dụng phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối phương pháp giả định Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị x2 hàm số y  x , y  , y  x 094.673.6868 khơng có nghiệm thuộc đoạn [0; 7 ] Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: 7 S   | sin x  | dx = 7  (sin x  1)dx = 7   (đvdt) Nhận xét sau lời giải 1: - Trong lời giải ta sử dụng kết tốn lượng giác, là: sinx  -1  sinx +   |sinx +1| = sinx + Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngoài) 7 S   | sin x  | dx 7  7  (sin x  |)dx  ( cos x  x) 06  7   (đvdt) Nhận xét sau lời giải 2: - Do biểu thức f(x) = sinx + xác định dấu đoạn [0; 7 ], nên ta đưa dấu giá trị tuyệt đối bên ngồi dấu tích phân Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Nhận xét trước giải - Bài tập dạng toán ta nên sử dụng phương pháp đồ thị để giải Lời giải : (phương pháp đồ thị) Trang 40 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 17 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Từ hình vẽ ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có 7 S  (sin x  1)dx  7   (đvdt) Nhận xét sau lời giải 3: - Vẽ đồ thị hàm số lượng giác việc tương đối khó, xong khơng phức tạp toán - Đồ thị hàm số y = sinx + suy từ đồ thị hàm số y= sinx cách tịnh tiến đồ hàm số song song với trục Oy theo vectơ tịnh tiến OM =(0; 1) - Với học sinh trung bình trở xuống khơng thực theo phương pháp - Do phần hình phẳng nằm trục hoành nên 7 7 S   | sin x  | dx   (sin x  1)dx 0 Lời giải 4: (phương pháp giả định) 7 7 S   | sin x  | dx   (sin x  1)dx  0 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P) y = x2 – 2x + tiếp tuyến (P) qua điểm A(2; -2) Nhận xét trước giải - Giả thiết toán chưa cụ thể, việc ta cần cụ thể hóa giả thiết, tức phải viết phương trình tiếp tuyến (P) qua A(2; -2) - Sau cụ thể hóa giả thiết ta thấy thuộc vào toán - Với tập dạng toán ta nên sử dụng phương pháp đồ thị để giải Lời giải: (phương pháp đồ thị) Phương trình tiếp tuyến (P) qua điểm A(2; - 2) d1: y = - 2x + d2 : y = 6x – 14 - Hoành độ giao điểm d1 d2 nghiệm phương trình: - 2x + = 6x – 14  x = - Hoành độ giao điểm (P) d1 nghiệm phương trình - 2x + = x2 – 2x +  x = - Hoành độ giao điểm (P) d2 nghiện phương trình x2 – 2x + = 6x – 14  x = 7   (đvdt) Nhận xét sau lời giải 4: - Do phương trình sinx + = khơng có nghiệm thuộc đoạn [0; 7 ], nên ta khơng cần phải tách tích phân mà tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt đối với giả định dấu cộng (+) trước dấu tích phân 7 - Kết sau tính S    > nên việc giả định Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S = S1 + S2 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng dấu Trang 18 Trang 39 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S = S1 + S2 + S3       x   ( x  x  3) dx   x   ( x  x  3) dx     x   ( x  x  3) dx Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Bài 3:( Câu I.3 – Đề thi TN THPT năm 2006 – Phân ban) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2 trục hoành Nhận xét trước giải - Bài thuộc vào dạng toán cịn thiếu giả thiết cận lấy tích phân - Ta giải toán phương pháp nữa, là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ngoài, phương pháp đồ thị phương pháp giả định Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Ta có phương trình: - x3 + 3x2 = có nghiệm x = x = Và có bảng xét dấu f(x) = - x3 + 3x2 sau x f(x) + + Vậy hình phẳng cho có diện tích là: 3  x3 5x   x3 3x   x x  109           x      ( đvdt)   2   1   x4  27 S   |  x  x | dx   ( x  3x )dx     x   (đvdt)  0 0 Nhận xét sau lời giải 2: - Trên ta sử dụng phương pháp đồ thị để giải tập 9, nhận thấy phương pháp hay, lời giải sáng sủa mà sử dụng cách đánh phần khảo sát thực tế - Trong cách giải ta tách diện tích S thành tổng phần có diện tích tương ứng S1, S2, S3 đường thẳng x =1 x= 3; với S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2 - 4x + , y = x + 3, x=0, x =1; S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y=- x2+4x- y = x + 3, x=1, x= S3 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2 - 4x + , y = x + 3, x= 3, x = Nhận xét sau lời giải 1: - Việc xét dấu biểu thức f(x) = - x3 + 3x2 khơng khó khăn f(x) đa thức bậc x - Ta nhận xét f(x) = - x3 + 3x2 = x2(3 – x)  ,  x  [0; 3] Trang 38 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng 3 Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi) Phương trình: - x3 + 3x2 = có nghiệm x = x = 3  biểu thức f(x) = - x + 3x xác định dấu đoạn [0; 3], nên diện tích hình phẳng cần tìm 3  x4  27 S   |  x  x | dx   ( x  x )dx     x   (đvdt)  0 0 3 Trang 19 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Nhận xét sau lời giải 2: - Do biểu thức f(x) = - x3 + 3x2 xác định dấu đoạn [0; 3], nên ta đưa dấu giá trị tuyệt đối bên dấu tích phân Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng - Trong lời giải trên, sau xác định cận tích phân lập cơng thức tính S, ta tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt giả định dấu cộng (+) trước dấu tích phân - Nhưng điều giả sử sai kết S =  - diện tích ln dương) Do ta cần thêm dấu trừ (-) vào sau tất dấu bằng(=) bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bây ta trình bày lại sau: 1 S   x  x dx    Từ hình vẽ ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có 3  x4  27     x    0 S   ( x  3x )dx (đvdt) Nhận xét sau lời giải 3: - Đây câu hỏi phụ kèm theo toán khảo sát hàm số nên thường em sử dụng phương pháp đồ thị để giải, dễ dàng em xác định phần hình phẳng cần tính diện tích - Do phần hình phẳng nằm trục hồnh nên ta có 3 S   |  x  x | dx   ( x  3x )dx 0 Lời giải 4: (phương pháp giả định) Ta có phương trình: - x3 + 3x2 = có nghiệm x = x = Khi hình phẳng cần tìm có diện tích 3  x4  27 (đvdt) S   |  x  x | dx   ( x  3x )dx     x    0 0 3 Nhận xét sau lời giải 4: Trang 20 Bài toán diện tích hình phẳng 094.673.6868  ( 12  x  x dx 2 33  2 3   x  x       3 0   12 Nhận xét sau giải - Sau sử dụng phương pháp ta thấy rằng, ta nên sử dụng phương pháp: đưa dấu giá trị tuyệt đối phương pháp giả định để giải tập Bài 9:( Câu III.2 – Đại học khối A năm2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = |x2 – 4x + 3| y = x + Nhận xét trước giải - Giả thiết toán thuộc dạng vào toán với hàm số y = |x2 – 4x + 3| tương đương với hàm số là: y = x2 – 4x + ( x  (-  ; 1)  (3; +  ) y = - x2 + 4x - (khi x  (1; 3) - Đây tập mà ta đề cập đến phần khảo sát thực tế sử dụng phương pháp xét dấu để tìm diện tích Bây ta sử dụng thêm phương pháp đồ thị để giải toán Lời giải 2: (phương pháp đồ thị) Ta xét phương trình hoành độ giao điểm ĐTHS cho là: |x2 – 4x + 3| = x +  x = x = (xem hình vẽ) Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 37 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 không cần phải xét dấu biểu thức f(x) – g(x) = x x mà vân tính tích phân - Do ĐTHS cho có giao điểm (tương ứng với cận lấy tích phân) nên ta khơng phải tách tích phân mà đưa dấu giá trị tuyệt đối sau lập S Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng - Do PT: - x3 + 3x2 = có nghiệm x = x = 3, nên ta không cần phải tách tích phân mà bỏ dấu giá trị tuyệt đối ln với giả định dấu cộng (+) trước dấu tích phân - Kết sau tính S  S x  x dx   (3 x  x )dx  0   (đvdt) 12 Nhận xét sau lời giải 3: - Việc vẽ đồ thị hai hàm số y  x , y  x khó khăn với em học sinh, nên phương pháp khó - Tuy nhiên vẽ đồ thị việc tính toán trở nên đơn giản Lời giải 4: (phương pháp giả định) 1 S  x  x dx   0  2 33  x  x dx   x  x     12 3 0  (???) Nhận xét sau lời giải 4: 27 > nên việc giả định dấu Bài 4:( Câu II.2 – Đề thi TN THPT năm 2003) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y Từ hình vẽ ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có 094.673.6868 x  10 x  12 đường thẳng y = x2 Nhận xét trước giải - Bài thuộc vào dạng tốn cịn thiếu giả thiết cận lấy tích phân - Ta giải tốn phương pháp nữa, là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ngoài, phương pháp đồ thị phương pháp giả định Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Xét phương trình x  10 x  12   x  10 x  12  x2  Phương trình có nghiệm x = -1 x = x  10 x  12 Và có bảng xét dấu f(x)  sau x2 x -2 -1 f(x) + Vậy hình phẳng cho có diện tích là: - + x  10 x  12 x  10 x  12 S  dx    dx  63  16 ln x2 x2 1 1 Nhận xét sau lời giải 1: - Việc xét dấu biểu thức f(x)  x  10 x  12 khơng khó x2 khăn em học sinh học từ lớp 10 Tuy nhiên Trang 36 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 21 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 nhị thức bậc hay tam thức bậc hai nên khơng em cịn lúng túng Để khắc phục khó khăn ta sử dụng thêm định lí dấu đa thức - Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngoài) x  10 x  12 S dx  x2 1  6 x  10 x  12 16   1 x  dx  1  x  14  x  dx   x  14 x  16 ln | x  | 1  16 ln  63 = 63 – 16ln8 (đvdt) Nhận xét sau lời giải 2: - Do biểu thức f(x)  x  10 x  12 xác định dấu đoạn x2 [-1; 6], nên ta đưa dấu giá trị tuyệt đối bên ngồi dấu tích phân Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có S 2 x  10 x  12 x  10 x  12 dx    dx = 63 – 16ln8 (đvdt) x2 x2 1 1  Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng Bài 8:( Bài 27b – SGK Giải tích 12 nâng cao-trang 167) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai đồ thị hàm số y  x , y  x Nhận xét trước giải - Bài toán thuộc dạng tốn cịn thiếu giả thiết cận lấy tích phân - Để giải tập trước hết ta cần tìm cận lấy tích phân, hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x , y3 x Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Đặt f(x)  x , g(x)  x , ta có: f(x) – g(x) = x - x = x (6 x  1) =  x = x = mặt khác f(x) – g(x)   x  [0; 1] Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 1 S   x  x dx   (3 x  x )dx  0 (đvdt) 12 Nhận xét sau lời giải 1: - Phương pháp thực tương đối khó em học sinh ta khơng thể sử dụng bảng để xét mà phải cần xét bất phương trình f(x) – g(x)  - Nói chung em học sinh trung bình trở xuống không nên lựa chọn phương pháp Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngoài) S   x  x dx    x  x dx    (đvdt) 12 Nhận xét sau lời giải 2: - Ở tập ta thấy tiện lợi phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân, Nhận xét sau lời giải 3: Trang 22 094.673.6868 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 35 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Trong ta khơng phải tách tích phân, mà sau lập cơng thức tính S ta tiên hành đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi ln Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) - Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 x  10 x  12 học chương x2 - Do hàm số y  - trình Tốn 12(chương trình nâng cao)nên khơng khó khăn để em khảo sát hàm số này, xác định phần hình phẳng cần tính diện tích Do phần hình phẳng nằm trục hồnh nên ta có 6 x  10 x  12 x  10 x  12 S dx    dx x2 x2 1 1 Với chương trình Tốn 12 em học chương trình không khảo sát hàm phân thức bậc bậc 1, nên phương pháp dùng cho em học theo chương trình nâng cao - Từ hình vẽ ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có 1   S   xe x  ex dx   ex  xe x dx   exdx   xe x dx = 0 0 e - (đvdt) Nhận xét sau lời giải 3: - Phải nói khơng có học sinh giáo viên làm theo cách này, khó để vẽ ĐTHS y = (1 + ex)x - Phải có trợ giúp phần mềm vẽ đồ thị ta vẽ độ thị Lời giải 4: (phương pháp giả định) 1  x  1 x S   xe x  ex dx   ex  xe dx   exdx   xe dx  0 0 e 1 Nhận xét sau lời giải 4: - Do PT: f(x) = g(x) có nghiệm x = x = 1, nên ta khơng cần phải tách tích phân mà tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt đối với giả định dấu cộng (+) trước dấu tích phân - Kết sau tính S  e  > nên việc giả định dấu Trang 34 Bài toán diện tích hình phẳng Lời giải 4: (phương pháp giả định) Diện tích hình phẳng cần tìm 6 S x  10 x  12 x  10 x  12 dx    x  dx x2 1 1 6 16      x  14  dx  x  14 x  16 ln | x  | 1  16 ln  63 x  2 1  (???) Nhận xét sau lời giải trên: - Sau lập công thức tính S, ta khơng phải tách tích phân mà tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt đối với giả định dấu cộng (+) trước dấu tích (tức 6 x  10 x  12 x  10 x  12 S dx   dx ) x2 x2 1 1 - - Nhưng điều giả định sai kết diện tích: S = 16ln8 – 63 < (do diện tích ln dương) Do ta cần thêm dấu trừ (-) vào sau tất dấu bằng(=) bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bây ta trình bày lại sau: Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 23 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 6 x  10 x  12 16   S dx     x  14  dx x2 x  2 1 1     x  14 x  16 ln | x  |  1  (16 ln  63)  63  16 ln (đvdt) Bài 5: (ví dụ – SGK giải tích 12 – trang 116) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = sinx, y = c osx, x= , x =  Nhận xét trước giải - Bài có đủ giả thiết tốn 2, nên ta áp dụng cơng thức tính S - Căn vào giả thiết tập lựa chọn phương pháp giải phù hợp - Ta giải tốn phương pháp nữa, là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ngoài, phương pháp đồ thị phương pháp giả định Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Đặt f(x) = sinx, g(x) = cosx, ta có: f(x) – g(x) =  sinx – cosx =  tanx =    x   k (k  Z), xét đoạn [0;  ]  x = Ta thấy rằng: đoạn [0;  ] ta thấy sinx > 0, cosx > Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Đặt f(x) = (e + 1)x, g(x) = (1 + ex)x Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cho (e + 1)x = (1 + ex)x  (ex – e)x =  x = x = Khi đoạn [0; 1] ta có: f(x) – g(x) = xex – ex = x(ex – e) < Do diện tích hình phẳng cần tìm 1 S   f ( x )  g ( x) dx   xe x  ex dx     ex  xe x dx   exdx   xe x dx  0 e - (đvdt) Nhận xét sau lời giải 1: - Lời giải đáp án hướng dẫn chấm Bộ giáo dục - Tuy nhiên lời giải phương pháp không dễ làm với đối tượng học sinh khá, giỏi ta xét dấu trực tiếp biểu thức f(x) – g(x) = x(ex – e) bảng mà ta phải xét dấu cách gián tiếp qua việc giải bất phương trình f(x) > g(x) Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngoài) 1 S   f ( x)  g ( x ) dx   xe x  ex dx 0 1  ex  xe dx   exdx   xe dx  nên ta có: f(x) – g(x) >  sinx > cosx  tanx >  x >  đoạn [ ;  ] sinx > 0, cosx <  nên f(x) – g(x) >  x  [ ;  ]  Vậy tóm lại: f(x) – g(x) > x  [ ;  ] Nhận xét sau lời giải 2: - Phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân tỏ hiệu với tốn mà ta khơng thể xét dấu biểu thức Trang 24 Bài toán diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng  x Vậy S  x 0 e e  = - (đvdt) 2 Trang 33 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 - Do phần hình phẳng cần tính diện tích có trục đối xứng Oy nên ta viết S  2  4 2 2 x x  dx  4 2 2 4  x x  dx 4 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng  ] Vậy diện tích hình phẳng cho f(x) – g(x) < x  [0;  Lời giải 4: (phương pháp giả định) 2 S 4  2 2 2  x2 x2  dx  4 2  4   16  x dx  2     | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx   2  x dx  I  I2  8 =  + (đvdt) 3 Nhận xét sau lời giải 4: - Do PT f(x) = g(x) có nghiệm x = - 2 x = 2 , nên ta khơng cần phải tách tích phân mà tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt giả định dấu cộng (+) trước dấu tích phân - Kết sau tính S =  +     sin x  cos x dx   sin x  cos x dx = 2 (đvdt) tương tự lời giải 1, ta có I1 =  + I2  Vậy S =  + - S   | sin x  cos x | dx x2 x2  dx 4 2     x  x dx  4   2 094.673.6868 > nên việc giả định dấu Nhận xét sau lời giải 1: - Do việc xét dấu biểu thức f(x) – g(x) = sinx – cosx không đơn giản ta khơng thể dùng bảng ví dụ nữa, nên có em học sinh làm theo phương pháp - Để xét dấu biểu thức ta phải chuyển qua việc xét bất phương trình f(x) – g(x) > Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngoài)   Bài 7:( Câu IV.1 – Đại học Khối A năm 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x Nhận xét trước giải - Bài tốn thuộc dạng tốn cịn thiếu giả thiết cận lấy tích phân - Để giải tập trước hết ta cần tìm cận lấy tích phân, hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x Nhận xét sau lời giải 2: Trang 32 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng  S   | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx    0   sin x  cos x dx   sin x  cos x dx      cos x  sin x  04   cos x  sin x    S = 2 (đvdt) Trang 25 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng Phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân phương pháp tỏ hiệu với tốn diện tích hình phẳng việc xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối phức tạp Phải lưu ý trước đưa dấu giá trị tuyệt đối bên ngồi dấu tích phân ta cần phải tách tích phân Lời giải sai sau lập cơng thức tính S ta đưa ln dấu giá trị tuyệt đối bên ngoài, chẳng hạn: - -  ĐTHS y  4 x2 094.673.6868 nửa Elip (E) x2 y2   ( phần nằm phía trục hồnh) Cịn 16 x2 ĐTHS y  Parabol   S   | sin x  cos x | dx   (sin x  cos x)dx 0 Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có 2 S 4  2 2 2 Từ hình vẽ ta có phần gạch chéo phần hình phẳng cần tính diện tích Ta có  S   | sin x  cos x | dx = S1 + S2    | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx      (cos x  sin x )dx   (sin x  cos x )dx = 2 (đvdt) Trang 26 2  4 x2 x2  dx 4 2     x  x dx  4   Vậy S =  + - =  + (đvdt) 3 Nhận xét sau lời giải 3: - Phải nói học sinh giáo viên làm theo cách này,   x2 x2  dx  4 x2 khơng có để ý ĐTHS y   nửa x2 y2 Elip (E)   ( phần nằm phía trục hồnh) 16  Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 31 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 2 S 4  2 x2 x2  dx  4 2  4 094.673.6868 x2 x2  dx 4 Tuy nhiên lời giải phương pháp không dễ làm với đối tượng học sinh khá, giỏi ta xét - dấu trực tiếp biểu thức f(x) – g(x) = 4 x2 x2 4 bảng mà ta phải xét dấu cách gián tiếp qua việc giải bất phương trình f(x) > g(x) Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngoài) 2 S  2 x2 x2 4  dx  4     x  x dx   4   Vậy S =  + (đvdt) 2 2 2  2  0 16  x dx  2 ĐTHS y = cosx nằm ĐTHS y = sinx) S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = sinx, y =  cosx, x = , x =  (trong phần ĐTHS y = cosx 2  x dx  I  I2 nằm ĐTHS y = sinx) Lời giải 4: (phương pháp giả định)    S   | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx Nếu để ý tinh ta thấy y  4 x  x2 y2   ( Đk : y  0) 16  0 Nhận xét sau lời giải 2: - Lại lần ta lại thấy ưu việt phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân - Trong ta khơng phải tách tích phân, mà sau lập cơng thức tính S ta tiên hành đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi ln Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Nhận xét trước giải Trang 30 094.673.6868 Nhận xét sau lời giải 3: - Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx học từ lớp 11, nên em học sinh sử dụng phương pháp - Phần hình phẳng cần tính có diện tích S tách thành tổng phần hình phẳng có diện tích S1 S2 Trong S1 diện tích hình phẳng giới hạn  đường y = sinx, y = cosx, x= 0, x = (trong phần x2 x2 4  dx 4 2  Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng     sin x  cos x dx   sin x  cos x dx      cos x  sin x  04   cos x  sin x    S = - 2 (???) Nhận xét sau lời giải trên: - Sau tách thành tích phân, ta tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt giả định tích phân mang   dấu cộng (tức là:  | sin x  cos x | dx   (sin x  cos x)dx ) Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 27 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng tích phân thứ  hai mang dấu 094.673.6868 trừ (tức là:   | sin x  cos x | dx    (sin x  cos x)dx ) -             sin x  cos x dx   sin x  cos x dx   0           cos x  sin x  04   cos x  sin x    = 2 (đvdt)   Bài 6:( Câu III – Đại học Khối B năm 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  4 4 094.673.6868 x2 x2 g(x) = , 4 x2 x2 = 4  x + 8x – 128 =  x =  2 4 x2 x2 Hơn f(x) > g(x)   > 4  x + 8x – 128 <  x  (- 2 ; 2 )  S   | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx   | sin x  cos x | dx Đặt f(x) = ta có: f(x) = g(x)  Nhưng điều giả định sai kết diện tích S = - 2 < ( diện tích ln dương) Do ta cần thêm dấu trừ (-) vào sau tất dấu bằng(=) bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bây ta trình bày lại sau: - Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng Khi diện tích hình phẳng cần tìm 2 S  2 x2 x2 4  dx  4 x2 x2 y  4 y  4 x2 x2  dx 4 2 2     x  x dx  16  x dx  0   4  2   I1  I 2 2 2  x dx 2 -Tính tích phân I1 =  16  x dx phép đổi biến x = 4sint 2  I1 =  + -Tính tích phân I2 = Nhận xét trước giải - Bài toán thuộc dạng tốn cịn thiếu giả thiết cận lấy tích phân - Để giải tập trước hết ta cần tìm cận lấy tích phân, hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  4 2 x x y  4 2 2 2  x dx  2 x Vậy S =  + - =  + (đvdt) 3  Nhận xét sau lời giải 1: - Lời giải đáp án hướng dẫn chấm Bộ giáo dục - Do hàm số dấu tích phân hàm số chẵn nên cận lấy tích phân đối nên ta viết Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Trang 28 Bài tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 29 ... tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang 49 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Từ hình vẽ, ta gọi S diện tích cần tìm S = S1 + S2 , S1 diện tích phần hình phẳng. .. tốn diện tích hình phẳng Bài tốn diện tích hình phẳng Trang Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 094.673.6868 Phần thứ hai CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Một số tốn Bài tốn 1: Hình phẳng. .. Phần hình phẳng cần tính có diện tích S tách thành tổng phần hình phẳng có diện tích S1 S2 Trong S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3, y = 0, x= -1, x = 0( phần nằm trục hoành) S2 diện tích