I lý chọn đề tài Cơ sở lý luận: Trong nghiệp chiến đấu bảo vệ tổ quốc, nh nghiệp xây dựng đất nớc Việc tìm đờng cách mạng nh phơng pháp cách mạng đắn khoa học, yếu tố định thành công, có ý nghĩa chiến lợc sống cách mạng Cũng nh toán học việc tìm hớng nh phơng pháp để giải toán quan trọng Nh biết, phơng pháp chung để giải toán, việc giải toán có nhiều phơng pháp nhng việc lựa chọn phơng pháp tối u, để giải toán cần thiết Nó giúp ngời giải toán tiết kiệm đợc thời gian công sức, để đến kết nhanh nhất, đơn giản 2.Cơ sở thực tiễn: Hiện học sinh giải toán gặp nhiều khó khăn phơng pháp, trình bày lời giải, không em trình bày chỗ thừa, chỗ thiếu không em để lại sai sót Đặc biệt em học thuộc lý thuyết nhng vận dụng vào giải tập.Với học sinh lớp 8, trở lên nói đến đẳng thức đáng nhớ, em nhớ viết đợc công thức tổng quát Nhng áp dụng vào giải tập lúng túng Xuất phát từ lý thân đề xuất đề tài ứng dụng đẳng Bình phơng tổng vào việc giải số dạng toán nhằm góp phần khắc phục phần tồn nêu Vậy vận dụng đẳng thức Bình phơng tổng vào giải toán nh Sau xin trình bày số dạng toán áp dụng bình phơng tổng trình giải Mục đích đề tài Giúp định hớng cho em biết vận dụng đẳng thức Bình phơng tổng vào việc giải dạng tập rèn luyện cho học sinh t lô gích, t trừu tợng, t thuật toán, t sáng tạo Phơng pháp nghiên cứu -Nghiên cứu thực trạng việc dạy học vấn đề này, từ đề xuất phơng pháp giải dạng toán -Nghiên cứu sở lý luận việc rèn luyện t duy, cho học sinh thông qua dạy học toán Giả thiết khoa học Nếu áp dụng cách thích hợp đẳng thức Bình phơng tổng đồng thời đổi việc dạy học vấn đề theo hớng t sáng tạo cho học sinh nâng cao đợc chất lợng môn toán lớp 8, lớp bậc trung học sở II Nội dung Cách xác định thành phần đẳng thức ( A B) = A2 AB + B (A, B số biểu thức) Ví dụ 1: Điền vào chỗ ? để có dạng bình phơng tổng ( ? + ?)2 = x2 + ? + 4y2 Xét vế phải: x2 + ? + 4y2có dạng bình phơng tổng suy x2 +? + 4y2 phải có dạng A2 + AB + B ta có A2 = x2 hay A = x; B2 = 4y2 hay B = 2y hạng tử phải điền vào 2A.B = 2x 2y = 4xy ta có (x+2y)2= x2+ 4xy + 4y4 Ví dụ 2: (?-?) = a2- 6ab + ? Xét vế phải: a2- 6ab + ? = a2 2a.3b + ? ta dễ dàng xác định đợc A = a; B = 3b Hạng tử phải điền vào B2 = (3b)2= 9b2 ta có đẳng thức (a- 3b)2 = a2 - 6ab + 9b2 Hai ví dụ đơn giản nhng giúp học sinh xác định đợc thành phần đẳng thức dạng toán khác Vận dụng cụ thể vào dạng toán: Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức: Ví dụ 1: Tính nhanh P = 572+ 114.43 + 432 Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung ta thấy P có hạng tử 57 432 Ta xác định A = 57, B = 43 nghĩ đến việc tách 114.43 = 2A.B Ta có 114.43 = 57 43 = 2.A.B Nh đa đợc P dạng bình phơng tổng, việc tính toán trở nên đơn giản P = 572+ 114.43 + 432 = 572+ 2.57.43 + 432 = (57 + 43)2 = 1002 = 10 000 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: M = a3 + b3 ab2- a2b với a = 5,75; b = 4,25 Ta thấy biểu thức M có chứa hạng tử ab ; a2b ta nghĩ đến việc phân tích xem tách, nhóm hạng tử để xuất dạng bình phơng tổng ta có - ab2 = - 2ab2 + ab2 ; - a2b = - 2a2b + a2b Khi ta nhóm hạng tử M = (a3 2a2b + ab2) + (b3 - 2ab2 + a2b) Đặt nhân tử chung nhóm đợc M = a(a2 2ab + b2) + b(b2 2ab + a2) Các biểu thức ngoặc dạng bình phơng tổng ta việc thu gọn biểu thức thay giá trị a, b vào biểu thức để tính Giải: M = a3 + b3 ab2- a2b = a3 + b3 2ab2 + ab2 - 2a2b + a2b = (a3 2a2b + ab2) + (b3 - 2ab2 + a2b) = a(a2 2ab + b2) + b(b2 2ab + a2) = a(a b)2 + b(b- a)2 = (a b)2(a + b) Với a = 5,75; b = 4,15 M = (5,75 4,25)2(5,75 + 4,25) = 1,52.10 = 22,5 Vậy M = 22,5 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A = x + 2x x 2x Xét biểu thức C = x + x ta thấy hệ số x biểu thức dới ta dự đoán thành phần đẳng thức là: A = x A2 = x B = Có nghĩa là: (A + B)2 = ( x + 1) = ( x 1) + 2 x + = 2x + 2 x + = 2x + 2 x = 2(x + x ) 2 Tơng tự ( x 1) = ( x 1) 2 x + = 2( x x 1) Muốn thu gọn A trớc hết ta tính A biểu thức dới dấu vế phải có dạng bình phơng tổng nh trên, từ ta khử dấu để thu gọn biểu thức x x x x Giải: Điều kiện A = x + x x 2 x = (2 x + 2 x + x 2 x + = ( x + 1) - ( x 1) = x + ( x 1) Nếu x A = x + ( x 1) = 2x +1 2x +1 =2 A= = 2 Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung x < A = x + (1 x 1) = 2 x A = 2x : = 4x Nếu * Bài tập tơng tự: Rút gọn biểu thức: a, x + 2 x + x 2 x b, x c, x x d , 14 x + 2x x + x x x + x + x 2x 2x e, + Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = 2a +2bc +a2 b2 c2 Ta dễ dàng nhóm hạng tử với (1 -2a + a2), -(b2 -2bc +c2) Xuất dạng bình phơng tổng, biểu thức P có dạng hiệu bình phơng suy ta phân tích nhân tử Giải: P = 2a +2bc +a2 b2 c2 = (1 2a + a2) (b2 2b.c + c2) = (1 a)2 (b c)2 = (1 a + b c)(1 a b + c) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử Q(x,y) = 9x6 + 24x3y2 + 16y4 Ta dễ thấy 9x6 = (3x3)2; 16y4 = (4y2)2 suy A = 3x3 , B = 4y2 Ta tách 24x3y2 = 2(3x3)(4y2) = 2A.B Q(x,y) = (3x3)2 + 2.(3x3)(4y2) + (4y2)2 = (3x3 + 4y2)2 Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: M = - 16a4b6 24a5b5 - 9a6b4 Nhìn vào biểu thức M ta cha thấy dạng Bình phơng tổng, mà thấy hạng tử có hệ số hạng tử 16 = 42; = 32 24 =2.3.4 Ta nghĩ đến đa dạng Bình phơng tổng Các hạng tử đa thức có thừa số chung a 4b4 ta đặt a 4b4 biểu thức ngoặc có dạng Bình phơng tổng A = 4b B = 3a; 2AB = 2.4b.3a = 24ab ( = a 4b 16b + 24ab + 9a ) M = a 4b ( 4b ) + ( 4b ) ( 3a ) + ( 3a ) = a 4b ( 4b + 3a ) Đối với dạng : Phân tích đa thức thành nhân tử việc phân tích toán, để đa biểu thức dạng bình phơng tổng, chứa bình phơng tổng giúp đa dạng tích cách nhẹ nhàng Đặc biệt biểu thức có chứa hạng tử có dạng bình phơng hay lũy thừa bậc chẵn số tích số đó.Tuy nhiên trình phân tích cần phải sử dụng thêm số đẳng thức khác Bài tập tơng tự : Phân tích đa thức thành nhân tử 1)25x4 -10x2y + y2 2)( a2+b2-5)2- 4( ab+2)2 3)2 a 2b + 2b 2c + 2a 2c a b c 4) 4x2 - 81 Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung Dạng 3: Giải phơng trình Ví dụ 1: Giải phơng trình 2x - x2 + = (1) ( x x 3) = Ta thấy vế trái phơng trình dạng bình phơng tổng nhng có chứa hạng tử x2 - 2x Ta có A = x; ta có thành phần Bình phơng tổng Muốn ta tách -3 = 1- x2- 2x-3 =(x2- 2x+1)-4= (x-1)2- 2x - x2 + = (1) ( x x 3) = ( x x +1) = ( x 1) = ( x 1) + ( x 1) =0 ( x +1) ( x 3) = ( x +1) = x = x = x = Ví dụ 2: Giải phơng trình y2 + x = y x x2 + ( I ) (Đ/K: x y; x y ) để giải phơng trình (I) ta chuyển vế thức để hai vế phơng trình không âm, sau bình phơng hai vế, chuyển tất hạng tử sang vế trái phơng trình ta có : y2 + x + x + = y x y + x + x2 + + ( y + x ) ( x2 + 2) = y x Ta dễ dàng nhìn thấy hạng tử nhóm với để có dạng Bình phơng tổng ( 4y ) ( ) y + + x2 + x + + ( y 1) + ( x + 1) + 2 ( 4y ( y + 2) ( x + 2) = + 2) ( x + 2) = 2 Do ( y 1) 0; ( x + 1) 0; ( y + x ) ( x + ) Lúc vế trái phơng trình tổng hạng tử không âm nên vế trái không hạng tử không ( y 1) ) ( 4y ; )( ) + x x + 0, ( x + 1) Nên ( y 1) + ( x + 1) + ( y + ) ( x + ) = y = x = x +1 = (thoả mãn điều kiện ) y = y + x = Vậy phơng trình có nghiệm : x=-1, y=1/2 Ví dụ 3: Giải phơng trình Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung x2 + x2 ( x + 2) = 12 (II) (Đ/K: x 2) Vế trái phơng trình (II) có chứa hạng tử x ; x2 ( x + 2) để hạng tử thành phần Bình phơng tổng Với A = x; B = x AB = x x+2 x+2 Ta thêm vào hai vế phơng trình (II)với x x2 + Từ (II) suy 4x ( x + 2) x+2 2x 2x 2.x = 12 2.x x+2 x+2 2x 4x2 x = 12 ữ x+2 x+2 2x 4x2 x + 12 = ữ x+2 x+2 x2 4x2 + 12 = ữ x+2 x+2 Đặt y= x Ta đợc phơng trình y2+ 4y -12=0 (*) x+2 Giải phơng trình (* ) ta đợc y1=2, y2=- Với y1= x = x + x x = x = (thỏa mãn pt (II) Đ/K) Với y2 = - x = x 12 x + x + 12 = phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình (II) có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = x x Giải: Vế trái 3( x + 1) + + 5( x + 1) + + = Vế phải x x = ( x + 1) Vậy vế phơng trình 5, x = - Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên phơng trình ( x + y ) = ( x 1) ( y + 1) (III) Hai vế phơng trình (II) có dạng tích, ta khai triển chuyển hạng tử x + xy + y = xy + x y sang vế trái x + xy + y xy x + y + = x + y + xy x + y + = vế trái có chứa hạng tử x2 ; xy; y2 ; x ; y ;1 Để tạo đợc thành phần đẳng thức, ta nhân hai vế với x + xy + y x + y + = Lúc vế trái có hạng tử 2xy; -2x; 2y Ta nghĩ đến tách 2x2 = x2+x2;2y2 = y2+y2; =1+1 Sau chọn hạng tử nhóm với để nhóm có dạng Bình phơng tổng Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung (x ) ( ) ( ( x + y ) + ( x 1) + ( y + 1) = Ta có ) + xy + y + x x + + y + y + = 2 x = x = y +1 = y = x + y = Vậy phơng trình có nghiệm x =1 y = -1 Khi giải PT việc áp dụng Bình phơng tổng mục đích đa phơng trình dạng tích dạng A( x, y ) = B ( x, y ) = A2(x,y) + B2(x,y) + C2(x,y) + = C ( x, y ) = = Hoặc dạng phơng trình bậc hai ẩn đơn giản Các tập tơng tự : Giải phơng trình : 1, x x x + 12 = 2, x + x + x x = Dạng 4: Giải toán cực trị Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) biểu thức A ta cần chứng minh A K ( A K ) với K số, với giá trị thích hợp biến Khi GTNN ( GTLN) A K Với tính chất ( A+B) ta áp dụng Bình phơng tổng vào giải toán cực trị 1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c 2 Biến đổi P = a x + b + 4ac b 2a 4a Nếu a > 0: P có giá trị nhỏ K = 4ac b 4a Nếu a < 0: P có giá trị lớn K = 4ac b 4a b 2a b x = 2a x = Vậy tam thức bậc có cực trị, kỹ cần rèn luyện phải biết đa hạng tử ax2 bx vào bình phơng Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ M = x2 -2x +5 Ta thấy hạng tử M có chứa hạng tử x 2,-2x A = x; AB = x B = 1; ta tách = 4+1 ta có hạng tử thành phần Bình phơng tổng Ta có M = x2 -2x +5 = ( x x + 1) + = ( x 1) + ( x 1) ( x 1) + Vậy Mmin = x= Đa thức biến bậc 2n (nguyên dơng ) Các đa thức bậc chẵn có giá trị lớn giá trị bé Còn đa thức bậc lẻ có cực trị địa phơng ( có ) Phơng pháp : Đa tổng bình phơng biểu thức cộng với số Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, A = x4 - 4x3+5x2 - 4x +4 Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung Với đa thức ta cần ý: Nếu đa hạng tử cao vào bình phơng hạng tử bậc phải đa vào bình phơng Giải : A = x4 - 4x3+5x2 - 4x + ta đa x 4x3 vào bình phơng dạng ( a b ) ( ) a) A = x 2 ( 2.x 2 x + x + x x + ) A = x2 2x + ( x 2) Vậy Amin = x=2 Nh x4 hạng tử a2 4x3 2ab Khi đa đợc hạng tử bậc cao hạng tử lại, đa vào bình phơng khác nhng phải thỏa mãn bình phơng có giá trị biến để chúng đồng thời không đa tiếp vào bình phơng với hạng tử bậc cao Ta xét ví dụ: b) B = x4 - 2x3+ 3x2 x+ ( ) 2.x x + x = ( x x + 1) = x2 2 (x ( B = x ) x +1 ( ) ( ) + x2 x + = x2 x + x2 x + 2 Vì ) x + với x nên ta tiếp tục biến đổi 2 2 1 3 =x 2 x + + =x ữ+ 4 1 =x ữ+2 x ữ + 2 16 9 =x ữ+ x ữ+ 2 16 16 Vậy Bmin = x = 16 Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đa thức bậc cao ta cần ý đến ( ) điều kiện tồn (có em giải đến B = x x + kết luận B nên suy B = mà không để ý B thực lớn không) đặc biệt bình phơng tam thức bậc hai b) Tìm giá trị lớn nhỏ (nếu có) biểu thức C = 4x4+ 20x3+13x2- 30x - Ta đa 4x2 vào bình phơng hạng tử 20x3cũng đợc đa vào bình phơng Tức 4x2 đóng vai trò a2 20x3 2ab bình phơng Ta có : C = ( x ) + 2.2 x x + ( x ) 12 x 30 x ( C = ( 2x ) ( ) C = x + x 2 x + x + 16 Vậy : F = -16 Nguyễn Văn Sơn ) + x 16 16 Trờng THCS Quang Trung ( 2x ) + 5x = ( x 1) ( x + 3) = x = x = Bài tập tơng tự : Tìm Giá trị nhỏ biểu thức a) A= 2x2- 8x + b) B = x4- 6x3 + 10x2- 6x+9 c, D = x6 - 2x3+ x2 - 2x + Tìm Giá trị lớn biểu thức e) -x4+16x2+12x-93 f) -x4 + 2x3 - 6x2+ 10x - g) -x4 + 4x3 - 7x2+ 12x +18 3.Tìm Giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức bậc cao nhiều hai biến Phơng pháp : Đa tổng bình phơng biểu thức cộng với số Để làm đợc điều ta chọn biến làm biến vận dụng đẳng thức ( a b ) = a 2ab + b , ý thêm bớt hạng tử, tùy toán cụ thể mà ta chọn biến x hay y làm biến để việc biến đổi đợc đơn giản ngắn gọn Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ E = x2 xy + y2 - 2x - 2y Cách 1: nhân vế với tìm cách tách thêm bớt vế phải để xuất tổng bình phơng 2E = x2 xy + 2y2 - 4x - 4y = x2 - 4x + + y2- 2xy + x2+ y2 - 4y + - = (x -2)2+ (y-x)2 +(y -2)2 -8 -8 E Vậy Emin = - x = y = Cách 2: Chọn biến x làm biến biến đổi E nh sau : E = x2 - (y +2)x + y2 - 2y = x2 -2x y+2 + y + ữ - y + ữ + y2 - 2y 2 = x y + ữ + y 12 y 4 2 y + y y.2 + ữ = x ữ+ 16 ( y ) 2 y+2 y+2 3 = x = x ữ+ ữ + ( y ) Vậy: Emin = - x = y = Ta chọn biến y làm biến biến đổi tơng tự ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 2x2 + 9y2 - 6xy - 6x - 12y + 2002 Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung Ta thấy hệ số y2 số phơng nên ta chọn biến y làm biến biến đổi nh sau : A = 9y2 - 6(x+2)y + 2x2 - 6x + 2002 A = (3y)2- 2.3y (x+2) + (x+2)2 - (x+2)2 + 2x2 - 6x + 2002 A = (3y)2- 2.3y (x+2) + (x+2)2 + x2 -10x +1998 A = (3y x -2 )2 + (x-5)2+1973 1973 Vậy Amin = 1973 x = , y = ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = x2+2y2 +3z2 - 2xy +2xz - 2x - 2y - 8z + 2002 Ta thấy hệ số x2 số phơng nên ta chọn biến x làm biến biến đổi nh sau : B = x2 - 2x(y z +1) + (y-z +1)2 + y2 +2z2 - 4y + 2yz - 6z + 2001 B = (x- y + x -1)2 + y2 +2z2 - 4y +2yz - 6z +2001 ta lại chọn biến y làm biến biến đổi tiếp B = (x- y + x -1)2 +y2 - 2y(2-z) + (2 z )2 (2-z)2 + 2z2 - 6z +2001 B = (x- y + x -1)2 + (y-2+z)2 + z2-2z +1997 B = (x- y +x -1)2 + (y-2+z)2+ (z-1)2 +1996 1996 Vậy Bmin = 1996 x = y = x =1 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức C = -5x2 - 2xy - 2y2 + 14x +10y -1 Trong ví dụ hệ số x2 y2 số phơng ta chọn hai biến làm biến Chọn biến y biến đổi nh sau: C =-2y2 -2(x-5)y -5x2+14x -1 2 x x ( x 5) + x + 14 x =-2 y + y ữ + 2 ==-2 y + x + x ữ x + 14 x 2 =-2 y + x + x + 18 x + 23 =-2 y + x - ( 3x 3) + 16 16 2 Vậy MaxC = 16 3x = y+ x =0 x = y = Nh : Với cách giải to án tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức dạng ax2 +by2 +cxy +dx +ye + f thực đợc nhanh chóng Bài tập tơng tự : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, A = 5x2+ 8xy + 5y2+ 2x + 2y b, B = 2x2 + 4y2- 4xy + 4x - 4y + 2009 2.Tìm giá trị lớn biểu thức a, C= -5x2-2xy -2y2 +14x +10y -10 b, D = -8x2- y2+ 4xy+10x +6y +25 Nguyễn Văn Sơn Trờng THCS Quang Trung Phân thức có dạng y = a.x + b c.x + d Phơng pháp: Đa y dạng y = [ A( x)] +2 (c.x + d ) = [ A2( x)] + c.x + d c.x + d 2 Hoặc y / = [ A( x)] 2+ (c.x + d ) ( > 0) c.x + d 2 Để biến đổi đợc biểu thức dạng trên, ta phải thêm bớt tử nhằm làm xuất bình phơng biêủ thức Ví dụ1: Tìm giá trị lớn biểu thức 4x + x2 + A= Hạng tử 4x phải đa vào bình phơng đóng vai trò 2ab bình phơng Vì ta tách 4x = 2.x.2 = 2.2x.1 Ta cho em thử chọn để có cặp số thích hợp cho Min Max tìm Min ta chọn cặp a = x; b = Ta có : ( ) = ( x +2) x + x.2 + x +1 x +1 ( ) = ( x +2) x +1 x +1 x +1 Vậy A = -1 x = -2 Bây để tìm giá trị lớn ta chọn cặp a = 2x ; b = ta có ( ) 2 x + 2.2 x.1 + x + ( x 1) + x + ( x 1) A= = = +44 x2 + x2 + x2 + 1 Vậy A măx = x= 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức sau : B= 27 12 x x2 + Ta có : 12x = 2.6.1x = 2.2x.3 = 2.3x.2 = 2.x.6 Thử với cặp phân tích để chọn cặp thích hợp Ta có B= = ( x x.6 + 36 x + ) x +9 ( x 6) x2 + Vậy B =-1 x= B= ( x 2.2 x.3 + x + x2 + Vậy B max = x = ) = ( x + 3) x2 + ( + x2 + ) = ( x + 3) x2 + +44 Với phân thức dạng ta rèn luyện khả t em toán khó : Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn bé biểu thức : P= 2x +1 x2 + Ta tách hạng tử 2x = 2.x.1 để tìm giá trị lớn ta biến đổi nh sau : Nguyễn Văn Sơn 10 Trờng THCS Quang Trung P= ( x + x.1 + x + x2 + ) = ( x 1) x2 + +1 Vậy P max = x = Với cặp hạng tử x.1 ta không tìm đợc giá trị nhỏ nhất, ta phải làm ? Để tìm giá trị nhỏ biểu thức mà để hạng tử có hệ số nguyên, ta biển đổi nh sau: Q= Q= 4x + 2 x2 + ( Ta có 4x = 2.2x.1= 2.x.2 chọn cặp x.2 ta có ) ( ( x + 2) x + x.2 + x + Vậy Qmin= ) = ( x + ) ( x + ) = ( x + 2) 2( x + 2) 2 ( x + 2) 2 2 x= -2 Nh vậy: Với phân thức dạng việc tìm Min, Max khó em, nhng ta làm cho em hiểu đợc sở phép biến đổi này, xuất phát từ hạng tử chứa biến bậc tử, em biết cách thử chọn cặp số thích hợp, sở để em giải tập đa dấu căn, với biểu thức chứa tầng lớp B Kết luận 1.Hiệu quả: Việc sử dụng đẳng thức Bình phơng tổng có nhiều tác dụng là: - Nhiều toán tởng chừng nh không giải đợc ví dụ nh tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức bậc cao nhiều có hai biến nh ax2 +by2 +cxy +dx +ye + f Nhng biết áp dụng đẳng thức Bình phơng tổng vào giải toán trở nên dễ dàng, hấp dẫn thú vị - Có nhiều toán phức tạp nhng xác định đợc dạng đa đợc dạng đẳng thức Bình phơng tổng hay có chứa dạng đẳng thức việc giải toán trở nên nhẹ nhàng - Sử dụng đẳng thức bình phơng tổng ta giải đợc nhiều toán nhiều dạng khác -Thực tế vận dụng đẳng thức Bình phơng tổng học sinh dễ hiểu giải số dạng tập Các em ngày làm đợc nhiều dạng tập hơn, lời giải trình bày đơn giản ngắn gọn thể tính chặt chẽ xác lô gích nhiều hơn, nhiều em trình bày độc đáo quan trọng em ngày hứng thú học toán 2.Phạm vi áp dụng - Giải đợc nhiều toán lớp 8,9 lớp - Có thể áp dụng cho biểu thức số biểu thức chứa chữ Kết luận chung : Nh ta biết sử dụng đẳng thức bình phơng tổng vào giải toán có hiệu cao, song muốn vận dụng tốt cần ý điểm sau: - Cần nắm vững đẳng thức Bình phơng tổng để đa biểu thức dạng A2 AB + B = ( A B ) tức phải xác định cụ thể biểu thức A, biểu thức B toán ý (A B)2 Ta mở rộng đẳng thức: (A +B + C+)2 = A2 + B2 + C2++ A.B +2A.C +2B.C+ Sử dụng đẳng thức Bình phơng tổng giải đợc dạng toán: Tính giá trị biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, toán cực trị, chứng minh số số phơng u dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, khai bậc hai, tìm cực trị Nguyễn Văn Sơn 11 Trờng THCS Quang Trung Nh ban đầu nói: Không có phơng pháp chung để giải toán, việc dùng đẳng thức Bình phơng tổng toán giải đợc, ta phải phân tích thành phần biểu thức, xem biến đổi để đa dạng đẳng thức Bình phơng tổng hay không để vận dụng sáng tạo vào việc giải dạng toán thờng gặp Trên số kinh nghiệm nhỏ thân trình tự học tự nghiên cứu, dạy bồi dỡng học sinh giỏi, có nhiều khiếm khuyết cách trình bày nh nội dung mong đợc lắng nghe, ý kiến góp ý ban giám khảo bạn đồng nghiệp Tháng năm 2011 Nguyễn Văn Sơn 12 Trờng THCS Quang Trung