Phòng GD&ĐT Hạ Hoà Trờng THCS Hạ Hoà Đề thi học sinh giỏi lớp Năm học 2010-2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(4,0 điểm) Cho A = n + 2n - n + 2n + 2n + a) Rút gọn A b) Chứng minh: Nếu n Z A phân số tối giản Câu 2(4,0 điểm) x+1 x+2 x+3 x+4 + = + a) Giải PT: 58 57 56 55 b) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phơng với x, y Z Câu 3(6,0 điểm) 1 + a b a+b b) Cho hai số dơng a; b có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức a b Q= + 1+ 2a 1+ 2b a) Cho a, b > 0, CMR: Câu 4(6,0 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G Một đờng thẳng d qua G, cắt cạnh AB, AC lần lợt M N AB AC + = AM AN b) Xác định vị trí đờng thẳng d để tam giác AMN có diện tích nhỏ a) Chứng minh HếT -Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Hớng dẫn chấm thi môn toán Lời giải sơ lợc Câu1 (4đ) ĐK: x a Phân tích tử thức thành (n+1)(n +n-1) Phân tích mẫu thức thành (n+1)(n2+n+1) n2 + n - Rút gọn A = n +n+1 b Gọi ớc chung tử mẫu d, suy d = d = Mà n2 + n +1 = n(n+1) + số nguyên lẻ không chia hết cho Nên phân số tối giản 1 ữ Lập luận + 58 57 56 55 a Biến đổi đợc PT: ( x + 59) 58 + 57 56 55 ữ = Câu2 (4đ) Suy nghiệm x = -59 Biến đổi A = (x2 + 5xy +4y2) (x2 + 5xy +6y2)+y4 đặt x2 + 5xy +4y2 = t b đợc A = t2 Vì x, y Z nên t Z A số phơng a CM đợc 1 + với a,b > a b a+b 2a 2b 1ữ+ ữ+ + 2a + 2b 1 = + + = + ữ+ + 2a + 2b + 2a + 2b 1 4 + = =1 áp dụng ta có + 2a + 2b + 2a + + 2b + 2(a + b) + + Suy ữ ữ+ 1 + a + b + a + b b + 2a = + 2b 1 a=b= Có 2.Q Q Dấu xảy 2 a + b = 1 Vậy Qmax = a = b = 2 Có 2.Q = Câu3 (6đ) điểm 0,5 1 0,5 0,5 0,5 1 1 1 1 A Câu4 (6đ) d N G M E D B C F Kẻ BE, CF // d (E, F thuộc đờng thẳng AD) AB AC AE + AF + = AM AN AG a Chứng minh đợc AE + AF =3.AG AB AC + =3 Suy AM AN S ABC AB AC = Chứng minh đợc: S AMN AM AN Chỉ 0,5 1 0,5 Chứng minh đợc BĐT áp dụng để có b S ABC AB AC AB AC = + ữ = S AMN AM AN AM AN Suy S AMN S ABC Dấu xảy Kết luận AB AC = d // BC AM AN ... + + 2a + 2b + 2a + 2b 1 4 + = =1 áp dụng ta có + 2a + 2b + 2a + + 2b + 2(a + b) + + Suy ữ + 1 + a + b + a + b b + 2a = + 2b 1 a=b= Có 2.Q Q Dấu xảy 2 a + b = 1 Vậy Qmax... (x2 + 5xy +4 y2) (x2 + 5xy +6 y2)+y4 đặt x2 + 5xy +4 y2 = t b đợc A = t2 Vì x, y Z nên t Z A số phơng a CM đợc 1 + với a,b > a b a+b 2a 2b 1 + + + 2a + 2b 1 = + + = + + + 2a + 2b...Hớng dẫn chấm thi môn toán Lời giải sơ lợc Câu1 (4đ) ĐK: x a Phân tích tử thức thành (n+1)(n +n-1) Phân tích mẫu thức thành (n+1)(n2+n+1) n2 + n - Rút gọn A = n +n+1 b Gọi ớc chung tử