TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI II HO V T Ý _ HOÀNG HỒNG NGỌC D O ĐỘNG ĐIỀU HÒ BIẾN DẠNG C – SỐ HÓ U N TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà oan Hà Nội, 2015 ỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan, người quan tâm bảo, tận tình hướng dẫn hoàn thành khóa luận Cô người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ hoàn thành khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè sát cánh bên tôi, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Hoàng Hồng Ngọc ỜI C M ĐO N Tôi xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô giáo PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi xin cam đoan kết không trùng với kết tác giả Nếu có không trung thực khóa luận xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Hoàng Hồng Ngọc MỤC ỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận NỘI DUNG Chƣơng 1: Dao động tử điều hòa 1.1 Dao động tử Boson 1.2 Dao động tử Fermion 11 Chƣơng 2: Dao động tử biến dạng c – số 13 2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 13 2.1 Dao động tử Fermion biến dạng q 19 Chƣơng 3: Phân bố thống kê dao động tử biến dạng c – số 22 3.1 Phân bố thống kê dao động tử điều hòa 22 3.1.1 Phân bố thống kê dao động tử Boson 22 3.1.2 Phân bố thống kê dao động tử Fermion 26 3.2 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng c – số 28 3.2.1 Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng q 28 3.2.2 Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng q 30 ẾT U N 33 TÀI IỆU TH M HẢO 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đối xứng đóng vai trò vật lý lý thuyết Ngôn ngữ toán học đối xứng lý thuyết nhóm Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm lượng tử làm sở hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý thời gian gần Lý thuyết nhóm Lie công cụ toán học lý thuyết đối xứng, đóng vai trò quan trọng việc thống tiên đoán tượng vật lý Nói riêng, nhóm Lie trở thành công cụ chủ yếu lý thuyết trường hạt Nhóm lượng tử mở rộng nhóm Lie xâm nhập vào nhiều lĩnh vực Vật lý Nhóm lượng tử đại số lượng tử nhiều nhà vật lý lý thuyết nhà toán học giới nước quan tâm nghiên cứu, với hi vọng nhóm lượng tử giúp ta đưa mô hình vật lý tổng quát hơn, có bổ sung xác với thực nghiệm việc nghiên cứu hạt có hiệu sử dụng khái niệm nhóm thông thường Ứng dụng nhóm lượng tử vật lý trở nên phổ biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng Trong năm gần đây, dao động tử biến dạng lượng tử thu hút quan tâm đặc biệt nhiều nhà vật lý ứng dụng chúng nghiên cứu nghiệm phương trình Yang – Baxter lượng tử, lý thuyết trường Conformal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số, lý thuyết siêu đối xứng,… Đặc biệt ứng dụng nhiều để nghiên cứu cấu trúc đại số nhóm lượng tử hữu hiệu việc nghiên cứu lý thuyết thuộc nhiều lĩnh vực khác Vật lý lượng tử, Vật lý môi trường đậm đặc, Vật lý hạt nhân nguyên tử,… Dao động tử điều hòa trường hợp đặc biệt dao động tử biến dạng q, q  dao động tử biến dạng q trở dao động tử điều hòa Hiện việc nghiên cứu đại số biến dạng q kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt hạt Boson tuân theo thống kê Bose – Einstein, hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac, hạt tuân theo thống kê khác như: thống kê para, thống kê vô hạn,… Đại số dao động biến dạng q đưa đến loại lý thuyết trường có vi phạm nhỏ nguyên lý loại trừ Pauli sai lệch từ thống kê Bose thảo luận Những hệ cấu trúc đại số biến dạng q mẫu cụ thể nghiên cứu Từ lý chọn đề tài: “Dao động điều hòa biến dạng c – số” nghiên cứu cách có hệ thống lý thuyết dao động tử biến dạng tham số c – số Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài “ Dao động diều hòa biến dạng c – số” là: - Nghiên cứu lý thuyết dao động tử điều hòa biến dạng q, đưa hệ thức giao hoán hệ dao động biến dạng - Xây dựng hàm phân bố thống kê dao động tử biến dạng tham số c – số Nhiệm vụ nghiên cứu: - Xây dựng lý thuyết biến dạng tham số c – số, nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng q - Đưa hệ thức giao hoán dao động tử biến dạng q, xây dựng toán tử lượng hệ dao động biến dạng q, giải phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử lượng để tìm phổ lượng hệ dao động tử biến dạng q, so sánh với dao động tử điều hòa thông thường đưa kết luận vật lý - Chỉ hàm phân bố thống kê dao động tử biến dạng q Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: - Dao động tử Boson dao động tử Fermion - Dao động tử Boson dao động tử Fermion biến dạng q Phƣơng pháp nghiên cứu: - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng - Phương pháp giải tích toán học - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp vật lý thống kê Bố cục khóa luận: - Tên đề tài: Dao động điều hòa biến dạng c – số - Khóa luận gồm phần chính: MỞ ĐẦU B NỘI DUNG Nội dung khóa luận trình bày chương: Chương 1: Dao động tử điều hòa Chương 2: Dao động tử biến dạng c – số Chương 3: Phân bố thống kê dao động tử biến dạng c – số C KẾT U N NỘI DUNG CHƢƠNG I D O ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒ Trong chương này, trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa, bao gồm dao động tử điều hòa Boson dao động tử điều hòa Fermion Chương I sở lý thuyết để thực khóa luận 1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán dao động tử Boson đơn mode có dạng: a, a    (1.1) Toán tử số dao động tử N có dạng: N  aa (1.2) N   aa  Trong đó: a : toán tử hủy dao động tử a  : toán tử sinh dao động tử Kết hợp (1.1) (1.2), ta có: N , a  a  a, a  a  aa  aa  a  a  a  aa  a  a  , aa  a, a  a  a (1.3) N , a   a a, a      a  aa   a  a  a  a  aa   a  a   a a, a  a  (1.4)   Xét không gian Fock không gian mà vectơ sở trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock, trạng thái chân không định nghĩa trạng thái có số hạt thỏa mãn điều kiện: a0 0 (1.5) Trạng thái n trạng thái có n dao động tử thực không gian Fock với sở trạng thái riêng chuẩn hóa có dạng: a    n n n! n = 1,2,3,… (1.6) Toán tử số dao động N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: N n nn Thật vậy, ta có : N n  aa n  aa  n a  n!    n a aa  n!   n n a a, a    a  a   a n!   n a a, a   n!        n na   n!    n1 a na  n!  n  n a  n! nn Bây giờ, ta chứng minh : a, a   na   n 1  n (1.7) Để chứng minh (1.7) ta sử dụng phương pháp quy nạp sau : Với n = : a, a    Với n = : a, a   aa   a  a  aa   a aa   a aa          a   a  aa   a  a a   a  aa   a  a    a  a, a    a, a  a   2a  Nhận thấy (1.7) với n = 1, Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.7) với n = k, tức : a, a   k a   k 1  k Ta chứng minh biểu thức (1.7) với n = k + : a, a   aa   aa   k 1  k 1  k 1  a   a k 1    a  aa    a  aa    a   a k k k 1  Và N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng sau: N n q nn (2.14) q Với trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử N xác định theo công thức: nq b   n n ! (2.15) q Trong ký hiệu nq cho bởi: n n nq  q   11 q qq n (2.16) Khi q = nq  n Trong không gian Fock với vectơ sở vectơ trạng thái n b  b  N q bb   N  1q q thì: (2.17) Ở nguyên lý loại trừ Pauli thừa nhận từ điều kiện:   b2  b  Khi q = ta có dao động tử Fermion điều hòa (1.14): bb   b  b  ết luận: Trong chương II khảo sát hệ dao động tử Boson Fermion biến dạng q: Đưa hệ thức giao hoán dao động tử biến dạng, xây dựng toán tử lượng dao động tử biến dạng, giải phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử lượng để tìm phổ lượng 20 dao động tử Boson Fermion biến dạng q, so sánh kết với dao động tử điều hòa Boson Fermion thông thường Từ ta có nhận xét rằng: Khi mô tả hệ vật lý tập hợp hệ dao động tử biến dạng cho kết gần với thực tế mô tả hệ vật lý tập hợp hệ dao động tử điều hòa 21 CHƢƠNG III PHÂN BỐ THỐNG Ê CỦ D O ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG C – SỐ 3.1 Phân bố thống kê dao động tử điều hòa 3.1.1 Phân bố thống kê dao động tử Boson Hàm Green đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ định nghĩa qua công thức: F   Tr e  N Fˆ Z  (3.1) Trong đó: Z hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động hệ có dạng: Z  Tr e  N     n e  N n n 0 Ở ta chọn mốc tính lượng: E0   Khi đó: N n  n H  N Mặt khác ta lại có: N n nn Và điều kiện trực chuẩn: 1 m  n m n   m ,n   0 m  n 22 Sử dụng biểu thức ta được:  Z   n e  N n n 0    n e  n n n 0    e  n n n n 0 Vì: n n 1 Nên ta có:  Z   e  n n 0 Ta thấy   e    n tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội n 0 q  e    số hạng ứng với n = có giá trị Tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q có giá trị 1 q Vậy: Z 1  e   e    e 1 Với:  kT Trong đó: k số Boltzman 23 (3.2) T nhiệt độ tuyệt đối hệ H  N Hamiltonian hệ  lượng dao động hạt Phân bố thống kê dao động tử Boson phân bố thống kê a  a : aa  Tr e N a  a  Z   n e  N a  a n  Z n 0   n e  N N n  Z n 0   n e  n n n  Z n 0    n e n n n Z n 0    n e n Z n 0   n ne     Z n 0  0  e   2e 2    Z Đặt: x   Ta có:  I   e  n n n 0 24   e nx n  n 0   e x  2e x  3e x   ne nx  e x  2e x  3e3 x   ne nx   e x  e x  e x   e nx    e x 1  e x  e x  e x   e  n1 x  Mà: 1  e x  e x  e x   e  n1 x   Do đó:  ex  I   x 1  e   e x 1  e x   e x e x  1  e x 2 ex  1  e x 2 Khi ta được: ex a a  Z 1  e x   e    Z 1  e    e     e     e  e   25 1  ex e   e   1  e  e    e   Vậy: aa  e   Đây biểu thức tính số hạt trung bình mức lượng  gọi phân bố thống kê Bose – Einstein cho hệ đồng hạt Boson 3.1.2 Phân bố thống kê dao động tử Fermion Hàm Green đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ định nghĩa qua công thức: F   Tr e  N Fˆ Z  Trong đó: Z hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động hệ Vì dao động tử Fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli nên n nhận hai giá trị Do đó, hàm phân bố Z có dạng: Z  Tr e  N    n e  N n n 0   n e  n n n 0 26   e  n n n n 0 Z   e  n n 0   e   Phân bố thống kê dao động tử Fermion phân bố thống kê b  b : bb  Tr e N b  b  Z Trong đó: Tr e N b  b    n e N b  b n n 0   n e  N N n n 0   n e  n n n n 0   e  n n n n n 0   e  n n n 0  e   Vậy: e   bb   e     e 1  27 Đây công thức xác định số hạt trung bình mức lượng  gọi phân bố thống kê Fermi – Dirac cho hệ đồng hạt Fermion 3.2 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng c – số 3.2.1 Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng q Hàm Green đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ định nghĩa qua công thức: F   Tr e  N Fˆ Z  Trong đó: Z hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động hệ có dạng: Z  Tr e  N   Z   n e  N n n 0    e  n n n n 0 Vì: n n  nên:  Z   e  n n 0 Ta thấy   e    n tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội n 0 e    số hạng ứng với n = có giá trị Vậy: Z 1  e   28 e    e 1 Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng q phân bố thống kê a  a : aa  Tr e N a  a  Z   n e  N a  a n  Z n 0   n e  N N q n  Z n 0   n e  n nq n  Z n 0    n  e nq n n Z n 0    n  e nq Z n 0    n q n  q  n      e Z n 0  q  q 1   1    n   1 n    e q    e q   Z q  q 1  n0 n 0   1  1   Z q  q 1   qe    q 1e       1 q  q 1 e    Z q  q 1  q  q 1 e   e   aa  e  e    q  q 1 e   29 (3.3) Khi giới hạn q = phân bố thống kê trở phân bố thống kê Bose – Einstein học lượng tử mà ta biết: aa  e 1  (3.4) 3.2.2 Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng q: Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng q phân bố thống kê b  b : bb  Tr e N b  b  Z Vì dao động tử Fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli nên n nhận hai giá trị Do đó, ta có: bb  Tr e N b  b  Z  1 n e  N b  b n  Z n 0  1 n e N N q n  Z n 0  1 n e N nq n  Z n 0  1 N  e nq n n Z n 0  1  N  e nq Z n 0 n    n q n   1 q n      e Z n 0  q  q 1  30  1    1 n   e q    e  q n  1   Z q  q  n 0 n 0   1  1   1  1   Z q  q 1  q e  qe       1 q  q 1 e    Z q  q 1  q  q 1 e   e  Trong hàm phân bố Z có dạng: Z  Tr e  N    n e  N n n 0   n e  n n n 0   e  n n n n 0   e  n n 0   e    bb   e  e    q  q 1 e   (3.5) Khi giới hạn q = phân bố thống kê trở phân bố thống kê Fermi – Dirac học lượng tử mà ta biết: bb  e   31 (3.6) ết luận chƣơng III: Trong chương III xây dựng phân bố thống kê Bose Einstein phân bố thống kê Fermi – Dirac cách sử dụng phương pháp GIBBS phương pháp lý thuyết trường lượng tử Phương pháp GIBBS phương pháp truyền thống có nhiều ưu nhược điểm coi phương pháp vật lý thống kê, xong phương pháp áp dụng cho hệ dao động tử điều hòa Phương pháp lý thuyết trường lượng tử có phạm vi áp dụng rộng hơn, áp dụng phương pháp biến dạng giải toán dao động tử phi điều hòa Từ ta xây dựng phân bố thống kê hạt Boson Fermion biến dạng q Trong trường hợp giới hạn q = phân bố thống kê lại trở phân bố thống kê Bose – Einstein phân bố thống kê Fermi – Dirac biết 32 ẾT U N Khóa luận nghiên cứu số vấn đề dao động tử điều hòa biến dạng phân bố thống kê dao động tử điều hòa biến dạng Các vấn đề mở hướng nghiên cứu quang lượng tử, vật lý chất rắn vật lý hạt nhân,… Các kết khóa luận là: - Nghiên cứu hệ dao động tử điều hòa đơn mode biến dạng q: Đưa biểu diễn dao động tử lượng tử toán tử lượng xác định phổ lượng dao động tử Boson Fermion biến dạng q - Tính phân bố thống kê dao động tử điều hòa biến dạng q Các kết thu trở phân bố thống kê quen thuộc, thống kê Bose – Einstein thống kê Fermi – Dirac trường hợp đặc biệt tham số biến dạng q  33 TÀI IỆU TH M HẢO [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết Vật lý lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội [2] L D Falco, R Mignani and R Scipioni (1995), Harmonic oscillator with generalized statistics, Nuo Cim A108 (2), pp 259 – 262 [3] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen (2006), Statistics of q – Oscillators, quons and relations to fractional Statistics, J Phys A26 (16), pp 4017 – 4034 [4] R Chakrabarti and R Jagannathan (1992), On the number operators of single – mode q – oscillators, J Phys A25 (23), pp 6393 – 6398 [5] R J Finkelstein (1999), Observable properties of q – deformed physical systems, hep – th/9906136 34 [...]... lượng c a dao động tử điều hòa là gián đoạn, m c thấp nhất (m c cơ bản) c giá trị kh c không: E0   và c c m c tiếp theo c ch đều 2 nhau một lượng bằng  Nhận xét: Bài toán khảo sát hệ c c dao động tử Boson đư c đưa về bài toán dao động tử điều hòa một chiều C ng th c (1.11) chính là c ng th c x c định năng lượng c a dao động tử điều hòa một chiều đã đư c cơ lượng tử giải thích một c ch chính x c. .. Trong chương I tôi đã trình bày một c ch logic, đầy đủ về hình th c luận dao động tử điều hòa c a c c dao động tử Boson và Fermion, đưa ra đư c biểu diễn dao động tử lượng tử c a c c toán tử năng lượng và x c định đư c phổ năng lượng c a c c dao động tử lượng tử Boson và Fermion 12 CHƢƠNG II D O ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG C – SỐ 2.1 Dao động tử Boson biến dạng q: Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q đư c mô... lượng c a dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ năng lượng c a dao động tử điều hòa một chiều (1.11): En   2n  1 2 n = 0, 1, 2… 2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q Dao động tử Fermion biến dạng q đư c biểu diễn qua c c toán tử sinh dao động tử b  và hủy dao động tử b như sau: bb   qb  b  q  N b 2  b    0 2 (2.12) Trong phương trình (2.12) nếu q = 1 thì trở về hệ th c dạng dao động. .. đư c mô tả bởi c c toán tử hủy và sinh dao động tử a , a  thỏa mãn hệ th c giao hoán không chuẩn, phụ thu c vào một tham số biến dạng q như sau: aa   qa  a  q  N (2.1) Trong đó: q là thông số biến dạng N là toán tử số dao động tử Trong phương trình (2.1) nếu q = 1 thì trở về hệ th c dao động tử điều hòa (1.1) C c toán tử a , a  t c dụng trong không gian Fock với c sở là c c vectơ trạng thái... như một tập hợp hệ dao động tử điều hòa 21 CHƢƠNG III PHÂN BỐ THỐNG Ê C D O ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG C – SỐ 3.1 Phân bố thống kê c a dao động tử điều hòa 3.1.1 Phân bố thống kê c a dao động tử Boson Hàm Green c a đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ đư c định nghĩa qua c ng th c: F   1 Tr e  N Fˆ Z  (3.1) Trong đó: Z là hàm phân bố, x c định tính chất nhiệt động c a hệ và c dạng: Z  Tr e ... gian Fock với vectơ c sở là vectơ trạng thái n b  b  N q bb   N  1q q thì: (2.17) Ở đây nguyên lý loại trừ Pauli đư c thừa nhận từ điều kiện:   b2  b  0 2 Khi q = 1 thì ta c dao động tử Fermion điều hòa (1.14): bb   b  b  1 ết luận: Trong chương II chúng ta đã khảo sát hệ c c dao động tử Boson và Fermion biến dạng q: Đưa ra hệ th c giao hoán c bản c a c c dao động tử biến dạng, ... dựng toán tử năng lượng c a c c dao động tử biến dạng, giải phương trình hàm riêng, trị riêng c a toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng c a c c 20 dao động tử Boson và Fermion biến dạng q, so sánh kết quả với c c dao động tử điều hòa Boson và Fermion thông thường Từ đó ta c nhận xét rằng: Khi mô tả hệ vật lý như một tập hợp hệ dao động tử biến dạng sẽ cho kết quả gần với th c tế hơn khi mô tả hệ... lượng c a dao động tử Boson biến dạng c ng bị gián đoạn, m c thấp nhất (ứng với n = 0) đư c gọi là năng lượng “không” vẫn bằng   0 , những m c tiếp theo không c ch đều nhau và khi 0 < q < 1 thì n c ng 2 lớn c c m c càng sít nhau hơn và tới một giá trị n đủ lớn thì En  n    , t c 1 q là E n tiến đến một giá trị x c định Và c c m c năng lượng này không suy biến, hay b c suy biến c a c c m c năng...    1 e 1  27 Đây chính là c ng th c x c định số hạt trung bình ở trên c ng một m c năng lượng  đư c gọi là phân bố thống kê Fermi – Dirac cho hệ đồng nhất c c hạt Fermion 3.2 Phân bố thống kê c a dao động tử biến dạng c – số 3.2.1 Phân bố thống kê c a dao động tử Boson biến dạng q Hàm Green c a đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ đư c định nghĩa qua c ng th c: F   1 Tr e  N Fˆ... đúng với mọi n T c dụng c a c c toán tử a , a  lên c c vectơ trạng thái là : a n  n n 1 a n  n  1 n  1 Trong hình th c luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với c c toán tử sinh, hủy dao động a , a  như sau: Q  a   a  2m Pi m  a  a  2 Trong đó: m là khối lượng c a dao động tử  là tần số dao động  là hằng số Plank Khi ấy hệ th c giao hoán giữa ... lý chọn đề tài: Dao động điều hòa biến dạng c – số nghiên c u c ch c hệ thống lý thuyết dao động tử biến dạng tham số c – số M c đích nghiên c u: M c đích nghiên c u đề tài “ Dao động diều hòa. .. đậm đ c, Vật lý hạt nhân nguyên tử,… Dao động tử điều hòa trường hợp đ c biệt dao động tử biến dạng q, q  dao động tử biến dạng q trở dao động tử điều hòa Hiện vi c nghiên c u đại số biến dạng. .. hòa biến dạng c – số là: - Nghiên c u lý thuyết dao động tử điều hòa biến dạng q, đưa hệ th c giao hoán hệ dao động biến dạng - Xây dựng hàm phân bố thống kê dao động tử biến dạng tham số c – số