ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ SỐ 02 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  3x  mx  m  1 , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 m  b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị có hoành độ x1 , x thỏa mãn: x12  x 22  x1  x   12 Câu (1,0 điểm)   a) Tìm nghiệm x  0; 2 phương trình cos x  sin x   sin 2x       b) Tìm số phức z thỏa mãn z  1 z  2i số thực z  2   Câu (0,5 điểm) Cho hàm số y  x tan x Chứng minh x 2y '' x  y 1  y     x   y   y   Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x  y 1     x 1   y   1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I   x  3x  3x  x  1 x , y    dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , AD  DC  a , AB  2a ; cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng SBC  tạo với đáy góc 450 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB , AC 2 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C  : x  2  y  1  đường thẳng d : 3x  4y  35  Tìm tọa độ điểm M thuộc d để từ M kẻ đến C  hai tiếp tuyến MA , MB ( A , B tiếp điểm) cho tam giác IAB có diện tích lớn x   t  Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : y  1 nằm mặt  z   phẳng P  điểm I 2; 1;2 Gọi H hình chiếu vuông góc I P  Tìm tọa độ điểm K hình chiếu I  viết phương trình mặt phẳng P  , biết tam giác IHK vuông cân Câu (0,5 điểm) Một thi trắc nghiệm khách quan gồm câu hỏi, câu có phương án trả lời Tính xác suất để học sinh làm thi câu hỏi Câu 10 (1,0 điểm) Cho x , y , z ba số thực thuộc đoạn 1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 x  y  z  4xy  3z z  4xy ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) Với m  , hàm số trở thành: y  x  3x  ● ● Tập xác định: D   Sự biến thiên: - x  Chiều biến thiên: y '  3x  6x  3x x  2 ; y '    x  2 Hàm số đồng biến khoảng ; 2 0;  ; nghịch biến khoảng 2; 0 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  2 , yCD  ; đạt cực tiểu x  , yCT  2 Giới hạn vô cực: lim y   ; lim y   x  x  Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số qua điểm đặc biệt 1;2 , 3; 2 y y x -2 O -2 b) Ta có y '  3x  6x  m Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt   'y '   3m   m  Khi điểm cực trị có hoành độ x1 , x nghiệm phương trình y '  Theo Viet, ta có x1  x  2 x1x  m Yêu cầu toán x12  x 22  x1  x   12 Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai  x1  x   2x1x  x1  x   12 m  2  12  m  3 Đối chiếu điều kiện tồn cực trị ta giá trị m cần tìm là: m  3 Câu a) Phương trình cho tương đương với cos x  sin x   sin 2x  cos 2x  2   cos x  sin x   sin 2x  cos2 x     cos2 x  cos x   sin 2x  sin x    cos x  12 cos x  3  sin x 2 cos x  3   2 cos x  3cos x   sin x   : phương trình vô nghiệm   ● cos x   sin x  sin x    1   ● cos x    cos x       sin x    sin        Với x    x     k 2   x    k 2 k      k 2 , x  0; 2 nên    k 2  2    k  2 4 Vì k   nên ta chọn k  , suy x  3 1 Với x    k 2 , x  0;2 nên    k 2  2    k  2 Vì k   nên ta chọn k  , suy x   Vậy nghiệm thỏa yêu cầu toán là: x  3 , x   b) Đặt z  a  bi a, b    , suy z  a  bi ● z  1z  2i   a  1  bi  a  2  b  i     a  b  a  2b  2a  b  2 i   Để z  1 z  2i số thực  2a  b    b   2a ● z  2  a  b  2  a  b   a  2  2a    5a  8a    a  a   Với a  , suy b  2 Ta số phức z   2i Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai 14 14 Với a   , suy b  Ta số phức z    i 5 5 14 Vậy có hai số phức thỏa mãn toán là: z   2i z    i 5 Câu Ta có y '  tan x  y ''  cos2 x x cos2 x  Suy cos2 x  x sin 2x cos4 x  cos2 x  x sin 2x cos4 x  cos x  x sin x       cos3 x Do  cos x  x sin x  2x   ● x 2y ''  2x  1  x tan x    cos x 2x cos3 x     ● x  y 1  y   x  x tan2 x 1  x tan x    2x cos x 2x 1  x tan x   Vậy x 2y '' x  y 1  y     x   y   y   Câu Ta có  x  y 1     x 1   y   a  x    Đặt  b  y    Khi 1 trở thành a  2b  b  Phương trình 2 trở thành 1 x  Điều kiện:  y  1 2  1   b  Suy a  b  4 a2 b2   b 1 a 1 x y x  y  Áp dụng bất đẳng thức   với x , y   m, n  m n m n Ta a  b  a2 b2    b 1 a 1 a b  Xét hàm số f t   Ta có f ' t   * t2 với t  a  b  t 2 t  4t t  2  , t  Suy f t  đồng biến 1;  nên f t   f 1  Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 * * ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai a  b   1  suy a  b   a b  b      x   x   Với a  b  , ta     y   y     5 3 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ cho x ; y    ;    4  a  b  Từ * * * , suy  Nhận xét Bài toán kết hợp nhiều kiến thức: Đặt ẩn phụ, đánh giá, xét hàm Đây thực toán khó Câu Ta có I   x  3x  3x  x  1  dx   x  1 x  1  x  1dx  6 0  x  1  dx 1 dx  6 dx x 1 x  1 Đặt t  x  , suy dt  dx Đổi cận: với x  t  , với x  t  Khi đó: I  Vậy I  2  tdt   1 dt dt t2  6  t t 2  ln t  t   ln  ln AB Do tam giác ABC vuông C Suy BC  AC nên:   SBC  , ABCD   SC , AC  SCA  Câu Gọi I trung điểm AB Suy CI  AD  a  S K E AC  AD  DC  a ; Ta có I A B SA  AC tan 450  a Diện tích hình thang ABCD là: SABCD  D C AB  CD  AD a S ABCD SA  (đvtt) Lấy điểm E cho ACBE hình bành hành Khi Do VS ABCD      d SB, AC   d AC , SBE   d A, SBE  Gia sư giỏi – 0968 64 65 97  3a ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai   900 nên ACBE hình chữ nhật, suy AE  BE Vì ACBE hình bình hành ACB Gọi K hình chiếu A SE , suy AK  SE Ta có BE  SAE  nên BE  AK   Do AK  SBE  nên d A, SBE   AK SA.AE Trong tam giác vuông SAE , ta có AK  SA  AE SA.BC  SA  BC a Vậy d SB, AC   AK  a Câu Phân tích hướng giải: Vì M  d nên ta biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t Để tìm tọa độ M ta tìm t Từ yếu tố diện tích ta suy khoảng cách IM , từ suy t Thông thường em sử dụng công thức:   R sin AIB  IA.IB sin AIB 2   lớn sin AIB   AIB  900 Khi MAIB hình vuông, suy SIAB  Lý luận SIAB MI  R Ở cố tình cho d I , d   R , em không giải tham số t kết luận vô nghiệm Vậy điểm M thỏa yêu cầu toán ??? Đường tròn C  có tâm I 2;1 , bán kính R  2 Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng: d I , d     35  16  Đặt IM  x với x  M AI Suy IH   ; IM x x2  AH  AI  IH  2 x2 Diện tích tam giác AIB tính theo công thức: SAIB  IH AH  16 Xét hàm số f x   Ta có f ' x   x2  x4 32  2x x5  d x2  x4 H A B I , với x  4  x 4  x  x5  , x  Suy f x  nghịch biến 5;  nên f x   f 5 , x  5;  Suy SAIB đạt giá trị lớn 16 f 5  16 34 25 Với x  M hình chiếu vuông góc I d Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 x  ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai Đường thẳng  qua I 2;1 vuông góc với d nên  : 4x  3y   3x  4y  35  x  Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ     M 5; 5  4x  3y   y    Nhận xét: Nếu đề cho d I , d   R ta làm Còn đề cho d I , d   R ta dùng công thức SIAB   IA.IB sin AIB Câu Phân tích cách tìm mặt phẳng P  : Thông thường để viết phương trình mặt phẳng ta tìm điểm qua vectơ pháp tuyến Ở toán ta không tìm VTPT mặt phẳng P  , kiện toán cho liên quan đến khoảng cách nên ta viết phương trình mặt phẳng P  dạng gọi trước P  : Ax  By  Cz  D  với A2  B  C   Do K   nên K 2  t; 1;  Suy IK  t; 0;2  Đường thẳng  có vec tơ phương u  1; 0; 0   Để K hình chiếu I  IK    IK u   t  Suy K 2; 1;  I Gọi P  : Ax  By  Cz  D  với A  B  C  2 Do   P  nên:  ● u vuông góc với VTPT P  H K  1.A  0.B  0.C   A  ● K 2; 1; 4  P   2A  B  4C  D   B  D  4C ● Theo giả thiết tam giác IHK vuông cân, suy IH    d I , P    2A  B  2C  D   A2  B  C 2C B C IK  hay    B  C  B  C Nếu C  B  Khi A  B  C  (không thỏa mãn) Do C  , ta chọn C  , suy B  1 ▪ Với C  , B  suy D  3 nên P  : y  z   ▪ Với C  , B  1 suy D  5 nên P  : y  z   Vậy P  : y  z   P  : y  z   Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai Nhận xét: Những toán viết phương trình mặt phẳng có liên quan đến khoảng cách góc ta gọi trước Câu Mỗi câu có phương án trả lời Theo quy tắc nhân ta có số phương án trả lời thi   45 Gọi A biến cố '' Học sinh làm thi câu hỏi '' ● Trường hợp 1: Học sinh làm câu hỏi, có khả xảy thi có đáp án ● Trường hợp 2: Học sinh làm câu hỏi, tức ▪ Làm câu nên có C 54 cách ▪ Làm sai câu nên có C 31 cách chọn phương án sai cho câu câu có phương án sai Suy số khả xảy trường hợp C 54 C 31 ● Trường hợp 3: Học sinh làm câu hỏi, tức ▪ Làm câu nên có C 53 cách ▪ Làm sai câu nên có C 31   cách chọn phương án sai   Suy số khả xảy trường hợp C 53 C 31   Do số khả xảy biến cố A A   C 54 C 31  C 53 C 31 A Vậy xác suất biến cố A PA    106   106 53 512 Câu 10 Áp dụng bất đẳng thức 4xy  x  y  , x , y   Ta có: x  y  P z  x  y   3z 2 z  x  y  x y      z z   x y       z z   x y 2      z z  1 Dấu ''  '' xảy : x  y Đặt t   x y  Vì x , y, z  1; 2 nên t  1; 4 z z Khi đó: P  2t 1t Ta có f ' t    1t   8t 1  t  2 Xét hàm f t      3t   t    Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 2t 1t  , t  1; 4   t2 , t  1; 4   GIA SƯ GIỎI 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn – Tận tâm – Xứng tầm  17 Suy f t  nghịch biến 1; 4 nên f t   f 4   , t  1; 4     17 x  y  Dấu ''  '' xảy khi: t    2  z   Suy P   17 17 Từ 1 2 , suy dấu ''  '' xảy : x  y  , z  Vậy giá trị nhỏ P Gia sư giỏi – 0968 64 65 97  17 ; x  y  , z  17 ... ta có x1  x  2 x1x  m Yêu cầu toán x 12  x 22  x1  x   12 Gia sư giỏi – 0968 64 65 97 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 20 16 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn...  2b  2a  b  2 i   Để z  1 z  2i số thực  2a  b    b   2a ● z  2  a  b  2  a  b   a  2  2a    5a  8a    a  a   Với a  , suy b  2 Ta số phức z   2i...   k 2   x    k 2 k      k 2 , x  0; 2  nên    k 2  2    k  2 4 Vì k   nên ta chọn k  , suy x  3 1 Với x    k 2 , x  0 ;2  nên    k 2  2  