CHƯƠNG V ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ I Lý thuyết: Đn đạo hàm: Cho hàm số y = f ( x ) xác định D x0 ∈ D Khi f ' ( x0 ) = xlim →x f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 Quy tắc tìm f’(x0) f’(x) định nghĩa: B1: Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) B2 : lim ∆x → ∆y ∆x KL : y’(x0) = ? Tính đạo hàm công thức : (u ± v)’ = u’ ± v’ (u.v)’ = u’.v + u.v’ ,  u  u '.v − u.v '  ÷= v2 v y’x = (f[u(x)])’ = f’u u’x Bảng đạo hàm hàm số có thường gặp: Hàm số x Hàm số u C’ = x’ = (xn )’ = n.xn – (un)’ = n un – u’ 1  ÷' = − x  x u' 1  ÷' = − u u ( x) ' = 21x ( u ) ' = 2u 'u (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’.sinu (tanx)’ = = + tan x cos x (cotx)’ = − (tanu)’ = = −(1 + cot x) sin x u' = + tan u cos u (cotu)’ = − u' = −(1 + cot u ) sin x II Các dạng tập thường gặp: Dạng Tính đạo hàm hàm số định nghĩa Tính đạo hàm hàm số sau a) y = x − x0 = −1 b) y = x − x0 = x2 + x d) y = x0 = x−2 e) y = x( x − 1)( x − 2) ( x − 2008 ) x0 = c) y = sin x x0 = π Tính đạo hàm hàm số sau x0 a) y = x d) y = sin x b) y = x e) y = cos x c) y = x n g) y = tan x Dạng Mối quan hệ đạo hàm tính liên tục hàm số • Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 liên tục x0 Điều ngược lại không Cho hàm số f ( x) = x a) Chứng minh hàm số cho liên tục điểm x0 = b) Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải hàm số x0 = Từ suy hàm số đạo hàm điểm x0 = Chứng minh hàm số y = x − đạo hàm x = liên tục điểm  x ≠  x cos x Tìm f (0) hàm số f ( x) =  0 x = Tính đạo hàm hàm số ' a) y = ( x − 1) x − b) y = x − x + c) y = x + x + Dạng Tính đạo hàm hàm số công thức Tính đạo hàm hàm số sau a) y = x − x + b) y = x ( x − 4) d) y = ( x + 3) ( x − 1) 3 e) y = ( x + 1) ( x − x ) x g) y = ( x + 1)( x + 2)( x + 3) c) y = x (2 x − 1) Tính đạo hàm hàm số sau c) y = 1+ 9x x +1 b) y = − 3x 3x + a c) y = ax + b a+b d) y = x − 3x + 2x − e) y = x n x m2 + + + n x m2 x g) y = x − 2x Tính đạo hàm hàm số sau a) ( x − x ) b) y = (x − x + 1)11 3  c) y =  − ÷ x   10 Tính đạo hàm hàm số sau a) y = x − x + d) y = 1+ x 1− x b) y = − x e) y = x − x2 11 Tính đạo hàm hàm số sau c) y = x − x − b) y = − 3x a) y = x x c) y = x −3 x 12 Cho hàm số f ( x) = x − x − Giải phương trình f '( x ) ≤ Đáp số: x < −2 Dạng Tính đạo hàm hàm số lượng giác 13 Tính đạo hàm hàm số sau a) y = 5sin x − 3cos x d) y = b) y = sin( x − x + 2) sin x x + x sin x e) y = sin x + cos x sin x − cos x c) y = tan (cos x) g) y = x cot( x − 1) 14 Tính đạo hàm hàm số sau a) y = cos (x + 2x + 2) b) y = tan (3x + 4x) d) y = cot x e) y = cot + x c) y = cot ( x ) 15 Tính đạo hàm hàm số sau a) y = tan x 16 a) Cho hàm số f ( x) = b) y = cos x c) y = + + cos x cos x π  π  Tính giá trị f '  ÷+ f '  ÷ cos x 6 3 b) Cho hai hàm số f ( x) = sin x + cos x g ( x) = cos x So sánh f ' ( x ) g ' ( x ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến 17 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a) y = x − x + điểm M (−1, −2) Đáp số: y = x + b) y = x2 + 4x + điểm có hoành độ x0 = Đáp số: y = x + x+2 1 c) y = x + biết hệ số góc tiếp tuyến k = Đáp số: y = x + 3 18 Cho hàm số y = x + bx + cx + d '1 a) Xác định b, c, d để hàm số qua điểm A(1,3), B (−1, −3) f  ÷ = Đáp số: 3 b = ,c = −1,d = b) Với kết tìm trên, viết phương trình tiếp tuyến hàm số điểm có hoành độ x0 = Đáp số: y = 3x c) Với kết tìm trên, giải phương trình f '(sin t ) = 19 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp tuyến a) Song song với đường thẳng y = −3 x + Đs: y = −3 x − 7, y = −3 x + 67 27 b) Vuông góc với đường thẳng y = x − Đs: y = −7 x + 5; y = −7 x + c) Đi qua điểm A ( 0; ) Đs: y = 2; y = − 103 27 25 x + 20 a) Tìm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = tan x điểm có hoành độ x0 = b) Tìm góc trục hoành với tiếp tuyến đồ thị hàm số y = π sin x gốc toạ độ 21 a) Cho hàm số y = f ( x) = − x + x + x có đồ thị ( C ) Chứng minh tiếp tuyến (C) A(−1; 0) tiếp tuyến (C) điểm khác Tìm toạ độ tiếp điểm Đs: (1; 2) b) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị hàm số y = a2 tạo với trục toạ độ tam x Đs: 2a giác có diện tích không đổi Dạng 6: Giải bất phương trình 22 Tìm m để f ' ( x) > ∀x ∈ R, biết f ( x) = x + (m − 1) x + x + Đs: − < m < + 23 Chứng minh f ' ( x) > ∀x ∈ R a) f ( x) = x + sin x b) f ( x) = 24 Tìm a x2 x − x + x − x + x − Đs: f ' ( x) = x ( x − x + ) + x + 6( − x + 1) 4 để f ' ( x) > ∀x ∈ R, biết f ( x ) = sin x − a sin x − sin x + 2ax f ' ( x) = 4sin x(a + cos x) ⇒ a ≥ 25 Cho hàm số y = x − x + mx − Tìm m để a) f '( x ) bình phương nhị thức bậc Đs: m = b) f '( x ) ≥ với x Đs: m ≥ c) f '( x ) < với x ∈ ( 0; ) Đs: m ≤ −4 d) f '( x ) > với x > Đs: m > 26 Cho hàm số f ( x) = − mx3 mx + − (3 − m) x + Tìm m để a) f '( x ) < với x Đs: ≤ m < 12 Đs: b) f '( x ) có hai nghiệm phân biệt dấu Đs: 12 < m < c) Trong trường hợp f '( x ) có hai nghiệm, tìm hệ thức độc lập hai nghiệm không phụ thuộc vào m Đs: x1 + x2 = 1, với điều kiện m < m ≥ 12 ... không Cho hàm số f ( x) = x a) Chứng minh hàm số cho liên tục điểm x0 = b) Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải hàm số x0 = Từ suy hàm số đạo hàm điểm x0 = Chứng minh hàm số y = x − đạo hàm x = liên...  x cos x Tìm f (0) hàm số f ( x) =  0 x = Tính đạo hàm hàm số ' a) y = ( x − 1) x − b) y = x − x + c) y = x + x + Dạng Tính đạo hàm hàm số công thức Tính đạo hàm hàm số sau a) y = x −...2 Tính đạo hàm hàm số sau x0 a) y = x d) y = sin x b) y = x e) y = cos x c) y = x n g) y = tan x Dạng Mối quan hệ đạo hàm tính liên tục hàm số • Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 liên