SỞ GD- ĐT BẮC GIANG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm : 90 phút (không kể thời gian phát ñề) (ĐỀ CHÍNH THỨC) A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 ñiểm) Câu I (3 ñiểm) Tính giới hạn sau: a) lim n2 − n +1 ; (n + 1)(1 − 3n) x+ 2−x x →−2 x+2 b) lim Xét tính liên tục hàm số sau x = :  2x − 3x − x ≠  f (x) =  2x − 5 x=2  Câu II (1 ñiểm) Tính ñạo hàm hàm số f (x) = (x − 2) x + + cos 2x x = Câu III (3 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC, có ñáy ABC tam giác ñều cạnh a, ñường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) SA = a Gọi M trung ñiểm cạnh BC Chứng minh BC ⊥ (SAM) Tính tang góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (SBC) Câu IV(1 ñiểm) Cho ba số thực a, b,c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng (0;1) B PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (2 ñiểm) Học sinh ñược làm hai phần (phần I phần II) I Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn: Câu Va (1 ñiểm) a − a = −216 Tìm số hạng ñầu a1 công bội q a − a = −72 Cho cấp số nhân (a n ) thỏa mãn  Câu VIa (1 ñiểm) Cho hàm số y = x − 3x + có ñồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị (C) ñiểm I(1; −1) II Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao: Câu Vb (1 ñiểm) Cho cấp số cộng (a n ) thỏa mãn a + a = 14 tổng 13 số hạng ñầu cấp số cộng 129 Tìm số hạng ñầu a1 công sai d Câu VIb (1 ñiểm) Cho hàm số y = 2x + x + có ñồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến x −1 ñồ thị (C) giao ñiểm (C) với trục tung Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN, LỚP 11 Chú ý : Dưới ñây sơ lược bước giải cách cho ñiểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết ,lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác ñúng chấm cho ñiểm phần tương ứng Câu I (3ñ) Đáp án vắn tắt 1) Điểm 1 1− + n2 − n +1 n n a) lim = lim 1 (n + 1)(1 − 3n) (1 + )( − 3) n n =− b) x+ 2−x (x + − x )(x − − x ) lim = lim x →−2 x →− x+2 (x + 2)(x − − x ) x2 + x − (x − 1)(x + 2) = lim = lim x →−2 (x + 2)(x − − x ) x →−2 (x + 2)(x − − x ) = lim x →−2 x −1 = x − 2−x 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 2) 0,25 2 2x − 3x − (x − 2)(2x + 1) Ta có lim = lim = x →2 x →2 2x − 2(x − 2) Suy lim f (x) = f (2) Do ñó hàm số liên tục ñiểm x=2 TXĐ: ℝ , f (2) = x →2 II (1ñ) Ta có f '(x) = x + + f '(0) = III (3ñ) x(x − 2) x2 +1 0,25 0,5 0,5 − 2sin 2x 0,5 S H C A M B 1) Do SA ⊥ (ABC), BC ⊂ ( ABC ) nên SA ⊥ BC (1) 0,25 Do tam giác ABC ñều, M trung ñiểm ñoạn BC nên BC ⊥ AM (2) Lại có SA AM cắt A nằm mặt phẳng (SAM) (3) Từ (1), (2) (3) suy BC ⊥ ( SAM ) ñpcm 0,25 0,25 0,25 2) Do ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC + Do SM, AM vuông góc với giao tuyến BC nên góc hai mặt phẳng 0,25 (SBC) (ABC) góc hai ñường thẳng AM SM góc SMA (vì SMA < 900 ) + Tính ñược AM = a SA a = = AM a 3) Gọi H hình chiếu A SM Do ñó AH ⊥ SM , BC ⊥ AH Lại có hai ñường thẳng SM, BC cắt nằm mặt phẳng (SBC) Dẫn ñến AH ⊥ ( SBC ) Khoảng cách từ A ñến mp(SBC) ñộ dài ñoạn AH Trong tam giác vuông SAM, ñường cao AH ta có 1 1 = 2+ = + = Do ñó AH = a 2 AH SA AM 3a 3a 3a Trong tam giác vuông SAM, vuông A Ta có tan( SMA) = IV (1ñ) 2 c c + f (0) = c , f   = a + b + c = (4 a + b + 12c) − = − 3 9 3 2 + Nếu c = f   = ⇒ PT ñã cho có nghiệm x= ∈ (0;1) 3 Giả thiết toán tương ñương với 3 2 a1q (q − 1) = −216 a1q (q − 1)(q + q + 1) = −216 q + q + = ⇔ ⇔    a1q (q − 1) = −72 a1q (q − 1) = −72 a1q (q − 1) = −72  q = (vn) q =   q = −2  0.a1 = −72  ⇔   q = −2 ⇔ ⇔  q = −2 a1 = −3   a q ( q − 1) = − 72    a1 = −3 VIa (1ñ) Vb 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt f(x)= ax2 + bx + c ⇒ f ( x) liên tục R 2  2 c2 + Nếu c ≠ f (0) f   = − < ⇒ PT ñã cho có nghiệm x= α ∈  0;  ⊂ (0;1) 3  3 Va (1ñ) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Ta có y '( x) = x − x + Tiếp tuyến ñồ thị hàm số ñiểm I(1;-1) có hệ số góc y'(1)=-3 0,5 + Phương trình tiếp tuyến ñths I(1;-1) y = −3( x − 1) − = −3 x + 0,5 Ta có a5 + a3 = 14 ⇔ a1 + 3d = (1) (1ñ) VIb (1ñ) 2a1 + 12d ).13 = 129 ⇔ 13a1 + 78d = 129 (2) Từ (1) (2) ta có hệ 53  a1 = 13 a1 + 3d = ⇔  13 a + 78 d = 129  d = 38  39 + Đồ thị (C) giao với Oy ñiểm A(0;-1) x2 − x − + Ta có y ' = ; y '(0) = −2 ( x − 1)2 + Phương trình tiếp tuyến ñồ thị (C) ñiểm A(0;-1) là: y = −2 x − S13 = 129 ⇔ ( 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 ... → 2 (x + 2) (x − − x ) x → 2 (x + 2) (x − − x ) = lim x → 2 x −1 = x − 2 x 0,5 0,5 0 ,25 0 ,25 0,5 2) 0 ,25 2 2x − 3x − (x − 2) (2x + 1) Ta có lim = lim = x 2 x 2 2x − 2( x − 2) Suy lim f (x) = f (2) ... = 2  0.a1 = − 72  ⇔   q = 2 ⇔ ⇔  q = 2 a1 = −3   a q ( q − 1) = − 72    a1 = −3 VIa (1ñ) Vb 0,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Đặt f(x)= ax2 + bx + c ⇒ f ( x) liên tục R 2  2 c2 +...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II NĂM HỌC 20 10 -20 11 MÔN TOÁN, LỚP 11 Chú ý : Dưới ñây sơ lược bước giải cách cho ñiểm phần Bài làm