TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị An HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC XẠ ẢNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Toán học Người hướng dẫn khoa học: ThS PHẠM THANH TÂM Hà Nội - 2015 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ hình học tận tình giảng dạy, dìu dắt giúp đỡ suốt trình học tập khoa Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Thanh Tâm, người tận tình hướng dẫn, bảo đóng góp ý kiến quý báu giúp thực khoá luận Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đóng góp, bổ sung quý báu từ thầy cô bạn để hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị An i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khoá luận kết trình học tập nghiên cứu thân với giúp đỡ thầy cô, bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phạm Thanh Tâm Trong trình làm khoá luận có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khoá luận "Hoàn thiện hệ thống tập hình học xạ ảnh" trùng lặp với khoá luận khác Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị An ii Mục lục Lời mở đầu iv Không gian xạ ảnh 1.1 Không gian xạ ảnh 1.2 Các mô hình không gian xạ ảnh 1.3 Mục tiêu xạ ảnh Toạ độ xạ ảnh 1.4 Phương trình phẳng không gian xạ ảnh 1.5 Tỷ số kép hàng điểm chùm bốn siêu phẳng 1.6 Nguyên tắc đối ngẫu 1.7 Mô hình xạ ảnh không gian afin 1.8 Một số tập đề nghị 10 14 19 20 25 27 28 31 36 36 38 40 42 46 49 55 57 61 Ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ 2.1 Ánh xạ xạ ảnh 2.2 Các phép thấu xạ Pn 2.3 Các định lý phép 2.4 Một số tập đề nghị ảnh biến đổi xạ ảnh Siêu mặt bậc hai Pn 3.1 Siêu mặt bậc hai xạ ảnh 3.2 Điểm liên hợp Phẳng tiếp xúc Siêu diện lớp hai 3.3 Ánh xạ xạ ảnh đường chùm P2 3.4 Định lý Pascal định lý Briangsong 3.5 Biến đổi xạ ảnh đối hợp đường thẳng Định lý 3.6 Mô hình xạ ảnh không gian Ơclit 3.7 Một số tập đề nghị Đơdac thứ hai Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 iii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống thực tiễn nghiên cứu khoa học Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong đó, hình học phận tương đối khó toán học Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc hình học xạ ảnh thông qua tập, chọn đề tài "Hoàn thiện hệ thống tập hình học xạ ảnh" làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hình học xạ ảnh chương trình đại học, cao đẳng sư phạm Hoàn thiện hệ thống lời giải tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình hình học xạ ảnh Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại dạng tập theo nội dung hoàn thiện hệ thống tập Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm iv Chương Không gian xạ ảnh Trong chương cần ý tới số khái niệm sau: 1.1 Không gian xạ ảnh Cho tập hợp P, K-không gian vectơ n+1 chiều V n+1 , song ánh p : [V n+1 ] −→ P Khi đó, ba (P,p,V n+1 ) gọi không gian xạ ảnh n chiều trường K, liên kết với K-không gian vectơ V n+1 song ánh p 1.2 m-phẳng Cho không gian xạ ảnh (P n , p, V n+1 ) Gọi W không gian vectơ m+1 chiều V n+1 (m≥0) Khi tập hợp p([W]) gọi phẳng m chiều (hoặc m-phẳng) P n 1.3 Phương trình tổng quát m-phẳng Một m-phẳng α (m ≥ 1) xem giao n-m siêu phẳng độc lập Do phương trình m-phẳng α có dạng    u10 x0 + + u1n xn =   u x + + u x = r0 rn n với rank(Uij ) = n - m 1.4 Mục tiêu xạ ảnh Trong Pn = (P, p, V n+1 ) n+2 điểm (S0 , , Sn ; E) gọi mục tiêu xạ ảnh n+1 điểm độc lập Các điểm S0 , , Sn gọi đỉnh, điểm E gọi điểm đơn vị Bộ n+2 điểm (S0 , , Sn ; E) mục tiêu tìm → → → vectơ − e 0, , − e n, − e đại diện cho điểm S0 , , Sn ; E cho → − − → → − → → e = e + + e n Bộ vectơ (− e 0, , − e n ) sở V n+1 , ta gọi sở sở đại diện cho mục tiêu (S0 , , Sn ; E) CHƯƠNG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 1.5 Tỷ số kép bốn điểm thẳng hàng Trong K - không gian xạ ảnh Pn liên kết với V n+1 cho bốn điểm thẳng hàng A, B, → → − − → → C, D ba điểm A, B, C đôi không trùng Ta gọi − a, b, − c , d vectơ đại diện cho điểm A, B, C, D vectơ thuộc không → − → gian vectơ chiều, − a b độc lập tuyến tính Ta suy số k1 , l1 k2 , l2 cho: → − → − → − → → − → d = k2 − a + l2 b c = k1 − a + l1 b k2 k1 Khi đó, tỉ số : có nghĩa tức l2 =0, gọi tỉ số kép l2 l1 điểm thẳng hàng A, B, C, D ký hiệu [A, B, C, D] k2 nghĩa, ta xem tỷ số kép điểm A, Nếu l2 = phân số l2 B, C, D ∞ 1.6 Chùm siêu phẳng Trong không gian xạ ảnh Pn , tập hợp siêu phẳng qua (n-2)-phẳng gọi chùm siêu phẳng với giá (n-2)-phẳng Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc chùm, U, V, W đôi phân biệt Nếu d đường thẳng cắt bốn siêu phẳng điểm A, B, C, D (không cắt giá chùm) tỉ số kép bốn điểm không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d Tỉ số kép nói gọi tỉ số kép chùm bốn siêu phẳng, ký hiệu [U, V, W, Z] 1.7 Đối ngẫu Trong Pn hai cặp khái niệm sau gọi đối ngẫu nguyên thuỷ; ( m-phẳng ; (n-m-1)-phẳng) (k-phẳng thuộc vào m-phẳng; (m-k-1)-phẳng chứa (n-m-1)-phẳng) (Tỷ số kép điểm thẳng hàng; tỷ số kép bốn siêu phẳng thuộc chùm) Giả sử P mệnh đề nói phẳng Pn quan hệ liên thuộc chúng Nếu thay P từ m-phẳng từ (n-m-1)-phẳng, từ ’thuộc vào’ từ ’chứa’, từ ’chứa’ từ ’thuộc vào’, từ khác để nguyên P trở thành Pk gọi mệnh đề đối ngẫu P Nếu P định nghĩa khái niệm N Pk định nghĩa khái niệm N∗ Khái niệm N∗ gọi khái niệm đối ngẫu N Nguyên tắc đối ngẫu: Nếu P định lý Pk định lý CHƯƠNG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH BÀI TẬP 1.1 Không gian xạ ảnh Bài tập 1.1.1 Chứng minh không gian xạ ảnh P2 Qua hai điểm phân biệt có đường thẳng Hai đường thẳng phân biệt có điểm chung Giải → − → − → → Giả sử A, B hai điểm phân biệt P2 , đại diện hai vectơ − a , b − a, b → − → độc lập tuyến tính Do có không gian vectơ 2-chiều → − → chứa − a , b Suy có đường thẳng P2 chứa A, B Giả sử α, β hai đường thẳng phân biệt P2 Nếu α ∩ β = ∅, dim α + dim β = dim(α + β) - hay + = - 1, vô lý! Vậy α ∩ β = ∅ dim α + dim β = dim (α + β) + dim(α ∩ β) Suy dim(α ∩ β) = 0, tức α ∩ β điểm Bài tập 1.1.2 Chứng minh không gian xạ ảnh P3 a Có cặp đường thẳng điểm chung (ta gọi chúng chéo nhau) b Một đường thẳng mặt phẳng có điểm chung Giải a) Giả sử α, β hai đường thẳng phân biệt P Ta có: Nếu α ∩ β = ∅ thì: dimα + dimβ = dim < α + β > −1 ⇒ dimα + dimβ = ⇔ dim < α + β >= Khi α β không thuộc mặt phẳng hai đường thẳng chéo Vậy P3 có cặp thường thẳng điểm chung b) Cho đường thẳng a mặt phẳng α P3 +) Nếu α ∩ a = ∅ dimα + dima = dim < α + a > −1 ⇔ + = - 1, vô lý Vậy α ∩ a = ∅, dimα + dima = dim < α + a > +dim(α ∩ a) Nếu α ∩ a = O dimα + dima = dim < α + a > +dim(α ∩ a) ⇒ + = + 0, Nếu a ∈ α dimα + dima = dim < α + a > +dim(α ∩ a) CHƯƠNG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH ⇒ + = + 1, Vậy P đường thẳng mặt phẳng có điểm chung Bài tập 1.1.3 Chứng minh mệnh đề sau không gian Pn : a Giao (theo nghĩa tập hợp) hai phẳng không rỗng phẳng b p-phẳng (n-p)-phẳng có điểm chung c Giao siêu phẳng m-phẳng không nằm siêu phẳng (m-1)-phẳng Giải a Giả sử P có m-phẳng α p-phẳng β (m, p ≤ n) Nếu α ∩ β = ∅ thì: dimα + dimβ = dim < α + β > +dim(α ∩ β) Suy m + p = n + dim(α ∩ β) hay dim(α ∩ β) = m + p - n Vậy α ∩ β (m + n - p)-phẳng b Giả sử Pn có p-phẳng α (n-p)-phẳng β +) Nếu α ∩ β = ∅, dim < α + β >= dimα + dimβ +1 = p + (n-p) +1 = n + 1, vô lý! +) Nếu < α + β >= P n từ α ∩ β = ∅ ta có: dimα + dimβ = dim < α + β > +dim(α ∩ β) , hay p + (n-p) = n + dim (α + β) Vậy dim(α + β) = 0, tức α ∩ β điểm c Giả sử Pn có siêu phẳng α m-phẳng β, β không nằm α Suy ra, α ∩ β = ∅ Khi đó, dim (α ∩ β) = dim α + dim β - dim = (n-1) + m - n = m - Vậy α ∩ β (m-1)-phẳng n Bài tập 1.1.4 Trong Pn cho hệ điểm độc lập S0 , S1 , , Sk Chứng minh rằng, phẳng phẳng điểm chung Giải → → → Giả sử S0 , S1 , , Sk đại diện vectơ − a 0, − a 1, , − a k Nếu {S0 , S1 , , Sk } → − → − → − độc lập { a , a , , a k } độc lập tuyến tính nên họ {S0 , S1 , , Sk } độc lập α =< S0 , , Sp > p-phẳng β =< Sp+1, Sp+2 , , Sk > (k-p-1)-phẳng → → → → Vì < − a 0, , − ap >∩ = nên α ∩ β = ∅ Bài tập 1.1.5 Trong P2 cho bốn điểm A, B, C, D ba điểm thẳng hàng Trên đường thẳng AB, BC, CD, DA lấy điểm M, N, P, Q cho chúng không trùng với điểm cho Chứng minh ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy ba đường thẳng MQ, BD, NP đồng quy ngược lại CHƯƠNG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH I A Q M B D J N P C Giải Xét hai ba điểm (M, A, Q) (N, C, P) Áp dụng định lý Desargues thứ suy MN, AC, PQ đồng quy I B, Q, J thẳng hàng với J = QM ∩ PN Vậy MQ, BD, NP đồng quy J Bài toán chứng minh 1.2 Các mô hình không gian xạ ảnh Bài tập 1.2.1 Gọi S n siêu cầu thực không gian Euclide En+1 , {S n } tập hợp điểm xuyên tâm S n a) Chứng tỏ rằng, {S n } xem mô hình không gian xạ ảnh n chiều liên −−−→ kết với E n+1 b) Trong mô hình trên, m-phẳng {S n } tập hợp nào? Giải −−n+1 −→ a) Gọi E không gian vectơ liên kết En+1 , S n siêu cầu thực tâm I, {S n } tập hợp điểm xuyên tâm S n làm thành không gian xạ ảnh n chiều liên −−−→ −−−→ −−→ kết với E n+1 ánh xạ f : [E n+1 ] −→ {S n } cho với < u >⊂ En+1 không gian chiều Gọi {A, A′ } giao đường thẳng qua tâm I có phương u với S n −−−→ → Đặt f (< − u >) = {A, A′ } Khi f song ánh từ [E n+1 ] đến {S n } b) m-phẳng {S n } tập hợp cặp điểm xuyên tâm thuộc phẳng m+1 chiều En+1 Bài tập 1.2.2 Gọi S n−1 siêu cầu thực không gian Euclide n chiều En , [S n−1 ] tập hợp tất điểm nằm S n−1 a) Hãy làm cho [S n−1 ] trở thành không gian xạ ảnh n chiều b) Trong không gian xạ ảnh đó, m-phẳng tập nào? Giải a) Xét ánh xạ: − → p : [En ] −→ [S n−1 ] CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN Xét hình đỉnh A′ B ′ BDCA nội tiếp ôvan có : AA′ ∩ BD = Q; BB ′ ∩ CA = P ; A′ B ′ ∩ CD = H Theo định lý Paxcan Q, P, H thẳng hàng ⇒ PQ ∩ CD = H ∈ W ⇒ PQ // CD A2 Bài tập 3.4.3 Trong mặt phẳng afin cho tam giác ABC Parabol thay đổi luôn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA Gọi P, Q, R điểm tiếp xúc nằm AB, BC, CA Chứng minh: a Mỗi đường thẳng RP, PQ, QR qua điểm cố định b.Các đường thẳng AQ, BR, CP đồng quy Giải β γ D Q C E α ∆ I R P B A Goi ∆ vô mô hình xạ ảnh A2 thực Tam giác cố định ABC thể đơn hình cố định có ba đỉnh không thuộc ∆ Gọi điểm vô tận AB, BC, CA α, β, γ Parabol biến thiên (G) thể đường ôvan biến thiên tiếp xúc với AB, BC, CA, ∆ P, Q, R, D Theo định lý Brianshon áp dụng vào hình bốn đỉnh BCγD, đường thẳng QD, RP, Bγ, Cα đồng quy điểm I Vậy đường thẳng RP qua điểm cố định I = Bγ ∩ Cα Một cách tương tự ta chứng minh PQ qua điểm cố định J = Cα ∩ Aβ QR qua điểm cố định K = Aβ ∩ Bγ Lại theo định lý Brianshon áp dụng vào hình ba đỉnh ABC AQ, BR, CP đồng quy điểm Bài tập 3.4.4 Cho đường ôvan (S) thay đổi qua điểm cố định A, B, C, D Tiếp tuyến (S) B cắt AC B ′ , tiếp tuyến (S) C cắt BD C ′ Chứng 51 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN minh rằng, đường thẳng B ′ C ′ qua điểm cố định Phát biểu toán đối ngẫu Giải O A ′ B C D C B′ +) Hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan (S) Gọi AD ∩ BC = O, tiếp tuyến B cắt AC B ′ , tiếp tuyến C cắt BD C ′ Theo định lý Paxcan ta có B ′ , O, C ′ thẳng hàng Mà A, B, C, D cố định nên O = AD ∩ BC cố định Vậy B ′ C ′ qua điểm cố định O Bài toán đối ngẫu: Cho đường thẳng cố định a, b, c, d tiếp xúc ôvan (S) Đường thẳng m qua tiếp điểm b với (S) điểm a ∩ c, đường thẳng n qua tiếp điểm c với (S) điểm b ∩ d Tìm quỹ tích m ∩ n Bài tập 3.4.5 Cho hai điểm A, B cố định ôvan (S) điểm F không thuộc (S) Một đường thẳng thay đổi qua F cắt (S) M N Tìm quỹ tích giao điểm AM BN, AN BM Phát biểu toán đối ngẫu Giải Gọi giao điểm AN BM Q, giao điểm AM BN P Xét f: {A} → {B}, AQ → BQ Phân tích: f = h ◦ g đó: g: {A} → {B} biến AQ thành BM g ánh xạ xạ ảnh theo định lý Steniner h: {B} → {B} biến BM thành BN ≡ BQ h biến đổi xạ ảnh đối hợp theo định lý Frêgiê Suy f ánh xạ xạ ảnh +) Nếu A, B, F thẳng hàng f(AB) = BA nên f phép chiếu xuyên trục, suy quỹ tích Q đường thẳng, đối cực F (S) 52 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN +) Nếu A, B, F không thẳng hàng f(AB) = BA nên f không phép xuyên trục Suy quỹ tích Q đường bậc hai không suy biến qua A B Vì M, N có vai trò nên quỹ tích Q P trùng Đối ngẫu: Cho đường ôvan (S) đường thẳng d không tiếp xúc với (S), hai đường thẳng phân biệt a b tiếp xúc với (S) Một điểm D chạy d, hai tiếp tuyến (S) qua D m n Gọi p đường thẳng nối a ∩ m với b ∩ n, q đường thẳng nối a ∩ n với b ∩ m Khi a, b, d đồng quy đường thẳng m, n qua điểm cố định Còn a, b, d không đồng quy đường thẳng m, n tiếp xúc với ôvan Bài tập 3.4.6 Cho bốn điểm A, B, C, D nằm đường ôvan (S) Gọi a, b tiếp tuyến (S) A B, M = AC ∩ b, M ′ = BC ∩ a, N = AD ∩ b, N ′ = BD ∩ a a Chứng minh rằng, đường thẳng AB, CD, M’N, MN’ đồng quy b Gọi O giao điểm a b Chứng minh: [O, B, M, N] = [A, O, M ′ , N ′ ] Phát biểu kết đối ngẫu Giải N′ O M′ C M A P B N a) Xét hình bốn đỉnh ABCD có: a ∩ BC = M ′ b ∩ DA = N AB ∩ CD = P Theo định lý Paxcan cho hình bốn đỉnh ta có P, N, M ′ thẳng hàng Tương tự, xét hình bốn đỉnh DBAC có: a ∩ BD = N ′ b ∩ AC = M BA ∩ CD = P 53 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN Theo định lý Paxcan ta P, N ′ , M thẳng hàng VậyAB, CD, M ′ N, MN ′ đồng quy P b) Xét chùm {P } có : [P O, P B, P M, P N] = [P O, P A, P N ′, P M ′ ] ⇒ [O, B, M, N] = [O, A, N ′, M ′ ] = [A, O, M ′ , N ′ ] Kết đối ngẫu: Cho bốn đường thẳng tiếp xúc với ôvan (S) Gọi A, B tiếp điểm (S) với a b, đường thẳng m qua a ∩ c B, m’ qua b ∩ c A, n qua a ∩ d B, n’ qua b ∩ d A Khi bốn điểm a ∩ b, c ∩ d, m′ ∩ n, m ∩ n′ thẳng hàng p đường thẳng qua A B [p, b, m, n] = [a, p, m’, n’] Bài tập 3.4.7 Cho ôvan (S) hai điểm I, J Lấy hai điểm A, B nằm tiếp tuyến (S) I J Vẽ AC BD tiếp xúc với (S) C D Ký hiệu P = ID ∩ AC, Q = JC ∩ BD Chứng minh PQ ∩ AB ∈ IJ Phát biểu toán đối ngẫu Giải A M Q P I D B C J O Xét hình bốn đỉnh CDIJ nội tiếp ôvan (S) Gọi CD ∩ IJ = O, DI ∩ CJ = M Theo ra: tiếp tuyến C giao với tiếp tuyến I A Theo định lý Paxcan ta có A, O, M thẳng hàng Xét hình bốn đỉnh DCJI có tiếp tuyến D giao với tiếp tuyến I điểm B CD ∩ IJ = O, DI ∩ CJ = M Theo định lý Paxcan suy B, O, M thẳng hàng Vậy AB, CD, IJ đồng quy O Mặt khác, ta có: Tiếp tuyến C giao với ID P 54 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN Tiếp tuyến D giao với CJ Q CD ∩ IJ = O Theo định lý Paxcan cho hình đỉnh CJID ta P, Q, O thẳng hàng Vậy AB, PQ, IJ đồng quy O hay PQ ∩ AB ∈ IJ Bài toán đối ngẫu: Cho ôvan (S) hai đường thẳng m, n tiếp xúc với (S) Hai đường thẳng a b qua hai tiếp điểm (S) với m n Vẽ hai đường thẳng c, d cắt (S) hai điểm a ∩ c b ∩ d, p đường thẳng nối m ∩ d a ∩ c, q đường thẳng nối n ∩ c b ∩ d Chứng minh đường thẳng nối p ∩ q a ∩ b qua giao điểm m n 3.5 Biến đổi xạ ảnh đối hợp đường thẳng Định lý Đơdac thứ hai Bài tập 3.5.1 Trên đường thẳng s chọn mục tiêu xạ ảnh {S0 , S1 ; E} phép biến đổi xạ ảnh f: s → s có biểu thức toạ độ: x′0 = ax0 + bx1 x′1 = cx0 + dx1 ad - bc = Tìm điều kiện hệ số a, b, c, d cho: +) f phép đồng +) f phép đối hợp Giải +) f phép đồng thì: x0 x1 λx0 = ax0 + bx1 ⇔ a + b = c + d, x0 x1 λx1 = cx0 + dx1 ⇔ (a − d) + b x1 x0 −c x0 x1 =0 ⇔ ∀x0 , x1 a=d b=c =0 +) f phép đối hợp f (x0 : x1 ) = (x′0 : x′1 ) f (x′0 : x′1 ) = (x0 : x1 ), tức từ λx0 = ax′0 + bx′1 = a(ax0 + bx1 ) + b(cx0 + dx1 ) = (a2 + bc)x0 + b(a + d)x1 λx1 = cx′0 + dx′1 = c(ax0 + bx1 ) + d(cx0 + dx1 ) = c(a + d)x0 + (cb + d2 )x1 phải có b(a+d)=0, c(a+d)=0 Vì f = id nên b = c c = 0, suy a + d = Bài tập 3.5.2 Trên đường thẳng s với mục tiêu chọn cho điểm A = (1 : 2), A′ = (1 : 3), B = (1 : 4), B ′ = (1 : 5) Viết biểu thức toạ độ phép đối hợp biến A thành A′ , biến B thành B ′ 55 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN Giải Do f đối hợp nên: f : A → A′ , B → B ′ , A′ → A Xét mục tiêu cho với ba điểm: {A, A′ , B} → {A′ , A, B} Gọi biểu thức toạ độ f là: λx′0 = ax0 + bx1 λx′1 = cx0 + dx1 Khi ta có:     3a + 6b = c + 2d =   a+d ⇔ 2a + 6b = c + 3d 2a + 6b = c + 3d   5a + 20b = c + 4d 5a + 20b = c + 4d    a = −d ⇔ 7b = 2d  7c = −23d Chọn d = -7, suy b = -2, a = 7, c = 23, Ta biểu thức toạ độ f là: λx′0 = 7x0 − 2x1 λx′1 = 23x0 − 7x1 Bài tập 3.5.3 Cho điểm A, B, C, D đường thẳng d cho [A, B, C, D] = −1 Gọi f phép biến đổi xạ ảnh cho f(A) = C, f(C) = B, f(B) = D Chứng minh f phép đối hợp Giải Xét d không gian xạ ảnh chiều Lúc đó, chọn {A, C, B} mục tiêu xạ ảnh Ta có: A = (1 : 0), C(0 : 1), B(1 : 1) Gọi D(x0 : x1 ) Khi đó: [A, B, B, D] = x1 : = −1 ⇒ x1 = x0 − x1 ⇒ x0 = 2x1 x1 − x0 Chọn x1 = 1, x0 = 2, ta có D(2 : 1) Khi f : {A, C, B} −→ {C, B, D} nên biểu thức toạ độ f là: λx′0 = 2x1 , ′ λx1 = −x0 +2x1 A= −1 f (A) = f (f (A)) = f (C) = B ⇒ (f )2 (A) = f (B) = f (f (B)) = f (D) Thay toạ độ điểm D vào biểu thức toạ độ f ta −1 2 56 = (2 : 0) CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN Suy f (D) = A Vậy (f )2 (A) = A Tương tự ta tính (f )2 (C) = C, (f )2 (B) = B Suy f biến đổi xạ ảnh đối hợp Bài tập 3.5.4 Cho hai đường ôvan cắt bốn điểm phân biệt A, B, C, D Một đường thẳng d tiếp với hai ôvan hai điểm P Q Chứng minh M M ′ giao điểm AB CD với d [P, Q, M, M ′ ] = −1 Giải Áp dụng định lý Desargues thứ hai vào hình bốn đỉnh ABCD hai đường ôvan qua A, B, C, D ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f: d → d mà f (M) = M ′ , f(P) = P, f(Q) = Q Do [P, Q, M, M ′ ] = −1 3.6 Mô hình xạ ảnh không gian Ơclit Bài tập 3.6.1 Dùng mô hình xạ ảnh để chứng minh định lý hình học Ơclit : Ba đường cao tam giác đồng quy Giải α R I β J P γ Q ∆ C A x z B Đường thẳng vô tận ∆, hai điểm xyclic I J Tam giác ABC thể đơn hình ABC có đỉnh ∆ Đặt P = BC ∩ ∆, Q = CA ∩ ∆, R = AB ∩ ∆ Ba đường thẳng x, y, z qua A, B, C thể ba đường cao tam giác ABC chúng cắt ∆ α, β, γ cho ba cặp điểm (P, α), (Q, β), (R, γ) chia điều hoà I, J Nói cách khác (P, α), (Q, β), (R, γ) ba cặp điểm tương ứng biến đổi xạ ảnh f ∆ nhận I, J làm hai điểm bất động Do theo hệ định lý Desargues thứ hai (phần đảo), x, y, z đồng quy Bài tập 3.6.2 Trong mặt phẳng Ơclit cho hai đường thẳng phân biệt a, b điểm A thuộc a không thuộc b Một điểm C không thuộc a, b Một đường thẳng thay đổi qua C cắt a M, cắt b N Tìm họ đường thẳng qua M vuông góc với AN 57 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN a P Q E I A b J ∆ M N C Giải Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic A C không thuộc ∆, a b không trùng với ∆ Đặt P = AN ∩ ∆ Đường thẳng qua M thẳng góc với AN, thể đường thẳng xạ ảnh qua M, cắt ∆ Q thoả mãn [PQIJ] = -1 Tìm quỹ tích đường MQ sau: có ánh xạ f : a → ∆ biến M thành Q theo quy tắc: cho M ∈ a, nối MC cắt b N, nối NA cắt ∆ P, lấy Q ∈ ∆ cho [PQIJ] = -1, đặt f(M) = Q Dễ dàng thấy f ánh xạ xạ ảnh phân tích f = k ◦ h ◦ g; đó: g : M → N phép thấu xạ xuyên tâm, h : N → P phép thấu xạ xuyên tâm k : P → Q biến đổi xạ ảnh đối hợp ∆ nhận I, J làm hai điểm bất động Đặt E = a ∩ ∆, B = EC ∩ ∆, H = AB ∩ ∆ Khi f(E) = E [HEIJ] = −1 Vậy [HEIJ] = −1 phép chiếu xuyên tâm quỹ tích đường thẳng MQ chùm đường thẳng có tâm tâm chiếu Nếu [HEIJ] = −1 theo định lý Steiner đối ngẫu, quỹ tích đường thẳng MQ hình bao ngoại tiếp đường ôvan tiếp xúc với a ∆ Suy lời giải toán Euclide cho sau: • Nếu đường thẳng qua C song song với a, cắt b điểm B mà AB ⊥ a đường thẳng qua M vuông góc với AN lập thành chùm • Nếu đường thẳng qua C, song song với a, không cắt b hay cắt b điểm β AB không vuông góc với a quỹ tích đường thẳng qua M vuông góc với AN tập tiếp tuyến Parabol mà a tiếp tuyến cho trước Bài tập 3.6.3 Dùng mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit để giải toán sau mặt phẳng Ơclit: a Cho điểm D không nằm cạnh tam giác ABC Các đường thẳng a, b, c qua D vuông góc với DA, DB, DC cắt BC, CA, AB 58 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN A′ , B ′ , C ′ Chứng minh ba điểm A′ , B ′ , C ′ thẳng hàng b Cho điểm O không nằm cạnh tam giác ABC đường thẳng d qua O Các đường thẳng a, b, c qua O đối xứng với đường thẳng OA, OB, OC d cắt BC, CA, AB A′ , B ′ , C ′ Chứng minh ba điểm A′ , B ′ , C ′ thẳng hàng c Cho ba dây cung AB, CD, EF đường tròn (O) cho CD EF qua trung điểm H AB Gọi M, N giao điểm AB với CE DF Chứng minh rằng, H trung điểm MN Nếu thay đường tròn (O) đường cônic toán không? d Cho tiếp tuyến d điểm A đường tròn điểm C đường kính AB, C nằm A B Một đường thẳng thay đổi qua C cắt đường tròn N N ′ Các đường thẳng BN, BN ′ cắt d M M ′ Gọi T T’ tiếp điểm tiếp tuyến khác d đường tròn qua M M ′ Chứng minh rằng, đường thẳng T T ′ qua điểm cố định giao điểm MT MT ′ nằm đường thẳng cố định Giải ∆ β β′ α α′ γ I J D c A γ′ b a B C a) Gọi đường thẳng vô tận ∆ hai điểm xyclic I J Bốn điểm A, B, C, D không nằm ∆ tạo thành hình bốn đỉnh ABCD Điều kiện a ⊥ DA, b ⊥ DB, c ⊥ DC theo nghĩa Ơclit thể nghĩa xạ ảnh sau: Nếu đặt α = AD ∩ ∆, β = BD ∩ ∆, γ = CD ∩ ∆, α′ = a ∩ ∆, β ′ = b ∩ ∆, γ ′ = c ∩ ∆ (α, α′), (β, β ′), (γ, γ ′ ) chia điều hoà I, J Suy có biến đổi xạ ảnh f : ch{D} → ch{D} thoả mãn f(AD) = a, f(BD) = b, f(DC) = c Áp dụng hệ định lý Desargues thứ hai đối ngẫu ta ba điểm A′ = a ∩ BC, B ′ = b ∩ CA, C ′ = c ∩ AB thẳng hàng b) Đường thẳng vô tận ∆, hai điểm xyclic I J Các điểm A, B, C, O lập thành hình bốn đỉnh ABCO có đỉnh không thuộc ∆ Đặt D = (d) ∩ ∆, điểm S ∈ ∆ cho [SDIJ] = −1 Phép đối xứng (thẳng góc) qua trục (d) theo nghĩa Ơclit 59 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN ∆ γ β′ I β γ′ J α S (∆) D O A C′ B′ B A′ B thể phép thấu xạ đối hợp f tâm S, trục (d) Đặt α = OA ∩ ∆, β = OB ∩ ∆, γ = OC ∩ ∆, α′ = f (α), β ′ = f (β), γ ′ = f (γ) α′ , β ′, γ ′ thuộc ∆ [SDαα′] = −1, [SDββ ′] = −1, [SDγγ ′ ] = −1 Các đường thẳng a = Oα′, b = Oβ ′, c = Oγ ′ đường thẳng đối xứng với OA, OB, OC qua (d) theo nghĩa Ơclit Rõ ràng biến đổi xạ ảnh đối hợp g : ch{O} → ch{O}, biến Oα, Oβ, Oγ thành a, b, c Do theo hệ định lý Desargues thứ hai (đối ngẫu) ta ba điểm A′ , B ′ , C ′ thẳng hàng c) C K A R E P M T B Q D I F J ∆ Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic Đường tròn (G) thể đường ôvan qua I, J Các điểm A, B, H nằm bên ∆ đặt K = AB ∩ ∆ [ABHK] = −1 Áp dụng định lý Desargues thứ hai vào chùm đường bậc hai qua C, D, E, F (cụ thể (G) đường bậc hai suy biến (CE, FD) với cát tuyến AB, ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f : hg{AB} → hg{AB} mà f(A) = B, f(M) = N Vì [ABHK] = −1, f(H) = H, f(K) = K Do [MNHK] = −1, K điểm vô tận AB nên điều có nghĩa Ơclit H trung điểm MN 60 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN d) O P B I T M J ∆ E C N N′ A T′ M′ D Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic Đường tròn (G) thể đường ôvan qua I, J Tâm đường tròn cực ∆ (G) Đường kính AB đường thẳng qua O C ∈ AB không thuộc ∆ C = O Theo định lý Frêgiê ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp g : ch{B} → ch{B}, BN → BN ′ Do có biến đổi xạ ảnh đối hợp f : d → d, M → M ′ Suy ra: i) Áp dụng định lý Frêgiê đối ngẫu vào (G), tiếp tuyến (d) biến đổi xạ ảnh đối hợp f điểm D = MT ∩ MT ′ chạy đường thẳng cố định (l) Đặt P = (d) ∩ ∆ P cực AB Ta có T T ′ đối cực D, mà D chạy (l) T T ′ phải qua cực (l) Vì (l) qua P nên cực (l) nằm AB Vậy chuyển sang toán Ơclit ta kết luận đường thẳng T T ′ qua điểm cố định đường kính AB ii) Khi N ≡ A N” ≡ B M ≡ A, M ′ ≡ (d) ∩ ∆ Vậy (l) qua (d) ∩ ∆ Do chuyển sang toán Ơclit ta kết luận điểm D chạy đường thẳng cố định song song với (d) 3.7 Một số tập đề nghị Bài tập 3.7.1 Đối với mục tiêu chọn P2 , cho ôvan có phương trình: −x20 + x21 + x22 = Chứng minh ba đỉnh mục tiêu đôi liên hợp với ôvan Bài tập 3.7.2 Gọi (S) đường ôvan thay đổi qua điểm A, B, C, D cho trước Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến (S) hai bốn điểm Phát biểu kết đối ngẫu Bài tập 3.7.3 Cho ba điểm A, B, C cố định nằm ôvan (S) K điểm cố định không nằm (S) Các đường thẳng KA, KB, KC cắt (S) A′ , B ′ , C ′ Với P thay đổi (S), đường thẳng PA, PB, PC cắt B ′ C ′ , C ′ A′ , A′ B ′ A′′ , B ′′ , C ′′ 61 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN Chứng minh điểm A′′ , B ′′ , C ′′ nằm đường thẳng đường thẳng qua điểm cố định Bài tập 3.7.4 Cho hai phép đối hợp f1 , f2 (S) với điểm Frêgiê tương ứng F1 F2 Chứng minh rằng, f1 ◦ f2 = f1 ◦ f2 F1 , F2 liên hợp với (S) Bài tập 3.7.5 Cho bốn điểm A, A′ , B, B ′ đường thẳng s f : s → s phép đối hợp mà f (A) = A′ , f (B) = B ′ Chứng minh f phép eliptic [AA′ BB ′ ] < 0, f phép hypebolic [AA′ BB ′ ] > Bài tập 3.7.6 Trong Pn cho mục tiêu {Si ; E} Viết phương trình siêu mặt bậc hai (S) cho Si Sj (i = j) liên hợp với (S) Bài tập 3.7.7 Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng d tiếp tuyến siêu mặt bậc hai (S) điểm M d ⊂ (S), d ∩ (S) = {M} Bài tập 3.7.8 Giải toán afin: Cho I trung điểm dây cung PQ đường elip (E) Qua I vẽ hai dây cung AB CD Gọi M, N giao điểm AD BC với PQ Chứng minh IM = IN Bài tập 3.7.9 Cho hai đường thẳng cố định a, b ba điểm phân biệt P, Q, R cố định không nằm chúng Một đường thẳng thay đổi qua P cắt a b A B Tìm quỹ tích giao điểm QB RA, QA RB (xét hai trường hợp P, Q, R thẳng hàng không thẳng hàng) Phát biểu toán đối ngẫu Bài tập 3.7.10 Trong P3 , cho mặt phẳng W xây dựng không gian afin A3 = P3 \W Chứng minh rằng: a Nếu (S) mặt trái xoan P3 (S) \ W mặt sau A3 : - Elipsoiid (S) không cắt W - Hypeboloid hai tầng (S) cắt W theo đường ôvan - Paraboloid eliptic (S) cắt W điểm (ta nói (S) tiếp với W) b Nếu (S) mặt kẻ (S) \ W mặt sau A3 : - Hypeboloid tầng (S) cắt W theo đường ôvan - Mặt yên ngựa (S) cắt W theo cặp đường thẳng Bài tập 3.7.11 Trong P2 cho phương trình bốn đường thẳng phân biệt li có phương trình: Fi = a0i x0 + a1i x1 + a2i x2 = 0, i = 1, 2, 3, Chứng minh rằng, đường bậc hai S qua giao điểm l1 l2 , l2 l3 , l3 l4 , l4 l1 có phương trình: kF1 F3 + lF2 F4 = 0, k l hai số không đồng thời Áp dụng kết để giải tập b, c, d 3.1.1 62 CHƯƠNG SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG PN Bài tập 3.7.12 Trong Pn cho siêu mặt bậc hai (S) điểm O không thuộc (S) Gọi f: Pn → Pn phép thấu xạ đơn có tâm O, biến (S) thành Chứng minh rằng, f thấu xạ đối hợp sở siêu phẳng đối cực điểm O (S) Bài tập 3.7.13 Dùng mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin , giải các toán sau hình học afin: a Chứng minh hình bình hành nội tiếp, ngoại tiếp đường elip hypebol tâm trùng với tâm elip hypebol b Tìm quỹ tích trung điểm dây cung song song với cônic cho c Chứng minh đường thẳng cắt hypebol hai điểm phân biệt A, B cắt hai đường tiệm cận hypebol C, D AC = BD d.Chứng minh hình bình hành có hai đỉnh đối diện nằm hypebol cạnh song song với đường tiệm cận hypebol hai đỉnh hình bình thẳng hàng với tâm hypebol e Chứng minh rằng, hai tiếp tuyến hai điểm A B parabol cắt C, đường thẳng nối C với trung điểm AB song song với trục parabol Bài tập 3.7.14 Xét mô hình xạ ảnh không gian afin An = Pn \ W Cho siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S), sinh siêu mặt bậc hai afin (S’) = S \ W Chứng minh rằng: a Điểm I tâm (S’) I liên hợp với điểm W (S) Từ suy ra, (S) không suy biến không tiếp xúc với W (S’) có tâm nhất, điểm đối cực siêu phẳng W (S) b Nếu C điểm nằm W γ siêu phẳng đối cực C (S) γ \ W siêu phẳng kính (S’) liên hợp với phương c, xác định điểm vô tân C Bài tập 3.7.15 Cho bốn đường ôvan khác chùm đường bậc hai Giả sử điểm M có bốn đường thẳng đối cực phân biệt bốn ôvan Chứng minh bốn đường thẳng đồng quy tỷ số kép chúng không phụ thuộc vào điểm M Bài tập 3.7.16 Trong P2 cho hai đường bậc hai (S) (S ′ ) cắt bốn điểm phân biệt A, B, C, D Giả sử mục tiêu (S) (S ′ ) có phương trình xt Ax = xt A’x = Chứng minh điều kiện cần đủ để đường bậc hai qua A, B, C, D phương trình có dạng: k(xt Ax) + l(xt A′ x) = 0, k l hai số không đồng thời 63 Kết Luận Trong khoá luận trình bày số khái niệm lời giải tập môn hình học xạ ảnh theo chương: Chương 1: Không gian xạ ảnh; Chương 2: Ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh; Chương 3: Siêu mặt bậc hai Pn Tuy nhiên thời gian thực khoá luận không nhiều có hạn chế, mong nhận góp ý, bổ sung quý báu quý thầy cô bạn đọc 64 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục 1998 [2] Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục 2007 [3] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập Hình học cao cấp, NXB Giáo dục 2007 [4] Phạm Bình Đô, Bài tập hình học xạ ảnh, NXB ĐHSP, 2008 65 [...]... nếu p() = X thì p′ (ϕ < x >) = f (X) Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính ϕ là đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f Ánh xạ xạ ảnh là một đơn ánh Nếu P và P’ có cùng một số chiều thì ánh xạ xạ ảnh f: P −→ P’ là một song ánh và được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh giữa P và P’ Một ánh xạ xạ ảnh f: P −→ P còn gọi là biến đổi xạ ảnh của P Mọi ánh xạ xạ ảnh đều biến m-phẳng thành m-phẳng và bảo toàn tỉ số kép của bốn... dạng k(U)t (X) + l(V )t (X) = 0, trong đó k và l không đồng thời bằng 0 26 Chương 2 Ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh Trong chương này chúng ta cần chú ý tới một số khái niệm cơ bản sau: 2.1 Ánh xạ xạ ảnh Cho các K-không gian xạ ảnh (P, p, V) và (P’, p’, V’) Một ánh xạ f: P −→ P ′ được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính ϕ : V −→ V ′ , sao cho nếu vectơ x ∈ V là đại diện cho điểm X ∈ P thì vectơ... mô hình của P 2 thực (vì B là một mô hình của P2 thực) 1.3 Mục tiêu xạ ảnh và Toạ độ xạ ảnh Bài tập 1.3.1 Cho mục tiêu xạ ảnh {Si , E} trong không gian xạ ảnh Pn Tìm điều kiện để điểm X = (x0 : x1 : : xn ) nằm trên m-phẳng toạ độ S0 , S1 , , Sm Giải Điều kiện để M ∈ S0 + + Sm là: (x0 , , xm ) = λ1 (1, 0, , 0) + + λm (0, , 1, 0, , 0) Do đó M(x0 : : xm : 0 : : 0) Bài tập. .. GIAN XẠ ẢNH − → sao cho mỗi không gian vectơ con một chiều của En thành đường kính là giao của đường thẳng qua tâm với S n−1 Khi đó ta có bộ ba (En , p, [S n−1 ]) là không gian xạ ảnh n chiều b) Trong không gian xạ ảnh này m-phẳng là tập hợp các đường kính của S n−1 thuộc vào phẳng m+1 chiều trong En Bài tập 1.2.3 Chứng minh rằng các tập hợp sau đây lập thành những mô hình của không gian xạ ảnh Pn... : xn ) ∈ P n có ảnh M’ = f(M) = (x′0 : : x′n ) xác định bởi  ′   kx0 = a00 x0 + + a0n xn (k = 0)  kx′ = a x + + a x n0 0 nn n n hay là x’ = Ax BÀI TẬP 2.1 Ánh xạ xạ ảnh Bài tập 2.1.1 Trong Pn cho phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức toạ độ: k.x’ = A.x Tìm toạ độ của: a Ảnh của siêu phẳng u = (u0 : u1 : : un ) b Tạo ảnh của điểm X’ = (x′0 : x′1 : : x′n ) c Tạo ảnh của siêu phẳng... phụ thuộc vị trí điểm M 2 1.7 Mô hình xạ ảnh của không gian afin Bài tập 1.7.1 Chứng minh các định lý sau đây trong mặt phẳng afin bằng phương pháp xạ ảnh: a) Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường b) Trong một hình thang, trung điểm hai cạnh đáy chia điều hoà cặp giao điểm hai đường chéo và giao điểm hai cạnh bên c) Đường trung bình trong hình thang thì song song với hai... Trong hình tứ đỉnh toàn phần ABMD có [ABCF]=-1 Suy ra [EA, EB, EC, EF ] = −1 ⇒ [ED, EM, EI, EF ] = −1 ⇒ [DMIF ] = −1 hay D, M, I, F thẳng hàng Do đó DM ∩ AB = F ∈ W nên DM // AB Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình vì chỉ xác định duy nhất các giao điểm K và D 24 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Bài tập 1.7.3 Từ các định lý Desargues, Meunelaus, Cêva trong mặt phẳng xạ ảnh, hãy suy ra những định lý của hình. .. thuộc một chùm Ngược lại, mọi ánh xạ xạ ảnh f: Pn −→ P′ n biến đường thẳng thành đường thẳng và bảo toàn tỷ số kép bốn điểm thẳng hàng đều là ánh xạ xạ ảnh 2.2 Phép thấu xạ Trong Pn cho r-phẳng α và (n-r-1)-phẳng β mà α ∩ β = ∅ và dim α ≤ dim β Ta gọi cặp (α, β) là một r-cặp Một biến đổi xạ ảnh f: Pn −→ Pn mà f(M) = M với mọi M ∈ α ∪ β thì được gọi là một phép thấu xạ (qua) r-cặp với cơ sở (α, β) Nếu... = k là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của M Số k gọi là tỷ số thấu xạ của f 2.3 Biểu thức toạ độ xạ ảnh Cho biến đổi xạ ảnh f: Pn −→ Pn (n ≥ 1) và một mục tiêu (S0 , , Sn ; E) của P n Giả sử f đại diện bởi ϕ : V n+1 −→ V n+1 , mục tiêu (S0 , , Sn ; E) đại diện bởi cơ sở 27 CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH → → (− e0 , , − en ) của V n+1 và cho biết  → − → − → −   ϕ( e0 )... Meunelaus, Cêva trong mặt phẳng xạ ảnh, hãy suy ra những định lý của hình học afin Giải Từ bài toán xạ ảnh (1.5.2) trong P lấy đường thẳng d làm vô cùng của mô hình xạ ảnh của A2 thì ba điểm độc lập A, B, C diễn tả ba đỉnh của một tam giác ABC của A2 , các điểm A′′ , B ′′ , C ′′ là các điểm vô tận của mô hình, các tỷ số kép xạ ảnh [BCP A′′ ], [CAQB ′′ ], [ABRC ′′ ] diễn tả các tỷ số đơn afin [BCP], ... cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc hình học xạ ảnh thông qua tập, chọn đề tài "Hoàn thiện hệ thống tập hình học xạ ảnh" làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hình học xạ ảnh chương... đại học, cao đẳng sư phạm Hoàn thiện hệ thống lời giải tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình hình học. .. ánh xạ tuyến tính ϕ đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f Ánh xạ xạ ảnh đơn ánh Nếu P P’ có số chiều ánh xạ xạ ảnh f: P −→ P’ song ánh gọi đẳng cấu xạ ảnh P P’ Một ánh xạ xạ ảnh f: P −→ P gọi biến đổi xạ