TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị An HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC XẠ ẢNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Toán học Người hướng dẫn khoa học: ThS PHẠM THANH TÂM Lời cảm ơn Hà Nội - 2015 Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầv cô giáo khoa Toán, tliầv cô tổ hình học tận tình giảng dạy, dìu dắt giúp đỡ suốt trình học tập khoa Dặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc Iiliất tới thầy giáo PỈIẠM THANH TÂM, người tận tình hướng dẫn, bảo đóng góp V kiến quý báu giúp thực khoá luận nàv Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cỏ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình hục tập thực khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên klioá luận không tránh khỏi Iiliững thiếu sót Tôi mong nhận Iiliững đóng góp, bổ sung quý báu từ thầy cô bạn để hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn! H N ộ i , ng y t há ng n ăm 20 15 Sinh viên Nguyễn Thị An Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khoá luận kết trình hục tập nghiên cứu thân với giúp đỡ thầy cỗ, bạn sinh viên khoa Toán trường DHSP Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy PHẠM THANH TÂM Trong trình làm klioá luận có tham khảo Iiliững tài liệu có liên quan liệ thống mục tài liệu tham khảo Khoá luận "HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC XẠ ẢNH" trùng lặp với khoá luận khác H N ộ i , ng y t há ng n ăm 20 15 Nguvễn Thị An Sinh viên Mục lục Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống tliực tiễn Iiliư nghiên cứu khoa học Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong đó, hình học phận tương đối khó toán học Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc hình học xạ ảnh thông qua tập, chọn đề tài "Hoàn thiện hệ thống tập hình học xạ ảnh" làm klioá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hình học xạ ảnh chương trình đại học, cao đẳng sư phạm Hoàn thiện hộ thống lời giải tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình liọc Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình hình học xạ ảnh Các tài liệu tham khảo liên quan đốn hình hục xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại dạng tập theo nội đung hoàn thiện hệ thống tập Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp tổng kốt kinh nghiệm Chương Không gian xạ ảnh Trong chương chúng t.a cần ý tới số khái niệm cd sau: 1.1 Không gian xạ ảnh p, K-không gian vectơ n +1 chiều Cho tập hợp P : [l /n+1 ] —* P Khi đó, ba (P,p,v n+1 N L ) gọi II chiều trường K, liên kết với V + ,và K-không gian vectơ VN+L song ánh khônggian xạ ảnli song ánh p 1.2 m-phẳng {P , p, v n+1 ) Gọi w không gian vectơ m +1 chiều V + P ( [ W ] ) gụi phẳng m chiều (hoặc m-phẳng) P Cho không gian xạ ảnh (m>0) Khi tập hợp N N L N 1.3 Phương trình tổng quát m-phẳng Một m-phẳng A (m > 1) xem giao n-m siêu pliẳng độc lập Do phương trình m-phẳng Q có dạng [ ^rO^O “ 1“ • • • “ 1“ với U X RN N rank (ƯIJ) = n - m 1.4 Mục tiêu xạ ảnh Trong p u = (P, tiêu xạ ảnh p, V + ) 11+2 điểm (SI), , n +1 điểm độclập N L E) gọi mục Các điểm S0, , S N gọi đỉnh, điểm E gọi điểm đơn vị (S0, S ; E) mục tiêu tìm ~E , ~E đại diện clio điểm (So, S \ E clio ~E = ~Ề + ~Ề Bộ vect.d {~Ề0, , ~ỀN) một.cd sở v n+1 , ta gọi Bộ n + điểm vectơ ~e\), + N N N Ữ N sở nàv sở đại diệncho mục tiêu (S0, , SN\ E ) 1.5 Tỷ số kép bốn điểm thẳng hàng Trong K - không gian xạ ảnh p n liên kết với VN+Ì cho bốn điểm thẳng liàng A, B, V —^ c, D ba điêm A, B, c đôi không trùng Ta gọi ^ A , B , C , CL vectơ đại diện cho điểm A, B, c, D veetơ thuộc không „ ^ ^ , gian vectơ chiên, A B độc lập tuyên tính Ta suy sô Ả, - 1, I] Ả; , L2 cho: c = ỈCị ữ l\ b d = A '2 o ỉ b Khi đó, tỉ số — : — có nghĩa tức /2 7^ 0, gọi t.ỉ số kép điểm thẳng hàng A, B, c, D ký hiệu [A, B, c, D] Nêu ,k ' Ỉ2 = phân sô —- nghĩa, ta xcm tỷ sô kép cua h B, c, D oc L2 LỊ cm A, 1.6 Chùm siêu phang Trong không gian xạ ảnh p ?l , tập hợp siêu phẳng qua (n-2)-phẳng gọi chùm sicui phẳng với giá (n- 2)-phẳng Clio bốn siêu pliẳng u, V, w, z tliuộc chùm, Ư, V, w đôi phân biệt Nếu d đường thẳng cắt bốn siêu phẳng điểm A, B, c, D (không cắt giá chùm) tỉ số kép bốn điổm không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d Tỉ số kép nói gọi TỈ SỐ KÉP CỦA CHÙM BỐN SIÊU PHẲNG, ký hiệu [ U , V, w, z \ 1.7 Đối ngẫu Trong p n hai cặp khái niệm sau gọi đối Iigẫu nguyên tliuỷ; ( m-phẳng ; (n-m-l)-phẵng) (k-phẳng thuộc vào m-phẳng; (m-k-l)-phẳng chứa (n-m-l)-phẵng) (Tỷ số kép điểm thẳng hàng; tỷ số kép bốn siêu phẳng thuộc chùm) Giả sử y mệnh đề nói phẳng p n quan hộ liên thuộc chúng Nếu thay từ m-phẳng từ (n-m-l)-phẳng, từ ’thuộc vào’ từ ’cliứa’, từ ’chứa’ từ ’thuộc vào’, CÒI từ khác để nguvên till y trở tliànli T K gọi mệnh đề đối ngẫu Nếu y định nghĩa khái niệm N 'Ĩ> K định nghĩa khái niệm N* Khái niệm N* gụi khái niệm đối ngẫu N Nguyên tắc đối ngẫu: Nếu định lý Y K định lý BÀI TẬP 1.1Không gian xạ ảnh Bài tập 1.1.1 C h ứn g m in h r ằn g t ro ng k hô ng g ia n x ản h Q ua i đ i êm p hâ n b i ệ t c ó mộ t v c h ỉ m ộ t đ ườ ng t ỉ i ẳn g p2 2 H a i đư ờn g t h ẳn g p hâ n b i ệ t c ó du y nh ấ t m ộ t đ i ểm c hu nq Giải „ Y — Y Y —^ A , B A , B , y độc lập t.\iyên tính Do có nliât không gian vectơ 2-chiêu < B > ° chứa A , B Suy có nhât đường thăng p chứa A, B Giả sử A, B hai điôm phân biệt p , đại diện hai vectơ v Giả sử A, (3 hai đường thẳng phân biệt p Nếu tt n = 0, dim A + dim P = dim(ci + 3) - hay + = - 1, vô lý! Vậv A n /3 Ỷ dim tt + dim = dim (tt + Ị3) + dim(a n 8) P) = 0, tức A n P điểm Suy dim(ci n B i t ậ p 1 a C ng m i nh rằ ng t r u ng k hô ng g ia n x ản h p3 C ố n hữ ng c ặ p đư ờn g t , hẳ ng kh ôn g c ó đ i ể m ch un g ( t a g ọi ch ún g l c h é o n u) b M ộ t đ ườ ng t ì i ẳn g v mộ t m ặ t p ng lu ôn c ó đ i ếm c hu ng Giải a) Giả sử tt, hai đường thẳng phân PẦ Ta có: t h ì : d i ma + biệt Nếu a n /? = d im / = d im < + Ị5 > — = > đ i ma + d im ị = dim < a + > = Khi O: Ị3 không thuộc mặt phẳng hai đường thẳng chéo a Vậy p có cặp thường thẳng điểm chung b) Cho đường thẳng a mặt pliẳng + ) Nếu « n a A p = d i r na + d i r r i a = d i m, < a + u > — Vậy ữ n fl ^ + 1= - , v ô lý 0, d i r na + dừ nu = d i m, < Nến ft' n a = + o > +d i m (a a + o n u > + d i m (a d i ma + n d i ma u ) = dim a) =>2 + = + 0, hiôn đííng Nến n G O : t h ì d i ma + d i ma = =>2 + = 2+ 1, d i m < a + a > + d i m ,( a Vậy p đường thẳng mặt pliẳng có điểm cliung n o) < a Bài tập 1.1.3 C h ứn g m in h c c m ện h đề sa u đâ y t r un g k hô ng g i an pn: a G i ao ( t h eo n gh ĩa t Ạ p hợ p) c i p ng n ếu k hô ng r ỗn g l p ng n đố b p -p hẳ ng ( n- p) - ph ẳn g l uồ n có đ i ê m ch un g c G i ao c mộ t s i ê u p hẳ ng v mộ t m- p hẳ ng k h ôn g n ằm t r ê n s i ê u p ng l m ộ t ( m -1 )- ph ẳn g Giải a Giả sử P” có m-phẳng a p-phẳng Nếu P (m, p < n) A n Ỷ ; d i m a + d im p Suy = d im < a + ị > + d i m( a n P) 111 + p = n + diĩii(a n ổ) hay dim (ft' n jỡ) = m + p - n Vậv o.' n n b Giả sử p có p-pliẳng a p (m + n - p)-phẳng Ị3 (n-p)-pliẳng 0, DIM < A + P >= DIM.A + DIM./3 +1 = p + (n-p) +1 = n + 1, vô lý! + ) Nếu = P từ O: n /? 7^ t.a có: d i m a + d im p = d im < a + p > +d i m (a n P ) liav p + (n-p) = n + dim (tt' + P) Vậv DIM,(A + Ị3) = 0, t.ức ft' n P điểm Giả sử p n có siêu pliẳng tt in-pliẳng /3, B không Iiằin tt Suy ra, o: n d Ỷ 0- Khi đó, dim (a n ,ớ) = dim a + dim ,ớ - dim = (n- 1) + m- n = m- l + ) Nến a n= N c Vậy tt' n ĩiiột (m-l)-pliẳng Bài tập 1.1.4 pn Si, , Tron g m i nh r ằn g, p hẳ ng < S () , S ’ ( ) , S i , , Sk - C ng S p + 2, , Sỵ > k hô ng c ó c ho h ệ đ i êm đ ộc l ập S p > p hẳ nq < S P + Í , đ i ể m ch un g Giải Giả sử So, S 1, , SK đại diện vectơ A 0, A 1, , U Nếu {SỊ), S 1, , SK} độc lập {~o\), ~A I, ,~A } độc lập tuyến tínli nên họ COI {ốo, S 1, , 5\-} độc lập a =< S(), , SP > p-phẳng ,8 =< S +Í, SỊ)+2, ., SỴ > (k-p-l)-phẳng Vì < ~A ( ) , • • • , ~(ỈP > n < LĨ + , , ~Ằ > = Ố nên a n /? = K P P Ì Bài tập 1.1.5 Tron q p2 K ch o bố n đ i ể m A , B , c , D t ron q đ ó k hô nq c ó ba đ i ể m nà o t hẳ ng h àn g Tr ê n cá c đ ườ ng t hẳ ng AD , D C , C D , D A l ần l ợ t l ấ y c c đ i ê m M , N , p, Q s ao c h c hú ng đ ều kh ôn g t r ù ng v i ể m đ ã, c h o Ch ứ ng m in h r ằn g n ếu b a đư ờn g t hẳ ng M N , A C , PQ đồ ng qu y t h ì ba đ ườ ng t h ẳn g M Q , BD , N P cũ nq đ ồn g qu y n qu ợc l i Giải Xét hai ba điểm (M, A, Q) (N, I c, P) Áp dụng định lý Desargues thứ suy MN, AC, PQ đồng quy I B, Q, J thẳng hàng với J = QM n PN Vậy MQ, BD, NP đồng quy J Bài toán chứng minh 1.2Các mô hình không gian xạ ảnh a) B i t ậ p Gọ i s n s i ê u c ầu t ỉ i ự c t ro ng kh ôn g g ia n E u c l i d e E n + , { í » ' } l t ậ p hợ p c c đ i ểm , xuyên t âm c s n C h ứn g t ỏ r ằn g , { < s , n } có t h ể x e m l m ộ t m ô h ì nh củ a k hô ng g i an xạ ản h n c h i ề u liên _- > kết với En+Ì b ) Tron g mô h ì nh t r ê n , cá c m - ph ẳn q củ a a) Gọi {5"1} Giải > En+1 l n hữ ng t ập h ợp nà o? không gian vectơ liên kết E ?l +1 , {5’”'} tập hợp điểm xuvôn tâm S N S N siêu chiều ——>• ->• kết với EN+Ỉ ánli xạ f : [E n+1 ] —> {5" } clio với < chiều Gọi >) = {A,A'} cầu thực tâm I, làm thành không gian xạ Ũ {A,A'} Khi dó f song ánh từ [E Ũ với S Dặt E N /(< LÌ 1 '^ ] đến {ố ' } 111+1 chiều Gọ i s n ~ l s i ê u c ầu t h ự c t ro ng kh ôn g g ia n E u c l i d e n ch i ề u En, b) m-phẳng {«S ”} tập hợp cặp điểm xuyên tâm thuộc pliẳng ,i+1 n liên - >• í+1 >c E ' không gian giao đường thẳng qua tâm I có phương ảnh B i t ậ p 2 Ị S n ~ l J l t ậ p hự p t ấ t c ả nh ữn g đ i ê m nằ m t ro ng v t r ê n s n ~ l a ) H ã y l m ch o ỊS n ~ l J t r t hà nh k hô ng g i an xạ ả n ỉ i n c h i ề u b ) Tron g kh ôn g g ia n x ụ ản h đ ó, cá c m -p hẳ n y l n hữ ng t ập nà o? Giải a) Xét ánh xạ: p : [Ẽ?] —> [Sn~1] cho không gian vectơ cliiều E tliànli đường kính giao đường thẳng qua tâm với S~ N L Khi ta có ba (E n , p, [ B cho ứng phần t.ử G[Ấ n+1 ] vớiđường thẳng (1) E B mà (1) qua o có phương V Suy B mô hình pn 7l+1 Trong A lấy ĩiiột mục tiên afin (0, e , , e ,l +1 ) siêu pliẳng qua có phương trình dạng UỊXỊ + + U X = 0, (« 1, , U ) 7^ ( , ) Dặt ~Ẳ = (UI, ,U ) có song ánli Q : [y4 n+1 ] —> H theo quv tắc clio tương ứng với siêu phẳng ft' có phương trình U\X\ + + U X = Vậv H mô hình p n ' n+1 c) pn a) Dặt p = [v4 b) x ản h h ợp D cá c đ ườ ng t hẳ ng c n+ c ) T ập A C h ứn q m in h r ằn q cá c t ậ p h ợp sa u đâ y lậ p t hà nh nh ữn g m ô Ti+1 Ti+1 ], N L N N N N N B i t ậ p Tron g A n c h ứn g m ộ t mô h ì nh c p ? ỉ P ỉ i ầ n t c ủ a N m i nh r ằn g t , ập h ợp Q = A n u [ A n \ l ập t h àn h n A gọ i l đ i ể m ( xạ ản ỉ i ) t h ôn g t h i t ờn g P hầ n t c [ A ] gọ i l đ i ểm ( x ả nh ) v ô t ận Tậ p c c đ i ểm v tậ n l m ộ t s i ê u p ng pn-1, gụ i l s i ê u p hẳ ng vô t ậ n) Giải Giả sử A n không gian afin n-ehiều trường K Có thổ lập ánh xạ Q : [A' n+1 ] —Y Q sau: ẼF ) A Nốu V =(v , , V )E K +1, o Ỷ đặt q[...]... nốu 1 nằm trong mặt phẳng Oxy thì nó cắt xích đạo của S tại hai điểm Ả/ 1 , Do đó G là một mô hình của M2 đối tâm, t.a đặt q(l) = {Ả/ 1 , A/ 2 } Khi đó q là song ánh P2 thực (vì B là một mô hình của p 2 thực) C H Ư Ơ N G 1 K H Ô N G G I A N 1.3Mục tiêu xạ ảnh và Toạ độ xạ ảnh Bài tập 1.3.1 C h o m ụ c t i ê u xạ ản h { S ị , E } t ro ng kh ôn g g ia n x ạ ả nh pn T ì m đ i ều x n ) n ằm , t r ê n m-... đạo của s (tức là đường tròn X2 + ỊJ2 + z2 = 1, z = 0) Gọi G là tập hợp CÁC điểm thuộc bán cầu bắc nhưng không thuộc đường xích đao và các cặp điểm đối tâm của đườnq xích đạo Chứnq minh rằng G là một m,ô hình của p2 thực Trong mô hình này, đường thẳng xạ ảnh là gì? Giải 3 Gọi B là tập liỢp các đường thẳng của E đi qua 0 Có thể lập ánli xạ như sau Cho (1) 6 B nếu 1 Q : B —> G không nằm trên mặt phẳng... ẳn g h àn g k h i v à c h ỉ k h i «1 6i t'l X 0 Giải Bài tập 1.3.4 G ọ i: không Tro ng g ia n x ọ, ản h p2 c ho mụ c t i ê u {S 0 , S ĩ, s 2 , E } E = S()E n 51(s2; E, = SIE n S0S2; E = S E n 505i; E'q = EịE2 n S\S 2\ = Eị)E2 n iSoiSi; - 2 Ữ £/2 2 ^ S()S\ = T ì m t oạ đ ộ cá c d i ê m £(), E ị , E 2 , E [ v E [, E ' 2 Giải 2 Trong không gian xạ ảnh p cho mục tiêu So = {SỊ), SI, S 2 , E} Khi đó: (1:0:0);... ẽỉ 1 45i -55 U“ỉ -ẽt 4ẽf = = 2ẽ^ + 4ẽị —Y -EÍ + 4ẽỉ + ẽỉ -2ẳ i toạ độ là Ị A.T() = X'0 Ị \X] = -X' Ị Ax 2 = [\X3 = Ữ +4*; AX\ -X'2 4s' +4 + 2X'3 A / 0 2X'Z 1.4Phương trình phẳng trong không gian xạ ảnh Bài tập 1.4.1 Tru ng p2, ch ứ ng m i nh rằ ng : a ) B a đi ể m , t hẳ ng hà ng kh i v à c h ỉ kh i ma t r ậ n gồ m, ba c ộ t t o ạ đ ộ c ủa c hú ng c ố đ ị nh t h ứ c bằ ng 0 b ) B a đư ờn g t h ẳn... A^eó K2E\ = Công thức đổi toạ độ là Ị' A.T() = \ ÀXi = xỊ) X' +X\ —X'2 A ^ 0 Ữ { Xx2 = x'ữ Bài tập 1.3.7 p3 Tro ng ch o m ,ụ c t i ê u x ạ ả nh {S 0 , Sị, s2, S ỵ , E } c ho cá c điểm: C ỉ i ứ nq m i nh rằ ng , 5' = ( 1 : - 1 : 0 : 0 ) ; S[ S' 2 = (0 : 0 : 1 : -1 ); S!ị {S ' ị V S[ , sr2, S'.ị, E } m ộ t mụ c tiêu xạ = (0 : 1 : 1 : = (1 : 0 : 0 1); : ả nh T ì m ma t r ận c hu y ế n t ừ m ụ c t i ê u... Ị) V O 2 X 2 U I V \ SỴS = ( 0 : 1 : 1 ) , EỊ = SỊE n SỊ)S = ( 1 : 0 : 1 ) , E = S E n SỊ)SI = ( 1 : 1 : 0 ) 1 : 0), E E = ( — 1 : 1 : — 1 ) , E E\ = n 2 2 E[E : Xi L 2 2 0 2 Ữ (1:1: —1) E' Ữ = EỊE2 Bài tập 1.3.5 n SIS = ( 0 : 0 : E'2 = E { Ì E Ỉ 2 E'L — 1), n si)sĩ = EỊ)E2 n SỊ)SI = (!:—!: 0) Tro ng kh ôn g g ia n x ọ : ả nh p?l = (1:1: 0); x é t mụ c t i ê u x ạ ản h {S ị , E } G ọ i E k l à g i... , í ( i , , i ) = ( / ( , ! , A K L Diem N thuộc của các bộ toạ độ K N Do đổ EỊ CÓ toạ độ dạng (x„ : : 0 : : £„) = (/I : : A : : Suy ra A = 0, /í Ỷ 0- Vậy có thể lấy E K = (1 0 fi) 1) Bài tập 1.3.6 p2 Vi ế t c ôn q t h ứ c đ ổi t oạ đ ộ t ro ng t ron q c á c t r ư ờn g h ợp s au đ ây : a) {S'o, Từ mục tiêu b) T ừ m ụ c t i ê u {S ị ) , S i, S [ , S - 2, E } s an g mụ c t i ê u {S 2 ,... 0 Vậy toạ độ đường thẳng đi qua A và B là ( ĩ i ị )a : U ị : u 2), trong đó: A Ị 2 H A ữ U1 = 2 „ Cl : C 2) có A A U2 = 0B 1H Ị} c) Tương tự ý c) sử dụng kết quả ý b) ta suy ra điều phải chứng minh Bài tập 1.4.2 C h ứn g m in h đ ị nh l ý P ap pu s t ron g b i ệ t và k hô ng t hẳ nq h àn g A 0 , B0,c0, A u p2 C h o ũ đ i ểm , ph ân B ], C ] t ron g đó A ị ), B 0 , c0 t hẳ ng hà ng và A \ , B \ , C... a ' - ư :a - b) A 2 = Bo Ơ ! Cộng ba dòng toạ độ của Ẩ- 2, B2 , Ơ 2 lại ta được ( 0 : 0 : 0 ) n ê n ư - d b- bư C C — a a' c ' — a' c — a aa ' - b b ' a ' — b ' a- b cc = Do đó A2,B2,C2 thẳng hàng Bài tập 1.4.3 Tron g p2 s 2 ' , E } G ọ i: n S{ÌS2; E2 = S2E n SữSi EịEj n SịSj v ớ i i Ỷ j > nằm t r ê n m ộ t ch o mụ c t i ê u {S ị ) , S i , E 0 = S ữ En S l S 2 ; E ỉ = S i E C ỉ i ứ n q m in h rằng,... E0EX n SoS, Eị)E2 n sữs 2 2 1-1 1 -1 0 1° 1 1: 0) S2E = ( - 1 : 1 : 1 ) , E 2 = (1 : 1 : 0) 1 : - 1) , E E2 = ( — 1 =(- 1: 1: 0), =(-1:0: - 1), L =( 0: 1:- - 1) 0 -1 = 0 -1 Do đó A, B, c thẳng hàng Bài tập 1 4 4 Tron g p3 ch o p hư ơn g trình t ổ ng q uá t củ a hai đư ờn g t h ẳn g d và d’ k hô ng có đ i ểm 3 p : úi °i n x ii -s n a ii úị x i= °ị =0 ĩ= 0 i =0 i =0 3 3 3 c hu ng , và có c ho t oạ ... cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc hình học xạ ảnh thông qua tập, chọn đề tài "Hoàn thiện hệ thống tập hình học xạ ảnh" làm klioá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hình học xạ ảnh chương... đại học, cao đẳng sư phạm Hoàn thiện hộ thống lời giải tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình liọc Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình hình học. .. tham khảo Iiliững tài liệu có liên quan liệ thống mục tài liệu tham khảo Khoá luận "HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC XẠ ẢNH" trùng lặp với khoá luận khác H N ộ i , ng y t há ng n ăm 20 15