Sở giáo dục - đào tạo *********************** Kinh nghiệm GiảI hệ phơng trình phơng pháp đánh giá , ngày tháng năm 20 I Đặt vấn đề: Trong kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thờng có tập giải hệ phơng trình mà việc giải hệ phơng trình ta phải sử dụng phơng pháp đánh giá, việc đánh giá hệ phơng trình trình tự rỏ ràng cụ thể mà phải biết vận dụng linh hoạt trờng hợp cụ thể Sau xin nêu số phơng pháp thờng gặp giải hệ phơng trình phơng pháp đánh giá số ví dụ minh họa II GiảI vấn đề: HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Phơng pháp 1: Phơng pháp đánh giá tập xác định x + y +1 =1 Ví dụ: Giải hệ phơng trình: y + x +1 =1 (Đề thi vào trờng chuyên tĩnh) Lời giải x + y +1 Suy x y Điều kiện y + x +1 Dấu đẳng thức xẩy x = y = Do hệ có nghiệm x = y = Phơng pháp 2: Đánh giá bất đẳng thức 2 x y x + y = Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình (I) x 14 x +3 y + = Lời giải ( x +1) y = x Viết lại (I) (1) 7( x 1) + 3(1 + y ) = Từ (1) suy y = Lại có (x - 1) 2 ( 2) 2x y + y3 x +1 2 x = ( x 1) = , x nên (2) y = 1 + y = x = y = Kết (3) thỏa mản (1) (3) nghiệm hệ ph- ơng trình (I) 2 x + y + z = xy + yz + xz Vídụ2: Giải hệ phơng trình 2007 + y 2007 + z 2007 = 32008 x Lời giải Ta có (1) 2x + 2y + 2z - 2xy - 2yz - 2xz = (x - y) + (y - z) + (x - z) = Vì (x - y) 0; (y - z) 0; (x - z) với x;y;z (x - y) + (y - z) + (x - z) với x; y; z (3) x y = y z = z x = x = y = z Thay vào (2) ta có: HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH (1) ( 2) (3) Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 3x 2007 = 3y 2007 = 3z 2007 = 2008 x 2007 = y 2007 = z 2007 = 2007 Vậy hệ phơng trình ban đầu có nghiệm x = y = z = Phơng pháp3: Đánh giá tính chẵn lẻ Ví dụ1: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm x a y +1 =1 (I) =a x + y + y + y +1 (Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001) Lời giải Để ý y+ y +1 = x a y +1 =1 y +1 y nên hệ (I) (II) 2 x + y +1 =a Điều kiện cần Thấy có nghiệm (x ,y ) hệ có nghiệm (x ,-y ) Bởi điều kiện cần để hệ có nghiệm y = a = x a =1 Thay y = vào (II) ta có a = x +1 =a Điều kiện đủ x + y +1 =1 x=y=0 a = -1, hệ (II) trở thành x + y +1 =1 3x y +1 =1 a = , hệ (II) trở thành x + y +1 = 16 x = y =0 x = Hệ có nghiệm y = Vậy tập hợp giá trị a tơng thích với yêu cầu toán a = 1; a = Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn x +3 + y = a 2 y +5 + x = x +5 + a Lời giải *Điều kiện cần Thấy rằng, hệ có nghiệm (x ,y ) có nghiệm (-x ,-y ), (-x ,y ),(x ,-y ).Bởi vậy, nghiệm hệ x = y = Thay vào hệ ta có a = *Điều kiện đủ Với a = x +3 + y = , hệ trở thành 2 y +5 + x = x +5 (1) ( 2) Để ý: x +3 + y Dấu đẳng thức xẩy x = y = Suy (1) x = y = Thấy x = y = nghiệm (2) Suy x = y = nghiệm hệ Tóm lại: Tập hợp giá trị phải tìm a a = Phơng pháp 4: Đặc biệt hóa ẩn 2 x + y + z + xy xz yz = Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I) 2 x + y + yz xz xy = Lời giải (Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004) ( x + y ) z ( x + y ) + z = Viết lại (I) (II) ( x y ) z ( x y ) +1 = Đặt u +v x= u = x + y Hệ (II) trở thành (III) v = x y u v y = Hệ (III) có nghiệm 2 u zu + z = v zv + = z2 u z= z v x =1 y =0 *Với z = ta có (III) u = v = Hệ cho có nghiệm (1;0;2) HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn x = y =0 *Với z = -2 ta có (III) u = v = -1 Hệ cho có nghiệm (-1; 0; -2) *Tóm lại: Hệ cho có hai nghiệm (1; 0; 2) (-1; 0; -2) Nhận xét: - Số ẩn nhiều số phơng trình suy đặc biệt hóa ẩn xem tham số - Sự vắng mặt hạng tử z phơng trình (2) cho ta thấy thiếu bình đẳng x y - Sự phân tích dẩn đặc biệt hóa ẩn z, xem tham số ( x + 3) = y z + y = y (2 z x)( x + 3) = x +16 z Ví dụ2: Giải hệ phơng trình (I) (1) ( 2) (3) ( 4) Lời giải Xem z tham số,khi phơng trình (2) trở thành 4(y - 1) = - z (i) Phơng trình (i) có nghiệm z -2 z (5) Phơng trình (3) trở thành : x + 2(4 - z)x + 16 - 6z = (ii) z Phơng trình (ii) có nghiệm x z(z - 2) z (6) z = Từ (4), (5), (6) suy z = *Thay z = vào phơng trình (i) (ii) sẻ lần lợt có y = x = - 4, y = Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phơng trình (I) (7) Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phơng trình (I) (8) *Thay z = vào phơng trình (i) (ii) ta sẻ lần lợt có x = -4 ; y = (9) Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phơng trình (I) (10) *Từ (7),(8),(10) kết luận hệ cho có hai nghiệm (- 4; 2; 0) (- 4; 1; 2) Nhận xét: Sự có mặt bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt ẩn z hệ cho Khi z đợc đặc biệt hóa, (2),(3) theo thứ tự trở thành phơng trình ẩn x,y HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Nhờ ta thu đợc đánh giá độc lập biến z Phơng pháp5: Đánh giá ẩn Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dơng hệ x 2008 =y 2007 + z 2007 2008 2y =x 2007 + z 2007 z 2008 =x 2007 +y 2007 (1) ( 2) (3) Lời giải Ta sẻ chứng minh x = y = z Thật vậy: Do vai trò x , y , z nh nên không tính tổng quát,giả sử x y x z (4) Vì x > 0, y > 0, z > nên: Từ (1),(2),(4) 2x 2008 = y 2007 + z 2007 x 2007 + z 2007 = 2y 2008 2x 2008 2y 2008 x y (5) Từ (1),(3),(4) 2x 2008 = y 2007 + z 2007 y 2007 + z 2007 = 2z 2008 2x 2008 2z 2008 x z (6) Từ (4),(5),(6) suy x = y = z Thay vào (1) ta có 2x 2008 = x 2007 + x 2007 = 2x 2007 suy x = (do x > 0) Vậy hệ có nghiệm : x = y = z = Phơng pháp 6: Đánh giá tính chia hết Ví dụ: Chứng tỏ hệ phơng trình x 2008 = y 2005 + 667 2008 = z 2005 + 670 y z 2008 = x 2005 + 671 (1) ( 2) nghiệm nguyên (3) Lời giải Cộng vế theo vế (1),(2),(3) ta đợc: x 2008 + y 2008 + z 2008 = x 2005 + y 2005 + z 2005 + 2008 (x 2008 x 2005 )+ (y 2008 - y 2005 ) + (z 2008 z 2005 ) = 2008 x 2005 (x - 1) + y 2005 (y - 1) + z 2005 (z - 1) = 2008 x 2005 (x- 1)x(x + 1) + y 2005 (y- 1)y(y + 1) + z 2005 (z- 1)z(z + 1) = 2008 (4) Dể thấy vế trái phơng trình (4) chia hết cho (do tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 6) Mặt khác 2008 chia cho có số d HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Do phơng trình (4) nghiệm nguyên Vì hệ (I) nghiệm nguyên x,y,z III.Kết luận - kiến nghị: Trên vài phơng pháp giải hệ phơng trình phơng pháp đánh trình giảng dạy tổng hợp, sử dụng trình dạy bồi dỡng học sinh khá, giỏi.Đây kinh nghiệm nhỏ cách giải hệ phơng trình nhiều phơng pháp giải hệ phơng trình gặp Mong nhận đợc góp ý chân thành từ thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 11 tháng năm 2011 Ngời đa tài liệu: Nguyễn Quốc Việt HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn ... thu đợc đánh giá độc lập biến z Phơng pháp5: Đánh giá ẩn Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dơng hệ x 2008 =y 2007 + z 2007 2008 2y =x 2007 + z 2007 z 2008 =x 2007 +y 2007 (1) ( 2) (3) Lời giải Ta... xẩy x = y = Do hệ có nghiệm x = y = Phơng pháp 2: Đánh giá bất đẳng thức 2 x y x + y = Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình (I) x 14 x +3 y + = Lời giải ( x +1) y = x Viết lại (I) (1) 7( x 1) +... hệ Tóm lại: Tập hợp giá trị phải tìm a a = Phơng pháp 4: Đặc biệt hóa ẩn 2 x + y + z + xy xz yz = Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I) 2 x + y + yz xz xy = Lời giải (Đề thi giáo viên giỏi huyện