Bài tập chuyên đề Toán Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Chỉ có nỗ lực bạn đem lại thành công Phân tích thành nhân tử phần quan trọng Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức , cần Phân tích thành nhân tử Đặc biệt Phân tích thành nhân tử Viết thành tích Các em chăm Viết thành tích nhé! Chúc em thành công! -Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta Đặt nhân tử chung trớc Sau đó: -Nếu đa thức có hạng tử ta dùng HĐT3, 6, Thêm bớt -Nếu đa thức có hạng tử ta dùng HĐT1, Tách, Thêm bớt -Nếu đa thức có hạng tử ta dùng HĐT4, Nhóm -Nếu đa thức có hạng tử trở lên thị thờng nhóm tách -Nếu đa thức biến có bậc trở lên Nhẩm nghiệm -Nếu đa thức Phức tạp nghĩ tới Đổi biến Bài tập Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b)2x + 2y - x2 - xy 2 c) 3a - 6ab + 3b - 12c d)x2 - 25 + y2 + 2xy 2 e) a + 2ab + b - ac bc f)x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x y - x - 9y + 9x h)x2(x-1) + 16(1- x) 2 k) 81x - 6yz - 9y - z l) 36(x-2)2 -49(2x+3)2 m) 9x + 6x - 575 n) x2 - x - 12 p) 81x4 + r*) (x2 + x)2- 2(x2+ x) 15 2 s*) (x + 8x + 7)(x + 8x +15) + 15 t*) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 120 u*) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) - v*) (x2 -7x + 12 )(x2 -11x +30) + i*) x + x 10 x + q*) x3 + x + x + Chuyên đề Một số ứng dụng đẳng thức Học vấn đem đến cho bạn niềm vui thực Hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng quan trọng Ngoài việc dùng để tính tích, bình phơng ,lập phơng, phân tích thành nhân tử giúp ta tìm Max , min, tính giá trị đa thức đối xứng biến biết tổng(hoặc hiệu) tích biến, rút gọn biểu thức phức tạp Các em tích cực tìm hiểu để HĐT thực Những Hằng Đẳng Thức đáng nhớ ! Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) Bài2 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất(nếu có) A= x + x E =(x+1) +( x + 2) D= x + 3x + B=4x 12 x + K =- x2+2x-9 C=-25x +10 x + Bài3 Cho x+y = a) x + y xy b)x(x+3y)-y(5x-y) G =2(x-3) ( x 4) H =(2x-3) (8 x + 1)( x 3) ; xy=1 (Điều kiện x+y=5 thành x=5-y) Tính 1 3 g) x + y + x + y x n)x x + y y y h) x + y + p)x y + y x Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán k) x3 + x + y + y l) x y c)(x+7y)(y+7x) d)(2x-3y)(2y-3x) 3x + q) x + y r) x5 + y 3y + e) y + x m) x + + y + s) x + y Gợi ý :Biến đổi dạng toàn x+y, xy.Nếu tính Hiệu ,Căn tính bình phơng suy Bài4Cho x + x = m + ; x x2 = m 2 2 a)Tìm A=x ( x + 1) + x ( x1 + 1) b)Tìm max B=1-x 12 x 22 c)Tìm số p lớn cho C=(x +2 x )( x + x1 ) p d)Tìm số q nhỏ cho D=(x 3x )( x 3x1 ) q Gợi ý Bài kết hợp Các em làm tơng tự để đa biểu thức biến m làm tơng tự 1.Phần c tìm giá trị nhỏ nhất, phần d Max Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: Gợi ý : Nhìn kỹ HĐT 1,2,3 a) (3x-1)2 + 2(3x-1)( 7-2x) +(2x-7)2 b) (8x-5)2 -(16x-10)( 4x+3) +(4x+3)2 c) 3.5(24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1) (24+1) d) 1002-992+982-972+962-952+ +22-12 x b) x3 + x Bài 6: Cho : x + = a) x + x2 Tính c) x5 + Gợi ý :Tơng x x b) x3 + x Bài 6: Cho : x = 1 d) x x x =1 x a) x + x2 Tính c) x + 1 d) x3 x x Chuyên đề Biểu thức hửu tỷ Khát vọng vơn lên phía trớc mục đích sống I-Một số ý giải toán biểu thức 1) Tìm ĐKXĐ ý : Mẫu 0, biểu thức chia 2)Rút gọn biểu thức -Nếu biểu thức chứa phân thức cha rút gọn ta nên rút gọn phân thức trớc -Nếu biểu thức có mẫu đối ta nên đổi dấu trớc -Ngoài cần thực thứ tự phép tính ,chú ý dùng ngoặc , dấu - - Một số toán nh : Chứng minh đẳng thức, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến quy Rút gọn biểu thức 3) Tính giá trị biểu thức -Cần rút gọn biểu thức trớc -Nếu giá trị biến phức tạp nghĩ đến việc rút gọn trớc thay vào tính 4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn điều kiện -Cần rút gọn biểu thức trớc -Sau tìm đợc giá trị biến phải đối chiếu với ĐKXĐ II tập Bài Rút gọn phân thức sau: 2x + ( x + 3)( x 2) e) x2 x x a) x2 x 6x + g) 3x +3 x + 12 x b) c) x2 16 3x x h*) x +4 x + x +x d) x + x + 2x + k*) x +2x + x + 2x + 2x + Bài Thực phép tính sau: Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn a) x +1 2x + + 2x + x + 3x Bài tập chuyên đề Toán x6 2x + 2x + 6x 1 x 15 d) x x + 25 x b) 2x 2x x + + x 3x x 4x + x Bài 3:Rút gọn biểu thức (Sau rút gọn em tự cho thêm yêu cầu khác) Đề kết 2x 2x x x+2 + + A = x 3x x 4x + x x x 4x x+2 + B = x + x x2 x2 c) x + x x + x 12 y 2y 15 y F = x x x + 3x y 3y 10 y + y x4 + +1 x2 4x 12x + + H = x + 2x x x 4x 4x 3x + 17 2x 6x + + I = x x + x + x x2 G = x + 4x 3x + 2x 6x + I = x x + x + x x2 10 15 K = x + x (x + 1) x + x2 y2 x2y2 N = ( x + y) ( y) ( x + y) ( + x) ( + x) ( y) 5x + x 2x + + + 10 T = x + x x2 x3 + 6x x 36 6x + + 11.A= ữ x 6x x + 6x x + x 2x x 10 x + 12 B = x + 10 x + x + 10 x + x +1 x x x 13.C = ữ: ữ x x +1 x x y y + 3y y + y + 14 D = y 2y + y 3y y ữ x 2x x x + 15 E = ữ: x 36 x + 6x x + 6x x x2 x+2 12 x + x +1 12x x3 5x x x +1 x-y+xy 10 x+2 12 x x2 12 x+2 x +1 13 x 11 14.-1 15.-1 Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán x 10 x x + + 16.F= ữ: x + x + ữ x 4x 3x x + 2x 2 x+2 4x x 3x + ữ: + 17 G = x +1 3x 3x x +1 x 2x 24 12x + 2x 18 H = ữ + 2x 3x 3x 12 + 13x x + x3 x x3 + x x : 19 I = ữ 2 ữ x + x x 1+ x 2x 2x 5x + 20 M = ữ: x x + x +1 x x a b ) + 4ab a b b a ( 21 N = a+b ab x x 2x + x 22 P = ữ: + x x + x + x x x x2 + Q = + + 23 x x + x + 1 x ữ: x +x 2x + : 24 R = ữ ữ 2 x + x + x +1 x +1 x x x + x x2 x x + x 3x S = : + 25 x2 ữ x + x x x + )( ) ( x+2 2x + x : 26 T = ữ ữ x x x + x +1 16 2x x 18 x+2 x2 19 + x2 17 20 2x + x 21.2b x+2 23 x + x +1 22 24 x +1 x x+2 26 x 1 27 x x +1 25 2x + x 2x x + x ( x ) ( x x ) + 27 U = ữ: + x3 2x x 2 4x x + 2 3x x + 28 V = x + ữ x 2x x 4x x ữ x3 28 2x + 32x 2x 2( x + 2) 29 Y = + + 2 2x x 4x 2x + x 10 x + 5x x 29.-8 30 A = +1+ x x + 2x + 30 x 5x x+2 x2 31 B = + + x +1 x x +1 x +1 2x 3x 3x 31 + + 32 C = x +1 2x 2x 2x 4x Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán 2x + y 8y 2x y + + 33 D = 2x xy y 4x 2x + xy x 3x + 1 x2 + x E = 34 x2 + x + ữ: x x x x 2x x x + 35 F = ữ: x 16 x + 4x x + 4x x x + 2x 3x + 4x + x + + 36 G = ữ x2 x x +1 x x 3 2x 3x 3x + + 37 H = ữ: x + x + x x + ( x + 1) ( x + ) x + 2x 2xy xy x+y y + : + 38 I = ữ yx x y 2x + 2y 2x x x+ 3x x x : 39 A1 = ữ x2 + x x x + ữ x 2x x 40 A2 = x +3 + x 3x +3 x : x x x 2 x 1 x +2 : + 41 A = 2 x x x + x + x +1 ữ 42 A4 = x x +1 3x 2+x + x . x x x + x x x +x x x 43 A5 = x +x x : x x +2 x +1 44 A6 = + + x x +x +1 x 15 x 11 x 2 x +3 + x +2 x x x +3 x x x : 46 A8 = x + x x x + 45 A7 = x + x x 4x x + 2003 + 47.K = x x + x x x2 x3 x2 x3 : 48.S = ữ ữ 2 2 x y x y x y x + y + 2xy x + 1 x x (1 x ) 49.T= x x +3 x2 2x 4x 2y 33 x ( 2x + y ) 34 x + x +1 32 35.-1 36 x x 37 x 38.1 x+2 40 x+3 x2 x + 41 x 42 2x + 4x + x 43 x2 x 44 x + x +1 39 45 46 Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán 50.A= 3x + 1 x +3 + ( x 1) x + 1 x + x x 2 x x 3x 51 A = ữ: x x + x 2x x 52 y2 2x y x2 : + 2 2 ( y x )( x + y ) (x y ) (x + y ) x 2x y + y 20 99 x + + + : 53 B = ữ x 5 + x x x y xy A= x + 2003 x x+y 48 xy 49 x3 x+3 50 ( x 1) 47 y x xy y y 11 y + 54 N = ữ( y + 1) y y + y 2y x+5 x + x +1 + 55 P = ữ( x 1) x x + x + x x + 2x + x + 2x + 56 Q = ữ: 4x + x2 x x2 x 2x + x2 3x + 1 57 D = x x +1+ ữ ữ 4x 2x x x + ( x 2x + 1) 58 E = ữ: x2 x x x +x x x x +1 59 F = ữ ữ 2x x + x 8x x 4x G = + 60 + x x ữ: x 2x x ữ a b a b b 2a ) 61 H = 2 ữ( a ab ba b 2x 2x 62 I = ữ: ữ x x + x x x +1 a + 3a + a2 + a 1 + 63 K = : ữ ( a + ) ( a 1) a a + a 2x 3x + 26x 4x + 64 M = 2x + 2x 4x 32x 2x 65 N = 2 4x 2x + x 4x 51 x3 x y) ( 52 xy 53.-5xy 54 7y + 7y + 55 5x 5x + 56 3x 57 x +1 58 x 1 x2 x 4x 60 x3 59 61 b a Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán x +1 x + ữ: 66 P = ữ x x x x 2x x x + 2x 2x + + 67 A = ữ: x 3x x 4x + x x 4x x x + 68 B = ữ x+2 x2 4x x+3 + x 2x x x x : 69 C = ữ 3x 3+x 9x x+3 3x 51x 15 ữ: 70 D = 2x + 6x x x 3x x + 2x + 3x + 71 E = ữ x 2x + x x + 2x + 5x + x4 + x + + ữ: 72 G = x + x2 x 12x x 4x + + 73 H = ữ: x + 2x x x 4x x + 2x 2x 6x x 4x 3x + 17 + + : 74 I = ữ x x + x +1 x x x + x +1 x + 9y 3y x 3y 75.K = ữ x + 3y x 9y x + 3xy 2x 6x x 4x 3x + + : 76 I = x3 x2 + x + x x2 ữ x + x +1 10 15 x 2x 77 K = ữ: 2 x + x (x + 1) x + x x + 5x x x + 2x 6x + 78 M = ữ: x 3x x +3 x x a2 + 63 2a 64 ( 2x ) 2x + 65 2x x x2 66 3x 67 x x+2 68 x+3 10 69 3x 70 2x 2 71 ( x 1) 62 x +1 x 73 x2 72 74 12 x3 x 12 76 x 77 x2 75 78 Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn x+2 Bài tập chuyên đề Toán x 6x 5x 20 79 P = ữ 5x 20 x 8x + 16 6x 29 1 x 4x + Q = + 80 ữ: 2 8x 18 2x + 3x 4x 4x 2x 33 4x 5x + : 81 R = 2 ữ 2x 3x 2x + 4x 6x + 2x 2x x3 + + : 82 U = ữ 2x 2x 4x x 2x x 2008 x + 3x x 2006x + 2009 + : 83 A = x2 x x +1 ữ x x x x4 80 x 81 x2 82 x3 83 x+3 79 Chuyên đề Các phép tính đa thức Bài Thực phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) Chuyên đề Các loại phơng trình Loại : Phơng trình bậc ẩn phơng trình đa đợc dạng ax = c Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng phơng trình dạng : ax = c -Nếu a khác phơng trình có nghiệm : x = c/a -Nếu a = phơng trình vô nghiệm c khác , vô số nghiệm c = -Nếu a cha rõ ta phải xét tất trờng hợp (biện luận) Chú ý : Trong trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc -Nếu có mẫu thờng quy đồng khử mẫu -Nếu mẫu lớn quy đồng tử -Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu -Chỉ đợc nhân , chia 1số khác Bài tập.Giải phơng trình sau: 3x + 3x + a) (x 6) = 4(3 2x) d) = 2x + 2x - x + x b) 4x(25 2x) = 8x2 + x 300 e) x + =7+ 5x + 8x x + g) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 c) = x + 29 x + 27 x + 17 x + 15 = h) 31 33 43 45 Loại : Phơng trình tích Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán Chú ý :Phơng trình tích phải có vế ,1 vế tích Bài tập1.Giải phơng trình sau: a) 2x(x 3) + 5(x 3) = b) 5x(x-1) = x-1 c) 2(x+5) - x2-5x = d) (x 4) (x 2)(3 2x) = e) 3x - 48x = f) x3 + x2 - 4x = g) x2 5x + = h) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x k) (2x + 5)2 = (x + 2)2 Bài tập2: Giải phơng trình sau (đa phơng trình tích): (Đặt x2 = y) a) x x = b) x + x + = c) x + x + 15 = d) x 13x + 36 = Bài tập3*: Giải phơng trình sau ( đa phơng trình tích): a) (x 2)3 + (x 4)3 = b) (x + 2)4 + (x + 4)4 = 4 c) (x + 1) + (x + 3) = d) (3 - x)4 + (2 - x)4 = (5 - 2x)4 Bài tập4*: Giải phơng trình sau ( đa phơng trình tích): a) 6x5 11x4 11x + = b) x5 + x2 + 2x + = c) x 17x + = d) x6 3x3 + = e) 3x x + x x + x x + = Loại : phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: PT Chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải : 1)Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối chứa ẩn 2)Nếu không chứa ẩn đa PT dạng /f(x)/ = m Chú ý : -Đối chiếu ĐK dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) /f(x)/ =- f(x) Dạng 2: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải: 1) Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối 2) Lập bảng xét dấu xét khoảng giá trị ẩn Chú ý : -Đối chiếu ĐK Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0 Dạng 3: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối trở lên lập bảng xét dấu đa HPT Bài Giải phơng trình sau: a) |x - 5| = f) |3x - 1| - x = 15 b) = x + x ( x + 1)(2 x) c) x-1 x 5x = x + x x2 Bài2 Giải bất phơng trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: e) x2 4x + a ) x > 11; b)3 x x + 6; c) x < 0.6 d) (x 3)2 < x2 5x + 4x - x x+2 > i) f) (x 3)(x + 3) (x + 2)2 + g) x3 - 2x2 + 3x - < h) 5 2x + 5x x + x -1 k) +3 k) >1 x -3 Bài Cho m < n Hãy so sánh: m n a) m + n + c) - 3m + - 3n + b) - + 2m - + 2n d) 2 Bài Cho a > b Hãy chứng minh: a) a + > b + b) 3a + > 3b + c) - 2a - < - 2b - d) - 4a < -4b Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán Chuyên đề 6: bất đẳng thức ứng dụng Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức a b + Khi xảy đẳng thức? b a a+b+c+d BT2: CMR với a; b; c; d dơng , ta có: abcd Khi xảy đẳng thức? 1 1 BT3 CMR với a; b; c; d dơng , ta có: (a + b + c + d ) + + + 16 a b c d 1 BT4 CMR với a; b; c dơng , ta có: (a + b + c) + + a b c a b c + + BT5 CMR với a; b; c dơng , ta có: b+c a+c a+b BT6 CMR a, b, c đội dài cạnh tam giác, ta có: a) ab + bc + ca a + b + c < 2ab + 2bc + 2ca b) (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc c) a (b c) + b(c a ) + c(a b) + 4abc > a + b + c BT7 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 3x + y = 1 CMR: x + y 10 BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y 1 CMR: x + y BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: a + b = CMR: 2 1 a) a + b b) a + b c) a + + b + + c + 25 a b c 2 2 a b c d BT10 Cho a b c d > CMR: + + + a+b+c+d d c b a BT1: CMR với a; b dơng, ta có: Dạng 2: Sử dụng BĐT để chứng minh BĐT BT1 : CMR: với a > 0, b > 0, ta có: BT2: BT3 BT4 a+b ab (BĐT Cô-si) CMR: với a > 0, b > 0, ta có: a b a) + b) (a + b) + b a a CMR: với a > 0, b > 0, c > ta có: 1 ( a + b + c ) + + a b c CMR: với a > 0, b > 0, c > ta có: c a b + + a+b b+c c+a ( BĐT Nes bit) b Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán HD: áp dụng BĐT BT3, ta có: [ (a + b) + (b + c) + (c + a)] + + 2(a + b + c) + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a c a b c a b 1+ +1+ +1+ + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a BT5 CMR: với a, b, c, d ta có: ac + bd (a + b )(c + d ) (BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ) BT6 CMR: với a, b, c, d R c > 0, d > ta có: a b ( a + b) + c d c+d BT7 Chứng minh Với số thực a + b m, n nguyên dơng, ta có: a m + b m a n + b n a m+ n + b m+ n 2 HD: (a m + b m )(a n + b n ) 2(a m + n + b m + n ) a m+ n + b m + n a m b n a m b n a m ( a n b n ) + b m (b n a n ) a m b m )(a n b n ) Do a, b có vai trò nh nhau, không tính tổng quát, giả sử a b (1) Theo bài: a + b a - b (2) Từ (1) (2): a b a m b m a m b m a m b m Ta suy ra: n n n n a b n a b n a b (a m b m )(a n b n ) , BĐT đợc chứng minh BT8 Cho a + b Chứng minh rằng: (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9) HD: Theo bài: a + b , áp dụng BĐT BT7: a + b a3 + b3 a + b4 a + b a + b3 a5 + b5 a + b4 a9 + b9 2 Ta có: 5 9 2 2 a + b a + b a + b 2 3 5 a+b a +b a +b a + b9 (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9) 2 2 BT9: Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh rằng: a + b + c + d + e a (b + c + d + e ) BT10: Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a + b + c abc(a + b + c) BT11: Chứng minh rằng: ad bc = a + b + c + d + ac + bd 2 BT12: Cho a > 1, b > Chứng minh a + b b a 1 BT13: Cho a < 1, b < Chứng minh rằng: + 2 ab a b Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán BT14: Cho a > 0, b > Chứng minh rằng: ab (a + b) BT15: Cho a, b, c, d số dơng Chứng minh rằng: a c a + ad + bc + c + > b+c a+c (a + b + c + d ) BT16: Cho a, b, c, d số dơng Chứng minh rằng: a + ad + bc + c b + ab + cd + d a b c d + + + 4. + b+c c+d d +a a+b (a + b + c + d ) (a + b + c + d ) BT17: Với a, b Chứng minh rằng: a) (a + b) 4(a + b ) b) 3(ab + bc + ca) (a + b + c) 3(a + b + c ) BT18: Với a, b, c, d Chứng minh rằng: a) a + b + c ab + bc + ca b) a + b + c + d 4abcd BT19: CMR: a)Với a, b, c số dơng, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc b) Với a, b, c ta có: (a + b) (b + c) 4abc(a + b + c) BT20: Cho a + b = Chứng minh rằng: 1 a) a + b b) a + b c) a + b 128 BT21: a) Cho a + b + c + d = Chứng minh rằng: a + b + c + d b) Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: b + c 16abc 2 1 c) Cho a, b > a + b = Chứmg minh rằng: a + + b + 12,5 a b Dạng Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số * Phơng pháp: - Ta đa biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN trờng hợp: + TH1: A2 + k k, (giá trị nhỏ k) + TH2: - A2 + k k, (giá trị lớn k) - Tìm giá trị biến (nếu có) để đẳng thức xảy BT1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (x + 1)2 + (x - 3)2 2 HD: Ta có: P = (x + 2x + 1) + (x 6x + 9) = 2x2 4x + 10 = 2(x2 2x + 1) + = 2(x 1)2 + Vì (x 1)2 với giá trị x P = 2(x 1)2 + Đẳng thức xảy x = x = Vậy giá trị nhỏ P = x = BT2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + 6y2 + 14z2 8yz + 6zx 4xy HD: P = ( x y + z ) + 2( y + z ) + 3z P với giá trị x, y, z Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy GTNN P = x = y = z = BT3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x2 + 2y2 + 3z2 2xy + 2zx 2x 2y 8z + 2007 HD: = ( x y + z 1) + ( y + z 2) + ( z 1) + 2001 Ta có: (x y + z 1)2 0, (y + z 2)2 0, (z 1)2 với x, y, z Q 2001 Đẳng thức xảy x = y = 1.Vậy GTNN Q = 2001 x = y = BT4: Tìm giá trị lớn biểu thức E = xy + yz + zx, biết x + y + z = BT5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (x + 2005)2 + (y + 2006)2 + (z + 2007)2 BT6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán Q = (x + a)2 + (y + b)2 + (z + c)2, với a, b, c số BT7: Cho x, y hai số thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm GTNN biêu thức A = x3 + y3 + x2 + y2 BT8: Cho x, y hai số thay đổi thoả mãn điều kiện x + 2y = Tìm GTNN biêu thức B = x2 + 2y2 BT9: Cho a, b, c, d số thực thoả mãn a + b = c + d Tìm GTNN biểu thức C = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) BT10: Tìm GTNN biểu thức D = ( x1 + a1 ) + ( x + a ) + + ( x 2007 + a 2007 ) biết x1 + x + + x 2007 = 2007 a1 , a , , a 2007 số BT11: Tìm GTNN biểu thức E = (x + a)2007 + (y + b)2007 + (z + c)2007 biết x + y + z = 6021 a, b, c số x BT12: Tìm GTLN biểu thức G = , với x > ( x + 2007) x + xy + y với x > 0, y > x xy + y 1 BT14: Cho x, y > x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = + x y BT13: Tìm GTLN biểu thức H = Dạng Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị hình học BT1: Cho ABC Qua điểm M thuộc cạnh AC, kẻ đờng thẳng song song với hai cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí M để hình bình hành có diện tích lớn HD: a x S1 M H y S2 S' B K F C Gọi hbh tạo thành BEMF, diện tích (BEMF) = S , diện tích (ABC) = S Ta cần tìm GTLN S Ta kẻ AK BC, AK cắt EM H Ta có: S EM KH S = EM HK, S = BC AK, nên: ' = BC AK S y EM x HK = ; = Đặt MA = x, MC = y Mặt khác ta có: (định lí Talet) BC x + y AK x + y 2 xy S a +b = áp dụng BĐT ab hay (a + b)2 4ab S ' ( x + y) xy S 1 ' = Vậy GTLN S = S Đẳng thức xảy x = y hay M trung 2 S ( x + y) điểm AC BT2: Cho hbh BEMF Dựng đờng thẳng qua M cắt cạnh góc B tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán S ( x + y) = S' xy HD: Xét BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E giao điểm đờng chéo, hình thang có thêm điều kiện ABE có diện tích lớn HD: B C x S1 S' S' E S2 A y D x K Ta có: dt(ABE) = dt(CDE) = S Đặt dt(CEB) = S1, dt(AED) = S2 Trớc hết ta CM: S ' = S1 S Thật S S EC S ' EC S' ; = = S ' = S S vậy: = (1) S ' EA S EA S' S2 S S S' Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị tỉ số ; ; theo x y S S S Qua C kẻ đờng thẳng song song với BD, cắt AD K Ta có DK = BC = x, dt(ACK) = S Ta có: ACK đồng dạng với CEB AED nên: 2 S1 BC S AD y2 x2 (2) = = = = S AK S AK ( x + y) ( x + y) 2 S S x2 y2 xy S' S' Từ (1) (2), ta có: = = = S S ( x + y) S ( x + y) S Tiếp tục áp dụng BĐT a + b ab , ta có: xy S' 1 = Do đó: GTLN S = S Đẳng thức xảy x = y S ( x + y) 4 hay hình thang ABCD hình bình hành BT4: Cho hình vuông hình chữ nhật có chu vi, hình có diện tích lớn hơn? Tại sao? Khi hai hình có diện tích nhau? BT5: Cho hình vuông, hình thoi hình chữ nhật có chu vi, hình có diện tích lớn hơn? Tại sao? BT6: Trong tam giác có diện tích tam giác có chu vi nhỏ nhất? Tại sao? BT7: Trong tam giác vuông có đội dài cạnh huyền nh tam giác có diện tích lớn nhất? Tại sao? BT8: Trong tam giác có chu vi tam giác có diện tích lớn nhất? Tại sao? BT9: Cho a b, c độ dài cạnh tam giác CMR: 1 1 1 + + + + a+bc ab+c a+b+c a b c BT10: Cho a b, c độ dài cạnh tam giác CMR: Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán 1 1 1 + + n + n + n với n N n n n (a + b c) ( a b + c) (a + b + c) a b c BT11: Cho a b, c độ dài cạnh tam giác CMR: c b a + + a+bc ab+c a+b+c BT12: Cho a b, c độ dài cạnh tam giác CMR: cn bn an + + a n + b n + c n n N a+bc ab+c a+b+c PHN HèNH HC Bài Tam giác ABC cân A, BC = 120cm, AB = 100cm.Các đờng cao AD BE gặp H a.Tìm tam giác đồng dạng với tam giác BDH b.Tính độ dài HD, BH c.Tính độ dài HE Bài Cho tam giác ABC, đờng cao BD, CE cắt H.Gọi K hình chiếu H BC.Chứng minh rằng: a.BH.BD = BK.BC b.CH.CE = CK.CB Bài Cho hình thang cân MNPQ (MN //PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đờng cao NI = 12cm, QI = 16 cm a) Tính IP b) Chứng minh: QN NP c) Tính diện tích hình thang MNPQ d) Gọi E trung điểm PQ Đờng thẳng vuông góc với EN N cắt đờng thẳng PQ K Chứng minh: KN2 = KP KQ Bài4Cho tam giác ABC vuông tạo A; AB = 15cm, AC = 20cm, đờng cao AH a) Chứng minh: HBA đồng dạng với ABC b) Tính BC, AH c) Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ hình bình hành ADCE Tứ giác ABCE hình gì? Tại sao? d) Tính AE e) Tính diện tích tứ giác ABCE Bài5Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đờng cao AH Từ B kẻ tia Bx AB, tia Bx cắt tia AH K a) Tứ giác ABKC hình ? Tại sao? b) Chứng minh: ABK đồng dạng với CHA Từ suy ra: AB AC = AK CH c) Chứng minh: AH2 = HB HC d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm Tính AB, AH Bài6.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng cao AF, BE cắt H Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC Tia Ax By cắt K a) Tứ giác AHBK hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: HAE đồng dạng với HBF c) Chứng minh: CE CA = CF CB d) ABC cần thêm điều kiện để tứ giác AHBK hình thoi Bài7.Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm Từ trung điểm M AB vẽ tia Mx cắt AC N cho gócAMN = gócACB a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn b) Tính NC Bài tập chuyên đề Toán MN MK Bài8.Cho ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = 5cm a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CBD b) Tính CD c) Chứng minh: gócBAC = 2.gócACD Bài 9Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90o), đờng cao AH Biết BH = 4cm, CH = 9cm a) Chứng minh: AB2 = BH BC b) Tính AB, AC S EBH EA DC = c) Đờng phân giác BD cắt AH E (D AC) Tính chứng minh: S DBA EH DA Bài10.Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm F Tia AF cắt BD DC lần lợt E G Chứng minh: a) BEF đồng dạng với DEA DGE đồng dạng với BAE b) AE2 = EF EG c) BF DG không đổi F thay đổi cạnh BC c) Từ C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MN K Tính tỉ số Bài11.Cho ABC, vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB D cắt AC E Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt DE G a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CEG b) Chứng minh: DA EG = DB DE c) Gọi H giao điểm AC BG Chứng minh: HC2 = HE HA Bài 12Cho ABC cân A (góc A < 90o) Các đờng cao AD CE cắt H a) Chứng minh: BEC đồng dạng với BDA b) Chứng minh: DHC đồng dạng với DCA Từ suy ra: DC2 = DH DA c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm Tính EC, HC Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn [...]... cho gócAMN = gócACB a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn b) Tính NC Bài tập chuyên đề Toán 8 MN MK Bài8 .Cho ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 5cm a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CBD b) Tính CD c) Chứng minh: gócBAC = 2.gócACD Bài 9Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90o), đờng cao AH Biết BH = 4cm, CH... (y + 2006)2 + (z + 2007)2 BT6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán 8 Q = (x + a)2 + (y + b)2 + (z + c)2, với a, b, c là các hằng số BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1 Tìm GTNN của biêu thức A = x3 + y3 + x2 + y2 BT8: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + 2y = 3 Tìm GTNN của biêu... giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao? BT8: Trong các tam giác có chu vi bằng nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao? BT9: Cho a b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR: 1 1 1 1 1 1 + + + + a+bc ab+c a+b+c a b c BT10: Cho a b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR: Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán 8 1 1 1 1 1 1 + + n + n + n với mọi n... BT11: Chứng minh rằng: nếu ad bc = 1 thì a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd 3 2 2 BT12: Cho a > 1, b > 1 Chứng minh rằng a + b 8 b 1 a 1 1 1 2 BT13: Cho a < 1, b < 1 Chứng minh rằng: + 2 2 1 ab 1 a 1 b Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán 8 BT14: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng: 1 4 ab (a + b) 2 BT15: Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng: a c a 2 +... đó M là trung 2 2 S ( x + y) 2 điểm của AC BT2: Cho hbh BEMF Dựng đờng thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán 8 S ( x + y) = 2 S' 2 xy 2 HD: Xét BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đờng chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì... b + c) 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ) BT 18: Với mọi a, b, c, d Chứng minh rằng: a) a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca b) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 4abcd BT19: CMR: a)Với a, b, c là các số dơng, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc b) Với mọi a, b, c ta có: (a + b) 2 (b + c) 2 4abc(a + b + c) BT20: Cho a + b = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 a) a 2 + b 2 b) a 4 + b 4 c) a 8 + b 8 2 8 1 28 BT21: a) Cho a + b + c + d = 2... + 1)2 + (x - 3)2 2 2 HD: Ta có: P = (x + 2x + 1) + (x 6x + 9) = 2x2 4x + 10 = 2(x2 2x + 1) + 8 = 2(x 1)2 + 8 Vì (x 1)2 0 với mọi giá trị của x P = 2(x 1)2 + 8 8 Đẳng thức xảy ra x 1 = 0 x = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8 x = 1 BT2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 6y2 + 14z2 8yz + 6zx 4xy 2 HD: P = ( x 2 y + 3 z ) + 2( y + z ) 2 + 3z 2 P 0 với mọi giá trị của x, y, z.. .Bài tập chuyên đề Toán 8 HD: áp dụng BĐT BT3, ta có: [ (a + b) + (b + c) + (c + a)] 1 + 1 + 1 9 2(a + b + c) 1 + 1 + 1 9 a+b b+c c+a a+b b+c c+a c a b 9 c a b 3 1+ +1+ +1+ + + a+b b+c c+a 2 a+b b+c c+a 2... + c n 1 mọi n N a+bc ab+c a+b+c PHN HèNH HC Bài 1 Tam giác ABC cân tại A, BC = 120cm, AB = 100cm.Các đờng cao AD và BE gặp nhau ở H a.Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH b.Tính độ dài HD, BH c.Tính độ dài HE Bài 2 Cho tam giác ABC, các đờng cao BD, CE cắt nhau ở H.Gọi K là hình chiếu của H trên BC.Chứng minh rằng: a.BH.BD = BK.BC b.CH.CE = CK.CB Bài 3 Cho hình thang cân MNPQ (MN //PQ, MN ... Trờng THCS Cẩm Sơn x+2 Bài tập chuyên đề Toán x 6x 5x 20 79 P = ữ 5x 20 x 8x + 16 6x 29 1 x 4x + Q = + 80 ữ: 2 8x 18 2x + 3x 4x 4x 2x 33 4x 5x + : 81 R = 2 ữ 2x 3x 2x... 2x 2x x3 + + : 82 U = ữ 2x 2x 4x x 2x x 20 08 x + 3x x 2006x + 2009 + : 83 A = x2 x x +1 ữ x x x x4 80 x 81 x2 82 x3 83 x+3 79 Chuyên đề Các phép tính đa thức Bài Thực phép tính... 45 Loại : Phơng trình tích Su tầm biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn Bài tập chuyên đề Toán Chú ý :Phơng trình tích phải có vế ,1 vế tích Bài tập1 .Giải phơng trình sau: a) 2x(x 3)