Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý - Tin - KT Biên soạn: Lê Công Thuận CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP: Phương pháp 1: Đưa phương trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) Cách giải: Bước 1: Rút ẩn x theo ẩn y ( ẩn y theo ẩn x ) X= c  by a Bước 2: Chia tử cho mẫu đưa dạng: x = f(y) + g ( y) a Bước 3: Dựa vào điều kiện nguyên x tính chất chất chia hết ta suy g(y) chia hết cho a hay a ước g(y) để tìm nghiệm nguyên y Bước 4: Thay y vào x ta tìm nghệm nguyên (1) Ví dụ: VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x + 5y = Giải:  5y 1 y = - 2y + 2 1 y 1 y Do x, y nguyên nên có giá trị nguyên Đặt =t(t Z) 2  - y = 2t  y = - 2t  (1  2t ) Thay y = - 2t vào x ta được: x = - 2.( - 2t ) + = + 5t  x  5t  Vậy nghiệm tổng quát phương trình 2x + 5y   y   2t a ta có: 2x + 5y =  2x = - 5y  x = VD2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x + 7y = 112 Ta có: 5x + 7y = 112  x = 112  y 2 2y  22  y  5 2 2y có giá trị nguyên  (2 - 2y)  hay 2( 1- y )  Do x, y nguyên nên CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 12 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý - Tin - KT Biên soạn: Lê Công Thuận mà ƯC(2,5) = nên (1 - y)  hay (y - 1)  Đặt y - = 5t ( t  Z )  y = 5t + thay vào x ta x = 21 - 7t x, y nguyên dương nên x > 0, y >    5t   t     5 < t x + 2y  ( x, y nguyên dương ) Giải phương trình : x2(x + 2y) - y2(y + 2x) = 1991 với x, y  N Gợi ý: Phân tích vế trái thành tích A(x, y) B(x, y) = 1991 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: (x + 2y)(3x + 7y) = 216 Gợi ý: Đặt x + 2y = A; 3x + 7y = B Rút x, y theo A, B Từ x, y nguyên dương ta lập hệ bất phương trình theo A, B giải 5.Tìm nghiệm nguyên phương trình a x2 - 4xy + 5y2 = 169 b x2 - (y + 5)x + 5y + = c 6x2 + 5y2 =74 Gợi ý: a Đưa dạng tổng [A(x,y)]2 + B(y)2 = m2 b Xem x ẩn phương trình bậc hai Giả sử phương trình có nghiệm áp dụng hệ thức vi-et để giải c Sử dụng tính chẳn lẻ: vế phải số chẳn suy vế trái số chẳn CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 18 ... Ta tìm x1,x2, ,xn thay vào (2) ta tìm nghiệm nguyên phương trình (2) Ví dụ: VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 - y2 = 1987 Giải: x2 - y2 = 1987  ( x - y )( x + y ) = 1987 Vì 1987 số nguyên. .. nghiệm   (  ' )  Từ ta tìm điều kiện tham số Bước 3: Dựa vào điều kiện x, y nguyên nên ta tìm x, y với  (  ' ) = n2 (   ' số phương ) Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a 12x2 + 6xy... trình (1) có nghiệm  '   196 - 27x2   x  196 27 Do x nguyên nên x = 0, 1, -1, 2, -2 Do y nguyên nên  ' số phương Lần lượt thay giá trị x vào  ' ta có: x =   ' = 196 ( thỏa mãn số phương)