ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN QUANG TRUNG VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014 Mục lục KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.1.2 Tính trực giao hình chiếu 1.1.3 Toán tử tuyến tính phiếm hàm không gian Hilbert 11 1.2 Toán tử đa trị 14 1.2.1 Một số kiến thức giải tích lồi 14 1.2.2 Toán tử đa trị 20 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 24 2.1 2.2 Toán tử đơn điệu 24 2.1.1 Toán tử đơn điệu 24 2.1.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn 32 2.1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 34 2.1.4 Hàm Fitzpatrick 40 Tổng hai toán tử đơn điệu cực đại 43 Tài liệu tham khảo 49 Lời nói đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực quan trọng giải tích đại, có nhiều ứng dụng giải tích ứng dụng nhiều ngành toán học ứng dụng khác bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa, Nội dung luận văn trình bày kiến thức sở liên quan; Các định nghĩa, tính chất điều kiện để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại; Điều kiện để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại toán tử đơn điệu cực đại nhờ hàm Fitzpatrick Bố cục Luận văn gồm hai chương: • Chương Kiến thức toán tử đa trị không gian Hilbert • Chương Toán tử đơn điệu không gian Hilbert Nội dung chương là: Chương I: Trình bày kiến thức không gian Hilbert Sau trình bày kiến thức toán tử đa trị không gian Hilbert, có trình bày số kiến thức Giải tích lồi phục vụ cho nghiên cứu toán tử đơn điệu không gian Hilbert Chương II: Trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại tính chất như: điều kiện đủ để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại Tiếp theo trình bày tính cực đại tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Lời cảm ơn Để hoàn thành Luận văn này, trước hết tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc học trò suốt trình nghiên cứu giúp đỡ tác giả hoàn thành hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy giáo thuộc Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tham gia giảng dạy nhiệt tình khóa học, giúp tác giả tích lũy nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho luận văn Tác giả xin cám ơn Seminar Toán Viện toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ nhận xét góp ý cho luận văn Tác giả xin cám ơn tới quan nơi tác giả công tác, gia đình bạn bè động viên, ủng hộ giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng tích cực học tập, nghiên cứu khoa học, song trình thực không tránh khỏi sai sót Vì tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2014 Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương giới thiệu kiến thức không gian Hilbert toán tử đa trị Các khái niệm kết tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4, 10] 1.1 Không gian Hilbert Chúng ta ký hiệu H không gian Hilbert thực với tích vô hướng | chuẩn Toán tử đồng H Id 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert Một tập X mà phần tử đối tượng bất kỳ, gọi không gian vectơ, nếu: a) Trên X trang bị hai phép toán: + : X × X → X : (x, y) → x + y; · : R × X → X : (α, x) → αx, b) Hai phép toán thỏa mãn tám tiên đề sau: i) x + y = y + x; ii) (x + y) + z = x + (y + z) ; iii) ∃ ∈ X : x + = x, ∀x ∈ X ; iv) x ∈ X , ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0; v) 1.x = x; vi) α (βx) = (αβ) x, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; vii) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; viii) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R; ∀x, y ∈ X Nếu tập X trang bị metric: p : X × X → R+ : (x, y) → p (x, y) , thỏa mãn tính chất sau: i) p (x, y) > 0, ∀x = y; p (x, y) = 0, x = y; ii) p (x, y) = p (y, x) , ∀x, y; iii) p (x, y) ≤ p (x, z) + p (y, z) , ∀x, y, z ∈ X , (X , p) gọi không gian metric Định nghĩa 1.1 Một không gian vectơ định chuẩn tập X vừa không gian vectơ, vừa không gian metric Khi X trang bị chuẩn x = p (x, 0) thỏa mãn điều kiện: i) x > x = 0; x = x = 0, ii) αx = |α| x , iii) x + y ≤ x + y Định nghĩa 1.2 Một không gian tuyến tính thực X gọi không gian tiền Hilbert với x, y ∈ X , xác định số thực kí hiệu x| y gọi tích vô hướng x, y ∈ X thỏa mãn: i) x|y = y|x ii) x + y|z = x|z + y|z iii) λx|y = λ x|y iv) x|x ≥ với x, dấu "=" xảy x = v) x|x = x Nhận xét 1.1 Từ tính chất i), ii), iii) v) Định nghĩa 1.2 ta suy ra: x+y + x−y =2 x + y (1.1) Công thức (1.1) gọi điều kiện bình hành Mệnh đề 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: x = x| x , ∀x ∈ X (1.2) Chứng minh Với số thực λ ta có: ≤ x − λy|x − λy = x|x − 2λ x|y + λ2 y|y , tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0: | x|y |2 − x|x y|y ≤ 0, hay | x|y | ≤ x y (1.3) Từ ≤ x + y|x + y = x|x + x|y + y|y ≤ ≤ x +2 x y + y = ( x + y )2 Vậy x+y ≤ x + y , (1.4) nghĩa bất đẳng thức tam giác thỏa mãn Mặt khác từ (1.2), (1.3) (1.4) ta suy x > x = 0, x = x = λx = |λ| x Do x chuẩn Nhận xét 1.2 Qua chứng minh ta thấy không gian tiền Hilbert có bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Schwarz Hơn nữa, theo đẳng thức hình bình hành (1.1) Vì: x + y|x + y − x − y|x − y = x|y nên có: x| y = ( x + y| x + y − x − y| x − y ) (1.5) Khi xn − x → 0, yn − y → 0, x n + y n → x + y , x n − yn → x − y , nên theo (1.5) có xn |yn → x|y Vậy x|y hàm liên tục x y Định nghĩa 1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy X lim n,m→∞ xn − xm = Nếu X dãy hội tụ, tức xn − xm → ⇒ ∃x0 ∈ X : xn → x0 , X gọi không gian đủ không gian Banach Định nghĩa 1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Định nghĩa 1.5 Không gian Banach thỏa mãn điều kiện bình hành gọi không gian Hilbert Bổ đề 1.1 (xem [10]) Cho x, y ∈ H Khi có kết sau: i) x| y ≤ ⇔ (λ ∈ R++ ) x ≤ x − λy ⇔ (λ ∈ [0, 1]) x ≤ x − λy ii) x⊥y ⇔ (λ ∈ R) x ≤ x − λy ⇔ (λ ∈ [−1, 1]) x ≤ x − λy Ví dụ 1.1 Cho (Ω, F, µ) không gian có độ đo, cho (H, | H ) không gian Hilbert thực, cho p ∈ [1; +∞) Ký hiệu Lp ((Ω, F, µ) ; H) không gian ánh xạ Boren đo x : Ω → H cho x (ω) p H µ (dω) < +∞ Ω Khi L2 ((Ω, F, µ) ; H) không gian Hilbert thực với tích vô hướng (x, y) → x (ω) |y (ω) H µ (dω) Ω Ví dụ 1.2 Không gian Rk không gian Hilbert với tích vô hướng k x| y = i=1 ξi η i , chuẩn xác định công thức x = k i=1 ξi2 Ví dụ 1.3 Cho T ∈ R++ cho (H, | H ) không gian Hilbert thực t Với y ∈ L2 ([0, T ] ; H), hàm x : [0, T ] → H : t → y (s) ds khả vi hầu khắp nơi [0, T ], với x (t) = y (t) hầu khắp nơi (0, T ) Chúng ta nói x : [0, T ] → H thuộc W1,2 ([0, T ] ; H) tồn y ∈ L2 ([0, T ] ; H) cho t (∀t ∈ [0, T ]) x (t) = x (0) + y (s) ds, lựa chọn W1,2 ([0, T ] ; H) = x ∈ L2 ([0, T ] ; H) x (t) ∈ L2 ([(0, T )] ; H) , với tích vô hướng không gian Hilbert thực T (x, y) → T x (t)| y (t) H dt + x (t)| y (t) H dt Ví dụ 1.4 Trong Ví dụ 1.1, cho T ∈ R++ , tập Ω = [0, T ] cho µ độ đo Lebesgue Khi có không gian Hilbert L2 ([0, T ] ; H) với tích vô hướng T (x, y) → x (t) |y (t) H dt Ví dụ 1.5 Trong Ví dụ 1.1, cho H = R Khi thu không gian Banach thực Lp (Ω, F, µ) = Lp ((Ω, F, µ) ; R) , với p = 2, không gian Hilbert thực L2 (Ω, F, µ) trang bị tích vô hướng (x, y) → x (ω) y (ω)µdω Ω 1.1.2 Tính trực giao hình chiếu Định nghĩa 1.6 Ta nói hai vectơ x, y không gian Hilbert H trực giao với nhau, ký hiệu x⊥y , x|y = Ta nói vectơ x trực giao với tập C ⊂ H x trực giao với phần tử C Tập tất vectơ trực giao với C ⊂ H không gian đóng H Không gian ký hiệu C ⊥ gọi phần bù trực giao C Nhận xét 1.3 Từ định nghĩa suy số tính chất đơn giản sau: i) Nếu x⊥y y⊥x Ta có x⊥x x = Vectơ θ trực giao với vectơ x ii) Nếu x⊥y1 , y2 , , yk x⊥λ1 y1 + λ2 y2 + + λk yk iii) Nếu x⊥yk , yk → y (k → +∞) x⊥y Thật vậy, tính liên tục tích vô hướng nên có: x|y = lim k→+∞ x, yk = iv) Nếu tập C trù mật H C ⊥ = {θ} Thật vậy, C trù mật H nên x ∈ H giới hạn dãy xk ∈ C : x = lim xk Vậy x⊥C kéo theo x⊥xk với k k→+∞ x⊥x ⇒ x = v) Nếu x⊥y x + y = x + y 36 điều mâu thuẫn với giả thiết T toán tử đơn điệu cực đại Ngược lại, giả sử b ∈ T (a) Xét với toán tử đơn điệu T có: gra (T ) ⊆ gra T Dễ thấy (a, b) ∈ gra T thì: u − b| x − a ≥ ∀ (x, u) ∈ gra (T ) , có b ∈ T (a) ⇒ (a, b) ∈ gra (T ) Nghĩa gra T ⊆ gra (T ) Điều chứng tỏ T toán tử đơn điệu cực đại Mệnh đề 2.8 Toán tử đa trị T : H → 2H đơn điệu cực đại λT toán tử đơn điệu cực đại (λ > 0) Chứng minh Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại λ > Do Mệnh đề 2.2 , λT toán tử đơn điệu Để chứng minh λT toán tử đơn điệu cực đại, sử dụng Mệnh đề 2.7 Giả sử (a, b) ∈ H × H thỏa mãn: b − u| a − x ≥ 0, ∀ (x, u) ∈ gra (λT ) Vì: ∀ (x, u) ∈ gra (λT ) ⇔ u ∈ λT (x) ⇔ x, λ−1 u ∈ gra (T ) , điều kéo theo: λ−1 b − λ−1 u a − x ≥ 0, x, λ−1 u ∈ gra (T ) Do T toán tử đơn điệu cực đại, từ ta có λ−1 b ∈ T (a) Từ ta suy b ∈ (λT ) (a).Vậy λT toán tử đơn điệu cực đại Ngược lại, giả sử λT toán tử đơn điệu cực đại λ > Đặt T = λT , T = λ−1 T 37 toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.2 (Xem [10]) Cho F : H × H → (−∞, +∞] hàm lồi cho F ∗ thường F ∗ ≥ | Ta định nghĩa toán tử đa trị A sau: graA = {(x, u) ∈ H × H| F ∗ (u, x) = x| u } Khi đó, có: (i) A toán tử đơn điệu (ii) Giả sử F ≥ | Khi A toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.3 (Xem [12]) Giả sử C ⊂ H tập khác rỗng, lồi, đóng T : H → 2H toán tử đơn điệu Khi z ∈ H, tồn x ∈ C thỏa mãn x + v| y − x ≥ z| y − x , (y, v) ∈ gra (T ) , ∀y ∈ C Định nghĩa 2.6 Toán tử đa trị T : H → 2H gọi toán tử tràn với v ∈ H tồn x ∈ H thỏa mãn v ∈ T (x) Mệnh đề 2.9 (Xem [10]) Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại với domT đóng Khi T toán tử tràn Định lý 2.4 (Định lí Minty) Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu λ > Khi đó, T toán tử đơn điệu cực đại I + λT toán tử tràn, hay ran (I + λT ) = H Chứng minh Theo Mệnh đề 2.8, không tính tổng quát ta giả sử λ = Điều kiện cần: Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại Áp dụng Định lí 2.3 cho C = H, ta có với z ∈ H, tồn x ∈ H cho: x + v| y − x ≥ z| y − x , (y, v) ∈ gra (T ) , ∀y ∈ H, hay v − (z − x)| y − x ≥ 0, (y, v) ∈ gra (T ) , ∀y ∈ H 38 Do tính đơn điệu cực đại T theo Mệnh đề 2.7 có: (z − x) ∈ T (x), hay z ∈ x + T (x) Từ suy ra: z ∈ (I + T ) (x) Vậy I + T toán tử tràn, hay ran (I + T ) = H Điều kiện đủ: Giả sử ran (I + T ) = H (x, u) ∈ H × H cho u − v| x − y ≥ 0, ∀ (y, v) gra (T ) (2.1) Ta khẳng định rằng: u ∈ T (x) Thật vậy, ran (I + T ) = H nên tồn ξ ∈ H cho: x + u ∈ (I + T ) (ξ) , hay u + x ∈ ξ + T (ξ) (2.2) Lấy y = ξ v = u + x − ξ ta v ∈ T (ξ) hay (y, v) gra (T ) Kết hợp với (2.1) được: u − (u + x − ξ)| x − ξ ≥ Từ suy x = ξ Mặt khác, (2.2) ta có: x + u ∈ x + T (x) , hay u ∈ T (x) Vậy T toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.5 Cho hàm số f : H → R ∪ {+∞} hàm lồi, đóng, thường, nửa liên tục Khi ánh xạ đa trị T : H → 2H cho công thức: T (x) = ∂f (x) toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh 39 Với f : H → R ∪ {+∞} hàm lồi, đóng, thường, nửa liên tục dưới, theo Ví dụ 2.1 T = ∂f toán tử đơn điệu Theo Định lý 2.4, cần chứng minh I +T toán tử tràn, tức ran (I + T ) = H Thật vậy, với d ∈ H f ta đặt: hd (x) = f (x) + x − d| x Ta có hd (.) tổng hàm lồi, thường, nửa liên tục dưới, hàm lồi mạnh, liên tục hàm tuyến tính liên tục Vì hd (.) hàm lồi mạnh, thường, nửa liên tục Nếu y ∈ domf c ∈ ∂f (y), với x ∈ H ta có: f (x) − f (y) ≥ c| x − y Do ta thu được: hd (x) ≥ f (y) + x 2 − d| x + c| x − y ⇔ hd (x) ≥ f (y) − c| y + x 2 + c − d| x Mặt khác, vì: x 2 + c − d| x ≥ x 2 − c − d x → ∞ x → +∞, nên hd (x) → +∞ x → +∞ Vậy hd (.) thỏa mãn điều kiện bức, theo nghĩa hd (x) → +∞ x → +∞ Do hd (.) lồi mạnh nên toán: {hd (x) : x ∈ Rn } có nghiệm Gọi x∗ nghiệm toán này, ∈ ∂hd (x∗ ) Sử dụng Định lý Moreau-Rockafellar, ta có: ∈ ∂hd (x∗ ) = ∂f (x∗ ) + x∗ − d Từ suy ra: 40 d ∈ x∗ + ∂f (x∗ ) Do d phần tử nên: I + T = I + ∂f toán tử tràn Vậy, T toán tử đơn điệu cực đại Ví dụ 2.10 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng không gian Hilbert H Khi NC toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh Vì C tập khác rỗng, lồi, đóng không gian Hilbert H nên theo Ví dụ 1.9 ta có: NC = ∂ιC Kết hợp với Định lý 2.5 cho ta kết NC toán tử đơn điệu cực đại Mệnh đề 2.10 (xem [13]) Cho H không gian Hilbert, J ánh xạ đối ngẫu Ví dụ 1.8 T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại toán tử đa trị T ( + ω) + J toán tử tràn với ω ∈ H 2.1.4 Hàm Fitzpatrick Định nghĩa 2.7 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu Hàm Fitzpatrick A là: FA : H × H → [−∞, +∞] (x, u) → ( y| u + x| v − y| v ) sup (y,v)∈graA = x| u − inf x − y| u − v (y,v)∈graA Ví dụ 2.11 Cho A ∈ B (H) toán tử đơn điệu qA : H → R : x → (1/2) x| Ax Khi (∀ (x, u) ∈ H × H) FA (x, u) = 2qA∗ 1 u + A∗ x 2 41 Chứng minh Lấy (x, u) ∈ H × H Khi ta có: FA (x, u) = sup ( y| u + x| Ay − y| Ay ) y∈H 1 y| u + A∗ x − y| Ay 2 = sup y∈H = 2qA∗ 1 u + A∗ x 2 Mệnh đề 2.11 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cho graA = ∅ (x, u) ∈ H × H Khi có: (i) Nếu (x, u) ∈ graA, FA (x, u) = x| u (ii) FA (x, u) ≤ x| u {(x, u)} ∪ graA đơn điệu (iii) FA (x, u) ≤ FA∗ (u, x) (iv) Nếu (x, u) ∈ graA, FA∗ (u, x) = x| u Chứng minh (i) Vì x − y| u − v = inf (y,v)∈graA nên theo định nghĩa hàm Fitzpatrick toán tử A thu FA (x, u) = x, u (ii) Dễ dàng suy từ định nghĩa hàm Fitzpatrick (iii) Kết hợp định nghĩa hàm Fitzpatrick với (i), thu được: FA (x, u) = sup ( y| u + x| v − y| v ) (y,v)∈graA = sup ( y| u + x| v − FA (y, v)) (y,v)∈graA ≤ sup ( y| u + x| v − FA (y, v)) (y,v)∈H×H = sup (y,v)∈H×H ( (y, v)| (u, x) − FA (y, v)) 42 = FA∗ (u, x) (iv) Ta có: FA = (δgraA−1 + | )∗ nên FA∗ ≤ δgraA−1 + | Kết hợp điều với (i) (iii) thu được: FA∗ (u, x) ≤ x|u = FA (x, u) ≤ FA∗ (u, x) Vậy chứng minh xong (iv) Mệnh đề 2.12 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại Khi FA ≥ | graA = {(x, u) ∈ H × H| FA (x, u) = x| u } Chứng minh Lấy (x, u) ∈ H×H Nếu (x, u) ∈ graA theo Mệnh đề 2.11(i) có FA (x, u) = x|u Ngược lại (x, u) ∈ / graA {(x, u)} graA không đơn điệu nên theo Mệnh đề 2.11(ii) ta thu FA (x, u) > x|u Mệnh đề 2.13 (Xem [10]) Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cho graA = ∅ Khi đó: (i) FA∗ ≥ | (ii) Giả sử A toán tử đơn điệu cực đại Khi graA = {(x, u) ∈ H × H| FA∗ (u, x) = x| u } Mệnh đề 2.14 (Xem [10]) Cho H → 2H toán tử đơn điệu cực đại đặt Q1 : H × H → H : (x, u) → x Khi intdomA ⊂ intQ1 (domFA ) ⊂ domA ⊂ Q1 (domFA ) ⊂ domA 43 2.2 Tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Nếu T1 , T2 hai toán tử đơn điệu theo Mệnh đề 2.2 toán tử T1 + T2 xác định sau: (T1 + T2 ) (x) = T1 (x) + T2 (x) = {x∗1 + x∗2 | x∗1 ∈ T1 (x) , x∗2 ∈ T2 (x)} toán tử đơn điệu Vấn đề đặt T1 , T2 hai toán tử đơn điệu cực đại T1 + T2 có toán tử đơn điệu cực đại hay không ? Để trả lời câu hỏi này, trước hết xét ví dụ sau: Ví dụ 2.12 Giả sử H = R2 , C = B ((−1, 0) ; 1) , D = B ((1, 0) ; 1) Khi NC , ND toán tử đơn điệu cực đại (theo Ví dụ 2.10) với (domNC ) ∩ (domND ) = ∅ Tuy nhiên ran (NC + ND ) = R × {0} nên theo Mệnh đề 2.9 NC + ND không toán tử đơn điệu cực đại Sau phát biểu chứng minh kết vấn đề nêu Định lý 2.6 Cho Q1 : H × H → H : (x, u) → x, A, B toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H cho ∈ sriQ1 (domFA − domFB ) Khi A + B toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.12 Mệnh đề 2.11 (iii) với (x, u1 , u2 ) ∈ H3 , có: x| u1 + u2 ≤ FA (x, u1 ) + FB (x, u2 ) ≤ FA∗ (u1 , x) + FB∗ (u2 , x) (2.3) Như hàm F : H × H → (−∞, +∞] : (x, u) → (FA (x, ) FB (x, )) (u) (2.4) lồi, thường thỏa mãn F ≥ | (2.5) 44 Kết hợp Bổ đề 1.2 (2.3) có: (∀ (u, x) ∈ H × H) , F ∗ (u, x) = (FA∗ (., x) FB∗ (., x)) (u) ≥ F (x, u) ≥ (x, u) (2.6) Bây ta cố định (x, u) ∈ H × H giả sử F ∗ (u, x) = x| u Khi (2.6) Mệnh đề 2.13(i) đảm bảo tồn u1 , u2 ∈ H cho u1 + u2 = u x| u = F ∗ (u, x) = FA∗ (u1 , x) + FB∗ (u2 , x) ≥ x| u1 + x| u2 = x| u Tiếp theo, Mệnh đề 2.13(ii) nên ta có FA∗ (u1 , x) = x| u1 , FB∗ (u2 , x) = x| u2 (x, u) = (x, u1 + u2 ) ∈ gra (A + B) Bây ta giả sử (x, u) ∈ gra (A + B) Khi tồn u1 ∈ Ax, u2 ∈ Bx cho u1 + u2 = u Như vậy, áp dụng Mệnh đề 2.13(ii), ta có: FA∗ (u1 , x) = x| u1 , FB∗ (u2 , x) = x| u2 Kết hợp điều với (2.6) thu được: x| u = x| u1 + x| u2 = FA∗ (u1 , x) + FB∗ (u2 , x) ≥ (FA∗ (., x) FB∗ (., x)) (u) = F ∗ (u, x) ≥ x| u Bởi F ∗ (u, x) = x| u Nói tóm lại, {(x, u) ∈ H × H| F ∗ (u, x) = x| u } = gra (A + B) (2.7) 45 Kết hợp (2.5), (2.6), (2.7) Định lý 2.2 (ii) kết luận A+B toán tử đơn điệu cực đại Định lý 2.7 Cho A B toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H cho cone (domA − domB) = span (domA − domB) Khi A + B toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 2.13 có: cone (domA − domB) ⊂ cone (Q1 (domFA ) − Q1 (domFB )) ⊂ span (Q1 (domFA ) − Q1 (domFB )) ⊂ span domA − domB = span (domA − domB) = cone (domA − domB) Do giả thiết Định lý 2.6 thỏa mãn nên từ kết Định lý 2.6 ta chứng minh xong định lý Hệ 2.1 Cho A B toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H cho điều kiện sau thỏa mãn (i) domB = H (ii) domA ∩ intdomB = ∅ (iii) ∈ int (domA − domB (iv) (∀x ∈ H) (∃ε ∈ R++ ) [0, εx] ⊂ domA − domB (v) domA domB lồi ∈ sri (domA − domB) Khi A + B đơn điệu cực đại Chứng minh (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ cone (domA − domB) = span (domA − domB) (v): Do cone (domA − domB) = span (domA − domB) ⇔ ∈ sri (domA − domB) 46 Định lý 2.8 Cho H không gian Hilbert,cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại f hàm lồi, đóng, thường H Giả thiết ∈ core {conv dom (T ) − conv dom (∂f )} Khi đó: i) ∂f + T + J toán tử tràn ii) ∂f + T toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh i) Ta xét hàm Fitzpatrick FT (x, x∗ ) fJ (x) := f (x) + x Đặt G (x, x∗ ) := −fJ (x) − fJ∗ (−x∗ ) Áp dụng Mệnh đề 2.12 bất đẳng thức Frechel - Young, thu được: FT (x, x∗ ) ≥ x, x∗ ≥ G (x, x∗ ) Do giả thiết ∈ core {conv dom (T ) − conv dom (∂f )} , áp dụng Mệnh đề 1.5 thu ∈ core {domFT − domG} Khi với ω ∈ H ω ∗ ∈ H∗ , áp dụng Định lý 1.6, thu được: FT (x, x∗ ) − G (z, z ∗ ) ≥ ω (x∗ − z ∗ ) + ω ∗ (x − z) (2.8) Bởi vậy, với x∗ ∈ T (x) , x ∈ dom (T ) với z, z ∗ có: x∗ − ω ∗ , x − ω + [fJ (z) + fJ∗ (−z ∗ ) + z, z ∗ ] ≥ ω ∗ − z ∗ , ω − z Bây ta sử dụng −ω ∗ ∈ dom (∂fJ∗ ), áp dụng Mệnh đề 1.5 với số v, −ω ∗ ∈ ∂fJ (v) x∗ − ω ∗ , x − ω + [fJ (v) + fJ∗ (−ω ∗ ) + v, ω ∗ ] ≥ ω ∗ − ω ∗ , ω − v = 47 Từ ta có: ω ∗ ∈ T (ω) Thay x = ω x∗ = ω ∗ vào (2.8), xếp lại ta có: ω ∗ , ω + { −z ∗ , ω − fJ∗ (z ∗ )} + { z, −ω ∗ − fJ (z)} ≤ 0, với z, z ∗ Lấy supremum qua z z ∗ ta có: ω ∗ , ω + fJ (ω) + fJ∗ (−ω ∗ ) ≤ Theo Mệnh đề 1.5, điều cho thấy −ω ∗ ∈ ∂fJ (ω) = ∂f (ω) + J (ω) Vậy ∈ (T + ∂fJ ) (ω) kết luận ∂f + T + J toán tử tràn Vậy ta chứng minh xong i) Ngoài ra, theo Mệnh đề 2.10, ta có ∂f +T toán tử đơn điệu cực đại Vậy chứng minh ii) 48 Kết luận Toán tử đơn điệu lĩnh vực quan trọng giải tích đại, có nhiều ứng dụng giải tích ứng dụng nhiều ngành toán học ứng dụng khác bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa, Luận văn nhằm trình bày cách tổng quan kiến thức toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Cụ thể trình bày: • Các định nghĩa tính chất toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại; • Điều kiện đủ để toán tử đơn điệu đơn điệu cực đại; • Tính đơn điệu cực đại tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Mặc dù cố gắng, song thời gian có hạn trình độ hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 49 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (sẽ ra), Nhập môn Giải tích lồi, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học tự nhiên công nghệ [5] Borwein J.M & Zhu Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis, Spriger - Verlag [6] Fitzpatrick, S (1988), "Representing monotone oparators by convex functions" Work shop/Miniconferece on Function Analysis and Optimization (Canberra), 59-65, Proc Centre Math Anal Austral Nat Univ., 20, Austral Nat Univ,.Canberra [7] G.J.Minty (1961), "On the maximal domain of a monotone function", Mich.Math.J.,8,pp.135-137 [8] G.J.Minty (1962), "Monotone nonlinear operators in Hilbert space", Duke.Math.J.,29,pp.341-346 [9] G.J.Minty (1964), "On the monotonicity of the gradient of a convex function", Pacific.Math.J.,14,pp.243-247 50 [10] Heinz H Bauschke, Patrick L Combettes (2011), "Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces", Springer [11] Rockafellar R.T (1970), "Convex Analysis", Princeton University Press, Princeton [12] Rockafellar R.T (1965), "Multivalued Monotone Nonlinear Mappings in Banach Spaces", Trans.Amer Math.118, 338-351 [13] Rockafellar R.T (1970), "On the Maximality of Sum of Nonlinear Monotone Operator", Tran.Amer.Math 149 [14] Simons S and C Zalinescu (2004), "A New proof for Rockafellar’s characterization of maximal monotone operators", Proc Amer Math Soc 132 [...]... toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert như các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại, các ví dụ về toán tử đơn điệu trong đó dưới vi phân của hàm lồi chính thường là ví dụ điển hình cho toán tử đơn điệu cực đại; điều kiện đủ để một toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại Đặc biệt, giới thiệu và chứng minh điều kiện đủ để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại là một toán tử đơn. .. nên S (x) ⊆ ∂f 2.1.3 Toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 2.4 Cho A : H → 2H là toán tử đơn điệu Khi đó A là đơn điệu cực đại nếu không tồn tại toán tử đơn điệu B : H → 2H mà đồ thị của toán tử B thực sự chứa đồ thị của toán tử A Định lý 2.1 Cho A : H → 2H là toán tử đơn điệu Khi đó tồn tại một toán tử đơn điệu cực đại A mở rộng của toán tử A A : H → 2H sao cho đồ thị của A chứa trong đồ thị của A (gra... Trong đồ thị Hình 2.2, đồ thị bên trái là đồ thị của một toán tử đơn 35 điệu nhưng không cực đại; đồ thị bên phải là đồ thị của một toán tử đơn điệu cực đại, hơn nữa nó là đồ thị của toán tử đơn điệu cực đại mở rộng của toán tử đơn điệu có đồ thị bên trái Hình 2.2: Mệnh đề 2.6 (xem [10]).Cho A : H → 2H và B : K → 2K là các toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A × B : H × K → 2H×K : (x, y) → Ax × By là đơn. .. cực đại Khi đó A × B : H × K → 2H×K : (x, y) → Ax × By là đơn điệu cực đại Định nghĩa 2.5 Cho A : H → 2H là toán tử đơn điệu tuần hoàn Khi đó A là đơn điệu tuần hoàn cực đại nếu không tồn tại toán tử đơn điệu tuần hoàn B : H → 2H mà đồ thị B thực sự chứa đồ thị của toán tử A Mệnh đề 2.7 Giả sử toán tử T : H → 2H là đơn điệu Khi đó, T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi, với mọi (a, b) ∈ H × H, nếu u −... toán tử đơn điệu cực đại nhờ một hàm do Fitzpatrick giới thiệu Các khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu [3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] 2.1 2.1.1 Toán tử đơn điệu Toán tử đơn điệu Định nghĩa 2.1 Cho A : H → 2H Ta nói A là đơn điệu nếu (∀ (x, u) ∈ gra A) (∀ (y, v) ∈ gra A) x − y| u − v ≥ 0 Một tập con của H × H là đơn điệu nếu nó là đồ thị của một toán tử đơn điệu Trong Hình... Khi đó A đơn điệu Định nghĩa 2.2 Toán tử T : H → 2H được gọi là toán tử ngược đơn điệu mạnh trên H nếu x − y| T x − T y ≥ α T x − T y 2 với ∀x, y ∈ H Ví dụ 2.3 Giả sử D ⊂ H, D = ∅ và cho T : D → H là toán tử ngược đơn điệu mạnh Khi đó T đơn điệu Chứng minh Theo Định nghĩa 2.2, chúng ta có x − y| T x − T y ≥ α T x − T y 2 với ∀x, y ∈ H, α ∈ R++ hay T x − T y| x − y ≥ 0 Vậy T là toán tử đơn điệu Ví dụ... toán tử đa trị T = ∂f đơn điệu tuần hoàn trên dom (∂f ) n Mệnh đề 2.5 Giả sử S là một toán tử đa trị từ Rn → 2R Điều kiện cần và đủ để tồn tại một hàm lồi, đóng, chính thường f trên Rn sao cho S (x) ⊆ ∂f với mọi x ∈ dom (∂f ), là toán tử S đơn điệu tuần hoàn Chứng minh Điều kiện cần: Vì ∂f là toán tử đơn điệu tuần hoàn (theo Ví dụ 2.9) mà S (x) ⊆ ∂f với mọi x ∈ dom (∂f ) nên S (x) là toán tử đơn điệu. .. nói T là nửa liên tục dưới trong H Định nghĩa 1.23 Cho T : H → 2K là ánh xạ đa trị từ không gian Hilbert H và không gian Hilbert K Ta nói T là liên tục x ∈ dom T nếu đồng thời T là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x ∈ dom T Nếu T là liên tục tại mọi điểm thuộc dom T , thì ta nói T là liên tục tại mọi điểm trong H 24 Chương 2 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chương này đề cập đến... là các toán tử đơn điệu, cho L ∈ B (H, K) và γ ∈ R+ Khi đó các toán tử A−1 , γA, A + L∗ BL là đơn điệu Chứng minh Trước hết, chúng ta chứng minh A−1 đơn điệu Vì A đơn điệu nên với x, y ∈ dom A, ∀u ∈ A (x) , ∀v ∈ A (y), chúng ta có: u − v| x − y ≥ 0, hay x − y| u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ dom T −1 , ∀x ∈ T −1 (u) , ∀y ∈ T −1 (v) , điều này chứng tỏ A−1 đơn điệu Tiếp theo, chúng ta chứng minh γA đơn điệu Giả sử... , mà C ,C ⊥ đều là không gian con nên y − y ∈ C , z − z ∈ C ⊥ , tức là z − z⊥z − z , do đó y − y = z − z = 0 Vậy sự phân tích ở (1.6) là duy nhất 1.1.3 Toán tử tuyến tính và phiếm hàm trên không gian Hilbert Trước hết, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về toán tử tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính trên không gian vectơ định chuẩn 12 Định nghĩa 1.7 Cho X và Y là các không gian định chuẩn thực ... TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chương đề cập đến vấn đề quan trọng toán tử đơn điệu không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại, ví dụ toán tử đơn. .. nghiên cứu toán tử đơn điệu không gian Hilbert Chương II: Trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại tính chất như: điều kiện đủ để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực... 20 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 24 2.1 2.2 Toán tử đơn điệu 24 2.1.1 Toán tử đơn điệu 24 2.1.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn